Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики"

МГТУМИРЭА

Факультет кибернетики

Кафедра автоматических систем

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Цифровая обработка сигналов»

Тема курсовой работы: «Построение и исследование характеристик цифрового эквивалента аналогового фильтра»

Студент группы КУБ-1-12

Барашков А.А.

Москва 2015

Оглавление

1. Исследование характеристик аналоговой цепи

2. Расчёт цифровой цепи методом Эйлера

3. Расчёт цифровой цепи методом билинейного преобразования

4. Расчёт цифровой цепи методом инвариантной импульсной характеристики

5. Разработка и тестирование алгоритма цифровой фильтрации

1. Исследование характеристик аналоговой цепи

Дана аналоговая пассивная цепь:

Рис. 1. Схема аналоговой цепи

Для цепи заданы параметры:

R₁=1000 Ом

R₂=4000 Ом

С₁=1,5 мкФ

C₂=0,5 мкФ

Воспользуемся символическим методом расчёта электрических цепей.

Рис. 2. Схема для расчёта аналоговой цепи

Применим метод «двух узлов». Узел a - заземлим, его потенциал будет равен нулю. Найдём потенциал узла c.



Ток, протекающий через резистор R₂:

Далее найдём потенциал в точке b. Так как , а ,

Получим частотную передаточную функцию цепи:

Код в Matlab:

clc;clear;

R1=1000;

R2=4000;

C1=1.5*10^(-6);

C2=0.5*10^(-6);

Wa0=(R2*C2)^2;

Wa1=R2*C2;

Wb0=C1*R1*(R2*C2)^2;

Wb1=C2*R2*(C2*R2+2*C1*R1+C2*R1);

Wb2=2*C2*R2+C1*R1+C2*R1;

Wanalog=tf([Wa0 Wa1 0], [Wb0 Wb1 Wb2 1])

Подставив значения параметров R и C, получим:

Так как преобразования Фурье и Лапласа имеют схожий вид, можно выполнить замену p=jщ. Тогда передаточная функция аналоговой цепи:

Найдём для этой передаточной функции нули и полюса.

Код в Matlab:

disp('Полюса:');

disp(pole(Wanalog));

disp('Нули:');

disp(zero(Wanalog));

Нули:

p=0; p=-500

Полюса:

p=-1000; p=-500; p=-1000/3

Исходя из найденных значений, можем записать передаточную функцию в виде:



Этой передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение:

Получим логарифмические амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики для этого фильтра:

Амплитудно-частотная характеристика:

Фазо-частотная характеристика:

Построим графики этих характеристик:

Код в Matlab:

figure(1);

bode(Wanalog,'g');

grid on;

Рис. 3. Логарифмические частотные характеристики аналогового фильтра

Для проверки предыдущих вычислений можно сравнить полученную выше ЛАЧХ с ЛАЧХ, полученной при непосредственном моделировании электрической цепи в пакете Electronics Workbench:

Рис. 4. Моделирование электрической цепи в пакете Electronics Workbench

Получим импульсную переходную функцию этого фильтра.

Для этого разложим передаточную функцию на простые дроби:

Найдём коэффициенты:

C₀=1,5

C₁=-0,5

С помощью обратного преобразования Лапласа, найдём ИПФ:



Построим в системе Matlab график ИПФ:

Код в Matlab:

figure(2);

impulse(Wanalog,'g');

grid on;

Рис. 5. График импульсной переходной функции аналогового фильтра.

2. Расчёт цифровой цепи методом Эйлера

Для получения передаточной функции цифрового фильтра необходимо произвести замену

,

где T_d - интервал дискретизации.

По ЛАЧХ аналогового фильтра найдём частоту, при которой происходит ослабление амплитуды в 10 раз (-20дБ). Примем её за ширину спектра.

