Компьютерное моделирование

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курс лекций или учебно-методическое пособие



Тема 1. Введение в компьютерное моделирование

1.1 Применение компьютерного моделирования продуктов питания из растительного сырья

Имитационное моделирование как разновидность математического

С точки зрения философии, моделирование представляет собой один из методов познания мира. Под моделью следует понимать любое, будь то мысленное, формальное, физическое или какое-либо другое, представление объекта окружающего мира, обеспечивающее изучение некоторых свойств данного объекта. Необходимо отметить, что в общем смысле модель является также объектом. Этот объект замещает объект-оригинал и создается с целью исследования объекта-оригинала. В свою очередь, моделирование - это процесс создания модели.

Под системой понимают группу или совокупность объектов, объединенных какой-либо формой регулярного взаимодействия или взаимозависимости с целью выполнения определенной функции. Термин динамические системы применяется к системам, свойства которых изменяются с течением времени. В производственной деятельности с помощью методов моделирования решаются в основном вопросы исследования функциональных характеристик систем, их взаимодействия между собой, а также прогнозирования результатов функционирования систем.

В настоящее время при анализе и синтезе больших систем получил развитие системный подход, который отличается от классического (индуктивного) подхода. Последний рассматривает систему путем перехода от частного к общему и синтезирует (конструирует) систему путем слияния ее компонент, разрабатываемых раздельно. Системный подход предполагает последовательный переход от общего к частному, когда в основе рассмотрения лежит цель, причем исследуемый объект выделяется из окружающей среды. Важным для системного подхода является определение структуры системы - совокупности связей между элементами системы, отражающих их взаимодействие. Существуют структурные и функциональные подходы к исследования структуры системы с ее свойствами. При структурном подходе выявляются состав выделенных элементов системы и связи между ними. При функциональном подходе рассматриваются алгоритмы поведения системы (функции - свойства, приводящие к достижению цели).

Имитационное моделирование (от англ. simulation) - это распространенная разновидность аналогового моделирования, реализуемого с помощью набора математических инструментальных средств, специальных имитирующих компьютерных программ и технологий программирования, позволяющих посредством процессов-аналогов провести целенаправленное исследование структуры и функций реального сложного процесса в памяти компьютера в режиме «имитации», выполнить оптимизацию некоторых его параметров.

Имитационной моделью называется специальный программный комплекс, который позволяет имитировать деятельность какого-либо сложного объекта. Он запускает в компьютере параллельные взаимодействующие вычислительные процессы, которые являются по своим временным параметрам (с точностью до масштабов времени и пространства) аналогами исследуемых процессов. В странах, снимающих лидирующее положение в создании новых компьютерных систем и технологий, научное направление Computer Science использует именно такую трактовку имитационного моделирования, а в программах магистерской подготовки по данному направлению имеется соответствующая учебная дисциплина.

Следует отметить, что любое моделирование имеет в своей методологической основе элементы имитации реальности с помощью какой-либо символики (математики) или аналогов. Но имитационное моделирование - это чисто компьютерная работа, которую невозможно выполнить подручными средствами.

Имитационную модель нужно создавать. Для этого необходимо специальное программное обеспечение - система моделирования (simulation system). Специфика такой системы определяется технологией работы, набором языковых средств, сервисных программ и приемов моделирования.

Имитационная модель должна отражать большое число параметров, логику и закономерности поведения моделируемого объекта времени (временная динамика) и в пространстве (пространственная динамика). Моделирование объектов экономики связано с понятием финансовой динамики объекта.

Имитационное моделирование является сегодня мощным и перспективным инструментом конструирования и последующего исследования сложных экономических процессов и систем, в которых велико число переменных, трудоемок математический анализ зависимостей, высок уровень неопределенности имитируемых ситуаций.

Имитационное моделирование позволяет объединять математические методы с практическим и теоретическим опытом специалистов-практиков.

Имитационное моделирование контролируемого процесса или управляемого объекта - это высокоуровневая информационная технология, которая обеспечивает два вида действий, выполняемых с помощью компьютера:

работы по созданию или модификации имитационной модели;

эксплуатацию имитационной модели и интерпретацию результатов.

Имитационное (компьютерное) моделирование экономических процессов применяется в случаях:

* для управления сложным бизнес-процессом (имитационная модель управляемого экономического объекта в этом случае используется в качестве инструментального средства в контуре адаптивной системы управления, создаваемой на основе информационных технологий);

* при проведении экспериментов с дискретно-непрерывными моделями сложных экономических объектов (имитационная модель управляемого экономического объекта в этом случае используется для получения и отслеживания динамики в экстренных ситуациях, связанных с рисками, в случае когда натурное моделирование нежелательно или невозможно).

