Размещено на http://www.allbest.ru/

Компьютерное математическое моделирование

Технология компьютерного моделирования обогащает процесс обучения новыми средствами и методами решения реальных практических задач, открывая широкие возможности для осознания связи между информатикой, с одной стороны, и математикой, физикой, экономикой и другими науками с другой стороны.

Курс "Компьютерного математического моделирования" выполняет развивающую функцию, поскольку при его изучении учащиеся продолжают знакомство еще с одним методом познания окружающей действительности - методом компьютерного моделирования.

Он дает будущему учителю возможность приобрести новые знания, умения, навыки, ознакомить с использованием компьютера как средства научно-исследовательской деятельности в ходе работы с компьютерными моделями. компьютерное моделирование информатика

ВВЕДЕНИЕ

Целью изучения данного курса является знакомство учащихся еще с одним методом познания окружающей действительности - методом компьютерного математического моделирования. Технология компьютерного моделирования обогащает процесс обучения новыми средствами и методами решения реальных практических задач, открывая широкие возможности для осознания связи между информатикой, с одной стороны, и математикой, физикой, экономикой и другими науками с другой стороны.

Отметим, что, говоря о математических моделях, мы имеем в виду сугубо прикладной аспект. В современной математике есть достаточно формализованный подход к понятию «математическая модель». Внутри него вполне допустимо игнорировать вопрос о связи математики с физической реальностью. В этом подходе моделями являются, например, система целых чисел, система действительных чисел, евклидова геометрия, алгебраическая группа, топологическое пространство и т.д. К исследованию таких формальных моделей вполне можно подключить компьютеры, но все равно это останется «чистой» математикой. В данном курсе термин «математическая модель» увязывается с некоторой предметной областью, сущностью окружающего мира.

Компьютерное математическое моделирование в разных своих проявлениях использует практически весь аппарат современной математики.

В данной программе предполагается знание основ математики:

* теории дифференциальных уравнений;

* теории аппроксимации функций,

* аналитической геометрии на плоскости и в пространстве;

* математической статистики;

* численных методов:

a) решения алгебраических и трансцендентных уравнений;

b) решения систем линейных алгебраических уравнений;

c) интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем (задача Коши).

ПОНЯТИЕ "МОДЕЛЬ"

С понятием "модель" мы сталкиваемся с раннего детства: игрушечный автомобиль, самолет, кукла…Это модели реальных объектов, играющих большую роль в воспитании.

Приведем несколько примеров, поясняющих, что такое модель, a уж потом, когда некоторое интуитивное представление о понятии «модель» сформируется, дадим определение.

1. Архитектор готовится построить здание невиданного доселе типа. Но прежде чем воздвигнуть его, он сооружает макет этого здания, чтобы посмотреть, как он будет выглядеть.

2. Для того, чтобы объяснить, как функционирует система кровообращения, лектор демонстрирует плакат, на котором стрелочками изображены направления движения крови.

3. Перед тем как запустить в производство новый самолет новой серии, его помещают в аэродинамическую трубу и с помощью датчиков определяют величины напряжений, возникающих в различных местах конструкции.

4. Художник изобразил картину, изображающую бушующее море.

Во всех перечисленных примерах имеет место сопоставление некоторого реального объекта с другим, его заменяющим (оригинал - копия): реальное здание - макет здания; серийный самолет - единичный самолет в трубе; система кровообращения - схема на плакате; бушующее море - картина, его изображающая. Причем во всех случаях предполагается, что какое-то свойство (свойства) сохраняется при переходе от исходного объекта к заменяющему или по крайней мере позволяет судить об исходном свойстве.

1. Хоть здание-макет и много меньше настоящего, но оно позволяет судить о его внешнем виде.

2. Хоть плакат и не имеет ничего общего с тканями и системами живого организма, но он позволяет судить о том, откуда и куда течет кровь.

3. Хоть самолет, находящийся в аэродинамической трубе, и не летит, но напряжения, возникающие в его корпусе, соответствуют условиям полета.

4. Хоть картина и море с физической точки зрения не имеют, казалось бы, ничего общего, но эмоции они могут вызвать сходные.

После всего сказанного становится понятным такое определение.

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения, исследования) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для целей данного исследования типичные его свойства.

О РАЗНОВИДНОСТЯХ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Процесс построения модели называется моделированием. Существует множество приемов моделирования, которые можно условно объединить в две большие группы:

1. материальное (предметное) моделирование;

2. идеальное (абстрактное) моделирование.

1. К материальным относятся такие способы моделирования, при которых исследование ведется на основе модели, воспроизводящей основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики изучаемого объекта. Основными разновидностями материального моделирования являются:

а) физическое моделирования

в) аналоговое моделирования.

