Автоматизоване проектування цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національний технічний університет України „Київський політехнічний інститут”

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

05.13.12 - Системи автоматизації проектувальних робіт

АВТОМАТИЗОВАНЕ ПРОЕКТУВАННЯ ЦИФРОВИХ ФІЛЬТРІВ З ГІПЕРКОМПЛЕКСНИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ

ВИКОНАВ ФЕДОРЕНКО ОЛЕКСІЙ ВОЛОДИМИРОВИЧ

Київ - 2008



АНОТАЦІЯ

Федоренко О.В. Автоматизоване проектування цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.13.12 - Системи автоматизації проектувальних робіт. - Національний технічний університет України „Київський політехнічний інститут”. - Київ, 2008.

Дисертація присвячена дослідженням в області автоматизованого проектування цифрових фільтрів з використанням гіперкомплексних числових систем для представлення коефіцієнтів передавальних функцій, дослідженню методів побудови таких фільтрів та можливості автоматизації побудови таких фільтрів.

В роботі виконано узагальнення методу побудови цифрових фільтрів, для представлення наборів коефіцієнтів передавальних функцій яких використовуються різні гіперкомплексні числові системи. Було визначено системи різних вимірностей, що є прийнятними для представлення коефіцієнтів передавальних функцій цифрових фільтрів. Було побудовано передавальні функції цифрових фільтрів першого порядку, коефіцієнти яких належать даним гіперкомплексним числовим системам. Запропоновано підхід, що ґрунтується на властивостях ізоморфного переходу між різними гіперкомплексними числовими системами і дозволяє зменшити кількість операцій, необхідних для роботи цифрового фільтра з гіперкомплексними коефіцієнтами. Для практичної реалізації фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами, запропоновано моделі таких рекурсивних цифрових фільтрів. В роботі запропоновано підхід для зменшення на заданій смузі частот сумарної чутливості модуля передавальної функції цифрового фільтра з гіперкомплексними коефіцієнтами до зміни її коефіцієнтів.

Всі описані вище дослідження дали змогу виконати і представити в роботі результати автоматизованого проектування цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами.

Ключові слова: гіперкомплексні числові системи, цифрові фільтри, модель цифрового фільтра, передавальна функція, коефіцієнти передавальної функції, ізоморфний перехід, параметрична чутливість.

цифровий фільтр частота автоматизований



1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Система автоматизованого проектування (САПР) є складною системою, що об'єднує ряд самостійних „стратегічних напрямів”. Кожний з цих напрямів має свої специфічні особливості і вимагає зусиль великих колективів фахівців для отримання необхідних теоретичних і практичних результатів. Тут не пропонується дати повний перелік цих „стратегічних напрямів”. Очевидно, що питома вага кожного з них в різних САПР істотно відрізняється. Всі вони дуже важливі, але в рамках даної дисертаційної роботи для досліджень вибраний тільки один напрям - побудова і вибір математичних засобів представлення і обробки інформації. Відповідно до цього ухвалено рішення використовувати гіперкомплексні числові системи (ГЧС) як ефективний спосіб створення математичного забезпечення по обробці інформації в САПР. Теорія ГЧС має достатньо довгу історію і надає фахівцям широкі можливості з покращення результатів.

В зв'язку з цим, використання ГЧС при створенні математичного забезпечення для обробки інформації може забезпечити широкий спектр радіоелектронних, радіотехнічних, вимірювальних і інших засобів цифровими фільтрами з поліпшеними характеристиками, що визначає актуальність теми.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота безпосередньо пов'язана з планами наукових досліджень, які виконувалися і виконуються на кафедрі системного проектування ННК «ІПСА» НТУУ «КПІ». Дисертаційна робота пов'язана та її результати використовуються в рамках проекту «Розробка методології та інструментарію моделювання в середовищі Internet з орієнтацією на мікро електромеханічні системи (МЕМС)», що підтримується грантом Українського науково-технологічного центру згідно з договором №3278, 2006 р., та учасниками якого є НТУУ «КПІ» та Інститут проблем реєстрації інформації НАН України.

Мета і завдання дослідження.

Метою роботи є дослідження можливості використання ГЧС для представлення коефіцієнтів передавальних функцій цифрових фільтрів та покращення характеристик таких фільтрів в частині зниження параметричної чутливості модуля передавальної функції до зміни її коефіцієнтів в заданій смузі частот та зменшення кількості операцій, необхідних для роботи таких фільтрів.