В выделены различные типовые задачи, решаемые средствами имитационного моделирования в процессе управления экономическими объектами:

* моделирование процессов логистики для определения временных и стоимостных параметров;

* управление процессом реализации инвестиционного проекта на различных этапах его жизненного цикла с учетом возможных рисков и тактики выделения денежных сумм;

* анализ клиринговых процессов в работе сети кредитных организаций;

* прогнозирование финансовых результатов деятельности предприятия на конкретный период времени;

* бизнес-реинжиниринг несостоятельного предприятия;

* анализ адаптивных свойств и живучести компьютерной региональной банковской информационной системы;

* оценка параметров надежности и задержек в централизованной экономической информационной системе с коллективным доступом;

* анализ эксплуатационных параметров распределенной многоуровневой ведомственной информационной управляющей системы с учетом неоднородной структуры, пропускной способности каналов связи и несовершенства физической организации распределенной базы данных в региональных центрах;

* моделирование действий курьерской вертолетной группы в регионе, пострадавшем в результате природной катастрофы или крупной промышленной аварии;

* анализ, сетевой модели PERT (Program Evaluation and Review Technique) для проектов замены и наладки производственного оборудования с учетом возникновения неисправностей;

* анализ работы автотранспортного предприятия, занимающегося коммерческими перевозками грузов, с учетом специфики товарных и денежных потоков в регионе;

* расчет параметров надежности и задержек обработки информации в банковской информационной системе.

1.2 Введение в теорию массового обслуживания

Теория массового обслуживания как раздел теории вероятностей возникла сравнительно недавно. Первые работы появились в начале 20-го столетия и были вызваны потребностями практики, в частности широким развитием телефонных сетей. Поэтому и сейчас в работах по теории массового обслуживания широко используется терминология, заимствованная из телефонии: требования, вызовы, заявки, каналы связи, длительность обслуживания и т. п. Несколько позже было обращено внимание, что общие математические модели, исследуемые как модели телефонии, могут описывать и другие жизненные явления. В настоящее время методы и результаты теории массового обслуживания с успехом используются при решении проблем теории надежности, анализе процессов функционирования сложных систем, разработке автоматизированных систем управления различных видов и во многих других технических, экономических и социальных областях (транспорт, системы связи, системы снабжения, медицинское обслуживание и т. д.).

Приведем некоторые примеры.

1. В быстродействующую вычислительную машину, управляющую технологическим процессом, время от времени поступают сигналы отдатчиков, связанных с управляемым объектом. Каждый сигнал требует обработки в течение некоторого случайного времени (зависящего от содержания сигнала). Таким образом, работу машины можно рассматривать как операцию массового обслуживания, состоящую из элементарных операций -- обработки отдельных сигналов. Требуется решить задачу: способна ли машина с данным объемом памяти и быстродействием справиться с обработкой всех поступающих сигналов.

2. Автоматическая телефонная станция (АТС) обслуживает некоторое число абонентов, выходящих на связь по случайному закону. Абонент, пытающийся позвонить (послать вызов) в момент занятости всех линий, получает отказ («частые гудки»). Здесь элементарная операция-- отдельный телефонный разговор; основной характеристикой операции массового обслуживания, состоящей в процессе функционирования АТС в течение длительного времени, является вероятность отказа при вызове.

3. В сборочный цех поступают для сборки детали различных видов. При нехватке хотя бы одного вида деталей производство останавливается; избыточные детали поступают в бункера определенной вместимости. На процесс поступления деталей, как и на время сборки изделия, влияют случайные факторы. Требуется ответить на вопросы: какова вероятность простоя производственной линии? чему равна вероятность переполнения бункеров? Элементарной операцией в данном случае является сборка одного изделия из готового комплекта деталей.

4. В морской порт прибывают суда не строго по графику, а со случайными отклонениями. Имеется несколько погрузочно-разгрузочных площадок с соответствующим оборудованием. Спрашивается: чему равно среднее время от момента прибытия судна до окончания его разгрузки и погрузки? Элементарной операцией здесь можно считать процесс разгрузки и погрузки одного судна.

Теория массового обслуживания (ТМО) изучает процессы, в которых с одной стороны рассматриваются запросы на выполнение каких-либо требований на обслуживание, а с другой -- изучаются возможности по их удовлетворению.

Целью ТМО является разработка математических методов, на основе которых представляется возможным оценить эффективность функционирования систем массового обслуживания, т. е. ее качества при различных вариантах организации.

При решении задач ТМО определяются функциональные зависимости между показателями эффективности функционирования системы массового обслуживания, например такими, как вероятность обслуживания, вероятность простоя средств, и характеристиками потока требований на обслуживание, временем обслуживания, способом организации обслуживания. Задача считается решенной, если удастся выбрать для данной системы массового обслуживания количественные показатели эффективности ее функционирования и выразить их через показатели, характеризующие входящий поток требований на обслуживание, число средств и время обслуживания.

Таким образом, предметом изучения ТМО является количественная оценка процессов массового обслуживания.

Основными понятиями теории массового обслуживания являются: система массового обслуживания (СМО), обслуживающая система (система обслуживания), требование на обслуживание, обслуживаемая система, процесс обслуживания, надежность функционирования СМО, время, дисциплина и качество обслуживания. Рассмотрим кратко содержание этих понятий.

Общей особенностью всех задач, связанных с массовым обслуживанием, является случайный характер исследуемых явлений. Число требований на обслуживание и временные интервалы между их поступлениями, длительность обслуживания требований случайны. Время пребывания требований в некоторых видах систем массового обслуживания также случайно.

Для объективной оценки качества работы систем обслуживания важно правильно выбрать показатели эффективности её работы. Основным показателем работы обслуживающей системы является её пропускная способность. Кроме того, работа систем часто характеризуется такими показателями, как средний процент отказов, среднее время простоя каналов, средняя длина очереди, среднее время ожидания в очереди и т. д.

