Математичне моделювання магнітного підвісу у термоядерному реакторі

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ ІМЕНІ ІГОРЯ СІКОРСЬКОГО

Факультет інформатики та обчислювальної техніки.

Кафедра автоматизованих систем обробки інформації і управління.

МАГІСТЕРСЬКА ДИСЕРТАЦІЯ

на здобуття ступеня магістра

за спеціальністю. 122 Комп'ютерні науки та інформаційні технології

Математичне моделювання магнітного підвісу у термоядерному реакторі

Виконав студент VI курсу групи ІС-63м

Трегубов Андрій Володимирович

Київ - 2018

Реферат

Магістерська дисертація: 100с., 16 рис., 1 табл., 1 додаток, 80 джерел.

Актуальність. Розвиток технічної цивілізації на Землі в XX ст. характеризується стрімким збільшенням енергоспоживання. За оцінками, в 1945-- 1995 pp. населення планети використало 2/3 всього палива, добутого людством за час свого існування. Такі бурхливі темпи розвитку енергетики спричинили появу низки гострих проблем.

На перший план виходить проблема ресурсозабезпеченості енергетичного господарства. З одного боку, сумарні запаси паливних ресурсів досить великі, до того ж щороку стають відомими нові поклади викопного палива. Крім того, сучасна технологія відкриває доступ до використання нетрадиційних джерел енергії; це свідчить на користь того, що абсолютного дефіциту енергетичних ресурсів на планеті поки що не існує. З іншого боку, спостерігається відносна ресурсна обмеженість, зумовлена можливістю швидкого вичерпання найбільш доступних родовищ, і перехід до розробки складніших, що спричинює подорожчання енергоносіїв і робить використання більшої частини паливних ресурсів нерентабельним. Аналітики прогнозують наближення того моменту, коли енергетичні затрати на розвідування й добування головного виду палива -- нафти -- за межами Близького Сходу перевищуватимуть кількість енергії, яка може бути одержана з неї.

Методів вирішення її у вигляді технологій енергозбереження і використання поновлюваних джерел пропонується безліч, а однією з найперспективніших, але вельми віддалених від практичного впровадження заміною нинішнім електростанціям вважається термоядерний синтез. Експеримент, який відтворює схожі на земні магнітні поля, підтверджує потенціал нового способу створення реактора для вироблення енергії за допомогою злиття ядер - такий же реакції, яка відбувається на Сонці.

Зв'язок роботи з науковими пограмами, планами, темами. Робота виконана на філії кафедри автоматизованих систем обробки інформації та управління в Інституті кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України в рамках науково-дослідної теми «Математичне моделювання магнітного підвісу у термоядерному реакторі» (номер державної реєстрації: 0114U002091).

Мета дослідження - підвищення якості роботи термоядерного реактора LDX за рахунок моделювання роботи магнітного підвісу та визначення зон стійкості в яких він працює нормально та витрати на його утримання є мінімальними.

Для досягнення мети необхідно виконати наступні завдання:

- змоделювати роботу магнітного підвісу;

- обрати найкращі параметри для роботи;

- реалізувати та проаналізувати роботу підвісу в залежності від його параметрів;

- запропонувати параметри які б покращували роботу магнітного підвісу;

- визначити ефективність створеного рішення;

Об'єкт дослідження - процес роботи магнітного підвісу.

Предмет дослідження - параметри магнітного підвісу LDX.

Методи дослідження, застосовані у даній роботі, базуються на методах дослідження процесів шляхом створення їхніх математичних моделей та дослідження цих моделей.

ЛЕВІТАЦІЙНИЙ ДИПОЛЬНИЙ ЕКСПЕРИМЕНТ, МАГНІТ, СИНТЕЗ, ДИПОЛЬ, КАМЕРА, ПЛАЗМА.

Abstract

Master dissertation: 100 p., 16 рpic., 1 tabl., 1 Add., 80 ref.

Actuality. Development of technical civilization on the Earth in the XX century. characterized by a rapid increase in power consumption. It is estimated that in 1945-95 pp. The population of the planet used 2/3 of all fuel extracted by mankind during its existence. Such rapid rates of energy development have led to the emergence of a number of acute problems.

The problem of resource availability of the energy economy comes to the fore. On the one hand, the total reserves of fuel resources are quite large, and, moreover, new deposits of fossil fuels become known every year. In addition, modern technology provides access to the use of non-traditional energy sources; this suggests that there is still no absolute energy shortage on the planet. On the other hand, relative resource constraints are observed, due to the possibility of rapid exhaustion of the most accessible fields, and the transition to more complex development, which leads to a rise in price of energy resources and makes the use of most of the fuel resources unprofitable. Analysts predict the approaching moment when energy expenditures on exploration and extraction of the main type of fuel - oil - outside of the Middle East will exceed the amount of energy that can be obtained from it.

Many solutions are proposed for solving it in the form of energy saving technologies and the use of renewable sources, and one of the most promising but very remote from the practical introduction of replacement of current power plants is fusion. The experiment, which reproduces similar to terrestrial magnetic fields, confirms the potential of a new way of creating a reactor for energy production by fusion of nuclei - the same reaction that occurs on the Sun.

Connection with academic papers, plans, themes. The work was done at the branch of the department of automated data processing systems and management at the V.M. Glushkov Institute of Cybernetics NAS of Ukraine within the research topic "Mathematical Modeling of Magnetic Suspension System in Nuclear Fusion Reactor" (state registration: 0114U002091).

The goal of the research is to improve the quality of the thermonuclear reactor LDX by simulating the magnetic suspension and determining the zones of stability where it operates normally and the cost of its maintenance is minimal.

To achieve the goal the following task should be performed:

- simulate the work of the magnetic suspension;

- choose the best options for work;

- implement and analyze the work of the suspension, depending on its parameters;

- offer parameters that would improve the work of the magnetic suspension;

- determine the effectiveness of the solution;

The object of the research is the process of magnetic suspension.

Subject of the research is parameters of the magnetic suspension LDX.

Research methods, applied in this work, are based on methods of studying processes by creating their mathematical models and studying these models.

LEVITATED DIPOLE EXPERIMENT, MAGNET, SYNTHESIS, DIPOLE, CHAMBER, PLASM.

Перелік умовних позначень, символів, скорочень

LDX - англ. Levitated Dipole Experiment - левітаційний дипольний експеримент.

RAM - англ. Random Access Memory - оперативна пам'ять комп'ютера.