щ_max=6580,668 рад/с

f_max= =1047,346 Гц

Возьмём частоту дискретизации в 5 раз больше ширины спектра:

f_d=5f_max=5236,730 Гц

Тогда период дискретизации:

T_d= =0,00019096 с

Выбрав период дискретизации, можно найти коэффициенты передаточной функции и разностного уравнения:

Код Matlab:

clc;clear;

Td=0.00019096; %Период дискретизации

A=2/3*10^3;

%Полюса аналоговой передаточной функции

p0=1000;

p1=1000/3;

u=(1+Td*(p0+p1+Td*p0*p1));

%Коэффициенты передаточной функции цифровой цепи

b0=A*Td/u

b1=-A*Td/u

a1=(-2-Td*(p0+p1))/u

a2=1/u

b=[b0 b1];

a=[1 a1 a2];

Полученные коэффициенты:

b₀ = 0,1005

b₁ = -0,1005

a₁ = -1,7798

a₂ = 0,7894

Передаточная функция:

Разностное уравнение:

Найдём нули и полюса этой передаточной функции:

Код Matlab:

[q,p]=tf2zpk(b,a);

disp('Нули');

disp(q);

disp('Полюса');

disp(p);

figure(4);

zplane(b,a);

Нули:

z=0; z=1

Полюса:

z=0,9402; z= 0,8397

Рис. 6. Карта нулей и полюсов цифрового фильтра, полученного методом Эйлера при T_d=0,00019096 с

Получим амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики этого фильтра. Для этого в передаточной функции произведём замену .

Амплитудно-частотная характеристика:

Фазо-частотная характеристика:

Код Matlab:

w=logspace(1,5,10000);

figure(1);

Wd=(b0+b1*exp(-1i*w*Td))./(1+a1*exp(-1i*w*Td)+a2*exp(-2*1i*w*Td));

% Построение графиков ЛАЧХ и ЛФЧХ цифровой цепи

subplot(2,1,1), loglog(w,abs(Wd),'b'), grid on, xlabel('w (Rad/s)'), title('MAGNITUDE - |H(w)|');

hold on;

subplot(2,1,2), semilogx(w,180/pi*angle(Wd),'b'), grid on, xlabel('w (Rad/s)'), title('PHASE - arg [H(w)] (deg)');

hold on;

figure(2);

% Построение графиков ЛАЧХ аналоговой и цифровой цепи на одном полотне Wa=A*1i*w./(1i*w+p0)./(1i*w+p1);

loglog(w,abs(Wd),'b');

hold on;

loglog(w,abs(Wa),'g');

hold on;

grid on; xlabel('w (Rad/s)'); title('MAGNITUDE - |H(w)|'); axis([0 10^5 10^(-2) 1]);

Как видно из полученных графиков (рисунки 7 и 9), частотные характеристики цифрового фильтра по форме почти точно повторяют характеристики аналогового прототипа на участке [0; ], то есть [0; 1,645·10⁴] рад/c. Далее идёт периодическое повторение характеристики цифрового фильтра.



Рис. 7. ЛАЧХ аналогового фильтра (обозначена зелёным) и соответствующего ему цифрового фильтра, полученного методом Эйлера при T_d=0,00019096 с (обозначена синим)

Рис. 8. ЛАЧХ и ЛФЧХ цифрового фильтра, полученного методом Эйлера при T_d=0,00019096 с



Рис. 9. Амплитудно-частотная характеристика (не в логарифмическом масштабе) аналогового фильтра (обозначена зелёным) и соответствующего ему цифрового фильтра, полученного методом Эйлера при T_d=0,00019096 с (обозначена синим)

Импульсная переходная функция цифрового фильтра может быть получена за счёт обратного Z-преобразования его передаточной функции. Мы получим её с помощью пакета Matlab.

Код Matlab:

N=0.012/Td;

n=0:(N-1);

h=impz(b,a,N);

figure(3);

title('Impulse Response h(n*Td) - impz');

hold on;

xlabel('n');

ylabel('h(n*Td)');

plot(n,h,'b');

grid on;



Рис. 10. Импульсная переходная функция цифрового фильтра, полученного методом Эйлера при T_d=0,00019096 с

По рисунку 10 видно, что ИПФ цифрового фильтра очень близка по форме к ИПФ аналогового и отличается, в первую очередь, на величину вещественного коэффициента.

Теперь возьмём частоту дискретизации в 10 раз больше ширины спектра: f_d=10f_max=10473,460 Гц

Тогда период дискретизации: T_d= =0,00009548с

Найдём коэффициенты передаточной функции и разностного уравнения:

b₀ = 0,0563

b₁ = -0,0563

a₁ = -1,8820

a₂ = 0,8847

Передаточная функция:



Разностное уравнение:

Нули:

z=0; z=1

Полюса:

z=0,9692; z= 0,9128

Рис. 11. Карта нулей и полюсов цифрового фильтра, полученного методом Эйлера при T_d=0,00009548 с

Получим амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики этого фильтра. Для этого в передаточной функции произведём замену .

