Представление числовых данных в памяти электронной вычислительной машины

Размещено на http://www.allbest.ru/

Представление числовых данных в памяти ЭВМ

Содержание

Введение

1. Способы представления чисел в памяти ЭВМ

2. Форма представления чисел с плавающей точкой

3. Форматы хранения чисел с плавающей точкой

4. Примеры

Заключение

Список литературы

Введение

Множество целых чисел бесконечно, но мы всегда можем подобрать такое число бит, чтобы представить любое целое число, возникающее при решении конкретной задачи. Множество действительных чисел не только бесконечно, но еще и непрерывно, поэтому, сколько бы мы не взяли бит, мы неизбежно столкнемся с числами, которые не имеют точного представления. Числа с плавающей запятой - один из возможных способов представления действительных чисел, который является компромиссом между точностью и диапазоном принимаемых значений.

Число с плавающей запятой состоит из набора отдельных разрядов, условно разделенных на знак, знак порядка, порядок и мантиссу. Порядок и мантисса - целые числа, которые вместе со знаком дают представление числа с плавающей запятой.

1. Способы представления чисел в памяти ЭВМ

Числа в памяти ЭВМ в двоичных кодах представляются как с фиксированной точкой (запятой), так и с плавающей точкой (запятой).

Представление чисел в формате с фиксированной точкой получило название естественная форма числа, а представление с плавающей точкой - нормальная форма числа.

Для чисел в естественной форме положение точки жестко фиксируется:

- для целых чисел точка располагается справа от младшего разряда:

- для правильных дробей - перед старшим разрядом:

- для смешанных дробей - в определенном месте, отделяющем целую часть числа от дробной:

Наиболее часто такая форма используется для целых чисел и целых чисел без знака. Количество разрядов может быть либо 16 (формат H), либо 32 (формат F) (рис. 1)

Формат H

Знак 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

min

max

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Формат F

Знак 2…………………………………………………2

min

max

0………………………………………………………………… 31

Рис. 1 Форматы чисел с фиксированной точкой

Во всех форматах знак числа помещается в старший разряд и кодируется как 0 - знак положительного числа, либо как 1 - знак отрицательного числа. Знак отделяется от самого числа воображаемой точкой.

Фиксированная точка позволяет задать число только в строго определенном диапазоне.

В формате H числа можно задавать от 1111 1111 1111 1111

до 0111 1111 1111 1111, т.е. от -32767 до 32767или от 1-2до 2 1.

В формате F числа могут находиться в интервале

от 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

до 0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

т.е. от - 7FFFFFFF до 7FFFFFFF

Естественное представление чисел в виде целой и дробной частей имеет ряд недостатков, т.к. при выполнении вычислений на ЭВМ необходимо заранее знать количество разрядов, которое надо отводить для представления целых и дробных частей исходных данных и результатов, что бывает весьма трудно сделать в реальных условиях.

При выполнении арифметических операций с фиксированной точкой могут получаться результаты, целая часть которых содержит больше цифр, чем число разрядов ячейки, отведенных для хранения целой части. При этом происходит переполнение разрядной сетки.

2. Форма представления чисел с плавающей точкой

Для расширения диапазона рассматриваемых чисел по сравнению с естественной формой чисел используется форма с плавающей точкой или нормальная форма. Любое число в этом формате представляется, как:

,

где m - мантисса числа, Е - основание системы счисления, P - порядок числа. Все эти величины - двоичные числа без знака.

Приведен формат числа в нормальной форме. Старший разряд (нулевой) содержит знак мантиссы, первый разряд содержит знак порядка, шесть разрядов (со второго по седьмой) определяют значение порядка, а остальные - мантиссу.

При таком представлении чисел 0 может быть записан 64 разными способами, т.к. для этого подходят любые значения порядков

0* 2 = 0* 2= 0* 2.

А другие числа могут иметь много различных форм записи.

Например, 1536= 3*2= 6* 2= 768* 2.

Для однозначного представления чисел мантиссу нормализуют, т.е. накладывают ограничение 1/Е?m<1.

Это ограничение означает, что мантисса представляет собой правильную дробь и содержит хотя бы одну значащую цифру после запятой, отличную от нуля. Нормализованным представлением нуля является такое представление, при котором во всех разрядах находятся нули.

При использовании нормальной формы для части компьютеров характерно смещение оси порядков в область положительных значений. В этом случае арифметические действия производятся над порядками, не имеющими знака. В нормальной форме под значение порядка отводится 7 разрядов, один из них знаковый. Таким образом, значение порядка может лежать в интервале от - 64 до 63. Сместив порядок на 2 = 64 = 40, получаем интервал возможных значений 0?P?2- 1= 127. Смещенный порядок на 40 называется характеристикой и вычисляется как Px = P+40.

Если характеристика равна 40, то порядок равен нулю; если характеристика меньше 40, то порядок отрицателен; если больше - то положителен.