а) Физическим принято называть моделирование, при котором реальному объекту сопоставляется его увеличенная или уменьшенная копия, допускающая исследование в лабораторных условиях с перенесением свойств изучаемых процессов и явлений с модели обратно на объект на основе теории подобия. Вот несколько примеров физических моделей: в астрономии -- планетарий, в гидротехнике -- лотки с водой, моделирующие реки и водоемы, в архитектуре -- макеты зданий, в самолетостроении--модели летательных аппаратов и т. п.

в) Аналоговое моделирование основано на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально одними и теми же математическими уравнениями, логическими схемами.

Заметим, что в обоих типах материального моделирования модели являются материальным отражением исходного объекта, причем процесс исследования связан с материальным воздействием на модель, т. е. состоит в натурном эксперименте с ней. Таким образом, материальное моделирование является экспериментальным методом.

2. Идеальное (абстрактное) моделирование принципиально отличается от материального моделирования, поскольку оно основано не на материальной аналогии объекта, а на аналогии идеальной, мыслимой.

Идеальное моделирование носит теоретический характер. Различают два типа идеального моделирования:

a) интуитивное

b) знаковое.

a) Интуитивное моделирование основано на интуитивном представлении об объекте исследования, не поддающемся формализации либо не нуждающемся в ней. В этом смысле, например, жизненный опыт каждого человека - это интуитивная модель окружающего мира.

b) Знаковым называется моделирование, использующее в качестве моделей знаковые преобразования какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, формулы, наборы символов и т. д., а также включающее совокупность законов, по которым можно оперировать с выбранными знаковыми образованиями.

Важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование, при котором исследование объекта осуществляется посредством модели, сформулированной на языке математики, с использованием математических методов.

классификация идеальных знаковых моделей

Укрупненная классификация абстрактных (идеальных) знаковых моделей такова:

1. Вербальные (текстовые) модели. Эти модели используют последовательности предложений на формализованных диалектах естественного языка для описания той или иной области действительности (примерами такого рода моделей являются книга по вязанию, правила дорожного движения).

2. Математические модели - очень широкий класс знаковых моделей, основанных на формальных языках над конечными алфавитами, широко использующих те или иные математические методы. Математическая модель может представлять собой систему уравнений, описывающих физические процессы: падение тела с учетом сопротивления воздуха, распространение тепла в стержне и др. Математической моделью другого рода являются, например, математические соотношения, позволяющие рассчитать оптимальный (наилучший с экономической точки зрения) план работы какого-либо предприятия.

3. Информационные модели - класс знаковых моделей, описывающих информационные процессы (возникновение, передачу, преобразование и использование информации) в системах самой разнообразной природы.

Граница между вербальными, математическими и информационными моделями может быть проведена весьма условно; вполне возможно считать информационные модели подклассом математических моделей. Однако, в рамках информатики как самостоятельной науки, отделенной от математики, физики, лингвистики и других наук, выделение информационных моделей в отдельный класс является целесообразным.

ПОНЯТИЕ О КОМПЬЮТЕРНОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ

Курс компьютерного математического моделирования рассматривает прикладные математические модели, в реализации которых используются компьютеры. Внутри информатики именно компьютерное математическое и компьютерное информационное моделирование могут рассматриваться как ее составные части. Таким образом, компьютерное математическое моделирование связано с информатикой технологически, т.е. использование компьютеров и соответствующих технологий обработки информации стало неотьемлемой и необходимой составляющей работы физика, инженера, экономиста, эколога и т.д.

Математическое моделирование как таковое отнюдь не всегда требует компьютерного оснащения. Каждый специалист, профессионально занимающийся математическим моделированием, делает все возможное для получения аналитических решений. Аналитические решения (представленные формулами, выражающими результаты исследования через исходные данные) обычно удобнее и информативнее численных. Однако, возможности аналитических методов решения сложных математических задач очень ограниченны и, как правило эти методы гораздо сложнее численных. Поэтому при решении сложных математических задач используют численные методы, реализуемые на компьютерах. Моделирование здесь рассматривается под углом зрения компьютерных (информационных) технологий и включает численный эксперимент. Но, отметим, что понятия «аналитическое решение» и «компьютерное решение» отнюдь не противостоят друг другу, так как:

а) компьютеры при математическом моделировании все чаще используются не только для численных расчетов, но и для аналитических преобразований. Этому служат интегрированные математические пакеты: MatLab, MathCAD, Maple, Mathematica;

б) результат аналитического исследования математической модели часто выражен столь сложной формулой, что при взгляде на нее не складывается восприятия описываемого ею процесса. Поэтому эту формулу нужно протабулировать, представить графически, проиллюстрировать в динамике, иногда даже озвучить, т.е. провести «визуализацию» полученного аналитического результата. При этом компьютер - незаменимое техническое средство.