Амплитудно-частотная характеристика:

Фазо-частотная характеристика:

Рис. 12. ЛАЧХ аналогового фильтра (обозначена зелёным) и соответствующего ему цифрового фильтра, полученного методом Эйлера при T_d=0,00009548 с (обозначена синим)

В результате сравнения графиков на рисунках 7 и 12, 8 и 13 можно сделать вывод, что при уменьшении периода дискретизации различия между частотными характеристиками цифрового фильтра и его аналогового прообраза становятся несколько меньше. Также у частотных характеристик цифрового фильтра увеличивается период.

Импульсная переходная функция:

фильтр цифровой импульсный цепь



Рис. 13. ЛАЧХ и ЛФЧХ цифрового фильтра, полученного методом Эйлера при T_d=0,00009548 с

Рис. 14. Импульсная переходная функция цифрового фильтра, полученного методом Эйлера при T_d=0,00009548 с

Из сравнения ИПФ при разных периодах дискретизации (рис. 10 и рис. 14) видно, что при уменьшении T_d в несколько раз, во столько же раз уменьшается амплитуда ИПФ.

3. Расчёт цифровой цепи методом билинейного преобразования

Для получения передаточной функции цифрового фильтра необходимо произвести замену

,

где T_d - интервал дискретизации.

Примем период дискретизации:

T_d=0,00019096 с

Выбрав период дискретизации, можно найти коэффициенты передаточной функции и разностного уравнения:

Код Matlab:

clc;clear;

Td=0.00019096; %Период дискретизации

A=2/3*10^3;

%Полюса аналоговой передаточной функции

p0=1000;

p1=1000/3;

u=(2/Td+p0)*(2/Td+p1);

%Коэффициенты передаточной функции цифровой цепи

b0=2*A/Td/u

b1=0

b2=-2*A/Td/u

a1=(-8/Td^2+2*p0*p1)/u

a2=(-2/Td+p0)*(-2/Td+p1)/u

b=[b0 b1 b2];

a=[1 a1 a2];

Полученные коэффициенты:

b₀ = 0,0563

b₁ = 0

b₂ = -0,0563

a₁ = -1,7640

a₂ = 0,7747

Передаточная функция:

Разностное уравнение:

Найдём нули и полюса этой передаточной функции:

Код Matlab:

[q,p]=tf2zpk(b,a);

disp('Нули');

disp(q);

disp('Полюса');

disp(p);

figure(4);

zplane(b,a);

Нули:

z=-1; z=1

Полюса:

z=0,9383; z= 0,8257

Рис. 15. Карта нулей и полюсов цифрового фильтра, полученного методом билинейного преобразования при T_d=0,00019096 с

Получим амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики этого фильтра. Для этого в передаточной функции произведём замену .



Амплитудно-частотная характеристика:

Фазо-частотная характеристика:

Код Matlab:

w=logspace(1,5,10000);

Wd=(b0+b2*exp(-2*1i*w*Td))./(1+a1*exp(-1i*w*Td)+a2*exp(-2*1i*w*Td));

% Построение графиков ЛАЧХ и ЛФЧХ цифровой цепи

figure(1);

subplot(2,1,1), loglog(w,abs(Wd),'b'), grid on, xlabel('w (Rad/s)'), title('MAGNITUDE - |H(w)|');

hold on;

subplot(2,1,2), semilogx(w,180/pi*angle(Wd),'b'), grid on, xlabel('w (Rad/s)'), title('PHASE - arg [H(w)] (deg)');

hold on;

% Построение графиков ЛАЧХ аналоговой и цифровой цепи на одном полотне

figure(2);

Wa=A*1i*w./(1i*w+p0)./(1i*w+p1);

loglog(w,abs(Wd),'b');

hold on;

loglog(w,abs(Wa),'g');

hold on;

grid on; xlabel('w (Rad/s)'); title('MAGNITUDE - |H(w)|'); axis([0 10^5 10^(-2) 1]);



Рис. 16. ЛАЧХ аналогового фильтра (обозначена зелёным) и соответствующего ему цифрового фильтра, полученного методом билинейного преобразования при T_d=0,00019096 с (обозначена синим)

Рис. 17. ЛАЧХ и ЛФЧХ цифрового фильтра, полученного методом билинейного преобразования при T_d=0,00019096 с

Полученная АЧХ цифрового фильтра, синтезированного методом билинейного преобразования, больше соответствует АЧХ аналогового прототипа в области частот от 10 до 10^4 рад/c, чем методом Эйлера при том же периоде дискретизации.