FDTD - англ. Finite Difference Time Domain - метод скінчених різниць у часовій області

МСЕ - метод скінчених елементів

Вступ

Левітаційний дипольний експеримент (англ. The Levitated Dipole eXperiment) - експеримент по створенню технології термоядерного синтезу шляхом використання суцільного надпровідного магніту в формі тороїда, який повинен левітувати на магнітній подушці над камерою реактора. Надпровідник формує осесимметричное магнітне поле на зразок магнітосфери Землі і Юпітера. Передбачається, що такий реактор зможе утримувати високотемпературну плазму більш ефективно, ніж інші конструкції термоядерних реакторів. [4]

Левітаційний дипольний експеримент створений в результаті співпраці спільному Колумбійського університету і MIT.

В технології левітаційного диполя використовується магніт кільцеподібної форми і масою в 500 кг, який виготовлений з розташованих усередині сталевої конструкції надпровідних котушок. Основна функція даного магніту, який левітує завдяки потужному електромагнітному полю - контроль за переміщенням зарядженої плазми з температурою в 10 млн градусів, яка знаходиться у зовнішній камері з діаметром 4,9 м.[1]

Керований ядерний синтез обіцяє світу купу вигод: паливо з морської води і безодня енергії без шкідливих викидів. Залишилося вирішити одне питання - як найкраще утримувати гарячу плазму. Поряд з "лазерним обстрілом" зарядів-мішеней надії фізиків пов'язані з величезними магнітними пастками - токамака і стелараторі. На жаль, незважаючи на десятиліття досліджень і дослідів, у всіх трьох випадках ученим ще далеко до беззастережної перемоги.

Дуже складно виявилося досягти потрібних параметрів плазми. Через її примх установки поступово виростають в розмірах, масі і, що важливіше, стають все складніше. Багатотонні магніти формують поля складної форми, що настроюються до того ж з неймовірною точністю[3]. Але керований синтез, немов жар-птиця, не дається фізикам в руки, хоча пір'я з її хвоста в останні роки повидёргівалі чимало.

Альтернативний шлях пропонує «Експеримент з левітаційним диполем» (Levitated Dipole Experiment - LDX) - спільний проект центру вивчення плазми і синтезу Массачусетського технологічного інституту (MIT Plasma Science & Fusion Center), де знаходиться сама ця установка, і Колумбійського університету (Columbia University). Найостанніші досліди з нею обнадіяли фізиків.[5].

1 Аналіз поточного стану проблеми

Керований термоядерний синтез - синтез більш важких атомних ядер з більш легких з метою отримання енергії, який, на відміну від вибухового термоядерного синтезу (використовуваного в термоядерних вибухові пристрої), носить керований характер. Керований термоядерний синтез відрізняється від традиційної ядерної енергетики тим, що в останній використовується реакція розпаду, в ході якої з важких ядер виходять більш легкі ядра. В основних ядерних реакціях, які планується використовувати в цілях здійснення керованого термоядерного синтезу, будуть застосовуватися дейтерій і тритій, а в більш віддаленій перспективі гелій і бор.

Вперше завдання з керованого термоядерного синтезу в Радянському Союзі сформулював і запропонував для неї деякий конструктивне рішення радянський фізик Олег Лаврентьєв [1] [2].

Крім нього важливий внесок у вирішення проблеми внесли такі видатні фізики, як Андрій Сахаров і Ігор Тамм [1] [2], а також Лев Арцимович, який очолював радянську програму з керованого термоядерного синтезу з 1951 року [3].

Історично питання керованого термоядерного синтезу на світовому рівні виник в середині XX століття. Відомо, що Ігор Курчатов в 1956 році висловив пропозицію про співпрацю вчених-атомників різних країн у вирішенні цієї наукової проблеми.

Це сталося під час відвідування Британського ядерного центру «Харуелл» (англ.) [4].

Проблема керованого термоядерного синтезу - одна з найважливіших задач, що стоять перед людством.

Людська цивілізація не може існувати, а тим більше розвиватися без енергії. Всі добре розуміють, що освоєння джерела енергії, на жаль, можуть скоро виснажитися. За даними Всесвітньої енергетичної ради, розвіданих запасів вуглеводневої палива на Землі залишилося на 30 років.

Сьогодні основними джерелами енергії служать нафту, газ і вугілля.

За оцінками фахівців, запаси цих копалин під кінець. Майже не залишилося розвіданих, придатних до освоєння родовищ нафти і вже наші онуки можуть зіткнутися з дуже серйозною проблемою нестачі енергії.

Найбільш забезпечені паливом атомні електростанції могли б, звичайно, ще не одну сотню років постачати людство електроенергією.

1.1 Термоядерні реакції на Сонці

Що є джерелом сонячної енергії? Яка природа процесів, в ході яких проводиться величезна кількість енергії? Скільки часу буде ще світити Сонце?

Перші спроби відповісти на ці питання були зроблені астрономами в середині ХIX століття, після формулювання фізиками закону збереження енергії.

Роберт Майер припустив, що Сонце світить за рахунок постійного бомбардування поверхні метеоритами і метеорними частинками. Ця гіпотеза була відкинута, так як простий розрахунок показує, що для підтримки світимості Сонця на сучасному рівні необхідно, щоб на нього за кожну секунду випадало кг метеорної речовини. За рік це складе кг, а за час існування Сонця, за 5 мільярдів років - кг. Маса Сонця М = кг, тому за п'ять мільярдів років на Сонці мало випасти речовини в 150 разів більша за масу Сонця.

Друга гіпотеза була висловлена ??Гельмгольцом і Кельвіном також в середині ХIX століття. Вони припустили, що Сонце випромінює за рахунок стиснення на 60-70 метрів щорічно. Причина стиснення - взаємне притягання частинок Сонця, саме тому ця гіпотеза отримала назву контракційної. Якщо зробити розрахунок по даній гіпотезі, то вік Сонця буде не більше 20 мільйонів років, що суперечить сучасним даними, отриманим з аналізу радіоактивного розпаду елементів в геологічних зразках земного грунту і грунту Місяця.

