Моделирование трехмерных конвективных течений с помощью пакета OpenFOAM

Свободная тепловая конвекция

Долгое время проблемы вычислительного характера не позволяли проводить трехмерные расчеты в гидродинамике [1]. На фоне большого числа экспериментов теоретические работы с полноценным расчетом трехмерных конвективных течений в широкой области надкритичностей стали появляться сравнительно недавно. Существуют гидродинамические системы, которые изначально позволяют облегчить расчеты путем сведения трехмерной задачи к двумерной в силу простоты геометрии. Одним из таких примеров специальной геометрии в области тепловой конвекции является ячейка Хеле-Шоу. Данная полость представляет собой прямоугольный параллелепипед, один из горизонтальных размеров которого много меньше двух других. При подогреве снизу [2, 3] или сбоку со стороны вертикальной узкой грани [4] в ячейке Хеле-Шоу наблюдается течение в плоскости широких граней, которое остается двумерным в очень широкой области управляющих параметров задачи [5].

Эксперименты показывают, что конвективные движения в ячейке Хеле-Шоу часто можно считать плоскими, даже когда изначально на неоднородно нагретый элемент жидкости действуют объемные силы, имеющие все три компоненты и сложным образом меняющиеся в массиве от точки к точке. В работе [6] теоретически рассматривалось действие сил инерции на конвективные движения в ячейке Хеле-Шоу, подогреваемой снизу точечным пульсационным источником тепла. Полость совершала круговое движение в плоскости, ось вращения которой была наклонена на небольшой угол по отношению к вертикали. Кювета располагалась от оси вращения на расстоянии, значительно превышающем размеры самой полости, а широкие грани были параллельны оси вращения. Вследствие достаточно большой угловой скорости вращательного движения действие центробежной силы было сравнимо по величине с влиянием на течение силы тяжести. При движении элемента жидкости в плоскости широких граней в подобных условиях на него действует дополнительно сила Кориолиса, направленная поперек полости. Действие этой силы неизбежно должно приводить к возникновению трехмерного течения. Однако оценки показывают, что полость всегда можно сузить настолько, что широкие грани будут запирать течение в поперечном сечении. Таким образом, в ходе вычислений [6] можно было учитывать действие только центробежной силы и пренебречь силой Кориолиса. Оказалось, что результаты двумерных расчетов хорошо согласуются с экспериментальными данными [7].

Другим примером резистивности ячейки Хеле-Шоу относительно возникновения в ней трехмерных конвективных движений может служить процесс развития в системе двух химически взаимодействующих жидкостей специфических концентрационных "пальчиковых структур" [8]. Вертикальная ячейка Хеле-Шоу, целиком заполненная реагирующими жидкостями, изначально представляет собой двухслойную конвективную систему. Вследствие неустойчивости Рэлея-Тейлора совместное действие химической реакции, конвекции и диффузии приводит к формированию диссипативных структур, эволюция которых имеет двумерный характер и происходит в плоскости широких граней полости. Существенная двухмерность картины термоконцентрационного движения является одним из главных результатов данной работы.

Вибрационная конвекция в ячейке Хеле-Шоу

Специфика геометрии рассматриваемой полости позволит продемонстрировать также действие на тепловую конвекцию высокочастотных вибраций. Классические уравнения термовибрационной конвекции не допускают решения в виде состояния механического квазиравновесия в ячейке Хеле-Шоу при подогреве снизу. При сколь угодно слабом вибрационном воздействии стенками полости генерируется осредненное конвективное течение, приводящее в движение жидкость во всем объеме [9, 10]. Как следствие, вблизи твердых границ полости ожидается генерация трехмерных вибрационно-конвективных течений. Однако эксперименты показывают, что при включении вибраций конвективное движение в широком диапазоне вибрационных чисел Рэлея остается двумерным. Широкие грани по-прежнему запирают движение в поперечном сечении и не дают развиться трехмерным осредненным течениям. Серьезным подтверждением применимости приближения плоских траекторий к задачам о вибрационной конвекции в ячейке Хеле-Шоу служит факт существования квазиравновесия в многочисленных экспериментах с разной постановкой.