Импульсная переходная функция цифрового фильтра может быть получена за счёт обратного Z-преобразования его передаточной функции. Мы получим её с помощью пакета Matlab.

Код Matlab:

N=0.012/Td;

n=0:(N-1);

h=impz(b,a,N);

figure(3);

title('Impulse Response h(n*Td) - impz');

hold on;

xlabel('n');

ylabel('h(n*Td)');

plot(n,h,'b');

grid on;

Рис. 18. Импульсная переходная функция цифрового фильтра, полученного методом билинейного преобразования при T_d=0,00019096 с

ИПФ фильтра, полученного методом БП, несколько отличается по форме от ИПФ прототипа для начальных отсчётов.

Теперь возьмём другой период дискретизации: T_d=0,00009548с

Найдём коэффициенты передаточной функции и разностного уравнения:

b₀ = 0,0299

b₁ = 0

b₂ = -0,0299

a₁ = -1,8775

a₂ = 0,8804

Передаточная функция:

Разностное уравнение:

Нули: z=-1; z=1

Полюса: z=0,9687; z= 0,9089

Получим амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики этого фильтра. Для этого в передаточной функции произведём замену .

Амплитудно-частотная характеристика:

Фазо-частотная характеристика:



Рис. 19. Карта нулей и полюсов цифрового фильтра, полученного методом билинейного преобразования при T_d=0,00009548 с

Рис. 20. ЛАЧХ аналогового фильтра (обозначена зелёным) и соответствующего ему цифрового фильтра, полученного методом билинейного преобразования при T_d=0,00009548 с (обозначена синим)



Рис. 21. ЛАЧХ и ЛФЧХ цифрового фильтра, полученного методом билинейного преобразования при T_d=0,00009548 с

Импульсная переходная функция:

Рис. 22. Импульсная переходная функция цифрового фильтра, полученного методом билинейного преобразования при T_d=0,00009548 с

При уменьшении периода дискретизации у фильтра, полученного методом билинейного преобразования, характеристики изменились так же, как и у фильтра, полученного методом Эйлера.

4. Расчёт цифровой цепи методом инвариантной импульсной характеристики

Ранее была получена импульсная переходная функция аналогового фильтра:

В этом методе синтеза ИПФ ЦФ определяется через дискретные значения ИПФ аналогового прототипа:

Восстановим передаточную функцию по ИПФ:

Примем период дискретизации: T_d=0,00019096 с

Выбрав период дискретизации, можно найти коэффициенты передаточной функции и разностного уравнения:

Код Matlab:

clc;clear;

Td=0.00019096; %Период дискретизации

A=2/3*10^3;

C0=1.5;

C1=-0.5;

%Полюса аналоговой передаточной функции

p0=1000;

p1=1000/3;

%Коэффициенты передаточной функции цифровой цепи

b0=A*Td*(C0+C1)

b1=A*Td*(-C0*exp(-p1*Td)-C1*exp(-p0*Td))

a1=-exp(-p1*Td)-exp(-p0*Td)

a2=exp(-(p0+p1)*Td)

b=[b0 b1];

a=[1 a1 a2];

Полученные коэффициенты:

b₀ = 0,1273

b₁ = -0,1266

a₁ = -1,7645

a₂ = 0,7752

Передаточная функция:

Разностное уравнение:



Найдём нули и полюса этой передаточной функции:

Код Matlab:

[q,p]=tf2zpk(b,a);

disp('Нули');

disp(q);

disp('Полюса');

disp(p);

figure(4);

zplane(b,a);

Нули: z=0; z=0,9944

Полюса: z=0,9383; z= 0,8262

Рис. 23. Карта нулей и полюсов цифрового фильтра, полученного методом инвариантной импульсной характеристики при T_d=0,00019096 с

Получим амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики этого фильтра. Для этого в передаточной функции произведём замену .