ЭТАПЫ И ЦЕЛИ КОМПЬЮТЕРНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Рассмотрим процесс компьютерного математического моделирования, включающий численный эксперимент с моделью (рис.2).

I. Первый этап компьютерного математического моделирования - определение целей моделирования.

ЦЕЛИ КОМПЬЮТЕРНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Основные из них таковы:

1) модель нужна для того, чтобы понять как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (понимание);

2) модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление);

3) модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).

Поясним это на примерах.

1. Пусть объект исследования - взаимодействие потока жидкости или газа с телом, являющимся для этого потока препятствием. Опыт показывает, что сила сопротивления потоку со стороны тела растет с ростом скорости потока, но при некоторой достаточно высокой скорости эта сила скачком уменьшается и в дальнейшем с увеличением скорости снова растет. Что же произошло, обусловив резкое уменьшение силы сопротивления? Математическое моделирование позволяет понять и получить четкий ответ: в момент скачкообразного уменьшения сопротивления вихри, образующиеся в потоке жидкости или газа позади обтекаемого тела, начинают отрываться от него и уноситься потоком.

2. Другая возможная цель моделирования - выработка концепции управления объектом. Какой режим полета самолета выбрать для того, чтобы полет был вполне безопасным и экономически наиболее выгодным? Как составить график выполнения сотен видов работ на строительстве большого объекта, чтобы оно закончилось в максимально короткий срок? Множество таких проблем систематически возникает перед экономистами, конструкторами, учеными.

3. Еще одна возможная цель моделирования - прогнозирование последствий тех или иных воздействий на объект. Оно может быть как относительно простым делом в несложных физических системах, так и чрезвычайно сложным - на грани выполнимости - в системах биолого - экономических, социальных. Если относительно легко ответить на вопрос об изменении режима распространения тепла в тонком стержне при изменениях в составляющем его сплаве, то несравненно труднее предсказать экологические и климатические последствия строительства крупной ГЭС. И здесь методы математического моделирования будут оказывать в будущем более значительную помощь.

II. Второй этап моделирования - ранжирование модели

Составим список величин, от которых зависит поведение объекта или ход процесса, а также тех величин, которые желательно получить в результате моделирования. Обозначим

первые (входные) величины через х₁, х₂, ....,x_n;

вторые (выходные) - через y₁,y₂,…,y_k .

Символически поведение объекта или процесса можно представить в виде

у_J = F_J (х₁, х₂, ....,x_n ), (j = 1, 2,...,k),

где F_J - те действия, которые следует произвести над входными параметрами, чтобы получить результаты, т.е. F_J (х₁, х₂, ....,x_n ) - оператор.

Важнейшим этапом моделирования является разделение входных параметров по степени важности влияния их изменений на выходные. Такой процесс называется ранжированием (разделением по рангам). Чаще всего невозможно (да и не нужно) учитывать все факторы, которые могут повлиять на значения интересующих нас величин у_j . От того, насколько умело выделены важнейшие факторы, зависит успех моделирования, быстрота и эффективность достижения цели.

Выделить более важные (или, как говорят, значимые) факторы и отсеять менее важные может лишь специалист в той предметной области, к которой относится модель.

Отбрасывание (по крайней мере при первом подходе) менее значимых факторов огрубляет объект моделирования, однако способствует пониманию его главных свойств и закономерностей. Умело ранжированная модель должна быть адекватна исходному объекту или процессу в отношении целей моделирования. Обычно определить адекватна ли модель можно только в процессе экспериментов с ней и анализа результатов.

На рис. 1 проиллюстрированы две крайние ситуации:

а) изменение параметра х_i очень сильно влияет на результирующую величину у_j ;

б) изменение параметра х_i почти не влияет на у_j .

Ясно, что если все величины у_j, реагируют на изменение х_i так, как изображено на рис. 1(б), то х_i является параметром, который может быть из модели исключен.