число плавающий запятая компьютер

3. Форматы хранения чисел с плавающей точкой

Рассмотрим промышленные стандарты, используемые для представления чисел в компьютерах. Существует стандарт IEEE 754 для представления чисел с одинарной точностью и с двойной точностью . Нормальная форма может быть представлена коротким форматом Е (4 байта), длинным форматом D (8 байт) и повышенной точности (16 байт). Чаще всего числа хранятся в нескольких соседних ячейках памяти процессора. Форматы числа в формате с плавающей запятой одинарной точности и числа в формате с плавающей запятой удвоенной точности.

Форматы E и D описывают двоичные числа в двоично-кодированной шестнадцатеричной системе счисления. Порядок чисел изменяется от -64 до +63. Характеристика (Х) изменяется от 0 до 127, Х = Р + 64, то есть смещает порядок в область положительных чисел.

Формат D за счёт большей длины, используемой для увеличения разрядности мантиссы, обеспечивает представление чисел с большей точностью. Диапазон абсолютных значений чисел в форматах E и D составляет величины от 16 до 16 , что эквивалентно пределам от 10 до 10.

Для представления чисел в формате E и D необходимо перевести число в 16-ричную систему счисления, представить его в форме с плавающей точкой, определить характеристику и занести знак мантиссы, характеристику и мантиссу в соответствующие поля формата.

4. Примеры

1. Представим в нормальной сетке Е числа 32001,5 и -32001,5

Сначала представим числа в шестнадцатеричном коде:

32001,5= 7D01,8, -32001,5= -7D01,8

Затем найдем нормализованные мантиссы и характеристики:

m = 7D01,8 m = 0,7D018, при этом характеристика становится равной

Px = 40+4 = 44

Знак m Px Мантисса

Представление шестнадцатеричного слова 447D0180.

m = -7D01,8 m = -0,7D018,

при этом характеристика становится равной

Px = 40+4 = 44

Знак m Px Мантисса

Представление шестнадцатеричного слова C47D0180.

2. Представим в нормальной сетке Е числа 16289 и -16289

16289= 3FA1, -16289= -3FA1

m = 3FA1 m = 0,3FA1, при этом характеристика становится равной

Px = 40+4 = 44.

Знак m Px Мантисса

Представление шестнадцатеричного слова 443FA100.

m = -3FA1 m = -3FA1, при этом характеристика становится равной

Px = 40+4 = 44.

Знак m Px Мантисса

Представление шестнадцатеричного слова C43FA100.

3. Представим в нормальной сетке Е числа 0,01 и -0,01

0,01=0,028F5C3, -0,01= -0,028F5C3

m = 0,028F5C3 m = 0, 28F5C3, при этом характеристика становится равной Px = 40 - 1 = 3F

Знак m Px Мантисса

Представление шестнадцатеричного слова 3F28F5C3

m = -0,028F5C3 m = -0,28F5C3, при этом характеристика становится равной Px = 40 - 1 = 3F

Знак m Px Мантисса

Представление шестнадцатеричного слова BF28F5C3.

Заключение

При расчетах часто приходится обрабатывать очень большие числа (например, расстояние между звёздами) или наоборот очень маленькие числа (например, размеры атомов или электронов). При таких вычислениях пришлось бы использовать числа с очень большой разрядностью. В то же время не нужно знать расстояние между звёздами с точностью до миллиметра.

Для вычислений с такими величинами числа с фиксированной запятой неэффективны.

В десятичной арифметике для записи таких чисел используется алгебраическая форма. При этом число записывается в виде мантиссы, умноженной на 10 в степени, отображающей порядок числа.

Например: 0,2*10; 0,16*10.

Для записи двоичных чисел тоже используется такая форма записи.

Эта форма записи называется запись числа с плавающей точкой.

Список литературы

1. Гусева А.И. Учимся информатике: задачи и методы их решения. 2-е издание, испр. и дополн. - М.: «Диалог - МИФИ», 2014.

2. Информатика. Часть 1. Введение в информатику: Учебное пособие. М.: МГИУ, 2009. Гришин М.П., Иванов М.Н., Носова Т.К., Суворов С.В.

3. Бауэр Ф. Л., Гооз Г. Информатика. Вводный курс: В 2-х ч. 4.1. Пер. с нем.-- М.: Мир, 2010.

4. Информатика: Учеб. Пособие для 11-го с углуб. Изучением информатики общеобразоват. шк. с рус. яз. обучения/ А. И. Павловский, А. Е. Пупцев, Е. В. Нашкевич, Н. Н. Нарейко. - Мн.: Нар. асвета, 2001.

5. Сайт в сети Интернет. Консультационный центр MATLAB компании Softline http://matlab.exponenta.ru/

6. Сайт в сети Интернет http://coderov.net/

7. Сайт в сети Интернет http://rus12.on.ufanet.ru/

8. Сайт в сети Интернет http://ru.wikipedia.org

9. Сайт в сети Интернет. Дистанционная школа для абитуриентов по информатике http://uchebnik1.narod.ru/

10. Сайт в сети Интернет. Intel http://software.intel.com/ru-ru/articles/visualizing-floats/

Размещено на Allbest.ru