Амплитудно-частотная характеристика:

Фазо-частотная характеристика:

Код Matlab:

w=logspace(1,5,10000);;

Wd=(b0+b1*exp(-1i*w*Td))./(1+a1*exp(-1i*w*Td)+a2*exp(-2*1i*w*Td));

% Построение графиков ЛАЧХ и ЛФЧХ цифровой цепи figure(1)

subplot(2,1,1), loglog(w,abs(Wd),'b'), grid on, xlabel('w (Rad/s)'), title('MAGNITUDE - |H(w)|');

hold on;

subplot(2,1,2), semilogx(w,180/pi*angle(Wd),'b'), grid on, xlabel('w (Rad/s)'), title('PHASE - arg [H(w)] (deg)');

hold on;

% Построение графиков ЛАЧХ аналоговой и цифровой цепи на одном полотне

figure(2);

Wa=A*1i*w./(1i*w+p0)./(1i*w+p1);

loglog(w,abs(Wd),'b');

hold on;

loglog(w,abs(Wa),'g');

hold on;

grid on; xlabel('w (Rad/s)'); title('MAGNITUDE - |H(w)|'); axis([0 10^5 10^(-2) 1]);



Рис. 24. ЛАЧХ аналогового фильтра (обозначена зелёным) и соответствующего ему цифрового фильтра, полученного методом инвариантной импульсной характеристики при T_d=0,00019096 с (обозначена синим)

Рис. 25. ЛАЧХ и ЛФЧХ цифрового фильтра, полученного методом инвариантной импульсной характеристики при T_d=0,00019096 с

АЧХ цифрового фильтра, синтезированного методом инвариантной импульсной характеристики, имеет существенно большие различия с АЧХ аналогового прототипа, чем у фильтров, полученных методами Эйлера и билинейного преобразования.

Импульсная переходная функция цифрового фильтра может быть получена за счёт обратного Z-преобразования его передаточной функции. Мы получим её с помощью пакета Matlab.

Код Matlab:

N=0.012/Td;

n=0:(N-1);

h=impz(b,a,N);

figure(3);

title('Impulse Response h(n*Td) - impz');

hold on;

xlabel('n');

ylabel('h(n*Td)');

plot(n,h,'b');

grid on;

ИПФ цифрового фильтра, полученного методом ИИХ отличается от ИПФ аналогового прототипа на вещественный множитель, равный периоду дискретизации.

Теперь возьмём другой период дискретизации T_d=0,00009548с

Найдём коэффициенты передаточной функции и разностного уравнения:

b₀ = 0,0637

b₁ = -0,0636

a₁ = -1,8776

a₂ = 0,8805



Рис. 26. Импульсная переходная функция цифрового фильтра, полученного методом инвариантной импульсной характеристики при T_d=0,00019096 с

Передаточная функция:

Разностное уравнение:

Нули:

z=0; z=0,9985

Полюса:

z=0,9687; z= 0,9089



Рис. 27. Карта нулей и полюсов цифрового фильтра, полученного методом инвариантной импульсной характеристики при T_d=0,00009548 с

Получим амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики этого фильтра. Для этого в передаточной функции произведём замену .

Амплитудно-частотная характеристика:

Фазо-частотная характеристика:

Рис. 28. ЛАЧХ аналогового фильтра (обозначена зелёным) и соответствующего ему цифрового фильтра, полученного методом инвариантной импульсной характеристики при T_d=0,00009548 с (обозначена синим)



Рис. 29. ЛАЧХ и ЛФЧХ цифрового фильтра, полученного методом инвариантной импульсной характеристики при T_d=0,00009548 с

Импульсная переходная функция:

Рис. 30. Импульсная переходная функция цифрового фильтра, полученного методом инвариантной импульсной характеристики при T_d=0,00009548 с

При уменьшении периода дискретизации у фильтра, полученного методом билинейного преобразования, характеристики изменились так же, как и у фильтра, полученного методом Эйлера.

5. Разработка и тестирование алгоритма цифровой фильтрации

Создадим алгоритм цифровой фильтрации. Для этого воспользуемся данными, полученным с помощью метода Эйлера для периода дискретизации T_d=0,00019096 с.

b₀ = 0,1005

b₁ = -0,1005

a₁ = -1,7798

a₂ = 0,7894

Передаточная функция:

Разностное уравнение:

С помощью пакета Matlab Simulink составим структурную схему:

Рис. 31. Структурная схема алгоритма фильтрации

Этой схеме соответствует следующая функция:

Код Matlab:

function V=EuFilter(U)

b0=0.1005;

b1=-0.1005;

a1=-1.7798;

a2=0.7894;

length=size(U,2);

V=zeros(1,length);

V(1)=b0*U(1);

V(2)=b0*U(2)+b1*U(1)-a1*V(1);

for n=3:1:length

V(n)=b0*U(n)+b1*U(n-1)-a1*V(n-1)-a2*V(n-2);

end

end

В качестве тестовых сигнала используем синусоиды с разными частотами. Пропустим их через фильтр, построим графики входных и выходных сигналов, их спектров.