Для досягнення зазначеної мети в роботі поставлено та вирішено такі задачі:

· виконати узагальнення методу побудови передавальних функцій цифрових фільтрів, набори коефіцієнтів яких належать широкому класу ГЧС;

· визначити ГЧС різних вимірностей, що є прийнятними для представлення коефіцієнтів передавальних функцій цифрових фільтрів;

· розробити підхід для зменшення кількості операцій, необхідних для роботи цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами;

· побудувати моделі цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами та провести порівняння результатів моделювання цифрових фільтрів з гіперкомплексними та дійсними коефіцієнтами;

· розробити підхід для зменшення в заданій смузі частот сумарної параметричної чутливості модуля передавальної функції цифрового фільтра до зміни її коефіцієнтів, що належать тій чи іншій ГЧС;

· реалізувати модулі автоматизованої побудови передавальних функцій цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами.

У відповідності з поставленою метою об'єктом теоретичних та експериментальних досліджень є цифрові фільтри, для представлення коефіцієнтів передавальних функцій яких використовуються ГЧС.

Предметом досліджень є властивості і характеристики цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами та підходи до покращення цих характеристик.

Методи дослідження. Для побудови цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами і покращення їх характеристик використовувалися методи автоматизованого проектування електронних пристроїв, теорія ГЧС та методи математичного моделювання. Перевірка отриманих результатів здійснювалася шляхом проведення обчислювальних експериментів на ЕОМ.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в запропонованих і виконаних теоретичних розробках по автоматизованому проектуванню цифрових фільтрів з наборами коефіцієнтів, представленими різними ГЧС. При цьому:

1. Визначено ГЧС різних вимірностей, які є прийнятними для представлення коефіцієнтів передавальних функцій цифрових фільтрів, що дає можливість будувати широкий клас цифрових фільтрів.

2. Виконано узагальнення методу побудови передавальних функцій цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами, що дозволяє використовувати різні ГЧС при побудові цифрових фільтрів.

3. Запропоновано підхід для зменшення кількості операцій, необхідних для функціонування цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами, що дозволяє зменшити вимоги до апаратних ресурсів та підвищити швидкодію таких фільтрів.

4. Розроблено підхід для зменшення в заданій смузі частот параметричної чутливості модуля передавальної функції цифрового фільтра з гіперкомплексними коефіцієнтами до зміни її коефіцієнтів, що зменшує вимоги до точності представлення таких коефіцієнтів.

Практичне значення отриманих результатів:

Практична цінність полягає в забезпеченні можливості побудови цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами з підвищеною швидкодією, в зниженні в заданій смузі частот сумарної параметричної чутливості модуля передавальної функції таких фільтрів, зокрема:

· Побудовано та випробувано модель цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами, яка спрощує процес проектування фільтрів.

· Реалізовано алгоритмічно-програмні модулі побудови передавальних функцій цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами, що в значній мірі автоматизує процес проектування фільтрів.

· Випробувано на різних прикладах запропонований підхід для зменшення кількості операцій, необхідних для функціонування цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами, в результаті чого доведено дієвість даного підходу на практиці.

· Для різних прикладів цифрових фільтрів застосовано підхід для зменшення в заданій смузі частот сумарної чутливості АЧХ цифрового фільтра з гіперкомплексними коефіцієнтами, що показало ефективність використання розробленого підходу для досягнення необхідних значень цієї характеристики в практичних реалізаціях таких фільтрів.

Особистий внесок здобувача полягає в дослідженнях і реалізації нового підходу до побудови цифрових фільтрів, який базується на використанні ГЧС для представлення коефіцієнтів передавальної функції та пов'язаних з цим методів проектування таких фільтрів, що забезпечують поліпшення характеристик цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами.

Усі наукові результати теоретичних та практичних досліджень дисертації отримані автором самостійно, а саме: розглянуто застосування ГЧС в науці і техніці [1, 3], проведено аналіз існуючих підходів до проектування цифрових фільтрів з використанням ГЧС, виконано узагальнення методу побудови таких цифрових фільтрів [6], визначено ГЧС різних вимірностей, що є прийнятними для представлення коефіцієнтів передавальних функцій цифрових фільтрів [4], та правила їх вибору. Розроблено алгоритмічно-програмні модулі автоматизованої побудови передавальної функції фільтрів першого порядку з наборами коефіцієнтів, які належать різним ГЧС, запропоновано підхід для зменшення кількості операцій, необхідних для функціонування цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами [5, 10], розроблено підхід для зменшення сумарної параметричної чутливості модуля передавальної функції з гіперкомплексними коефіцієнтами в заданій смузі частот [2, 8], побудовано моделі цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами [7, 9, 11], проведено порівняння результатів моделювання цифрових фільтрів з бікомплексними та дійсними коефіцієнтами.

Апробація результатів дисертації.