Если же хотя бы одна из величин у_j реагирует на изменение х_i так, как изображено на рис. 1(а), то х_i нельзя исключать из числа важнейших параметров

Входные параметры могут быть известны «точно», т.е. поддаваться измерению однозначно и с любой степенью точности - тогда они являются детерминированными вёличинами. Так, в классической механике, сколь сложной ни была бы моделируемая система, входные параметры детерминированы - соответственно, детерминирован, т.е. однозначно развивается во времени процесс эволюции такой системы. Однако, в природе и обществе гораздо чаще встречаются процессы иного рода, когда значения входных параметров известны лишь с определенной степенью вероятности, т.е. эти параметры являются вероятностными (стохастическими), и, соответственно, таким же является процесс эволюции

«Случайный» - не значит «непредсказуемый»; просто характер исследования, задаваемых вопросов резко меняется (они приобретают вид «С какой вероятностью...», «С каким математическим ожиданием...» и т.п.). Примеров случайных процессов не счесть как в науке, так и в обыденной жизни (силы, действующие на летящий самолет в ветренную погоду, переход улицы при большом потоке транспорта и т.д.).

Для стохастической модели выходные параметры могут быть как величинами вероятностными, так и однозначно определяемыми. Пример последнего: на перекрестке улиц можно ожидать зеленого сигнала светофора и полминуты, и две минуты' (с разной вероятностью), но среднее время ожидания есть величина вполне определенная и именно он может быть о6ъектом моделирования.

Изобразим схему поэтапного процесса компьютерного математического моделирования:

Рис. 2.

III. Третий этап - поиск математического описания. На этом этапе необходимо перейти от абстрактной формулировки модели к математической формулировке. В этот момент модель предстает перед нами в виде уравнения, системы уравнений, системы неравенств, дифференциального уравнения или системы таких уравнений и т.д.

IV. Четвертый этап - выбор метода исследования.

Когда математическая модель сформулирована, выбираем метод ее исследования. Как правило, для решения одной и той же задачи есть несколько конкретных методов, различающихся эффективностью, устойчивостью и т.д. От верного выбора метода часто зависит успех всего процесса моделирования.

V. Пятый этап - разработка алгоритма и составление программы - это творческий и трудно формализуемый процесс. В настоящее время при реализации компьютерной математической модели наиболее распространенными являются приемы процедурно-ориентированного (структурного-Turbo-pascal) и объектно-ориентированного программирования(Delphi) .

VI. Шестой этап - отладка и тестирование программы.

После составления программы решаем с ее помощью простейшую тестовую задачу (желательно, с заранее известным ответом) с целью устранения грубых ошибок. Это - лишь начало процедуры тестирования, которую трудно описать формально исчерпывающим образом. По существу, тестирование может продолжаться долго и закончиться тогда, когда пользователь по своим профессиональным признакам сочтет программу верной.

VII. Седьмой этап - расчеты на ЭВМ - численный эксперимент.

Затем следует собственно численный эксперимент, и выясняется, соответствует ли модель реальному объекту (процессу). Модель считается адекватной реальному процессу, если некоторые характеристики процесса, полученные на ЭВМ, совпадают с экспериментальными с заданной степенью точности. В случае несоответствия модели реальному процессу возвращаемся к одному из предыдущих этапов - ранжированию (отбрасываем или вводим в рассмотрение один или несколько исходных параметров) или уточним выбор метода решения.

КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

К классификации математических моделей можно подходить по-разному, положив в основу классификации различные принципы. Можно классифицировать модели по отраслям наук, т.е. рассматривать математические модели в:

§ физике,

§ биологии,

§ экологии,

§ социологии и т.д.

Эта классификация естественна, если к этому подходит специалист в какой-то одной науке.

Можно классифицировать по применяемому математическому аппарату , т.е. модели, основанные на применении:

§ обыкновенных дифференциальных уравнений,

§ дифференциальных уравнений в частных производных,

§ стохастических методов,

§ дискретных алгебраических преобразований и т.д.

Эта классификация естественна для математика, занимающегося аппаратом математического моделирования.

Если же человек интересуется общими закономерностями моделирования в разных науках безотносительно к математическому аппарату, то он поставит на первое место цели моделирования. Тогда получится следующая классификация:

* дескриптивные (описательные) модели;

* оптимизационные модели;

* многокритериальные модели;

* игровые модели;

* имитационные модели.

Остановимся на этом чуть подробнее и поясним на примерах:

1. Моделируя движение кометы, вторгшейся в Солнечную систему, мы описываем (предсказываем) траекторию ее полета, расстояние, на котором она пройдет от Земли и т. д., т. е. ставим чисто описательные цели. У нас нет никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то изменить. Дескриптивными будет в нашем курсе:

· модель падения парашютиста,

· модель распространения тепла в стержне,

2. В некоторых случаях мы можем воздействовать на процесс, пытаясь добиться какой-то цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных нашему влиянию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, мы можем стремиться подобрать такой, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т. е. оптимизируем процесс. В нашем курсе мы будем использовать оптимизационные модели при решении экономических задач.