Чтобы легче было проанализировать полученные результаты, приведём АЧХ и ФЧХ цифровой цепи:

Код Matlab:

figure(5);

w=50:1:6580;

Wd=(b0+b1*exp(-1i*w*Td))./(1+a1*exp(-1i*w*Td)+a2*exp(-2*1i*w*Td));

subplot(2,1,1), plot(w,abs(Wd),'b');

hold on;

subplot(2,1,2), plot(w,180/pi*angle(Wd),'b');

hold on;

subplot(2,1,1), grid on, xlabel('w (Rad/s)'), title('MAGNITUDE - |H(w)|');

subplot(2,1,2), grid on, xlabel('w (Rad/s)'), title('PHASE - arg [H(w)] (deg)');

Минимальное подавление амплитуды наблюдается при частоте щ=544,5 рад/с. В этом случае выходная амплитуда будет составлять 0,478 от входной. ФЧХ пересекает линию 0є при частоте щ=577,64 рад/с. При этой частоте выходной сигнал не будет сдвинут относительно входного.

Рис. 32. АЧХ и ФЧХ фильтра

Тестирование фильтра:

1. Примем частоту щ=40 рад/с

Код Matlab:

clc;clear;

Td=0.00019096;% Период дискретизации

N=2^13;% Количество отсчётов

t=0:Td*(N-1)*Td;

w=40;

U=sin(w*t);% Тестовый сигнал

V=EuFilter(U);% Фильтрация тестового сигнала

figure(1);

plot(t(1:1024),U(1:1024),'r');

hold on;

plot(t(1:1024),V(1:1024),'g');

grid on, xlabel('t (s)'), title('Signal');

Fd=1/Td; % Частота дискретизации

SpectrU=fft(U,N);%Быстрое преобразование Фурье

SpectrU=2*SpectrU./N; % Нормировка спектра по амплитуде

SpectrU(1)=SpectrU(1)/2; % Нормировка постоянной составляющей в спектре

W=0:2*pi*Fd/N:1000;

figure(2);

subplot(2,1,1), plot(W,abs(SpectrU(1:length(W))),'r'), grid on, xlabel('w (Rad/s)'), title('MAGNITUDE');

hold on;

subplot(2,1,2), plot(W,angle(SpectrU(1:length(W)))*180/pi,'r'), grid on, xlabel('w (Rad/s)'), title('PHASE (deg)');

hold on;

SpectrV=fft(V,N); %Быстрое преобразование Фурье

SpectrV=2*SpectrV./N; % Нормировка спектра по амплитуде

SpectrV(1)=SpectrV(1)/2; % Нормировка постоянной составляющей в спектре

subplot(2,1,1), plot(W,abs(SpectrV(1:length(W))),'g');

subplot(2,1,2), plot(W,angle(SpectrV(1:length(W)))*180/pi,'g');



Рис. 33. Тестовый сигнал U=sin(40·t) (обозначен красным), и сигнал V, полученный в результате фильтрации (обозначен зелёным)

Рис. 34. Амплитудный и фазовый спектры тестового сигнала U=sin(40·t) (обозначены красным), и сигнала V, полученный в результате фильтрации (обозначены зелёным). Получены с помощью быстрого преобразования Фурье.

По спектрам определим амплитуды и фазы входного и выходного сигналов:

Амплитуда входного: A(U)?1;

Амплитуда выходного: A(V)?0,08;

Соотношение амплитуд:

Фаза входного: ц(U)?-90є;

Фаза выходного: ц(V)?-10є;

Разность фаз: ц(V)-ц(U)=-10є+90є=80є

Полученные результаты согласуются с АЧХ и ФЧХ фильтра для этой частоты. Она находится левее основной полосы пропускания.

2. Примем частоту щ=545 рад/с

По спектрам определим амплитуды и фазы входного и выходного сигналов:

Амплитуда входного: A(U)?1;

Амплитуда выходного: A(V)?0,473;

Рис. 35. Тестовый сигнал U=sin(545·t) (обозначен красным), и сигнал V, полученный в результате фильтрации (обозначен зелёным)



Рис. 36. Амплитудный и фазовый спектры тестового сигнала U=sin(545·t) (обозначены красным), и сигнала V, полученный в результате фильтрации (обозначены зелёным).