Основні положення роботи доповідалися на семінарах і конференціях:

· наукові семінари кафедри системного проектування ННК „ІПСА” НТУУ „КПІ” 2005-2008 рр.;

· наукові семінари відділу спеціалізованих засобів моделювання ІПРІ НАН України 2006-2008 рр.;

· Всеукраїнська конференція аспірантів і студентів „Інженерія програмного забезпечення 2006”, м. Київ, 25-29 вересня, 2006р.;

· Всеукраїнська науково-практична конференція „Комп'ютерне моделювання та інформаційні технології в економіці”, м. Харків, 16-17 листопада, 2006р.;

· восьма Міжнародна науково-практична конференція „Сучасні інформаційні і електронні технології”, м. Одеса, 21-25 травня, 2007р.;

· щорічна підсумкова наукова конференція ІПРІ НАНУ, м. Київ, квітень, 20-21 березня, 2008 р.;

· десята Міжнародна науково-технічна конференція „Системний аналіз та інформаційні технології”, м. Київ, 20-24 травня, 2008р.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність, показано зв'язок проблеми з науковими програмами, планами та темами, сформульовано методи та основні завдання досліджень, наукову новизну та практичне значення отриманих результатів. Наведено дані про апробацію роботи, публікації та особистий внесок здобувача.

У першому розділі „Стан і перспективи автоматизованого проектування цифрових фільтрів з використанням гіперкомплексних числових систем” розглянуто етапи розвитку та основи побудови ГЧС, досвід розробок та перспективи автоматизації проектування цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами.

Цифрова фільтрація є одним з найбільш могутніх інструментальних засобів цифрової обробки інформації. Цифрові фільтри активно досліджуються протягом багатьох років як одна із складових частин в рамках комплексних робіт по створенню САПР кафедрою системного проектування НТУУ „КПІ”. Дана робота досліджує результати поєднання теоретичних положень ГЧС і цифрової фільтрації для отримання нових властивостей цифрових фільтрів. В роботі досліджується можливість застосування різних ГЧС для представлення коефіцієнтів передавальних функцій цифрових фільтрів, можливість автоматизації процесу проектування цифрового фільтра з гіперкомплексними коефіцієнтами та особливості таких фільтрів.

Історично першою успішною спробою узагальнення поняття комплексного числа вважається відкриття в 1843 році Вільямом Гамільтоном кватерніонів - ГЧС 4-го порядку. В. Кліффорд узагальнив кватерніони В. Гамільтона і ввів бікватерніони, які він використовував для вивчення руху в неевклідових просторах. Г. Фробеніус довів існування чотирьох ГЧС без дільників нуля. Узагальненням некомутативних розширень числових систем довільного порядку є числа Г. Грасмана, альтерніони, числа В. Кліффорда та ін.

В. Гамільтон запропонував цілий ряд застосувань кватерніонів в геометрії, астрономії та фізиці. ГЧС знайшли важливі застосування в механіці твердого тіла, в задачах криптографії, теоретичній фізиці, в задачах навігації, орієнтації та управління рухом твердого тіла в тривимірному просторі, в задачах моделювання та управління плоскими механізмами, роботами з маніпуляторами з багатьма ступенями свободи. Завдяки розвитку ГЧС стало можливим кватерніонне формулювання класичної електродинаміки та побудови октоніонної моделі фізики.

Широке застосування цифрових фільтрів призвело в останнє десятиріччя до створення структур цифрових рекурсивних фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами. При створенні таких структур використовується та особливість, що передавальна функція у вигляді дрібно-раціонального виразу в гіперкомплексній області може бути перетворена у гіперкомплексну функцію з дрібно-раціональними компонентами більш високих степенів з дійсними коефіцієнтами. Крім того, наукові публікації свідчать про інтерес до цієї актуальної теми в таких країнах, як Німеччина, Японія та інших. Тому саме ця область надалі буде досліджуватися в даній роботі. В наш час важливим питанням є можливість автоматизації проектування цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами. Актуальною задачею є пошук таких методів побудови цифрових фільтрів з використанням ГЧС, що дозволяють просто і ефективно будувати модулі автоматизованого проектування даних фільтрів.

Незважаючи на те, що способи побудови цифрових фільтрів з наборами коефіцієнтів, які належать різним ГЧС, відрізняються між собою, для застосування в області цифрової фільтрації в роботі виконано узагальнення методу, за допомогою якого можна побудувати цифровий фільтр з використанням різних ГЧС для представлення коефіцієнтів. Такий метод базується на тому, що передавальна функція цифрового фільтра порядку з гіперкомплексними коефіцієнтами вимірності може бути представлена у вигляді гіперкомплексної функції, кожен з компонентів якої можна розглядати в якості передавальної функції фільтра порядку з дійсними коефіцієнтами. Передавальна функція цифрового фільтра записується у вигляді



.