Основной задачей теории массового обслуживания является определение и обоснование материальных и денежных затрат, действительно необходимых для достижения заданного качества обслуживания в различных системах массового обслуживания.

Число требований, поступающих в единицу времени, рассматривается как случайная величина. Её полной характеристикой служит закон распределения. Статистические исследования многократно повторяющихся процессов позволяют установить определённые закономерности наблюдаемых явлений, в частности, выявить закон распределения случайных величин.

1.3 Определяющие факторы применения теории массового обслуживания в экономике

Возможность применения теории массового обслуживания для исследования предметной области определяется следующими факторами:

1. Количество требований в системе (которая рассматривается как система массового обслуживания) должно быть достаточно велико (массово).

2. Все требования, поступающие на вход систем массового обслуживания, должны быть однотипными.

3. Для расчетов по формулам необходимо знать законы, определяющие поступление требований и интенсивность их обработки. Более того, потоки требований должны быть пуассоновскими.

4. Структура системы массового обслуживания, т.е. набор объектов автоматизации и последовательность обработки требования, должна быть жестко зафиксирована.

5. Необходимо исключить из системы субъектов или описывать их как объекты автоматизации с постоянной интенсивностью обработки.

К перечисленным выше ограничениям можно добавить еще одно, оказывающее сильное влияние на размерность и сложность математической модели.

6. Количество используемых приоритетов должно быть минимальным. Приоритеты требований должны быть постоянными, т.е. они не могут меняться в процессе обработки внутри системы массового обслуживания.

Если рассматривать заказ как совокупность технологических операций, на каждую из которых существует норма, то разнородность требований можно представить в виде нескольких простейших требований. При этом количество простейших требований зависит от технологической операции, объема материала и коэффициента сложности.

Еще одной сложностью, вызванной разнородностью, является наличие объектов автоматизации, которые могут обслуживать только определенные типы требований. Решение этой проблемы заключается в разделении соответствующих потоков требований и рассмотрении системы в виде множества независимых последовательно или параллельно связанных систем массового обслуживания. Недостатками этого подхода являются: невозможность точного определения процесса окончания обработки заказа, т.к. требования привязаны только к технологическим операциям; необходимость генерации и уничтожения требований на стыках отдельных систем; использование объектов автоматизации только для обработки одного типа требований.

В теории массового обслуживания, в основном, используются пуассоновские потоки требований (заказов, технологических операций, компонент заказов). Для расширения области применения теории массового обслуживания используют различные методы сведения произвольных потоков к пуассоновскому (дифференциальный и интегральный методы, метод Кендалла, асимптотические методы). Часто, не зная законы распределения, аналитики рассматривают самые "худшие" случаи, когда число поступающих требований экспоненциально растет. Однако такой подход позволяет дать только грубую оценку системы.

Для того чтобы определить потоки требований и интенсивность их обработки необходимо иметь статистические данные.

Для описания системы с помощью теории массового обслуживания необходимо, чтобы она имела фиксированную структуру и последовательность обработки требований. Необходимо отметить, что фиксированная последовательность движения требований не означает полную детерминированность всех процессов обработки. Например, если требование находится в очереди, которую обслуживают несколько устройств (объектов автоматизации), то процесс выбора объектов автоматизации в общем случае является стохастическим. Однако количество объектов автоматизации для одной очереди, последовательность и направление движения требований не может меняться.

На практике последовательность выполнения заказа может сильно изменяться. Решением этой проблемы является создание множества математических моделей, фиксация структуры в системе, рассмотрение приближенных случаев. Если количество возможных состояний системы велико, то размерность и сложность математической модели сильно возрастает и использование теории массового обслуживания не оправдано.

Субъекты (персонал) можно представлять в виде объектов автоматизации с определенной интенсивностью обработки. Их производительность следует определять из статистики, накопленной за продолжительный промежуток времени. Сложностью этого подхода является наличие в производстве новых субъектов (с неизвестной производительностью); постоянное, но неравномерное влияние опыта работника на его производительность; уникальность каждого субъекта.

Альтернативным вариантом задания интенсивности обработки требований субъектом является использование нормативов. В этом случае математическая модель будет соответствовать "идеальному" производству. Такой подход можно применять для анализа крупных предприятий, где каждый работник выполняет (должен выполнять) один вид работы за фиксированное время. Результатами анализа может являться проверка адекватности нормативов и возможность их изменения.

Часто моделируемую систему исследуют на работоспособность в критических ситуациях: при наличии большого числа заказов, при возникновении большой срочности, при отсутствии или незначительном количестве работы и т.д. В этих случаях поведение субъектов крайне трудно спрогнозировать.

Для расчета можно принять, что очередь имеет неограниченный размер. Это означает, что необходимо обслужить все требования, поступающие в очередь. Каждое требование должно быть выполнено в определенные сроки, поэтому система массового обслуживания должна содержать требования с приоритетами. Приоритеты бывают абсолютные и относительные.

При относительном приоритете требование старшего приоритета, заставшее все каналы обслуживания занятыми, становится в очередь впереди требований младшего приоритета и дожидается освобождения канала.

В случае абсолютного приоритета требование, заставшее каналы занятыми, прерывает обслуживание требования младшего приоритета или становится в очередь, если все каналы обслуживают требования со старшим приоритетом. Для этого варианта существует три разновидности:

-- требование, обслуживание которого прервано, возвращается в очередь, и при возобновлении обслуживания учитывается время, ранее затраченное на обслуживание;

-- требование, обслуживание которого прервано, возвращается в очередь, но затраченное время не учитывается, при повторном обслуживании;

-- требование младшего приоритета, обслуживание которого прервано, теряется.