3. Часто приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам сразу, причем цели могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, организовать питание больших групп людей (в армии, летнем лагере и др.). С одной стороны питание должно быть как можно полезнее, с другой стороны - как можно дешевле. Ясно, что эти цели, вообще говоря, совсем не совпадают, т.е. при моделировании будет несколько критериев, между которыми надо искать баланс.

4. Игровые модели могут иметь отношение не только к детским играм (в том числе и компьютерным), но и к вещам весьма серьезным. Например, полководец перед сражением в условиях наличия неполной информации о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке вводить в бой те или иные части и при этом учитывать возможную реакцию противника. При этом используется довольно сложный раздел современной математики - теория игр. Она изучает методы принятия решений в условиях неполной информации.

5. Имитационные модели. Часто бывает, что модель в большой мере подражает реальному процессу, т.е. имитирует его. Например - моделирование движения молекул в газе. Каждая молекула представляется в виде шарика, и задаются условия поведения этих шариков при столкновении друг с другом и со стенками (например, абсолютно упругий удар); при этом не нужно использовать никаких уравнений движения. В данном случае имитационное моделирование применяется для описания свойств большой системы при условии, что поведение составляющих ее объектов очень просто сформулировано. Тогда математическое описание сводится к статистической обработке результатов моделирования. В нашем курсе мы будем рассматривать метод Монте-Карло, основанный на моделировании случайных величин.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Физика и моделирование

В физике математическое моделирование является чрезвычайно важным методом исследования. Наряду с традиционным делением физики на экспериментальную и теоретическую сегодня уверенно выделяется третий фундаментальный раздел - вычислительная физика. Причину этого в целом можно сформулировать так: при максимальном проникновении в физику математических методов, порой доходящем до фактического сращивания этих наук, реальные возможности решения возникающих математических задач традиционными методами очень ограниченны. Из многих конкретных причин выделим две наиболее часто встречающихся:

· нелинейность многих физических процессов и отсюда нелинейность описывающих их математических моделей

· необходимость исследования совместного движения многих тел, для которого приходится решать системы большого числа уравнений.

Численное моделирование в физике называют вычислительным экспериментом, поскольку оно имеет много общего с лабораторным экспериментом.

Таблица 1

Аналогии между лабораторным и вычислительным экспериментами

Лабораторный эксперимент	вычислительный эксперимент
Образец Физический прибор Калибровка прибора Измерение Анализ данных	Модель Программа для компьютера Тестирование программы Расчёт Анализ данных

Численное моделирование (как и лабораторные эксперименты) чаще всего является инструментом познания качественных закономерностей природы. Важнейшим его этапом является анализ результатов, представление их в максимально наглядной и удобной для восприятия форме. Получение распечатки чисел еще не означает окончания моделирования (даже если эти числа верны). Важно представить результаты в виде графиков, диаграмм, траекторий движения динамических объектов для получения качественной информации. Здесь необходима помощь компьютера - возможность визуализации абстракций.

Компьютерная научная графика. Понять по графику свойства сложной функции человеку гораздо легче, чем из соответствующей формулы, хотя в ней информации, строго, говоря, гораздо больше. Так уж устроено человеческое восприятие, что рисунки, пусть даже условные, гораздо легче воспринимаются рассудком, чем сложные формулы или колонки чисел.

В современной прикладной информатике этим обстоятельством очень широко пользуются, и в ней сформировалось соответствующее направление - машинная (компьютерная) графика. По определению, машинная графика - раздел информатики, в рамках которого исследуются и разрабатываются технические, математические, программные и методические средства и приемы использования ЭВМ для создания, обработки, хранения и практического применения графических изображений. В машинной графике выделяют несколько разделов.

Иллюстративная графика, простейшими программными средствами которой являются всем знакомые диалоговые программы - графические редакторы. Она служит для создания изображений. Это - средство реализации воображения.

Деловая графика существенно «скучнее». Когда бухгалтеру, экономисту и т.д. нужно перевести сухие колонки чисел в столбчатую диаграмму, круговую диаграмму, график, достаточно вызвать такую программу и в ходе диалога сообщить ей заголовки, подписи, разметки, цвета и т.д. и имя файла, в котором по определенным правилам записаны указанные числа. Система построит заданное изображение на экране, выведет его на принтер.

Одна из самых сложных и специализированных разновидностей систем машинной графики - инженерная графика, известная также под именем САПР - системы автоматизированного проектирования. Это диалоговые системы, предназначенные для автоматизации процесса проектирования технических объектов, создания полных комплектов проектных документов с учетом существующих норм стандартов.

