Расчет системы передачи дискретных сообщений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Российской Федерации

Уфимский государственный авиационный технический университет

Кафедра телекоммуникационных систем

Курсовая работа

Расчет системы передачи дискретных сообщений

Задание

Рассчитать основные характеристики системы передачи сообщений (рис.1), включающий в себя источник сообщений (ИС), дискретизатор (Д), кодирующее устройство (Кодер), модулятор (Мод), линия связи, демодулятор (Дем), декодер (Дек) и фильтр-восстановитель (ФВ).

Исходные данные

a_min = -6,4 B;

a_max = 6,4 B;

F_c = 15*10³ Гц;

j = 79;

i = 5;

Вид модуляции АМ;

N₀ = 1,09·10^-7B²/Гц;

Способ приема когерентный.

дискретный модулирующий мощность

1. Источник сообщений

Источник сообщений выдает сообщение а(t), представляющее собой непрерывный стационарный случайный процесс, мгновенные значения которого в интервале а _min a _max распределены равномерно, а мощность сосредоточена в полосе частот от 0 до F_c.

Требуется:

1. Записать аналитические выражения и построить график одномерной плотности вероятности мгновенных значений сообщения а(t).

2. Найти мат. ожидание и дисперсию сообщения а(t)

3. Построить график случайного процесса и на графике обозначить max значение сигнала, математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение.

1) Для непрерывных процессов Х(t) распределение вероятностей в заданный момент времени t₁ характеризуется одномерной плотностью вероятности (ПВ):

выражающей отношение вероятности того, что случайная величина Х(t) примет значения в интервале , к величине интервала .

Вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (x_1,х₂) определяется выражением:



Из условия нормировки для достоверного события имеем:

В нашем случае ПВ имеет вид равнобедренного треугольника.

ПВ при треугольном распределении на интервале (а_min,a_max) изменяется по определенному закону и равна 0 вне этого интервала.

Где L длина основания треугольника:

;

L=12.8 В;

Высота треугольника H можно найти из условия нормировки т.к. площадь треугольника равна 1, то

Зная, что



Найдем высоту H:

;

;

Аналитическое выражение для треугольного закона распределения вероятности:

2) Математическое ожидание (МО) определяет среднее значение случайной величены

;

и для треугольного распределения ПВ имеет вид:



.

Дисперсия характеризует разброс случайной величены относительно ее среднего значения (физический смысл - средняя мощность отклонения от некоторой средней величины).

Для треугольного распределения ПВ:

Т.к. , получим:

В итоге =6.827 В².

Величинуназывают стандартным или среднеквадратическим отклонением (СКО). =2.613 В.

3)

a_min = -6,4 B, a_max = 6,4 B,

=2,613 В, =-2,613 В, .

2. Дискретизатор

Передача непрерывного процесса осуществляется дискретными методами. Для этого сообщение а(t) дискретизируется по времени и квантуется по уровню с равномерным шагом. Шаг квантования по уровню а= 0,1В.

Требуется:

1. Определить шаг дискретизации по времени (t).

2. Определить число уровней квантования (L).

3. Рассчитать среднюю мощность шума квантования.

4. Рассматривая дискретизатор как источник дискретного сообщения с объемом алфавита L, определить его энтропию и производительность (Н, Н'), отсчеты, взятые через интервал t считать независимыми.

1) По теореме Котельникова, в полосе частот [0 , F_c] Гц шаг дискретизации по времени;

.

2) Число уровней квантования L при равномерном шаге определяется как частное от деления размаха сигнала на шаг квантования а. Число уровней квантования L равно:

3)Поскольку квантование по уровню производится с равномерным шагом, то закон распределения шума квантования также будет равномерным и не будет зависеть от номера интервала квантования. Тогда на интервале

МО (среднее значение шума квантования ) будет равно нулю, а средняя мощность (дисперсия шума квантования):



4)Энтропия - это средняя информативность источника на один символ, определяющая `неожиданность' или `непредсказуемость' выдаваемых им сообщений. Полностью детерминированный источник, выдающий лишь одну, заранее известную последовательность, обладает нулевой информативностью. Наоборот, наиболее `хаотический' источник, выдающий взаимно независимые и равновероятные символы, обладает максимальной информативностью.