Часто потеря требований может быть неприемлема для конкретной предметной области, т.к. может принести значительные расходы. Относительные приоритеты не позволяют выполнить срочный заказ, если в обслуживании находится большая работа, поэтому остаются два варианта с использованием абсолютных приоритетов.

Основная сложность математической модели такой системы массового обслуживания заключается в том, что требование с малым приоритетом может быть не обслужено. Для избежания таких ситуаций необходимо менять приоритеты во время обслуживания.

Следовательно, очередь должна быть конечной, из-за того, что в ней есть приоритеты, ограничение во времени и необходимость обслужить все требования. Построение аналитической модели с приоритетами очень сложно, особенно если их более двух. Для упрощения математической модели можно воспользоваться одноканальной разомкнутой системой массового обслуживания с ограниченной очередью.

Теория массового обслуживания - проблема образования очередей. Нужно уравновесить два фактора - затраты на содержание обслуживающих устройств и затраты на пребывание в очереди. Построив формальное описание модели производят расчеты, используя аналитические и вычислительные методы. Если модель хороша, то ответы найденные с ее помощью адекватны моделирующей системе, если плоха, то подлежит улучшению и замене. Критерием адекватности служит практика.

Контрольные вопросы

Что такое имитационное моделирование? имитационная модель? система моделирования?

В каких случаях применяется имитационное моделирование экономических процессов?

Какие случаи рассматриваются в теории систем массового обслуживания?

Что является основной задачей теории систем массового обслуживания?

Какими факторами определяется возможность применения теории массового обслуживания для исследования предметной области?



Тема 2. Задачи компьютерного моделирования

2.1 Математические методы и модели

2.2.1 Аналитические методы моделирования

Необходимость изучения количественных и качественных изменений исследуемых систем обусловило разработку и применение мощного математического аппарата для целей моделирования. На основе математического аппарата был создан целый класс методов моделирования, называемых аналитическими. Аналитические методы позволяют получить характеристики системы как некоторые функции параметров ее функционирования. Таким образом, аналитическая модель представляет собой систему уравнений, при решении которой получают параметры, необходимые для оценки системы (время ответа, пропускную способность и т.д.). Использование аналитических методов дает достаточно точную оценку, которая, зачастую, хорошо соответствует действительности. Смена состояний реальной системы происходит под воздействием множества как внешних, так и внутренних факторов, подавляющее большинство из которых носят стохастический характер. Вследствие этого, а также большой сложности большинства реальных систем, основным недостатком аналитических методов является то, что при выводе формул, на которых они основываются и которые используются для расчета интересующих параметров, необходимо принять определенные допущения. Тем не менее, нередко оказывается, что эти допущения вполне оправданы.

2.2.2 Имитационные методы моделирования

С развитием вычислительной техники широкое применение получили имитационные методы моделирования для анализа систем, преобладающими в которых являются стохастические воздействия. Известный американский ученый Роберт Шеннон дает следующее определение: "Имитационное моделирование есть процесс конструирования модели реальной системы и постановки экспериментов на этой модели с целью либо понять поведение системы, либо оценить (в рамках ограничений, накладываемых некоторым критерием или совокупностью критериев) различные стратегии, обеспечивающие функционирование данной системы." Все имитационные модели используют принцип черного ящика. Это означает, что они выдают выходной сигнал системы при поступлении в нее некоторого входного сигнала. Поэтому в отличие от аналитических моделей для получения необходимой информации или результатов необходимо осуществлять "прогон" имитационных моделей, т. е. подачу некоторой последовательности сигналов, объектов или данных на вход модели и фиксацию выходной информации, а не "решать" их. Происходит своего рода "выборка" состояний объекта моделирования (состояния - свойства системы в конкретные моменты времени) из пространства (множества) состояний (совокупность всех возможных значений состояний). Насколько репрезентативной окажется эта выборка, настолько результаты моделирования будут соответствовать действительности. Этот вывод показывает важность статистических методов оценки результатов имитации. Таким образом, имитационные модели не формируют свое собственное решение в том виде, в каком это имеет место в аналитических моделях, а могут лишь служить в качестве средства для анализа поведения системы в условиях, которые определяются экспериментатором.

Имитационное моделирование реализуется посредством набора математических инструментальных средств, специальных компьютерных программ и приемов, позволяющих с помощью компьютера провести целенаправленное моделирование в режиме «имитации» структуры и функций сложного процесса и оптимизацию некоторых его параметров. Набор программных средств и приемов моделирования определяет специфику системы моделирования - специального программного обеспечения.

В отличие от других видов и способов математического моделирования с применением ЭВМ имитационное моделирование имеет свою специфику: запуск в компьютере взаимодействующих вычислительных процессов, которые являются по своим временным параметрам - с точностью до масштабов времени и пространства - аналогами исследуемых процессов.

Имитационное моделирование как особая информационная технология состоит из следующих основных этапов.