Третю гіпотезу про можливі джерела енергії Сонця висловив Джеймс Джинс на початку ХХ століття. Він припустив, що в надрах Сонця містяться важкі радіоактивні елементи, які мимовільно розпадаються, при цьому випромінюється енергія. Наприклад, перетворення урану в торій і потім в свинець, супроводжується виділенням енергії. Подальший аналіз цієї гіпотези також показав її неспроможність; зірка, що складається з одного урану, що не виділяла б достатньо енергії для забезпечення спостерігається світності Сонця. Крім того, існують зірки, по світності в багато разів перевершують світність нашої зірки. Малоймовірно, що в тих зірках запаси радіоактивної речовини будуть також більше.

Найімовірнішою гіпотезою виявилася гіпотеза синтезу елементів в результаті ядерних реакцій в надрах зірок.

У 1935 році Ханс Бете висунув гіпотезу, що джерелом сонячної енергії може бути термоядерна реакція перетворення водню в гелій. Саме за це Бете отримав Нобелівську премію в 1967 році.

Хімічний склад Сонця приблизно такий же, як і у більшості інших зірок. Приблизно 75% - це водень, 25% - гелій і менше 1% - всі інші хімічні елементи (в основному, вуглець, кисень, азот тощо). Відразу після народження Всесвіту "важких" елементів не було зовсім. Всі вони, тобто елементи важче гелію і навіть багато альфа-частинки, утворилися в ході "горіння" водню в зірках при термоядерному синтезі. Характерне час життя зірки типу Сонця десять мільярдів років[7].

Основне джерело енергії - протон-протонний цикл - дуже повільна реакція (характерний час років), так як обумовлена ??слабкою взаємодією. Її суть полягає в тому, що з чотирьох протонів виходить ядро ??гелію. При цьому виділяються пари позитронів і пара нейтрино, а також 26,7 МеВ енергії. Кількість нейтрино, що випромінюється Сонцем за секунду, визначається тільки світність Сонця. Оскільки при виділенні 26,7 МеВ народжується 2 нейтрино, то швидкість випромінювання нейтрино: нейтрино / с. Пряма перевірка цієї теорії - спостереження сонячних нейтрино. Нейтрино високих енергій (борні) реєструються в хлор-аргонних експериментах (експерименти Девіса) і стійко показують недолік нейтрино в порівнянні з теоретичним значенням для стандартної моделі Сонця. Нейтрино низьких енергій, що виникають безпосередньо в рр-реакції, реєструються в галій-германієвих експериментах (GALLEX в Гран Сассо (Італія - ??Німеччина) та SAGE на Баксане (Росія - США)); їх також "не вистачає".

За деякими припущеннями, якщо нейтрино мають відмінну від нуля масу спокою, можливі осциляції (перетворення) різних сортів нейтрино (ефект Міхєєва - Смирнова - Вольфенштейна) (існує три сорти нейтрино: електронне, мюонне і тауонное нейтрино). Оскільки інші нейтрино мають набагато менші перетину взаємодії з речовиною, ніж електронне, спостережуваний дефіцит може бути пояснений, не змінюючи стандартної моделі Сонця, побудованої на основі всієї сукупності астрономічних даних[10].

Кожну секунду Сонце переробляє близько 600 мільйонів тонн водню. Запасів ядерного палива вистачить ще на п'ять мільярдів років, після чого воно поступово перетвориться в білий карлик.

Центральні частини Сонця будуть стискуватися, розігріваючи, а тепло, яке передається при цьому зовнішній оболонці, призведе до її розширення до розмірів, жахливих порівняно з сучасними: Сонце розшириться настільки, що поглине Меркурій, Венеру і буде витрачати "пальне" в сто разів швидше, ніж в даний час. Це призведе до збільшення розмірів Сонця; наша зірка стане червоним гігантом, розміри якого можна порівняти з відстанню від Землі до Сонця!

Ми, звичайно, будемо заздалегідь повідомлені про таку подію, оскільки перехід до нової стадії займе приблизно 100-200 мільйонів років. Коли температура центральної частини Сонця досягне 100 000 000 К, почне згоряти і гелій, перетворюючись в важкі елементи, і Сонце вступить в стадію складних циклів стиснення і розширення. На останній стадії наша зірка втратить зовнішню оболонку, центральне ядро ??матиме неймовірно велику щільність і розміри, як у Землі. Пройде ще кілька мільярдів років, і Сонце охолоне, перетворившись в білий карлик.

1.2 Проблеми керованого термоядерного синтезу

Дослідники всіх розвинених країн пов'язують надії на подолання майбутнього енергетичної кризи з керованої термоядерної реакцією. Така реакція - синтез гелію з дейтерію і тритію - мільйони років протікає на Сонце, а в земних умовах її ось уже п'ятдесят років намагаються здійснити в гігантських і дуже дорогих лазерних установках, токамаках (пристрій для здійснення реакції термоядерного синтезу в гарячій плазмі) і стелараторах (замкнута магнітна пастка для утримання високотемпературної плазми). Однак є й інші шляхи вирішення цього непростого завдання, і замість величезних токамаков для здійснення термоядерного синтезу можна буде, ймовірно, використовувати досить компактний і недорогий коллайдер - прискорювач на зустрічних пучках.

Для роботи Токамака необхідно дуже невелика кількість літію і дейтерію. Наприклад, реактор з електричною потужністю 1 ГВт спалює близько 100 кг дейтерію і 300 кг літію в рік. Якщо припустити, що всі термоядерні електростанції будуть виробляти 10 трлн. кВт / год електроенергії на рік, тобто стільки ж, скільки сьогодні виробляють все електростанції Землі, то світових запасів дейтерію і літію вистачить на те, щоб постачати людство енергією протягом багатьох мільйонів років.

Крім злиття дейтерію і літію можливий чисто сонячний термоотрута, коли з'єднуються два атома дейтерію. У разі освоєння цієї реакції енергетичні проблеми будуть вирішені відразу і назавжди.

У будь-якому з відомих варіантів керованого термоядерного синтезу (КТС) термоядерні реакції не можуть увійти в режим неконтрольованого наростання потужності, отже, таким реакторів не притаманна внутрішня безпека[13].

З фізичної точки зору завдання формулюється нескладно. Для здійснення реакції, що самопідтримується ядерного синтезу необхідно і достатньо дотримати дві умови.