Для источника, не обладающего памятью с алфавитом А энтропия записывается следующим образом:

Где L - объем алфавита , , i=1,2,3,…,L-вероятности выдачи источником символов , причем они не зависят от номера элемента последовательности, т.к. источник является стационарным.

Для треугольного распределения ПВ



Таким образам энтропия равна:

;

Если источник сообщения имеет фиксированную скорость символ/с, то производительность источника можно определить, как энтропию в единицу времени, (секунду):

3. Кодер

Кодирование осуществляется в два этапа.

Первый этап:

Производится примитивное кодирование каждого уровня квантованного сообщения - разрядным двоичным кодом.

Второй этап:

К полученной - разрядной двоичной кодовой комбинации добавляются проверочные символы, формируемые в соответствии с правилами кодирования по коду Хэмминга.

В результате этих преобразований на выходе кодера образуется синхронная двоичная случайная последовательность b(t) (синхронный случайный телеграфный сигнал), состоящая из последовательности биполярных импульсов единичной высоты, причем положительные импульсы в ней соответствуют символу «0», а отрицательные - символу «1» кодовой комбинации.

Требуется:

1. Определить число разрядов кодовой комбинации примитивного кода , необходимое для кодирования всех L уровней квантованного сообщения.

2. Определить избыточность кода при использовании кодирования Хэмминга.

3. Записать двоичную кодовую комбинацию, соответствующую передаче j-го уровня, считая, что при примитивном кодировании на первом этапе j-му уровню ставится в соответствии двоичная кодовая комбинация, представляющая собой запись числа j в двоичной системе счисления. В полученной кодовой комбинации указать информационные и проверочные разряды.

4. Определить число двоичных символов, выдаваемых кодером в единицу времени V_n и длительность двоичного символа T.

1)Для кодирования L =128 уровней квантованного сообщения число разрядов двоичной кодовой комбинации:

;

Число проверочных разрядов r для исправления однократной ошибки должно удовлетворять неравенству:

;

В итоге решение неравенства получаем r =4. Тогда длина всей кодовой комбинации:

2)Определим избыточность кода при использовании кодирования Хэмминга.

3) j=79 Его двоичная комбинация (занимающая К=7 разрядов). Проверочные символы располагаются позициях, где =0,1,2,…

1 0 0 1 1 1 1

b₁₁ b₁₀ b₉ b₇ b₆ b₅ b₃

Определим проверочные символы (они располагаются на 1,2,4,8 позициях):

b₁= b₃b₅b₇ b₉ b₁₁ r₁=b₁b₃b₅b₇ b₉ b₁₁

b₂= b₃ b₆b₇b₁₀b₁₁ r₂= b₂ b₃ b₆b₇b₁₀b₁₁

b₄= b₅ b₆ b₇ r₃= b₄ b₅ b₆ b₇

b₈= b₉ b₁₀ b₁₁ r₄=b₈b₉ b₁₀ b₁₁

Проверочные символы:

b₈ b₄ b₂ b₁ 1 0 0 0 1 b₁=0 r₁=0

2 0 0 1 0 b₂=0 r₂=0

3 0 0 1 1 b₄=1 r₃=0

4 0 1 0 0 b₈=1 r₄=0

5 0 1 0 1

6 0 1 1 0

7 0 1 1 1

8 1 0 0 0

9 1 0 0 1

10 1 0 1 0

11 1 0 1 1

В итоге получим кодовую комбинацию, содержащую информационные и проверочные разряды:

1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0

4) Число двоичных символов V_n , выдаваемых кодером в единицу времени, определяется числом отсчетов в секунду () и числом двоичных символов , приходящихся на один отсчет:

;

Длительность T двоичного символа определяется как :

;

4. Модулятор

В модуляторе синхронная двоичная случайная последовательность биполярных импульсов b(t) осуществляет модуляцию гармонического переносчика

U_m = cos(2рft), (U_m=1В, f = 100 V_n Гц)

При АМ «0» соответствует сигнал U₁(t) = 0,

символу «1» -

U₂(t) = U_m cos(2рft).

Требуется:

1. Записать аналитическое выражение модулированного сигнала U(t)=ц(b(t)).

2. Изобразить временные диаграммы модулирующего b(t) и модулированного U(t) сигналов, соответствующие передачи j-го уровня сообщения a(t).

3. Привести выражение и начертить график корреляционной функции модулирующего сигнала В(ф).

4. Привести выражение и начертить график спектральной плотности мощности модулирующего сигнала G_b(f).