1. Структурный анализ процессов. Проводится формализация структуры сложного реального процесса путем разложения его на подпроцессы, выполняющие определенные функции и имеющие взаимные функциональные связи согласно легенде, разработанной рабочей экспертной группой. Выявленные подпроцессы, в свою очередь, могут разделяться на другие функциональные подпроцессы. Структура общего моделируемого процесса может быть представлена в виде графа, имеющего иерархическую многослойную структуру. В результате появляется формализованное изображение имитационной модели в графическом виде.

Структурный анализ особенно эффективен при моделировании экономических процессов, где (в отличие от технических) многие составляющие подпроцессы не имеют физической основы и протекают виртуально, поскольку оперируют с информацией, деньгами и логикой (законами) их обработки.

2. Формализованное описание модели. Графическое изображение имитационной модели, функции, выполняемые каждым подпроцессом, условия взаимодействия всех подпроцессов и особенности поведения моделируемого процесса (временная, пространственная и финансовая динамика) должны быть описаны на специальном языке для последующей трансляции. Для этого существуют различные способы:

* описание вручную на языке типа GPSS, Pilgrim и даже на Visual Basic. Последний очень прост, на нем можно запрограммировать элементарные модели, но он не подходит для разработки реальных моделей сложных экономических процессов, так как описание модели средствами Pilgrim компактнее аналогичной алгоритмической модели на Visual Basic в десятки-сотни раз;

* автоматизированное описание с помощью компьютерного графического конструктора во время проведения структурного анализа, т.е. с очень незначительными затратами на программирование. Такой конструктор, создающий описание модели, имеется в составе системы моделирования в Pilgrim.

3. Построение модели (build). Обычно это трансляция и редактирование связей (сборка модели), верификация (калибровка) параметров.

Трансляция осуществляется в различных режимах:

* в режиме интерпретации, характерном для систем типа GPSS, SLAM-II и ReThink;

* в режиме компиляции (характерен для системы Pilgrim). Каждый режим имеет свои особенности.

Режим интерпретации проще в реализации. Специальная универсальная программа-интерпретатор на основании формализованного описания модели запускает все имитирующие подпрограммы. Данный режим не приводит к получению отдельной моделирующей программы, которую можно было бы передать или продать заказчику (продавать пришлось бы и модель, и систему моделирования, что не всегда возможно).

Режим компиляции сложнее реализуется при создании моделирующей системы. Однако это не усложняет процесс разработки модели. В результате можно получить отдельную моделирующую программу, которая работает независимо от системы моделирования в виде отдельного программного продукта.

Верификация (калибровка) параметров модели выполняется в соответствии с легендой, на основании которой построена модель, с помощью специально выбранных тестовых примеров.

4. Проведение экстремального эксперимента для оптимизации определенных параметров реального процесса.

Концепция имитационного моделирования требует предварительного знакомства с методом Монте-Карло, с методологией проведения проверок статистических гипотез, с устройством программных датчиков случайных (псевдослучайных) величин и с особенностями законов распределения случайных величин при моделировании экономических процессов, которые не рассматриваются в типовых программах дисциплины «Теория вероятностей».

Кроме того, необходимо рассмотреть специальные стохастические сетевые модели, которые дают представление о временных диаграммах специальных имитационных процессов при выполнении программной модели.

2.2.3 Проблемы применения имитационного моделирования

Применение имитационного моделирования целесообразно при наличии определенного условия. Эти условия определяет Р. Шеннон:

Не существует законченной математической постановки данной задачи, либо еще не разработаны аналитические методы решения сформулированной математической модели. К этой категории относятся многие модели массового обслуживания, связанные с рассмотрением очередей.

Аналитические методы имеются, но математические процедуры столь сложны и трудоемки, что имитационное моделирование дает более простой способ решения задачи.

Кроме оценки определенных параметров, желательно осуществить на имитационной модели наблюдение за ходом процесса в течение определенного периода.

Дополнительным преимуществом имитационного моделирования можно считать широчайшие возможности его применения в сфере образования и профессиональной подготовки. Разработка и использование имитационной модели позволяет экспериментатору видеть и "разыгрывать" на модели реальные процессы и ситуации.

Необходимо обозначить ряд проблем, возникающих в процессе моделирования систем. Исследователь должен акцентировать на них внимание и попытаться их разрешить, дабы избежать получения недостоверных сведений об изучаемой системе.

Первая проблема, которая касается и аналитических методов моделирования, состоит в нахождении "золотой середины" между упрощением и сложностью системы. По мнению Шеннона искусство моделирования в основном состоит в умении находить и отбрасывать факторы, не влияющие или незначительно влияющие на исследуемые характеристики системы. Нахождение этого "компромисса" во многом зависит от опыта, квалификации и интуиции исследователя. Если модель слишком упрощена и в ней не учтены некоторые существенные факторы, то высока вероятность получить по этой модели ошибочные данные, с другой стороны, если модель сложная и в нее включены факторы, имеющие незначительное влияние на изучаемую систему, то резко повышаются затраты на создание такой модели и возрастает риск ошибки в логической структуре модели. Поэтому перед созданием модели необходимо проделать большой объем работы по анализу структуры системы и взаимосвязей между ее элементами, изучению совокупности входных воздействий, тщательной обработке имеющихся статистических данных об исследуемой системе.