- енергія, що беруть участь в реакції ядер, повинна становити не менше 10 кеВ. Щоб пішов ядерний синтез, що беруть участь в реакції ядра повинні потрапити в поле ядерних сил, радіус дії яких 10-12-10-13 с.см. Однак атомні ядра мають позитивний електричний заряд, а однойменні заряди відштовхуються. На рубежі дії ядерних сил енергія кулонівського відштовхування становить величину порядку 10 кеВ. Щоб подолати цей бар'єр, ядра при зіткненні повинні мати кінетичну енергію, принаймні не менше цієї величини;

- Твір концентрації реагуючих ядер на час утримання, протягом якого вони зберігають зазначену енергію, повинно бути не менше 1014 с.см-3. Ця умова - так званий критерій Лоусона - визначає межу енергетичної вигідності реакції. Щоб енергія, що виділилася в реакції синтезу, хоча б покривала витрати енергії на ініціювання реакції, атомні ядра повинні зазнати багато зіткнень. У кожному зіткненні, при якому відбувається реакція синтезу між дейтерієм (D) і тритієм (Т), виділяється 17,6 МеВ енергії, т. Е. Приблизно Дж. Якщо, наприклад, на підпал витрачається енергія 10 МДж, то реакція буде незбиткове, якщо в ній візьмуть участь не менше пар DT. А для цього досить щільну плазму високої енергії потрібно утримувати в реакторі досить довго. Така умова і виражається критерієм Лоусона.

Якщо вдасться одночасно виконати обидві вимоги, проблема керованого термоядерного синтезу буде вирішена.

Однак технічна реалізація даної фізичної задачі стикається з величезними труднощами. Адже енергія 10 кеВ - це температура 100 мільйонів градусів. Речовина при такій температурі утримати протягом навіть часток секунди можна тільки в вакуумі, ізолювавши його від стінок установки[18].

Але існує й інший метод вирішення цієї проблеми - холодний термоядерний синтез. Що таке холодний термоядерний синтез - це аналог "гарячої" термоядерної реакції проходить при кімнатній температурі.

У природі існує як мінімум, два способи зміни матерії всередині однієї мірності континууму. Можна закип'ятити воду на вогні, тобто термічно, а можна в СВЧ печі, тобто частотно. Результат один - вода закипає, різниця лише в тому, що частотний метод більш швидкий. Також використовується досягнення надвисокої температури, щоб розщепити ядро ??атома. Термічний спосіб дає некеровану ядерну реакцію. Енергія холодного термояда - енергія перехідного стану. Одним з основних умов конструкції реактора для проведення реакції холодного термояда є умова його пірамідально - кристалічної форми. Іншою важливою умовою є наявність магнітного і торсіонного полів. Перетин полів відбувається в точці нестійкої рівноваги ядра водню[25].

Вчені Рузі Талейархан з Ок-Ріджской Національної Лабораторії, Річард Лейхі з Політехнічного Університету ім. Ренссіліра і академік Роберт Нігматулін - зафіксували в лабораторних умовах холодну термоядерну реакцію.

Група використовувала мензурку з рідким ацетоном розміром з два-три склянки. Крізь рідина інтенсивно пропускалися звукові хвилі, справляючи враження, відомий у фізиці як акустична кавітація, наслідком якої є сонолюминесценция. Під час кавітації в рідині з'являлися маленькі бульбашки, які збільшувалися до двох міліметрів в діаметрі і вибухали. Вибухи супроводжувалися спалахами світла і виділенням енергії тобто температура всередині бульбашок в момент вибуху досягала 10 мільйонів градусів за Кельвіном, а виділеної енергії, за твердженням експериментаторів, досить для здійснення термоядерного синтезу[28].

"Технічно" суть реакції полягає в тому, що в результаті з'єднання двох атомів дейтерію утворюється третій - ізотоп водню, відомий як тритій, і нейтрон, що характеризується колосальною кількістю енергії.

1.3 Світові енергетичні ресурси та необхідність вирішення проблеми термоядерного синтезу

Пошуки людиною нових джерел енергії для задоволення своїх потреб сягають корінням витоків цивілізації на Землі. Протягом останнього часу щонайменше кілька міжнародних конфліктів були спричинені боротьбою за оволодіння територіями, багатими на енергетичні ресурси. Безплідні простори ніколи не були об'єктом завоювання та експлуатації. Будемо сподіватися, що ядерні процеси синтезу й поділу зможуть, нарешті, повністю вирішити проблему забезпечення енергією всього людства.

Ми наближаємося тепер до сутності питання про важливість вирішення проблеми керованого синтезу легких ядер. Саме керованого, а не спонтанного, як це відбувається в результаті страхітливого за потужністю вибуху водневої бомби. Чому, незважаючи на відсутність вирішального успіху, їй, продовжують приділяти таку велику увагу у всіх передових промислово розвинутих країнах?

На перший погляд, відповідь на диво проста: вирішивши цю проблему, людство одержить необмежене щодо потужності, дешеве джерело енергії, яке буде однаковою мірою доступним для всіх націй. Несподівана простота відповіді в поєднанні з деякою домішкою пафосу (йдеться і про долю людства, і про безмежні можливості!) може викликати скепсис, та й актуальність сучасних досліджень у цій галузі здається сумнівною. Адже ще далеко не вичерпані запаси вугілля й нафти, ще не витрачені ресурси гідроенергії, майже не використовується сонячна енергія, ми лише почали експлуатувати ядерне пальне -- уранові й торієві руди[31].

З позицій даного моменту все це, звичайно, вірно в рамках статичного, незмінного світу. Але ми живемо в умовах світу динамічного, який стрімко змінюється. Щоб завтра перед людством не постала загроза енергетичного голоду, основи енергетики майбутнього повинні закладатися вже сьогодні. Тут не повинно залишатися навіть тіні сумніву або двозначності, тому пояснимо наведену думку. Простежимо, насамперед, як змінювалася кількість населення Землі. Зрозуміло, точність оцінок, що стосуються далекого минулого, є недостатньою, але це не змінює загальної картини: знадобилося кілька сотень тисяч років, щоб людство до 1830 року розмножилося до одного мільярда, за наступні сто років додався другий мільярд, і тільки тридцять років знадобилося для появи на Землі ще одного мільярда людей. У даний час річний приріст становить приблизно 2 %, тобто близько 140 мільйонів чоловік.