5. Определить ширину энергетического спектра модулирующего сигнала ?F_b из условия ?F_b=бV_k (где б выбирается в пределах от 1 до 3). Отложить полученное значение ?F_b на графике G_b(f).

6. Привести выражение и построить график энергетического спектра G_u(f) модулированного сигнала.

7. Определить ширину энергетического спектра ?F_u модулированного сигнала и отложить значение ?F_u на графике G_u(f).

1) Модуляция - изменение по заданному закону во времени величин, характеризующих какой-либо регулярный физический процесс. Под модуляцией колебаний понимают изменение амплитуды, частоты, фазы и т. д. В случае амплитудной модуляции (АМ) несущее колебание промодулировано по закону изменения амплитуды первичного сигнала. Несущее колебание - это синусоидальное колебание высокой (несущей) частоты, амплитуда которого модулируется передаваемым сигналом.

Модулятор, составная часть передатчика в каналах электросвязи, с помощью которой осуществляется управление параметрами гармонических электромагнитных колебаний, т. е. модуляцией колебаний. Управляющий элемент модулятора - транзистор, электронная лампа, клистрон, ячейка Керра и т. д.

Аналитическое выражение для АМ модулированного сигнала:

;

;

.

2) Временные диаграммы модулирующего b(t) и модулированного U(t) сигналов, соответствующие передачи j-го уровня сообщения a(t).



3) Корреляция, в математической статистике - вероятностная или статистическая зависимость. Корреляция возникает тогда, когда зависимость одного из признаков от другого осложняется наличием ряда случайных факторов.

Корреляционная функция дает качественное представление о линейной зависимости между значениями одной или двух случайных функций в выбранные моменты времени.

Свойства корреляционной функции:

1. Корреляционная функция четна:

2. Абсолютное значение автокорреляционной функции при любых не может превышать значения при =0.

корреляционная функция имеет максимум при =0.

абсолютное значение корреляционной функции ограничивается значением дисперсии.

3. Случайные процессы, наблюдаемые в стационарно устойчиво работающих системах имеют конечное время корреляции:

Корреляционная функция случайного синхронного телеграфного биполярного сигнала с единичной высотой импульсов имеет следующий вид:



,

где T длительность импульсов.

4) Спектральная плотность величины - предел отношения величины (напряжения, мощности и др.), соответствующий узкому участку оптического спектра, к ширине этого участка.

Для нахождения спектральной плотности мощности G_b(f) сигнала b(t) необходимо воспользоваться теоремой Хинчина-Винера, которая устанавливает связь между энергетическим спектром корреляционной функцией случайного процесса.

Спектральная плотность мощности модулирующего сигнала G_b(f):

Gb(f),B2/Гц	3.0310-6	9.74310-9	1.33510-7	9.39510-9	4.37310-8	2.96210-10
f,Гц	1	3.5105	5105	7105	8.5105	106



График спектральной плотности мощности модулирующего сигнала

5) На графике видно, что вся энергия модулирующего сигнала сосредоточена в полосе ?F_b Гц.

График спектральной плотности мощности модулированного сигнала

В результате модуляции исходный спектр сдвигается на частоту модулируемого колебания. Если известен спектр модулирующего сигнала , можно найти спектр амплитудно-модулированного сигнала. Энергетический спектр амплитудно-модулированного сигнала содержит -функцию на частоте f=f₀ верхнюю и нижнюю боковые полосы. Наличие -функции в энергетическом спектре отражает наличие несущей частоты при амплитудной модуляции. Форма верхней боковой полосы энергетического спектра АМ сигнала совпадает с формой энергетического спектра модулирующего сигнала b(t), а форма нижней - совпадает с зеркальным спектром сигнала b(t).

7) Ширина энергетического спектра при АМ будет в два раза больше ширины энергетического спектра модулирующего сигнала.

5. Канал связи

Передача сигнала U(t) осуществляется по каналу с постоянными параметрами и аддитивным флуктуационным шумом n(t) с равномерным энергетическим спектром N₀/2 (белый шум).

Сигнал на выходе такого канала можно записать следующем образом:

z(t) = U(t) + n(t) ,

U(t)- полезный сигнал, n(t)- аддитивная помеха.