Вторая проблема заключается в искусственном воспроизводстве случайных воздействий окружающей среды. Этот вопрос очень важен, так как большинство динамических производственных систем являются стохастическими, и при их моделировании необходимо качественное несмещенное воспроизведение случайности, в противном случае, результаты, полученные на модели, могут быть смещенными и не соответствовать действительности. Существует два основных направления разрешения этой проблемы: аппаратная и программная (псевдослучайная) генерация случайных последовательностей. При аппаратном способе генерации случайные числа вырабатываются специальным устройством. В качестве физического эффекта, лежащего в основе таких генераторов чисел, чаще всего используются шумы в электронных и полупроводниковых приборах, явления распада радиоактивных элементов и т.д. Недостатками аппаратного способа получения случайных чисел является отсутствие возможности проверки (а значит гарантии) качества последовательности во время моделирования, а также невозможности получения одинаковых последовательностей случайных чисел. Программный способ основан на формировании случайных чисел с помощью специальных алгоритмов. Этот способ наиболее распространен, так как не требует специальных устройств и дает возможность многократного воспроизведения одинаковых последовательностей. Его недостатками являются погрешность в моделировании распределений случайных чисел, вносимую по причине того, что ЭВМ оперирует с n-разрядными числами (т.е. дискретными), и периодичность последовательностей, возникающую в силу их алгоритмического получения. Таким образом, необходима разработка методов улучшения и критериев проверки качества генераторов псевдослучайных последовательностей.

Третьей наиболее сложной проблемой является оценка качество модели и полученных с ее помощью результатов (этап проблема актуальна и для аналитических методов). Адекватность моделей может быть оценена методом экспертных оценок, сравнением с другими моделями (уже подтвердившими свою достоверность), по полученным результатам. В свою очередь, для проверки полученных результатов часть из них сравнивается с уже имеющимися данными.

2.2.4 Математические модели систем

Важным этапом моделирования является создание математической модели исследуемой системы. На базе математической модели происходит анализ характеристик системы, при компьютерном моделирования на основе математической модели создается алгоритм программ для получения информации о поведении системы. Формальное описание объекта исследование необходимо также для взаимопонимания между специалистами разных областей, объединенных для решения какой-либо глобальной задачи.

В общем случае математическую модель любой динамической системы можно представить в следующем виде:

,

где - совокупность входных воздействий на систему,

- совокупность внутренних параметров системы,

- совокупность выходных характеристик системы,

F - закон функционирования системы.

Процесс функционирования системы можно рассматривать как последовательную смену состояний :

,

где - совокупность начальных состояний.

Таким образом, общую математическую модель системы можно также представить следующим образом:

.

При построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы: непрерывно-детерминированный, дискретно-детерминированный, дискретно-стохастический, непрерывно-стохастический, сетевой, обобщенный (или универсальный). Соответственно этим подходам были разработаны типовые математические схемы создания моделей.

1. Непрерывно-детерминированный подход использует в качестве математических моделей системы дифференциальных уравнений. Например, процесс малых колебаний маятника описывается обыкновенным дифференциальным уравнением:

,

где m, l - масса и длина подвеса маятника l; g - ускорение свободного падения; - угол отклонения маятника в момент времени t. Из этого уравнения свободного колебания маятника можно найти оценки интересующих характеристик. Созданные на основе этого подхода математические модели исследуются, как правило, аналитическими способами. Возможным приложением данный подход является анализ систем автоматического управления непрерывными процессами, например, система управления температурой печи.

Простейшую систему автоматического управления можно представить в следующем виде:

x(t) h'(t) y(t)

Разность между заданными yзад(t) и действительным y(t) законами изменения управляемой величины есть ошибка управления h'(t)=yзад(t)-y(t). Если предписанный закон изменения управляемой величины соответствует закону изменения входного (задающего) воздействия, т.е. x(t)=y(t), то h'(t)=x(t)-y(t).Принцип обратной связи (основной принцип систем автоматического управления): приведение в соответствие выходной переменной y(t) ее заданному значению используется информация об отклонении h'(t) между ними. Задачей системы автоматического управления является изменение выходных сигналов согласно заданному закону с определенной точностью (с допустимой ошибкой).

2. Дискретно-детерминированный подход реализуется с помощью математического аппарата теории автоматов. Система представляется в виде автомата, перерабатывающего дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени. Математической моделью при этом подходе является конечный автомат, характеризующийся конечным множеством X входных сигналов, конечным множеством Y выходных сигналов, конечным множеством Z внутренних состояний, начальным состоянием Z0 Z; функцией переходов g(z,x); функцией выходов v(z,x). Автомат функционирует в дискретном автоматном времени, моментами которого являются такты (примыкающие друг к другу равные интервалы времени, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного и выходного сигналов и внутренние состояния).

Работа конечного автомата происходит по следующей схеме: в каждом t-м такте на вход автомата, находящегося в состоянии z(t), подается некоторый сигнал x(t), на который он реагирует переходом в (t+1)-м такте в новое состояние z(t+1) и выдачей некоторого выходного сигнала.

Различают автоматы с памятью (имеют более одного состояния) и автоматы без памяти (обладают одним состоянием), синхронные ("считывает" входные сигналы в моменты времени, которые определяются синхронизирующими сигналами) и асинхронные (считывают входной сигнал непрерывно) автоматы.

Существует несколько способов задания работы F-автоматов, но наиболее часто используются табличный, графический и матричный.