Соотношение амплитуд:

Фаза входного: ц(U)?-90є;

Фаза выходного: ц(V)?-87є;

Разность фаз: ц(V)-ц(U)=-87є+90є=3є

Полученные результаты согласуются с АЧХ и ФЧХ фильтра для этой частоты. Она находится в середине основной полосы пропускания.

3. Примем частоту щ=1000 рад/с

Рис. 37. Тестовый сигнал U=sin(1000·t) (обозначен красным), и сигнал V, полученный в результате фильтрации (обозначен зелёным)



Рис. 38. Амплитудный и фазовый спектры тестового сигнала U=sin(1000·t) (обозначены красным), и сигнала V, полученный в результате фильтрации (обозначены зелёным).

По спектрам определим амплитуды и фазы входного и выходного сигналов:

Амплитуда входного: A(U)?1;

Амплитуда выходного: A(V)?0,4;

Соотношение амплитуд:

Фаза входного: ц(U)?-90є;

Фаза выходного: ц(V)?-114є;

Разность фаз: ц(V)-ц(U)=-114є+90є=-24є

Полученные результаты согласуются с АЧХ и ФЧХ фильтра для этой частоты. Она находится в правой части основной полосы пропускания.

Подадим на вход фильтра равномерный белый шум:

Код Matlab:

U=rand(1,N);



Рис. 39. Белый шум до фильтрации (обозначен красным) и после (обозначен зелёным)

Рис. 40. Спектр белого шума до фильтрации (обозначен красным) и после (обозначен зелёным)

Подадим на вход сигнал, состоящий из трёх гармоник на частотах 40 рад/с, 545 рад/с 5000 рад/с и нормального белого шума.

Код Matlab:

clc;clear;

Td=0.00019096;% Период дискретизации

N=2^13;% Количество отсчётов

t=0:Td:(N-1)*Td;

w1=40;

w2=545;

w3=5000;

U=sin(w1*t)+sin(w2*t)+sin(w3*t)+randn(1,N);

V=EuFilter(U);

figure(1);

plot(t(1:1024),U(1:1024),'r');

hold on;

plot(t(1:1024),V(1:1024),'g','LineWidth',2);

grid on, xlabel('t (s)'), title('Signal');

Fd=1/Td; % Частота дискретизации

SpectrU=fft(U,N);%Быстрое преобразование Фурье

SpectrU=2*SpectrU./N; % Нормировка спектра по амплитуде

SpectrU(1)=SpectrU(1)/2; % Нормировка постоянной составляющей в спектре

W=0:2*pi*Fd/N:5500;

figure(2);

subplot(2,1,1), plot(W,abs(SpectrU(1:length(W))),'r'), grid on, xlabel('w (Rad/s)'), title('MAGNITUDE');

hold on;

subplot(2,1,2), plot(W,angle(SpectrU(1:length(W)))*180/pi,'r'), grid on, xlabel('w (Rad/s)'), title('PHASE (deg)');

hold on;

SpectrV=fft(V,N); %Быстрое преобразование Фурье

SpectrV=2*SpectrV./N; % Нормировка спектра по амплитуде

SpectrV(1)=SpectrV(1)/2; % Нормировка постоянной составляющей в спектре

subplot(2,1,1), plot(W,abs(SpectrV(1:length(W))),'g','LineWidth',2);

subplot(2,1,2), plot(W,angle(SpectrV(1:length(W)))*180/pi,'g','LineWidth',2);

После прохождения фильтра существенное ослабление претерпела первая гармоника (с частотой 40 рад/с), находящаяся левее основной полосы пропускания фильтра. Также существенно подавлена третья гармоника (с частотой 5000 рад/с), находящаяся правее основной полосы. Кроме того, на выходе наблюдается меньшее отношение шума к полезному сигналу.

Рис. 41. Тестовый сигнал U(t)= sin(40·t) + sin(545·t) +sin(5000·t)+n(t) (обозначен красным), и сигнал V, полученный в результате фильтрации (обозначен зелёным)



Рис. 42. Амплитудный спектр тестового сигнала U(t) до фильтрации (обозначен красным) и после (обозначен зелёным)

Размещено на Allbest.ru

...