Добре відомо, що найбільше значення для стрімкого зростання кількості населення мав прогрес медицини (зниження дитячої смертності, відкриття антибіотиків). Перед майбутніми поколіннями незабаром постануть складні проблеми розселення людей і регулювання чисельності людства. Але незалежно від цього люди повинні їсти, одягатися, мати захист від холоду, не кажучи вже про задоволення Духовних потреб, які невпинно зростають. Утім, не у віддаленому майбутньому, а вже у наш час проблема голоду -- одна із найдошкульніших. Напівголодне існування від колиски до смертної години -- доля четвертої частини людства. Якщо врахувати темпи приросту населення, то навіть радикальне вирішення соціальних проблем не усуває необхідності створення синтетичної їжі (завдання біологів) і забезпечення установок білкового синтезу енергетикою (завдання фізиків)[33].

Сказаного досить, щоб оцінити всю серйозність ситуації. Розглянемо тепер становище з енергетичним балансом. Доцільно поділити джерела енергії на дві групи: відтворювані джерела та "основний капітал". До першої групи належать енергія вітру, рік і морських припливів, сільськогосподарського й деревного палива, геотермія (внутрішнє тепло Землі), сонячна енергія. До другої групи належать джерела енергії, які утворилися в земній корі в результаті геологічної еволюції: вугілля, нафта, горючі гази і, зрозуміло, ядерне пальне. У наш час у загальному балансі енергоспоживання перше місце належить вугіллю, нафті й горючим газам. Людство витрачає поки що основний капітал. В історичному аспекті відбувалося витіснення дров і сільськогосподарського палива вугіллям і нафтою.

Для подальших кількісних оцінок зручно ввести одиницю енергії: Джоулів.

Енергії 1 Q достатньо, щоб нагріти до кипіння два з половиною Ладозьких озера. Історія матеріальної культури й демографічні оцінки показують, що за період від початку нашої ери до 1850 року людство витратило 6 + 9 Q енергії. Споживання за наступні сто років становило близько 4 Q. У 1970 році світове споживання було на рівні 0,2 Q, а в 2000 році воно становило 1 Q Якщо наявні темпи зростання енергоспоживання збережуться, то до 2050 року воно досягне 10 Q. Таким чином, через 50 років людство повинно буде щорічно витрачати стільки ж енергії, скільки воно витратило з часів імперії Августа до наших днів.

Природно, виникає питання, якою мірою це зростання забезпечене наявними ресурсами. Перш ніж розглядати оцінку запасів, наведену нижче, корисно звернутися до одного цікавого міркування. Припустимо, що людство дійсно почне витрачати запаси потенційної енергії (у кінцевому підсумку перетворюючи її на тепло) на рівні, що становить помітну частку від загальної енергії, яку Земля одержує від Сонця. У такому випадку ми повинні бути готові до того, що відбудеться зміна клімату нашої планети. Точніше: уся сонячна енергія, яка досягає поверхні Землі, становит близько 2500 Q на рік. Збільшення енерговиділення, скажімо, до 20-30 Q на рік, якщо воно буде забезпечуватися спалюванням вугілля, нафти й газу, а отже, супроводжуватиметься підвищенням вмісту вуглекислого газу в атмосфері, призведе до відчутних змін клімату Землі ("парниковий ефект"). У результаті почнеться танення материкових льодів Антарктиди й Гренландії, що у свою чергу викличе підвищення рівня Світового океану. Виникне потреба в складних гідротехнічних роботах, щоб захистити від затоплення величезні низинні території на узбережжях океану. Досить несподіваний результаті Правда, якщо енергетика світу повністю перейде на ядерне пальне, то вміст С02 залишиться на колишньому рівні й катастрофічні зміни клімату почнуться за умови більш високих темпів додаткового енерговиділення. Проте, обговорюючи перспективи розвитку енергетики планети, не варто вдаватися до занадто далеких і сміливих екстраполяцій. У межах допустимого припущення ми можемо розглядати як гранично можливу цифру додаткового енерговиділення рівень, що становить ЗО Q на рік

Відтворювані джерела енергії відповідають у сукупності (крім сонячної'енергії) не більш як 2-3 Q на рік. Однак експлуатація їх значною мірою економічно зовсім безперспективна і вони, зрозуміло, не зможуть задовольнити зростаючі потреби світу. Отже, використання мінеральної сировини триватиме.

Сумарні запаси вугілля, навіть за оптимістичними оцінками, не перевищують 150(2, нафти й газу 10 Q. При цьому, у міру витрати наявних ресурсів, видобуток копалин буде пов'язаний із зростанням технічних труднощів і буде супроводжуватися збільшенням їх вартості. У підсумку, за оцінками експертів, запаси нафти (навіть враховуючи ще не відкриті родовища) будуть вичерпані протягом 30--40 років, а вугілля -- протягом 100--200 років[40].

Однак і ця досить похмура перспектива не дає повного уявлення про серйозність сучасного становища. Справа в тому, що ми увесь час використовували глобальні оцінки, які внаслідок усереднення створювали ілюзію відносного благополуччя, принаймні, стосовно найближчого майбутнього. Тим часом мінеральна сировина розподілена вкрай нерівномірно по країнах світу. Досить нагадати, що, наприклад, Західна Єврот на 2/3 залежить від імпорту енергетичної сировини.

Нам залишається розглянути питання про використання сонячного тепла та ядерного пального. На жаль, сонячна енергія має незначну щільність. Енергетична освітленість на поверхні Землі за умови нормального падіння сонячних променів і прозорої атмосфери становить близько 1 кВт/м2. До того ж коефіцієнт корисної дії фото- і термоелектричних перетворювачів невеликий. Тому для забезпечення потреб людства через сто років довелося б значну частину поверхні Землі (близько 10 %!) закрити сонячними генераторами. Фантастичність подібного проекту очевидна.

Існують два діаметрально протилежні ядерні процеси, що протікають з виділенням енергії: процеси розподілу й синтезу. Коли важке ядро, захоплюючи нейтрон, ділиться, то при цьому воно розпадається на дві (або більше) частини, які, як правило, мають неоднакові маси. У результаті виділяється енергія й одночасно вивільняється кілька нейтронів. Ці нейтрони знову можна використовувати для поділу інших важких ядер. Коли відбувається синтез, то два легких ядра, якщо вони мають достатню енергію, поєднуються, і утворюють легкі продукти реакції, які можуть мати значно більшу кінетичну енергію, ніж вихідні компоненти. Енергія в обох випадках має ядерне походження. Ядра, що мають середню масу, не можна використовувати ні для реакцій поділу, ні для синтезу.