Простейший табличный способ задания конечного автомата основан на использовании таблиц переходов и выходов, строки которых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы - его состояниям. При этом обычно первый слева столбец соответствует начальному состоянию z0. На пересечении i-й строки и k-го столбца таблицы переходов помещается соответствующее значение g (zk, xi) функции переходов, а в таблице выходов - соответствующее значение v (zk, xi) функции выходов.

При другом способе задания конечного автомата используется понятие направленного графа. Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным состояниям автомата и соединяющих вершины дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Если входной сигнал xk вызывает переход из состояния zi в состояние zj , то на графе автомата дуга, соединяющая вершину zi с вершиной zj , обозначается xk. Дуги графа отмечаются соответствующими выходными сигналами.

При решении задач моделирования систем часто более удобной формой является матричное задание конечного автомата. При этом матрица соединений автомата есть квадратная матрица С=||cij||, строки которой соответствуют исходным состояниям, а столбцы - состоянием перехода. Элемент cij = xk/ys.

Если переход из состояния zi в состояние zj происходит под действием нескольких сигналов, элемент матрицы cij представляет собой множество пар "вход-выход" для этого перехода, соединенных знаком дизъюнкции.

Подобный подход используется для описания таких объектов как элементы и узлы ЭВМ, устройства контроля регулирования, и управления, коммутационные устройства (например, телефонные станции).

3. Дискретно-стохастический подход использует в качестве математического аппарата вероятностные автоматы, которые можно определить как дискретные потактные преобразователи информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статистически. Для такого автомата характерно задание таблицы вероятностей перехода автомата в некоторое состояние и появления некоторого выходного сигнала в зависимости от текущего состояния и входного сигнала.

Исследование автомата может проводиться как аналитическими, так и имитационными (например, методом статистического моделирования) методами. Этот подход применим для изучения эксплуатационных характеристик производственных объектов (например, надежности, ремонтопригодности, отказоустойчивости и т.п.).

4. Непрерывно-стохастический подход применяется для формализации процессов обслуживания. Этот подход наиболее известен ввиду того, что большинство производственных (и не только производственных - экономических, технических и т.д.) систем по своей сути являются системами массового обслуживания. Типовой математической схемой моделирования таких систем являются Q-схемы. В обслуживании можно выделить две элементарные составляющие: ожидание обслуживания и собственно обслуживание, а в любой системе массового обслуживания можно выделить элементарный прибор. Соответственно в этом приборе выделяют накопитель (Н) заявок, ожидающих обслуживания, некоторой емкостью; канал обслуживания (К); потоки событий (последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени): поток заявок на обслуживание wi, характеризующийся моментами времени поступления и атрибутами (признаками) заявок (например, приоритетами), и поток обслуживания ui, характеризующийся моментами начала и окончания обслуживания заявок.



Неоднородность заявок, отражающая процесс в той или иной реальной системе, учитывается с помощью введения классов приоритетов. Различают статические и динамические приоритеты. Статические приоритеты назначаются заранее и не зависят от состояний Q-схемы. Динамические приоритеты возникают при моделировании в зависимости от возникающих ситуаций. Исходя из правил выбора заявок из накопителя на обслуживание каналом можно выделить относительные и абсолютные приоритеты. Относительный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель, ожидает окончания обслуживания предшествующей заявки каналом и только после этого занимает канал. Абсолютный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель, прерывает обслуживание каналом заявки с более низким приоритетом и сама занимает канал.

При рассмотрении алгоритмов функционирования приборов обслуживания необходимо задать также набор правил, по которым заявки покидают накопители и каналы, например: блокировки по входу и выходу, маршрутизация заявок.

Аналитически модели систем массового обслуживания исследуются с помощью систем дифференциальных уравнений. Переменными в этих уравнениях являются вероятности переходов между состояниями (состояния, в свою очередь, определяются количеством и местонахождением заявок в системе).

Допустим процесс обслуживания начнется при отсутствии заявок в накопителе. Тогда состояния системы массового обслуживания описываются следующей системой уравнений:

где - вероятность нахождения системы в состоянии zn(t) Z в момент времени t, т.е. когда в ней имеется n заявок.

Эти уравнения следуют из того, что вероятность нахождения в системе n заявок в момент времени (t+t) равна вероятности нахождения в системе n заявок в момент t, умноженной на вероятность того, что за время t в систему не поступит ни одной заявки и ни одна заявка не будет обслужена, плюс вероятность нахождения в системе (n-1) заявок в момент времени t, умноженная на вероятность того, что за время t поступит одна заявка и ни одна заявка обслужена не будет, плюс вероятность нахождения в системе (n+1) заявок в момент t, умноженная на вероятность того, что за время t одна заявка покинет систему и не поступит ни одной заявки. Вероятность того, что за время t не поступит ни одной заявки и ни одна заявка не покинет систему, равна . Член, содержащий (t)2, при составлении дифференциального уравнения опускается. Следовательно, можно записать . Относительно остальных двух членов первого уравнения заметим, что

Перенеся влево и устремив t к нулю, получим систему дифференциальных уравнений



найдем выражение для математического ожидания числа заявок, находящихся в накопителе, и среднего времени ожидания заявок в накопителе для стационарного состояния =/<1. Приравняв нулю производные по времени и исключив, таким образом, t из уравнений, получим систему алгебраических уравнений

Пусть в первом уравнении n=1. Тогда (1+)p1= p2+p0 . Подставив сюда значение p1 из второго уравнения, находим p2=2p0. Повторяя эти операции, получаем pn=np0 , причем так как это сумма вероятностей того, что в системе нет ни одной заявки, имеется одна заявка, две заявки и т.д. Сумма этих вероятностей должна быть равна единице, так как рассматриваются все возможные состояния системы. Поэтому

Или , откуда . Следовательно,

Математическое ожидание числа заявок, находящихся в системе (приборе),

.