Зазвичай, поліноми та мають дійсні коефіцієнти, якщо ж коефіцієнтами будуть гіперкомплексні числа, що належать деякій ГЧС вимірності , то можна виконати наступні перетворення:

,

де , при , та - поліноми з дійсними коефіцієнтами, а , при , - базисні одиниці ГЧС, якій належать коефіцієнти передавальної функції. При цьому суть -перетворення не змінюється, а функції , при , можуть розглядатися як передавальні функції фільтрів з дійсними коефіцієнтами.

Щоб фільтр з гіперкомплексними коефіцієнтами реалізував певний фільтр з дійсними коефіцієнтами, необхідно знайти такі значення гіперкомплексних коефіцієнтів, при яких один з виразів співпадатиме з передавальною функцією цифрового фільтра з дійсними коефіцієнтами. Для цього необхідно вибрати, по якій компоненті ГЧС буде передаватися сигнал. В залежності від цього необхідно виділити вираз, що буде відповідати передавальній функції з дійсними коефіцієнтами по цій компоненті. Після цього потрібно скласти і розв'язати системи рівнянь, які формуються під час прирівнювання виразів при рівних степенях у чисельнику та знаменнику відповідних передавальних функцій з дійсними і гіперкомплексними коефіцієнтами.

При цьому АЧХ, ФЧХ, карта нулів і полюсів фільтра з гіперкомплексними коефіцієнтами повністю співпадатиме з відповідними характеристиками вихідного фільтра з дійсними коефіцієнтами.

Для побудови цифрових фільтрів можна використовувати багато ГЧС. Але при цьому потрібно мати на увазі, що таблиці множення базисних елементів деяких ГЧС мають нульові елементи, а це призведе до того, що форма передавальної функції фільтра може бути усіченою, тобто така передавальна функція буде мати обмежені можливості для використання. Іншим, незручним до застосування випадком, може бути випадок, коли норма гіперкомплексного числа або добуток спряжених чисел такої системи будуть мати малу кількість компонентів гіперкомплексного числа. Передавальна функція, побудована з використанням такої ГЧС, також буде мати обмежені можливості для використання.

Важливим є питання перспектив автоматизації проектування цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами. Побудова передавальних функцій таких фільтрів виконується з використанням передавальних функцій з дійсними коефіцієнтами. Тому для автоматизації проектування таких фільтрів можна використовувати засоби, прийнятні для побудови цифрових фільтрів з дійсними коефіцієнтами. При цьому їх потрібно доповнити додатковими модулями для врахування особливостей проектування цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами.

У другому розділі „Особливості використання гіперкомплексних числових систем при автоматизованому проектуванні цифрових фільтрів” розглянуто ізоморфні переходи між різними ізоморфними ГЧС, виконання складних операцій в різних ГЧС, побудову передавальних функції цифрових фільтрів з коефіцієнтами, що представлені ГЧС різної вимірності, запропоновано підхід для зменшення кількості операцій, необхідних для функціонування цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами та виконано порівняння ГЧС за цим параметром.

Важливими питаннями, які вирішені в другому розділі і дозволили автоматизувати процес проектування цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами, є вибір конкретних ГЧС для представлення коефіцієнтів передавальної функції фільтра та побудова передавальних функцій фільтрів з коефіцієнтами, що належать наведеним ГЧС.

Так, було визначено за яких умов слід використовувати комплексні, подвійні чи дуальні числа для представлення коефіцієнтів передавальних функцій.

Серед ГЧС третьої вимірності представляють інтерес триплексні числа, та ізоморфна до них система, таблиці множення яких, відповідно, мають вигляд:

Важливими для проектування цифрових фільтрів є ГЧС четвертої вимірності. Серед таких систем особливе значення мають квадриплексні і бікомплексні системи, таблиці множення яких, відповідно, мають вигляд:

Слід відзначити, що згідно з зауваженнями, наведеними в першому розділі, бікомплексні числа та система чисел не можуть використовуватися для представлення коефіцієнтів передавальних функцій так, як для цього використовуються квадриплексні та триплексні числа. Але ці системи грають свою важливу роль при побудові передавальних функцій з гіперкомплексними коефіцієнтами, що буде розглянута далі.

В другому розділі виконано формування та розв'язання систем рівнянь, необхідних для розрахунку дійсних компонент гіперкомплексних коефіцієнтів передавальних функцій по відповідній відомій передавальній функції з дійсними коефіцієнтами. Згідно з наведеними в першому розділі принципами побудови передавальних функцій з гіперкомплексними коефіцієнтами було визначено правила розрахунку коефіцієнтів, що належать подвійним, дуальним, комплексним, триплексним та квадриплексним числам.