В работе [9] численно, методом конечных разностей, изучены двумерные конвективные движения в ячейке Хеле-Шоу, находящейся в условиях невесомости при воздействии продольных высокочастотных вибраций для различных соотношений сторон широких граней. Произведен расчет первых критических движений, показано, что вибра-ционная конвекция в невесомости возбуждается "мягко". В работе [11] найдены условия существования механического квазиравновесия однородной жидкости, заполняющей ячейку Хеле-Шоу, находящейся в поле тяжести под действием высокочастотных горизонтальных вибраций. Для полости с соотношением сторон 2:10:20 изучены сценарии перехода от квазиравновесия к нерегулярным колебаниям. Показано, что при наличии сильного вибрационного воздействия первым критическим движением может быть двухвихревое течение. моделирование численный тепловой конвекция

Влияние, оказываемое вертикальными вибрациями на конвекцию в ячейке Хеле-Шоу, которая находится в статическом поле тяжести, исследовано численно и аналитически в работе [12]. В широком диапазоне управляющих параметров изучены течения с конечной амплитудой. Установлено, что вертикальные вибрации повышают порог устойчивости квазиравновесия и стабилизируют все наблюдавшиеся в расчетах вибрационно-конвективные режимы. Различные специфические автоколебательные двумерные режимы в ячейке Хеле-Шоу были исследованы экспериментально и теоретически в работе [13]. Установлено, что эти течения характеризуются сложным пульсационным пространственно-временным поведением. В частности, динамика пульсационного двухвихревого режима такова: на фоне основного течения в углу полости случайным образом рождается небольшой возвратный вихрь, который с течением времени растет до некоторых размеров и затем поглощается основным течением, после чего процесс повторяется.

Помимо отмеченного выше применения приближения Хеле-Шоу при создании плоских химических реакторов [8], рассматриваемая конфигурация может успешно использоваться при совершенствовании конструкции конвективных датчиков инерционных ускорений [14]. Отклик в виде плоских движений на самые разнообразные внешние инерционные воздействия показывает, что ячейка Хеле-Шоу является аналогом поляризатора внешнего сигнала, т.е. позволяет создать датчик для регистрации инерционных сигналов и измерения их характеристик.

Тем не менее в случае фиксированной геометрии увеличение какого-либо из управляющих параметров все же должно при определенных условиях приводить к усложнению течения и появлению в нем третьей компоненты скорости. Таким образом, данная работа посвящена численному моделированию трехмерных конвективных течений в ячейке Хеле-Шоу и верификации приближения плоских траекторий.

1. Основные характеристики платформы OpenFOAM

OpenFOAM (Field Operation And Manipulation) - перспективное динамично развивающееся открытое программное обеспечение для моделирования задач механики сплошных сред (http://www.openfoam.com). Основным языком пакета является C++. Программное обеспечение OpenFOAM устанавливается под Unix-подобные операционные системы. В пакете есть готовые решатели для различных физических систем. Дифференциальные уравнения в частных производных записываются в терминах математических операторов и решаются методом конечных объемов на произвольной расчетной сетке с многогранными ячейками. Это позволяет вносить изменения в решатель, например, добавлять новые слагаемые в уравнения, что значительно расширяет возможности пакета OpenFOAM (http://openfoamwiki.net). Для связывания скорости и давления реализованы неявные численные методы SIMPLE, PISO и PIMPLE [15]. Платформа OpenFOAM работает с программным интерфейсом MPI, что позволяет разбивать расчетную область на части и проводить вычисления параллельно, используя одновременно до 2000 ядер. Работать можно как со структурированными, так и неструктурированными сетками. В OpenFOAM используются основные размерные единицы системы СИ.

Решение задачи состоит из трех этапов, включающих создание расчетной сетки, сам расчет и визуализацию полученных данных. В OpenFOAM входят утилиты для создания сетки, кроме них можно использовать и другие программы. Для визуализации результатов используется приложение ParaView (http://www.paraview.org), которое устанавливается вместе с OpenFOAM. Можно выполнять процедуру визуализации с помощью других программ. Для этого необходимо конвертировать соответствующие файлы в нужный формат с помощью утилит OpenFOAM.

2. Постановка задачи. Основные уравнения

Рассмотрим полость с твердыми гранями в форме прямоугольного параллелепипеда. Введем обозначения: высота ячейки - H, длина - L, толщина - 2d. Данную полость принято называть ячейкой Хеле-Шоу, если выполняется условие H, L " d. В ходе расчетов горизонтальные грани предполагаются идеально теплопроводными, вертикальные - теплоизолированными. Полость неоднородно нагрета и находится в статическом поле тяжести. Течение жидкости в ячейке Хеле-Шоу описывается системой стандартных уравнений тепловой конвекции в приближении Буссинеска [1]:

, (1)

(2)

Здесь v, p и T - размерные поля скорости, давления и температуры; н, в и ч - коэффициенты кинематической вязкости, теплового расширения и температуропроводности соответственно; g - ускорение силы тяжести; - единичный вектор, направленный вертикально вверх; с - средняя плотность жидкости. Для численного интегрирования уравнений (1)-(2) используется модифицированный решатель, построенный на основе реализованного в ОpenFOAM алгоритма PISO.

Неоднородность нагрева полости обеспечивается путем задания на верхней и нижней границах разности температур и. Для компонент вектора скорости на твердых гранях справедливо условие прилипания .

3. Результаты расчетов