И, наконец, научная графика - наиболее актуальная для изучаемого курса и наименее всех допускающая единое описание. Универсальных систем компьютерной научной графики, по-видимому, не существует из-за огромного разнообразия задач. Часто программы, реализующие наглядное изображение решения научной задачи (почти всегда по итогам математического моделирования), встраиваются внутрь основной программы, пишутся на том же самом языке программирования.

Общую цель научной графики можно сформулировать так: сделать невидимое и абстрактное «видимым». Берем последнее слово в кавычки, так как часто эта «видимость» весьма условна. Можно ли увидеть распределение температуры внутри неоднородно нагретого тела сложной формы без введения в него сотен микродатчиков, т.е., по существу, его разрушения?- Да, если есть соответствующая математическая модель, и, что очень важно - договоренность о восприятии определенных условностей на рисунке.

Более того, можно «увидеть» и то, что строго говоря, вообще плохо соответствует слову «видеть». Так, квантовая химия дает нам возможность «увидеть» строение молекулы. Эти изображения верх абстракции и системы условностей, так как в атомном мире обычные наши понятия о частицах (ядрах, электронах и т.д. ) принципиально не применимы. Однако, многоцветное «изображение» молекулы на экране компьютера для тех, кто понимает всю меру его условности, приносит большую пользу, чем тысячи чисел, являющихся результатами расчета.

При решении относительно несложных задач нашего курса при построении траекторий движения тел, графиков целесообразно ориентироваться на тот язык программирования, на котором реализуется математическая модель.

Условные цвета, условное контрастирование. - Условная раскраска - это один из интересных приемов современной научной графики. Она находит широчайшее применение в самых разных приложениях науки и представляет собой максимально удобную, хотя и очень условную, визуализацию результатов компьютерного моделирования.

Приведем примеры. В различных исследованиях температурных полей встает проблема наглядного представления результатов. Самый простой (и, с точки зрения специалиста, весьма неэффективный) - привести карту (чертеж, план), в некоторых точках которой обозначены значения температуры.

Другой способ - набор изотерм - гораздо эффективнее; к нему прибегают некоторые газеты, давая состояние и прогноз погоды. Но можно добиться еще большей наглядности, учитывая, что большинству людей свойственно, сравнивая разные цвета, воспринимать красный как «горячий», голубой как «холодный», а все остальные - между ними.

Допустим, что на некоторой территории температура в данный момент имеет в разных местах значения от -25°С до + 15°С. Разделим этот диапазон на участки с шагом, равным, например, 5°

[-25,-20],[-20,-15],..„[+10,+15].

Затем закрасим первый из участков в ярко-голубой, последний - в ярко-красный, а все остальные - в промежуточные оттенки голубого и красного цветов. Получится замечательная, наглядная картина температурного поля.

СВОБОДНОЕ ПАДЕНИЕ ТЕЛА С УЧЕТОМ СОПРОТИВЛЕНИЯ СРЕДЫ

Второй закон Ньютона.

В рассматриваемых ниже физических задачах фундаментальную роль играет второй закон Ньютона. Он гласит, что ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально действующей на него силе (если их несколько, то равнодействующей, т.е. векторной сумме сил) и обратно пропорционально его массе:

В ситуации, когда сила или масса не являются величинами постоянными, необходимо записать этот закон в более общей математической форме.

Допустим, что сила или масса (или и то, и другое) непостоянны и заданным образом зависят от времени, скорости движения или перемещения: и . Достаточно хотя бы одной зависимости, чтобы ускорение было величиной переменной. Тогда формула Ньютона определяет значение ускорения в тот момент времени, которому соответствуют сила и масса. Интерес представляет временная зависимость перемещения и скорости .

Поскольку ускорение есть приращение скорости, а скорость -- приращение перемещения, то

(1)

а сам второй закон Ньютона приобретает вид

(2)

или, что то же самое,

(3)

Произведем дискретизацию по времени. Пусть в начальный момент времени t₀ величина s имеет значение s_0, а величина v - значение v₀. Тогда в некоторый последующий момент времени будем иметь

(4)

В последующие моменты времени можно поступать аналогично (4). Так, если известны значения v_i, и s_i в момент t_i , то

(5)

Сила сопротивления.

При реальных физических движениях сила сопротивления накладывает огромный отпечаток на характер движения.

О силе сопротивления среды движущемуся телу известно, что она, вообще говоря, растет с ростом скорости V (хотя это утверждение не является абсолютным).

При относительно малых скоростях величина силы сопротивления пропорциональна скорости и имеет место соотношение

,

где определяется свойствами среды и формой тела.

Например, для шарика - это формула Стокса, где -динамическая вязкость среды, r-- радиус шарика. Так, для воздуха при t = 20°С и давлении 1 атм: = 0,0182 Н·с/м²,

для воды = 1,002 Н·с/м²,

для глицерина = 1480 Н·с/м².