Для ефективного використання ГЧС при проектуванні цифрових фільтрів були розглянуті особливості таких числових систем, які можуть якісно вплинути на результат проектування. Одним з важливих в цьому плані питань є складність виконання операцій в ГЧС. Ця особливість збільшує складність реалізації цифрових фільтрів, що описуються передавальною функцією з гіперкомплексними коефіцієнтами. Але більш докладне дослідження принципів виконання складних операцій в ГЧС та деяких властивостей ГЧС дало рішення, яке дозволило зменшити кількість операцій, необхідних для роботи фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами.

Так, важливу роль при побудові цифрових фільтрів, передавальна функція яких має гіперкомплексні коефіцієнти, відіграє поняття ізоморфізму ГЧС. Ізоморфний перехід від однієї ГЧС до іншої представляє собою однозначне лінійне перетворення базису першої системи, в результаті якого отримуємо базис другої системи і навпаки.

Ізоморфний перехід між різними ГЧС може застосовуватися для підвищення ефективності використання апаратних засобів, оскільки кількість арифметичних операцій над дійсними числами, які необхідні для виконання певної операції в деякій ГЧС може бути меншою ніж в ізоморфній їй системі, що пов'язано з простішими правилами виконання операцій в такій системі. На цій основі в розділі запропоновано підхід для зменшення кількості операцій, необхідних для функціонування цифрового фільтра з гіперкомплексними коефіцієнтами.

Розглянемо даний підхід на прикладі фільтра з триплексними коефіцієнтами. Згідно з наведеними вище таблицями множення базисних одиниць множення двох триплексних чисел та представляє собою:

Множення ж двох чисел та системи , що є ізоморфною до системи триплексних чисел, має вигляд:

.



Як видно, операція множення в системі складається з меншої кількості операцій над дійсними числами ніж в системі триплексних чисел. Перехід між ізоморфними системами являє собою систему простих лінійних перетворень. Так, щоб перейти від триплексних чисел до системи необхідно виконати такі перетворення:

, , .

Для зворотного переходу необхідно виконати такі перетворення:

, , .

З причин, які вже згадувалися, система чисел не прийнятна для прямого представлення коефіцієнтів передавальної функції цифрового фільтра. Разом з тим, при побудові цифрового фільтра з триплексними коефіцієнтами можна зменшити кількість операцій, необхідних для його роботи, шляхом ізоморфного переходу до числової системи , в якій виконання операцій є простішим ніж в системі триплексних чисел. Для цього необхідно перевести коефіцієнти передавальної функції з триплексної до системи чисел , та реалізувати блоки ізоморфного перетворення входу і виходу фільтра.

Аналогічним чином, з метою зменшення кількості операцій, необхідних для функціонування фільтра з квадриплексними коефіцієнтами, можна використовувати ізоморфний перехід від квадриплексних чисел до бікомплексних.

Порахувавши кількість операцій в дійсних числах, необхідних для функціонування фільтрів в прямій формі, передавальна функція яких має гіперкомплексні коефіцієнти, і фільтрів, отриманих в результаті ізоморфного переходу до системи з простішою таблицею множення базисних елементів, можна оцінити ефективність використання ізоморфних переходів для зменшення складності цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами.

Цифрові фільтри, передавальні функції яких мають бікомплексні коефіцієнти або коефіцієнти, що належать системі чисел , отримано в результаті застосування запропонованого підходу до зменшення кількості операцій, необхідних для роботи, відповідно, фільтрів з квадриплексними і триплексними коефіцієнтами. З табл. 1 видно, що навіть з врахуванням операцій прямого та зворотного ізоморфного переходу, в обох прикладах застосування запропонованого підходу число операцій над дійсними числами, необхідних для функціонування таких цифрових фільтрів, зменшується приблизно вдвічі.

Таблиця 1. Кількість операцій, які виконуються цифровими фільтрами з гіперкомплексними коефіцієнтами

Система чисел	Використано ізоморфний перехід від системи	Кількість множень дійсних чисел	Кількість додавань та віднімань дійсних чисел	Кількість елементів затримки дійсних чисел
Триплексні числа		36	27	4
числа	триплексних чисел	16	13	4
Квадриплексні числа		48	44	5
Бікомплексні числа	квадриплексних чисел	25	21	5

В третьому розділі „Методика автоматизованого проектування цифрових фільтрів з використанням гіперкомплексних числових систем для представлення коефіцієнтів” розглянуто структури цифрових фільтрів, набори коефіцієнтів передавальних функцій яких належать різним ГЧС, розглянуто визначення та розрахунок параметричної чутливості АЧХ таких фільтрів. В розділі запропоновано підхід для зменшення на заданій смузі частот сумарної параметричної чутливості модуля передавальної функції до змін її коефіцієнтів.