Требуется:

1. Определить мощность шума в полосе частот F_k = ?F_u ;

2. Найти отношение сигнал - шум Р_с /Р_ш;

3. Найти пропускную способность канала С;

4. Определить эффективность использования пропускной способности канала К_с, определив ее как отношение производительности источника Н' к пропускной способности канала С.

1) В каналах связи аддитивные помехи возникают по различным причинам и могут принимать различные формы, индивидуальные реализации которых трудно учесть. Такие помехи чаще вызывают необратимые изменения передаваемых сигналов. Аддитивные помехи по своей структуре разделяют на три основных класса: распределенные по частоте и времени (флуктуационные), сосредоточенные по частоте (квазигармонические) и сосредоточенные во времени (импульсные).

Флуктуационные помехи порождаются в системах связи случайными отклонениями тех или иных физических величин (параметров) от их средних значений. Источником такого шума в электрических цепях могут быть флуктуации тока, обусловленные дискретной природой носителей зарядов.

Наиболее распрастраненной причиной шума в аппаратуре связи являются флуктуации, обусловленные тепловым движением.

Зная спектральную плотность мощности N₀ можно определить мощность шума Р_ш в полосе ?F_u (промодулированного сигнала).

;

2) При определенном отношении , для двоичных равновероятных сигналов U₁(t) и U₂(t) их средняя мощность будет ровна:

, В²;

и ,

где T- длительность сигналов.

Символу “0” cоответствует сигнал ;

Символу “1” cоответствует сигнал ;

Если передается “0” то ;

;

Так как

, поэтому ;

;

3) Под пропускной способностью понимают количество, данных которое может быть передано по каналу за 1 секунду.

;

4) Эффективность использования пропускной способности канала К_с:

6. Демодулятор

В демодуляторе осуществляется оптимальная когерентная или некогерентная (в зависимости от варианта) обработка принимаемого сигнала

z(t) = U(t) + n(t)

Требуется:

1. Записать алгоритм оптимального приема по критерию минимума средней вероятности ошибки при равновероятных символах в детерминированном канале с белым гауссовским шумом.

2. Нарисовать структурную схему оптимального демодулятора для заданного вида модуляции и способа приема.

3. Вычислить вероятность ошибки р_ш оптимального демодулятора.

4. Определить, как нужно изменить энергию сигнала, чтобы при других видах модуляции и заданном способе приема обеспечить найденное значение вероятности ошибки р_ш.

1)Канал с аддитивным гауссовским шумом отображается линейной цепью с постоянной передаточной функцией, сосредоточенной в определенной полосе частот. Допустимы любые входные сигналы, спектр которых лежит в определенной полосе частот F_c , имеющие ограниченную среднюю мощность Р_с (либо пиковую мощность Р_пик).

Предположим , что все искажения в канале строго детерминированы и случайным является только гауссовский белый аддитивный шум со спектральной плотностью N₀. Это значит что при передаче символа “1” принимаемое колебание можно записать математической моделью



z(t) = U₂(t) + n(t) ,

где U₂(t)- известный переносчик для символа “1”. Передаче символа “0” соответствует известный переносчик U₁(t): z(t) = U₁(t) + n(t).

Неизвестна реализация помехи и позиция (индекс 1 или 2), переданного сигнала , который и должна распознать решающая схема. Распознавание осуществляется на основе метода идеального наблюдателя (Котельникова).

Для когерентного приемника границы начала и конца принимаемого сигнала точно известны, т.е. передаваемые сигналы финитны и имеют одинаковую длительность, а в канале нет ни многолучевого распространения, ни линейных искажений, вызывающих увеличение длительности сигнала (либо они скорректированы).

В таком случае алгоритм приема, который осуществляет оптимальный приемник над входным колебанием, имеет вид:

Если неравенство выполняется , то приемник регистрирует “1”, в противном случае “0”.

Т.к. сигнал , следовательно

()



2) Структурная схема оптимального когерентного демодулятора, реализующего неравенство *.

На схеме Х-перемножитель, интегратор, вычитающее устройство, РУ-решающее устройство, определяющее в моменты времени кратные Т максимальный сигнал.

3) Вероятность ошибки р_ш оптимального когерентного демодулятора для канала с аддитивным нормальным белым шумом при передаче двоичных сообщений вычисляется следующим выражением:

р_ш= 1/2 (1-Ф(х)) ,

где Ф(х) - функция Крампа или интеграл вероятностей

Е_э - эквивалентная энергия сигналов, определяется следующим образом:

р_ш=0.5(1-0,991611027) =0,004194486;



4) ФМ является наиболее помехоустойчивым видом модуляции при равных энергетических затратах по сравнению АМ и ЧМ. Энергетический выигрыш ее составляет в четыре раза по сравнению с АМ и в два раза по сравнению с ЧМ.