Оценим, при какой скорости v* для падающего вертикально шара сила сопротивления сравняется с силой тяжести и движение станет равномерным.

Имеем

тогда

(6)

Пусть r = 0,1 м, = 0,8*10³ кг/м³ (дерево). При падении:

в воздухе v* = 960 м/с,

в воде v* = 17 м/с,

в глицерине v* = 0,012 м/с.

На самом деле первые два результата для v* не соответствуют действительности. Дело в том, что даже при меньших, чем первые две, скоростях становится пропорциональной квадрату скорости: .

Если квадратичная составляющая скорости намного больше линейной составляющей скорости в формуле: ,

т. е. k₂ v² » k₁ v, то вкладом линейной составляющей k₁ v можно пренебречь - это конкретный пример ранжирования параметров.

Определим значение коэффициента k₂. Величина k₂ пропорциональна площади сечения тела S, поперечного по отношению к потоку, плотности среды и зависит от формы тела. Обычно представляют , где c - коэффициент лобового сопротивления - безразмерен. Некоторые значения c приведены на рис.1.

	Диск	с = 1,11
	Полусфера	с = 1,33
	Полусфера	с = 0,55
	Шар	с = 0,4
	Каплевидное тело	с = 0,045
	Каплевидное тело	с = 0,1

Рис 1. Значения коэффициента с - лобового сопротивления

Плотность среды:

в воздухе - = 1,29 кг/ м³,

в воде - = 1*10³ кг/м³,

в глицерине - = 1,26*10³ кг/ м³.

Используя квадратичную составляющую скорости при подсчете , можно получить v*: в воздухе v* = 18 м/с, в воде v* = 0,65 м/с, что соответствует действительности.

Свободное падение тела.

Математическая модель свободного падения тела - уравнение второго закона Ньютона с учетом двух сил, действующих на тело - силы тяжести и силы сопротивления среды : , где , .

Движение является одномерным. Проецируя силу , скорость и перемещение на ось, направленную вертикально вниз, из (3) получаем

(7)

В конкретных задачах можно одной из составляющих силы сопротивления пренебречь (если она заведомо много меньше другой).

Если скорость движения мала (v = 0.1 м/с), т. е. k₂ v² << k₁v, то отбрасывается квадратичная составляющая скорости в формуле силы сопротивления.

Если скорость движения велика (v =100 м/с),т. е. k₂ v² >> k ₁v, то отбрасывается линейная составляющая скорости в формуле силы сопротивления.

Частичное тестирование моделирующей программы можно провести для движения без сопротивления. Аналитическое решение в этом случае общеизвестно.

Входные параметры модели:

· Начальная высота тела;

· Начальная скорость тела;

· Величины, определяющие коэффициенты сопротивления среды .

ЗАДАЧА

Парашютист совершает затяжной прыжок. Считая массу парашютиста заданной (m=80 кг), определить, начиная с какого времени после начала полета скорость человека - «безпарашютиста» становится постоянной. Построить график зависимости скорости падения «безпарашютиста» от времени.

Решение.

Нужно определить характер изменения скорости со временем, если все параметры, входящие в уравнения системы (7), заданы. При такой постановке модель носит дескриптивный характер. Ясно, что при наличии сопротивления, растущего со скоростью, в какой-то момент сила сопротивления сравняется с силой тяжести, после чего скорость больше возрастать не будет. Выберем путь численного моделирования. Итак, математическая модель выражается системой дифференциальных уравнений (7), однако, поскольку нужен график изменения скорости, то будем рассматривать только второе уравнение системы (7).

Поставим вопрос: влияет ли на полет «безпарашютиста» линейная составляющая скорости в ?

Скорость движения достаточно большая, поэтому вкладом линейной составляющей силы сопротивления k₁v можно пренебречь. Тогда получим систему дифференциальных уравнений:

(8)

из которых будем рассматривать только второе уравнение. Здесь v -скорость, t - время, h - высота, m - масса, g - ускорение свободного падения, k₂ - коэффициент квадратичной составляющей скорости.

Вычислим значение коэффициента k₂ для данной задачи. Средний рост человека возьмем средний - 1,7 м, а полуобхват грудной клетки -характерный размер - это приблизительно 0,4 м. Выберем число с = 1,22 как среднее между коэффициентами для диска и для полусферы (выбор для качественной оценки правдоподобен). Оценим площадь поперечного сечения:

S = 1,70,4=0,7 м².

= 1,29 кг/м³

Тогда 0,51,220,71,29 = 0.55083 кг/м.

Масса парашютиста m = 80 кг.