Для побудови фільтрів і з дійсними, і з гіперкомплексними коефіцієнтами можна використовувати класичну структурну схему цифрового фільтра, яка в літературі має назву „першої прямої форми”. Хоча різні ГЧС відрізняються за своїми властивостями, в цілому, структурні схеми в першій прямій формі, що описують роботу цифрових фільтрів з наборами коефіцієнтів, які належать різним ГЧС, подібні. Їх структури в прямій формі відрізняються лише числом зв'язків між елементами схеми, яке залежить від вимірності ГЧС, та правилами виконання операцій в цих елементах.

При автоматизованому проектуванні цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами необхідно враховувати можливість зменшення апаратних затрат на їх реалізацію завдяки ізоморфному переходу до систем, що мають простішу таблицю множення базисних елементів.

Разом з тим, виявлено, що при застосуванні ГЧС для представлення коефіцієнтів передавальної функції, параметрична чутливість модуля такої функції до зміни її коефіцієнтів може бути зменшена на певній смузі частот.

На прикладі цифрового фільтра з квадриплексними коефіцієнтами розглянемо структурну схему фільтра першого порядку з гіперкомплексними коефіцієнтами в першій прямій формі. Така схема складатиметься з двох елементів затримки квадриплексного входу, трьох елементів множення квадриплексних чисел та двох суматорів квадриплексних чисел. Схему в „першій прямій формі” фільтра першого порядку з квадриплексними коефіцієнтами можна зробити простішою, враховуючи, що лише один з чотирьох входів такого фільтра представляє собою сигнал, а решта - нулі. Тоді один з двох елементів затримки буде оперувати з квадриплексними числами, а інший з дійсними. Така особливість вплине також на два з трьох елементів квадриплексного множення, оскільки, знаючи що 3 з 8-ми їх входів будуть нульовими, їх структуру можна спростити відповідним чином. В результаті отримаємо структурну схему наведену , де - елемент множення двох квадриплексних чисел, а - елемент множення двох квадриплексних чисел, одне з яких має три нульові компоненти з чотирьох.

При використанні ізоморфного переходу до ГЧС з простішою таблицею множення для зменшення кількості операцій, необхідних для функціонування фільтра, структури цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами змінюються через необхідність виконання переходу між ізоморфними системами. Проте, завдяки особливостям, описаним в третьому розділі роботи, виникає потреба реалізації лише зворотного переходу, а в структуру фільтра додається лише один елемент. Як вже зазначалося, витрати на перехід від однієї системи до ізоморфної є невеликими у порівнянні зі спрощенням операцій в новій системі.

Використовуючи той самий приклад цифрового фільтра з квадриплексними коефіцієнтами, складемо структуру цифрового фільтра, отриманого в результаті застосування ізоморфного переходу до бікомплексної числової системи, що має простіші правила виконання операцій. Структура такого цифрового фільтра з бікомплексними коефіцієнтами буде відрізнятися від структури, що наведена на рис. 1. Це обумовлено необхідністю виконання додаткових операцій по виконанню зворотного переходу від бікомплексної до квадриплексної числової системи. Інша відмінність буде в тому, що всі блоки структури будуть оперувати з бікомплексними, а не з квадриплексними числами. В результаті структурна схема такого цифрового фільтра з бікомплексними коефіцієнтами буде такою. В ній блок реалізує ту частину ізоморфного переходу від бікомплексної до квадриплексної числової системи, яка необхідна для формування дійсного сигналу на виході фільтра. Блоки та виконують ті самі функції, що й блоки та , але працюють з бікомплексними числами. Отже, структури цифрових фільтрів в прямій формі, набори коефіцієнтів передавальних функцій яких належать різним ГЧС, відрізняються числом зв'язків і правилами виконання операцій в елементах структури. Порівнюючи структури цифрових фільтрів з дійсними і гіперкомплексними коефіцієнтами можна виявити ще одну відмінність. Так, якщо на вході і виході фільтра з дійсними коефіцієнтами маємо дійсний сигнал, то входи і виходи фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами належать ГЧС і лише один з дійсних компонентів цих чисел представляє собою корисний дійсний сигнал. В середині ж структури таких фільтрів циркулюють лише гіперкомплексні числа. Докладніше розглянемо поняття параметричної чутливості. Чутливість деякої величини до зміни параметра (скорочено - чутливість по ) в загальному випадку може визначатися так:

.

Для цифрового фільтра з дійсними коефіцієнтами параметрична чутливість АЧХ по одному коефіцієнту розраховується як

,

а сумарна параметрична чутливість АЧХ до зміни коефіцієнтів передавальної функції буде мати вигляд:

,

де - кількість коефіцієнтів передавальної функції.

Сумарна ж параметрична чутливість АЧХ фільтра з гіперкомплексними коефіцієнтами буде мати аналогічний вигляд, але при цьому будуть дійсними компонентами гіперкомплексних коефіцієнтів, а , де - вимірність ГЧС і - кількість гіперкомплексних коефіцієнтів в передавальній функції .