Сама природа реакції синтезу створює дуже великі труднощі. Щоб два ядра могли злитися, вони повинні підійти досить близько одне до одного, незважаючи на електростатичне відштовхування між ними. Для цього ядра повинні мати велику енергію, тобто необхідне нагрівання ядерного пального. Необхідна для цього температура вища за температуру у внутрішніх областях зірок і дорівнює приблизно К. При таких температурах усі легкі атоми повністю іонізовані й газ складається з голих ядер і вільних електронів. Така сукупність заряджених часток називається плазмою. Фізика плазми набула фундаментального значення в середині двадцятого століття, коли широко розгорнулося вивчення процесів у космосі і стартувала програма досліджень з керованого термоядерного синтезу. Із цього часу почався її стрімкий розквіт, що пояснюється величезним пізнавальним значенням і грандіозністю завдань, які покликана розв'язати фізика плазми. Від її успіхів залежить значною мірою здійснення тих надій, що покладаються на вирішення проблеми керованого синтезу легких ядер у плазмовому середовищі, а разом з тим і на реконструкцію енергетики майбутнього.

Коли йдеться про універсальну поширеність плазми, ми не випадково звертаємо свої погляди до зірок і космічного простору, а не до поверхні Землі. Плазма, тобто іонізований газ, атоми якого (усі або більшість) утратили частину своїх електронів і перетворилися на позитивні іони, утворюється й існує тільки в екстремальних умовах. Зрозуміло, слово "екстремальний" означає винятковість тисків, температур, потоків випромінювання та електромагнітних полів, які спостерігаються в зірках і космосі, порівняно з тими, котрі нас оточують під щитом щільної атмосфери й у межах того вузького температурного інтервалу, який необхідний для життя. Поява плазми в земних умовах -- порівняно рідкісна подія; спалахи блискавок під час грози, полярні сяйва або слабке світіння на металевих вістрях при тихих коронних розрядах, імовірно, вичерпує список природних плазмових феноменів у нашому оточенні. Зате технічна цивілізація наших днів достатньо постачає нам плазмових пристроїв та інструментів. Різноманітні вогні газосвітлових реклам і набір газорозрядних приладів (випрямлячів, тиратронів, МГД-перетворювачів і т.д.) -- усе це породження технічної електроніки і тих досліджень у галузі фізики газового розряду, які неухильно розвивалися протягом десятиліть.

У наш час досить гарячу й досить щільну плазму одержують у лабораторних умовах поки що тільки на короткі проміжки часу; до того ж вона ще не має повною мірою того бажаного комплексу властивостей, без якого процес керованого синтезу легких ядер неможливий.

Як уже зазначалося, для здійснення реакцій синтезу необхідно нагріти плазму до високих (К) температур (таку плазму називають "гарячою" або "термоядерною"). Очевидно, що головні труднощі полягають у тому, щоб ізолювати цю високотемпературну плазму від стінок апарата, в якому вона знаходиться. Інакше плазму через її величезну теплопровідність не вдасться нагріти навіть до температури в кілька сотень тисяч градусів, тому що вся енергія, яка надається їй, буде негайно поглинатися стінками. Необхідно розробити дуже ефективний метод термоізоляції, який би унеможливлював контакт плазми з будь-якими навколишніми речовинами. Це означає, що плазма з усіх боків повинна бути оточена вакуумним простором. Але як перешкодити частинкам плазми піти за її межі, інакше кажучи, як утримати плазму від розширення у вакуум? Очевидно, що цього можна досягти лише шляхом застосування магнітного поля, силові лінії якого оточували б плазму і були паралельними стінкам апаратури. Заряджені частинки обвивалися б навколо силових ліній і рухалися б уздовж поля, практично не зміщуючись до стінок. Цю ідею магнітної термоізоляції стосовно проблеми здійснення керованого термоядерного синтезу вперше в СРСР висловили у 1950 році А. Д. Сахаров і І. Є. Тамм. Цілком самостійно до тієї ж думки прийшли приблизно в ті ж роки фізики США й Англії, але через непроникні бар'єри таємності, що існували тоді, ніхто не знав, що відбувається в цій галузі в інших країнах. Системи, в яких для термоізоляції плазми використовується магнітне поле, називаються магнітними пастками[42].

Другим ключовим питанням, яке необхідно вирішити, є проблема стійкості плазми. Потрібно встановити, за яких умов гаряча плазма, урівноважена магнітними силами, може зберігати стійкість. Для цього було виконано теоретичні розрахунки й проведено різноманітні експерименти, у результаті яких було виявлено ті умови, за яких щільна гаряча плазма, повністю відірвана від стінок і утримувана у вакуумі магнітними силами, буде залишатися в рівновазі досить тривалий час. Слово "тривалий" уживається тут у тому розумінні, що кожен нейтрон протягом часу існування нагрітої плазми матиме значний шанс вступити в ядерну реакцію.

Третє питання, яке в наш час теж фактично вирішене, -- це нагрівання плазми до високих, "термоядерних" температур. Розв'язати цю проблему можна різними шляхами: пропусканням сильних струмів через плазму, введенням у плазму високочастотної електромагнітної енергії або інжекцією швидких частинок, розігнаних до високих швидкостей у спеціальних пристроях.

1.4 Левітаційний дипольний експеримент (LDX)

1.4.1 Історія створення

Магнітне поле Землі породжується циркуляцією зарядів у розплавленому ядрі Землі. Отримане в результаті магнітне дипольне поле утворює форму з лініями магнітного поля, що проходять через центр Землі, досягають поверхні поблизу полюсів і простягаються далеко в простір над екватором. Зарядні частинки, що потрапляють в поле, схильні йти за силовими лініями, рухаючись на північ або південь. Коли вони досягають полярних областей, магнітні лінії починають згуртуватися разом, і це зростаюче поле може відображати частинки нижче певного порогу енергії та починати подорожувати у протилежному напрямку. Такі частинки відбиваються назад і вперед між полюсами, поки вони не стикаються з іншими частинками. Частки з більшою енергією продовжують рухатись до Землі, впливаючи на атмосферу та викликаючи аврора[27].

Ця основна концепція використовується в магнітному дзеркальному підході до енергії злиття. Дзеркало використовує соленоїд для обмеження плазми в центрі циліндра, а потім два магніти на обох кінцях змушують магнітні лінії зближуватись, щоб створювати відбиваючі зони. Дослідження великих дзеркальних машин закінчилося в 1980-х роках, коли стало зрозуміло, що вони не зможуть досягти безперервного злиття в пристрої практично великого розміру.