Теперь можно приступить к численному решению задачи. При этом следует воспользоваться одним из известных численных методов интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение находится с помощью, так называемого, исправленного метода Эйлера - метода Эйлера - Коши.

МЕТОД ЭЙЛЕРА-КОШИ

В основе метода ломаных Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной (табличной) форме.

Пусть дано уравнение

(9)

с начальным условием

. (10)

Выбрав достаточно малый шаг h, построим, начиная с точки х₀, систему равностоящих точек . Вместо искомой

интегральной кривой на отрезке рассмотрим отрезок касательной к ней в точке (обозначим ее L₁) с уравнением

При из уравнения касательной получаем: , откуда видно, что приращение значения функции на первом шаге имеет вид: .

Аналогично, проводя касательную некоторой интегральной кривой семейства в точке, получим:

что при дает т. е. получается из

добавлением приращения

Таким образом, получение таблицы значений искомой функции по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул:

(11)

Существуют различные уточнения метода Эйлера, повышающие его точность. Модификации метода обычно направлены на то, чтобы более точно определить направление перехода из точки точку . Метод Эйлера - Коши, например, рекомендует следующий порядок вычислений:

(12)

Геометрически это означает, что мы определяем направление интегральной кривой в исходной точке и во вспомогательной точке, а в качестве окончательного берем среднее этих направлений.

В соответствии с методом Эйлера - Коши запишем итерационные уравнения нахождения значения скорости _i+1 в следующий момент времени из предыдущего _i (обозначим - шаг по времени).Обозначив

(13)

Тогда в момент времени t_i+1 согласно методу Эйлера - Коши запишем формулы:

(14)

Тогда, подставляя (13) в формулы (14), в итоге получим:



Для ускорения процесса работы над задачей целесообразно вместо составления программы воспользоваться готовой прикладной программой (например, табличным процессором Excel).

В Excel в ячейках D2, D4, D6, D8 таблицы будем хранить соответственно значения шага вычислений , массы «безпарашютиста» m, величины mg, коэффициента . Это связано с тем, что все константы удобно хранить в отдельных ячейках, чтобы в случае их изменения не пришлось переписывать расчетные формулы Тогда для вычисления значения в ячейке В4 нужно записать формулу:

=B3+$D$2/2*(($D$6-$D$8*B3^2)/$D$4+($D$6-$D$8*(B3+$D$2*($D$6-$D$8*B3^2)/$D$4)^2)/$D$4)

и произвести автозаполнение столбца В.

В столбце А в ячейку А4 нужно записать формулу: =СУММ(А3;$D$2) и произвести автозаполнение столбца А.

Построение графика .

1. Выделить диапазон ячеек B3:B20, содержащий данные для построения графика. Значения из столбца A (диапазон A3:A20) будут откладываться по оси ОХ (ось времени), значения из столбца B (диапазон B3:B20) - по оси OY.

2. Выбрать команду Вставка, Диаграмма. С помощью мастера диаграмм провести построение графика в четыре этапа (шага).

Шаг 1.

В диалоговом окне Тип диаграммы на вкладке Стандартные выбрать тип диаграммы Точечная и вид - Точечная диаграмма со значениями, соединенными сглаживающими линиями.

Щелкнуть на кнопке Далее.

Шаг 2.

В окне Источник данных диаграммы на вкладке Диапазон данных проверить, что диапазон данных выбран правильно и установлен флажок опции Ряды в столбцах.

Выбрать вкладку Ряд и в поле Имя: ввести название графика Зависимость v от t.

Установить курсор в поле «Подписи оси Х» и занести диапазон ячеек по переменной t (1 столбец).

Щелкнуть на кнопке Далее.

Шаг 3.

На этом шаге задаются параметры диаграммы (окно Параметры диаграммы).

> На вкладке Заголовки ввести название диаграммы и наименования осей координат с указанием единиц измерения величин, откладываемых по этим осям:

в поле Название диаграммы -- График зависимости v от t;

в поле Ось X (категорий) -- Время t, (с);

в поле Ось Y (значений) -- Скорость v, (м/c).

Результаты вычислений, выполненных в табличном процессоре:

Учтем, что для разных задач нужно выбирать индивидуально. Если в задаче о безпарашютисте можно взять равным 2 сек., то в задаче о парашютисте равно 0.2 сек, т.к. скорость меньше.

Примерно через 20 сек. после начала полета скорость становится постоянной и остается такой до приземления. Отметим, что в рассматриваемой ситуации сопротивление воздуха радикально меняет характер движения; при отказе от его учета график скорости заменился бы касательной к нему в начале координат.

Размещено на Allbest.ru

...