При дослідженні сумарних параметричних чутливостей АЧХ цифрових фільтрів з наборами коефіцієнтів, що належать різним ГЧС було розроблено підхід, який дозволяє зменшити на вказаній смузі частот величину сумарної чутливості модуля передавальної функції до зміни її гіперкомплексних коефіцієнтів.

Відповідно до викладеного вище узагальнення метода побудови передавальної функції цифрового фільтра з гіперкомплексними коефіцієнтами по відомій передавальній функції з дійсними коефіцієнтами необхідно сформувати і розв'язати дві системи рівнянь. Їх формування докладно розглянуто в роботі. При використанні різних ГЧС такі системи переходу від фільтра з дійсними коефіцієнтами до фільтра з гіперкомплексними коефіцієнтами суттєво відрізняються, але й мають спільну особливість. Одна з кожної пари систем є недовизначеною, тобто має безліч розв'язків і для одного фільтра з дійсними коефіцієнтами можна побудувати велику кількість відповідних фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами. Для отримання конкретного розв'язку такої системи вільні змінні прирівнюються до нуля. Якщо ж такі вільні коефіцієнти не прирівнювати до нуля, можемо отримати розв'язок системи відносно цих коефіцієнтів. Тобто, це дає можливість отримати фільтр, передавальна функція якого має додаткові параметри, які можуть використовуватися для підвищення ефективності роботи фільтра.

З використанням цієї особливості запропоновано підхід для зменшення на заданій смузі частот сумарної параметричної чутливості модуля передавальної функції з гіперкомплексними коефіцієнтами. Це можливо завдяки тому, що при формуванні функції сумарної параметричної чутливості АЧХ, вільні змінні, про які говорилося вище, увійдуть у цю функцію чутливості і будуть впливати на її величину. Таким чином, вказані вільні змінні можна підібрати так, щоб сумарна параметрична чутливість на заданій смузі частот була найменшою серед усіх можливих.

Якщо розглянути побудову передавальної функції

цифрового фільтра 1-го порядку з триплексними коефіцієнтами, то згадувані системи знаходження триплексних коефіцієнтів по відомих коефіцієнтах передавальної функції

цифрового фільтра 3-го порядку з дійсними коефіцієнтами матимуть вигляд:

,

.

Розв'язавши першу систему, і підставивши знайдені коефіцієнти в другу, отримаємо недовизначену систему рівнянь, оскільки в ній буде 3 рівняння і 5 невідомих. Розв'язавши таку систему рівнянь відносно 2-х невідомих коефіцієнтів, можемо сформувати функцію сумарної параметричної чутливості АЧХ, що буде функцією від частоти і вказаних 2-х невідомих коефіцієнтів. Сформувавши необхідні умови, можемо знайти такі значення вільних коефіцієнтів, при яких функція чутливості буде найменшою серед усіх можливих на заданій смузі частот.

В третьому розділі порівнюються сумарні чутливості АЧХ цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами як без, так і з застосуванням підходу до зменшення таких чутливостей на заданій смузі частот. Так, порівнюються сумарні параметричні чутливості АЧХ цифрових фільтрів з триплексними і квадриплексними коефіцієнтами. Крім того, подаються порівняння вказаної характеристики фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами з сумарною чутливістю АЧХ відповідних фільтрів з дійсними коефіцієнтами. При цьому, на деяких смугах частот, сумарна чутливість АЧХ фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами виявилася меншою ніж у відповідних фільтрів з дійсними коефіцієнтами. Для зручності порівнянь розглядалися відношення сумарних параметричних чутливостей АЧХ таких фільтрів.

Розглянуті приклади показали дієвість запропонованого підходу. Так, після його застосування для зменшення сумарної чутливості АЧХ на частоті для приклада цифрового фільтра з квадриплексними коефіцієнтами, значення сумарної параметричної чутливості АЧХ отриманого фільтра з квадриплексними коефіцієнтами менше за відповідну чутливість вихідного фільтра з квадриплексними коефіцієнтами. Разом з тим, при зменшенні чутливості АЧХ на частоті така чутливість виросла на інших частотах у порівнянні з вихідним фільтром з квадриплексними коефіцієнтами.

По даному прикладу можна зробити висновок, що запропонований підхід може успішно використовуватися для зменшення сумарної параметричної чутливості АЧХ цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами в потрібній частотній області.

В роботі також розглядається приклад цифрового фільтра 1-го порядку з триплексними коефіцієнтами, для якого використання запропонованого підходу до зменшення чутливості АЧХ в заданій частотній смузі дало позитивний результат. В даному прикладі зменшення сумарної параметричної чутливості АЧХ відбулося на 15-20%.