Колебания числа заявок, ожидающих обслуживания, что можно оценить с помощью дисперсии:



.

При этом

.

Следовательно,

.

Математическое ожидание числа заявок, находящихся в накопителе,

.

Среднее время ожидания заявок в накопителе

.

Наиболее часто для анализа Q-схем используют имитационные методы. В этом случае формализованное описание системы массового обслуживания представляет собой графическое отображение (с соответствующими комментариями) элементарных приборов, клапанов, отражающих наличие управляющих воздействий, и связей между ними. На данный момент существует много программных средств, специализирующихся на создание имитационных моделей на основе Q-схем. Примерами для прикладного применения непрерывно-стохастического подхода могут служить исследования потоков поставок продукции некоторому предприятию, потоков деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха и т.п.

Контрольные вопросы

Какие методы называются аналитическими?

В каких случаях целесообразно применение имитационного моделирования?

Основные этапы имитационного моделирования как особой информационной технологии?

Что является важным этапом моделирования?

Как можно представить в общем случае математическую модель любой динамической системы?

Какие основные подходы можно выделить при построении математических моделей процессов функционирования систем?

Каким образом исследуются аналитически модели систем массового обслуживания?

2.2 Математические предпосылки создания имитационной модели

имитационный моделирование экономический компьютерный

2.2.1 Методы построения математических моделей. Понятие о системном подходе

Модель - абстракция, отражающая свойства и функции реального объекта. Целью моделирования является исследование свойств и характеристик существующего или планируемого (проектируемого) объекта в тех условиях, когда такое исследование реального объекта невозможно или связано с большими затратами (денег, ресурсов, времени). При проектировании новых объектов их моделирование позволяет выбрать оптимальный вариант конструкции при учете самых разных факторов (условий эксплуатации, технического обслуживания, ремонта и т.д.).

Моделирование бывает натурным или мысленным.

К натурному моделированию относятся:

- испытания уменьшенных (геометрически подобных) копий реального объекта;

- испытания моделей, отражающих физические свойства реальных объектов (физическое подобие), например, испытания на разрыв образца нового материала;

- макетирование (уменьшенная копия не отражает всех свойств реального объекта, а передает, например, только внешний вид);

- аналоговое моделирование (реальные процессы поведения объекта заменяются на аналогичные процессы другой физической природы, например, электрическая аналогия при исследовании гидравлических систем).

Мысленное моделирование отличается тем, что испытания модели ведется либо мысленно, либо с использованием вычислительных средств (ЭВМ).

К мысленному моделированию относятся:

- аналоговое (аналитически или численно исследуются процессы другой физической природы);

- символическое или языковое, знаковое (каждому процессу ставится в соответствие только одно слово или знак, наборы слов или знаков составляют зависимости, которые можно исследовать лингвистически или с помощью алгебры-логики);

- математическое (к исследованию мысленной модели привлекается математический аппарат).

Математическая модель - совокупность математических объектов (чисел, переменных, векторов, матриц) и отношений между ними (функций, функционалов, алгоритмов), которая адекватно отражает некоторые свойства реального объекта.

Математические модели:

аналитические,

имитационные,

комбинированные.

Аналитическое моделирование проводится, когда поведение реального объекта описывается известной системой уравнений, точно отражающих его свойства и допускающих аналитическое решение. Аналитические преобразования уравнений могут выполняться на ЭВМ, например с помощью средств Mathcad.

Имитационное моделирование проводится, когда вид уравнений, описывающих свойства реального объекта, неизвестен. Тогда уравнения подбираются более или менее произвольно (принцип черного ящика). Частный случай имитационного моделирования - приближенное решение сложной системы уравнений при упрощающих допущениях (например, применение гипотез турбулентности при решении уравнений Навье-Стокса).

Другой частный случай - выбор уравнений для описания процессов поведения объекта на основе аналоговой модели (например, в прочностных расчетах реальный объект заменяется моделью, состоящей из набора стержней и пластин).

Комбинированное моделирование проводится, когда часть процессов поведения реального объекта описывается точными аналитическими выражениями, а другая часть - приближенными уравнениями, имитирующими реальные процессы.

С точки зрения адекватности модели своему реальному объекту предпочтительнее применять аналитическое моделирование. Однако, преимуществом имитационного моделирования является возможность решения таких задач, когда точных аналитических решений не существует или они не известны. Имитационные модели достаточно просто учитывают такие факторы, как наличие дискретных элементов, нелинейных характеристик, случайных воздействий. В настоящее время имитационное моделирование - наиболее эффективный, а часто и единственно возможный метод исследования сложных объектов.

Для построения математических моделей наиболее рациональным способом является системный метод (системный подход), который отличается от классического метода (индуктивного подхода).

В обоих методах объект понимается как система, состоящая из нескольких элементов (подсистем). Индуктивный подход к исследованию системы заключается в предварительном (априорном) разбиении ее на ряд элементов (подсистем).

...