Левітований дипольний потік можна розглядати як тороїдальне дзеркало, яке набагато більше схоже на поле Землі, ніж лінійна система в традиційному дзеркалі. Частинки в цій області, які рухаються вгору або вниз, збільшують магнітну щільність і, як правило, знову рухаються назад до області екватора. Це дає системі певний рівень природної стійкості.

Це робить розпізнаний диполь унікальним у порівнянні з іншими машинами для магнітного утримання. У цих експериментах невеликі коливання можуть спричинити значну втрату енергії. Навпаки, у диполярному магнітному полі, коливання, як правило, стискують плазму, без втрати енергії. Цей ефект стиснення вперше помітив Акіра Хасегава [3].

Адаптація цієї концепції до експерименту з термоядерного синтезу була вперше запропонована доктором Джей Кеснер (MIT) і доктором Майклом Мауелем (Колумбія) в середині-кінці дев'яностих. [4] Пара зібрала команду і підняла гроші на будівництво машини. Вони досягли першої плазми в п'ятницю, 13 серпня 2004 року, в 12:53 вечора. Перша плазма була виконана шляхом успішного левітування дипольного магніту та радіаційного нагрівання плазми. [5] Команда LDX з тих пір успішно провела декілька випробувань на левітацію. [6] Незабаром після того, котушка була пошкоджена в контрольній перевірці в лютому 2007 року і її було замінено в травні 2007 року. [7] Нова котушка була нижчою, та включала електромагніт з магнітним ранцем, який також був охолодженим водою

моделювання магнітний термоядерний реактор

1.4.2 Визначення та принцип роботи

Левітаційний дипольний експеримент (англ. The Levitated Dipole eXperiment) - експеримент по створенню технології термоядерного синтезу шляхом використання суцільного надпровідного магніту в формі тороїда, який повинен левітувати на магнітній подушці над камерою реактора. Надпровідник формує осесимметричное магнітне поле на зразок магнітосфери Землі і Юпітера. Передбачається, що такий реактор зможе утримувати високотемпературну плазму більш ефективно, ніж інші конструкції термоядерних реакторів. [79]

Левітаційний дипольний експеримент створений в результаті співпраці спільному Колумбійського університету і MIT.

В технології левітаційного диполя використовується магніт кільцеподібної форми і масою в 500 кг, який виготовлений з розташованих усередині сталевої конструкції надпровідних котушок. Основна функція даного магніту, який левітує завдяки потужному електромагнітному полю - контроль за переміщенням зарядженої плазми з температурою в 10 млн градусів, яка знаходиться у зовнішній камері з діаметром 4,9 м.[1]

Керований ядерний синтез обіцяє світу купу вигод: паливо з морської води і безодня енергії без шкідливих викидів. Залишилося вирішити одне питання - як найкраще утримувати гарячу плазму. Поряд з "лазерним обстрілом" зарядів-мішеней надії фізиків пов'язані з величезними магнітними пастками - токамака і стелараторі. На жаль, незважаючи на десятиліття досліджень і дослідів, у всіх трьох випадках ученим ще далеко до беззастережної перемоги.



Рисунок 1.1 - Корпус установки - вакуумна камера діаметром 5 метрів і висотою 3 м, виконана з немагнітного нержавіючої сталі

Дуже складно виявилося досягти потрібних параметрів плазми. Через її примх установки поступово виростають в розмірах, масі і, що важливіше, стають все складніше. Багатотонні магніти формують поля складної форми, що настроюються до того ж з неймовірною точністю[3]. Але керований синтез, немов жар-птиця, не дається фізикам в руки, хоча пір'я з її хвоста в останні роки повидёргівалі чимало[79].

Альтернативний шлях пропонує «Експеримент з левітаційним диполем» (Levitated Dipole Experiment - LDX) - спільний проект центру вивчення плазми і синтезу Массачусетського технологічного інституту (MIT Plasma Science & Fusion Center), де знаходиться сама ця установка, і Колумбійського університету (Columbia University). Найостанніші досліди з нею обнадіяли фізиків.[5]

В даному випадку дослідники навчилися утримувати гарячий газ простим по конфігурації магнітним диполем, схожим по архітектурі з магнітним полем Землі або, наприклад, Сатурна. Правда, щоб такий принцип заробив, дипольний магніт довелося підвісити без опори всередині хмари плазми. Тим самим принцип токамаков і стелараторів був вивернуть навиворіт - в тих гарячий газ утримують всередині магнітної системи.

Літаючий бублик - той самий «сніжок в пеклі» - це надпровідний магніт. Під час досліду (а він може тривати до шести годин) магніт ні до чого не підключений, але спокійно продовжує генерувати потужне поле, що можливо, звичайно, завдяки незатухаюче току в його обмотці[6]. А ось як цей тор потрапляє в центр камери, ми зараз розберемо.

Рисунок 1.2 - магнітний підвіс LDX

У нижній частині LDX є стаціонарний кріогенний магніт, що охолоджується рідким гелієм. З його запуску починається цикл. Через півгодини, коли струм в ньому досягає майже 4,4 мегаампера, поле - 5 тесла, а збережена енергія - 12 мегаджоулей, починається охолодження левітуального магніту (через теплообмінник). На це йде 2,5 години.

Тепер стаціонарна котушка розряджається і віддає свою енергію рухомої. І вже в ній починає текти величезний струм - до 1,5 мегаампера. Низька температура цього головного магніту зберігається завдяки власним запасу (1,5 кг) рідкого гелію, який омиває обмотку магніту, а від зовнішнього теплового впливу «бублик» захищається подвійними, як у термоса, стінками, що забезпечують тепловіддачу менше 1 вата.[7]

Після того як магніт-сніжок вийшов на робочий режим, його піднімає в центр робочої камери механічний ліфт, увінчаний тієї самої «тарілкою». Після досягнення магнітом заданої висоти вчені включать систему левітації - це ще один потужний електромагніт (на високотемпературних тепер уже надпровідниках), який розташований зовні камери, на її даху. Він своїм полем утримує головний магніт від падіння, коли «ліфт-тарілка» вже на самоті опускається вниз, щоб опинитися поза зоною, де буде панувати плазма.

Наступний крок - розігрів газу в камері за допомогою мікрохвильового випромінювача. У цей момент навколо «крижаного бублика» формується шар надзвичайно гарячої плазми, наукові дані про поведінку якої і є головна продукція установки.