Таблица сравнения.

Вид модуляции	По средней мощности	По пиковой мощности
ЧМ	1	2
ФМ	2	4
АМ	1	1

7. Декодер

В декодере декодирование осуществляется в два этапа. На первом этапе производится обнаружение и исправление ошибки в кодовой комбинации. Считать, что ошибка произошла в i-ом разряде. На втором этапе из нее выделяются информационные символы, а затем k - разрядная двоичная кодовая комбинация преобразуется в элемент квантованного сообщения.

Требуется:

1. Оценить обнаруживающую способность q₀ кода Хэмминга.

2. Записать алгоритм обнаружения ошибок.

3. Определить вероятность не обнаружения ошибки.

1) По теореме Хемминга для того чтобы код позволял исправлять все ошибки в z (или менее) позициях , необходимо и достаточно, чтобы наименьшее расстояние между кодовыми словами было:

Наш код исправляет одну ошибку и обнаруживает

ошибки.

2) Декодер получает от демодулятора некоторую последовательность двоичных символов b₁, b₂ ,b₃,…, b_i,…, b_n. В ней может быть ошибка.

Декодер позволяет исправить однократную ошибку и определить наличиедвукратной ошибки.

В декодере формируется т.н. проверочный синдром. По коду синдрома с помощью проверочной матрицы можно определить местоположение ошибки.

Кодовая последовательность: 10011111100 (j=79).

i=5 кодовая последовательность с ошибкой: 10011101100 .

Определим код синдрома.

1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0

b₁₁ b₁₀ b₉ b₈ b₇ b₆ b₅ b₄ b₃ b₂ b₁

r₁=b₁b₃b₅b₇ b₉ b₁₁ r₁=1

r₂= b₂ b₃ b₆b₇b₁₀b₁₁ r₂= 0

r₃= b₄ b₅ b₆ b₇ r₃= 1

r₄=b₈b₉ b₁₀ b₁₁ r₄=0

r₁ r₂ r₃ r₄=1010=5₁₀

Т.о. разряд №5 является ошибочным. его инвертируем и получаем: 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0

3) Вероятность не обнаружения ошибки определяется по формуле:

;;



Где n - число разрядов, ;

q-обнаруживающая способность кода Хэмминга, q=2.

р - вероятность ошибки в одном разряде, р=0,004194486

-

общее число различных выборок объема . .

8. Фильтр-восстановитель

Фильтр-восстановитель - фильтр нижних частот с частотой среза F_c.

Требуется:

1. Указать величину F_c.

2. Изобразить идеальные АЧХ и ФЧХ фильтра - восстановителя.

3. Найти импульсную характеристику g(t) идеального фильтра - восстановителя и начертить ее график.

1)Частота среза связана с временем дискретизации .Из теоремы Котельникова:

;

2)Передаточная функция идеального ФНЧ:

,



Где j=,

-АЧХ.

-ФЧХ.

Идеальная АЧХ фильтра - восстановителя имеет вид:

ФЧХ для идеального фильтра

- время задержки (величина порядка 10^-4 - 10^-5 с).

3) Импульсная переходная характеристика берется как обратное преобразование Фурье:

Будем считать, что фильтр работает на низких частотах и время задержки достаточно малая величина.

Если =0, то ,

Тогда

.

Таблица

t,c	1	0.00002	0.000005	0.00006	0.00007	0.000075	0.000085
g(t)	0	1.009	1.926	-0.207	0.0936	0.2	0.246



График импульсной характеристики g(t)

Таблица результатов

H (высота),	, В	, В2	, с	L (число уровней)
0,15625	0	6.827	33.333·10-6	128
Ршк , В2	Н,	Н',	n, (число разрядов)	,(избыточность кода)
8,33·10-4	6,722	201662.0166	11	0,3636
Vn,	Т, с	f, Гц	, Гц	, Гц
33·104	3.03·10-6	33·106	3.3·105	6.6·105
Рс , В2	Рш , В2	С,	рш	рно
0.25	0.03597	1974060	0.004194486	0,00001187

Размещено на Allbest.ru

...