Гаряча фаза експерименту триває секунди, зате її протягом декількох годин поспіль можна повторювати кожні п'ять хвилин (вони необхідні для підстроювання тих чи інших параметрів полів в пошуках кращого співвідношення). Пік же температури і щільності плазми тримається в кожному такому «пострілі» протягом сотих часток секунди, але цього цілком достатньо для цілей фізиків, тим більше що перед нами лише перша експериментальна установка, покликана обкатати принцип «сніжку в пеклі» на практиці.

Тривала спільна робота вчених з Массачусетського технологічного інституту і Колумбійського університету в області термоядерного синтезу значно наблизила еру екологічно чистої енергетики, заснованої на термоядерному синтезі. Після проведеного ряду фундаментальних досліджень і інженерних розрахунків була створена експериментальна термоядерна установка, яка розташована в Центрі вивчення плазми і термоядерного синтезу (Plasma Science and Fusion Center), що знаходиться на території університетського містечка Массачуссетського технологічного інституту. Серцем цієї установки є постійний магніт тороїдальної форми, виготовлений з надпровідних котушок вагою півтонни, який плаває всередині установки під впливом магнітного поля. Цей магніт оточений шаром високотемпературної плазми, розігрітій до температури в 10 мільйонів градусів. Під впливом магнітного поля в цій плазмі починають йти реакції термоядерного синтезу, які є безмежним джерелом енергії і можуть стати основою для екологічно чистої енергетики майбутнього[8 - 11]

Проект Массачусетського технологічного інституту є унікальною альтернативою двом, застосовуються в даний час, технологіями здійснення керованої реакції термоядерного синтезу. Першою технологією є технологія стиснення високотемпературної плазми за допомогою сильного магнітного поля всередині тороїдального обсягу термоядерного реактора типу Токмак. Другою технологією є технологія розігріву термоядерного палива за допомогою потужного пучка лазерного світла, в ході нагрівання досягається дуже висока температура, завдяки чому починають йти реакції термоядерного синтезу. Але, на жаль, жодна з перерахованих вище технологій так і не була доведена до рівня, що дозволяє її практичне використання в області енергетики[79].

В ході експерименту, званого Levitated Dipole Experiment (LDX), вищезгаданий магніт був укладений всередині відсіку реактора. Завдяки його формі, магнітне поле цього магніту прийняло форму, подібну формі магнітного поля планет. Рухома навколо цього магніту високотемпературна плазма під впливом нерівномірного магнітного поля створила області випадкової турбулентності, в яких щільність плазми збільшувалася настільки, що починали протікати реакції термоядерного синтезу. Змінюючи силу струму, що йде через обмотки плаваючого магніту, отже, регулюючи силу магнітного поля, вченим вдалося збільшити або сповільнити швидкість протікання термоядерної реакції.

Звичайно, вченим ще належить велика робота, перш ніж мова піде про практичне застосування цієї технології в галузі енергетики. Адже в цій технології були використані досить нетрадиційні методики, реалізація яких вимагає значних зусиль. По-перше, це точність, з якою необхідно утримувати плаваючий в просторі магніт в умовах мінливого магнітного поля і йде навколо нього термоядерної реакції. По-друге, отримання чималого обсягу плазми, розігрітій до температури в 10 мільйонів градусів, є теж вельми нетривіальним і важким завданням[79].

Але, як би там не було, результати експерименту Levitated Dipole Experiment прямо вказують на те, що керовані реакції термоядерного синтезу вже можна практично реалізувати і, при деякому доопрацюванні використаних технологій, використовувати в якості невичерпного джерела недорогий і екологічно чистої енергії.[12 - 14]

2. Моделі та методи магнітної левітації підвісу ldx у термоядерному реакторі

2.1 Модель магнітної левітації з використанням надпровідного кільця та магнітного диполя

Вперше в аналітичному виді умови магнітної левітації, заснованої на ефекті Козоріза, були отримані для системи, що складається з надпровідної котушки і магнітного диполя. Потенційна енергія такої системи складається з магнітної енергії взаємодії (3.54) і енергії однорідного поля ваги:

, (1)

де - магнітний потік через надпровідне кільце; - постійний струм, що відповідає магнітному диполю; - власна індуктивність надпровідного контуру; - взаємна індуктивність надпровідного контуру і магнітного диполя; - вага магніту (диполя); - відстань між надпровідним контуром і магнітним диполем.

Після розкладання магнітне поле в циліндричній системі координат приймає вид:

(2)

де - компоненти магнітного поля кільця зі струмом одиничної величини; - радіус надпровідного кільця. Отже, з необхідною точністю повну потенційну енергію системи виражають через елементарні функції (1-2).

Наша система має симетрію щодо осі , тому механічна циклічна координата не входить у вираження для потенційної енергії. Тому дійсний мінімум потенційної енергії може знаходитися тільки на осі (тобто ). Вираження для компонентів сили має вид:

, (3)

де .

Як випливає з формули (3), для того, щоб на осі компонента сили дорівнювала нулю, необхідно, щоб чи . Надалі будемо розглядати тільки випадок , тому що зміна на фізично є еквівалентною зміні знака магнітного моменту . У присутності сили ваги точка рівноваги не може збігатися з нулем магнітної сили, тому . Таким чином, усі складові магнітної сили, крім компоненти , автоматично дорівнюють нулю на осі симетрії системи, а можна урівноважити силою ваги . Причому важливо відзначити, що рівність нулю суми магнітної сили і сили ваги можна досягти в будь-якій точці осі відповідним підбором співвідношення магнітних параметрів і маси магніту за умови, що магнітна сила спрямована вгору. Таким чином, для визначення умов стійкості рівноваги системи досить досліджувати потенційну енергію у другому порядку малості за відхиленнями координат від передбачуваної точки рівноваги. Помітимо, що потенційна енергія однорідного поля ваги лінійна щодо , і тому параметр не може входити в умови стійкості, обумовлені другим порядком малості за координатами.

Для зручності дослідження достатніх умов мінімуму потенційної енергії системи введемо наступний набір безрозмірних незалежних змінних: , , , . Змінні і , які задають напрямки диполя, виключають невизначеність, що є властивою параметру , у разі орієнтації диполя паралельно осі . В обраних змінних потенційна енергія системи має наступний вид:

(4)

де .

Достатньою умовою мінімуму потенційної енергії в точці рівноваги є позитивна визначеність матриці гессіана:

...