В результаті показано, що запропонований підхід дозволяє зменшити сумарну параметричну чутливість АЧХ в значній кількості прикладів.

В четвертому розділі „Результати автоматизованого проектування рекурсивних цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами” виконано експериментальну частину роботи, яка присвячена автоматизованому проектуванню цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами, проведено моделювання розроблених прикладів фільтрів та порівняно їх результати з результатами моделювання відповідних фільтрів з дійсними коефіцієнтами.

Для апробації запропонованих в попередніх розділах підходів до автоматизованого проектування цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами було виконано ряд розробок. До них відноситься розробка програмних засобів для автоматизованої побудови передавальної функції даних цифрових фільтрів, вибір системи і маршруту їх проектування, розробка моделей таких фільтрів на базі запропонованих в попередніх розділах структур, проведення моделювання даних фільтрів за допомогою тестових прикладів та створення додаткових програмних засобів для збільшення ефективності проектування таких цифрових фільтрів.

Для автоматизованого проектування цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами можна застосовувати САПР, що використовуються при проектуванні цифрових фільтрів, передавальні функції яких мають дійсні коефіцієнти. Але одним з додаткових етапів до стандартного процесу проектування цифрового фільтра з дійсними коефіцієнтами є формування передавальної функції з коефіцієнтами, що належать певній ГЧС, по відомій передавальній функції з дійсними коефіцієнтами.

Зручним інструментом для виконання даної задачі є програмний пакет Maple. Цей інструмент є зручним для виконання обчислень в ГЧС ще й тому, що фахівцями Інституту проблем реєстрації інформації НАН України для нього розроблена бібліотека HNS_lib.m, яка виконує необхідні операції для різних ГЧС. Її використання значно спрощує реалізацію необхідних алгоритмів. За допомогою системи Maple розроблено модулі побудови передавальної функції цифрового фільтра першого порядку з триплексними і квадриплексними коефіцієнтами.

Для опису проекту цифрового фільтра з гіперкомплексними коефіцієнтами в системі проектування Quartus II використовувалася мова Verilog. Verilog дозволяє здійснити проектування, верифікацію та реалізацію (наприклад, у вигляді ПЛІС) аналогових, цифрових і змішаних електронних систем на різних рівнях абстракції.

Модель цифрового фільтра першого порядку з бікомплексними коефіцієнтами може базуватися на структурі такого фільтра, що зображена на рис. 2. Основними блоками такої структури є суматори, помножувачі та блоки затримки, а також блок формування результату фільтрації в квадриплексному форматі, з якого виділяється дійсний сигнал. У випадку, що розглядається, ці блоки повинні оперувати з бікомплексними числами. Розробка таких блоків потребує багато часу та ресурсів, але існують бібліотеки вже розроблених суматорів, помножувачів та інших блоків, що оперують з дійсними числами, описаних різними мовами опису апаратних засобів. Останні відрізняються своїми можливостями, швидкістю виконання операцій та іншими властивостями. Проте, знайти апаратні блоки для роботи з гіперкомплексними числами взагалі, і бікомплексними зокрема, які описані мовами опису апаратних засобів, дуже складно.

Оскільки операції множення і додавання бікомплексних чисел можуть бути представлені набором операцій з комплексними числами, а ті, в свою чергу, набором операцій з дійсними числами, то побудова бікомплексного суматора і помножувача з набору існуючих дійсних суматорів і помножувачів є досить простим і ефективним способом побудови цифрового пристрою, що оперує з бікомплексними числами.

Для опису гіперкомплексних, і зокрема бікомплексних, помножувачів і суматорів можна вибрати суматор (fpadd) та помножувач (fpmul) дійсних чисел у форматі з плаваючою комою, які розроблені і описані мовою Verilog в Harvey Mudd College. Дані блоки гнучкі в налаштуванні, мають велику кількість параметрів, варіювання яких дає змогу пристосувати їх до використання при розробці різноманітних цифрових пристроїв, націлених на виконання різних задач.

Отже, фільтр, що описується передавальною функцією з гіперкомплексними коефіцієнтами може бути представлений ієрархією блоків, найнижчою ланкою яких є суматори і помножувачі дійсних чисел. Ієрархія блоків цифрового фільтра, коефіцієнти передавальної функції якого належать бікомплексним числам, для його опису мовою Verilog може бути такою.

На основі представленої на рис. 3 ієрархії блоків фільтра з бікомплексними коефіцієнтами було розроблено прототип такого фільтра мовою C++. Для порівняння результатів моделювання такого фільтра також розроблено прототипи фільтрів 3-го і 4-го порядків з дійсними коефіцієнтами. На їх основі за допомогою системи проектування Quartus II розроблено опис даних фільтрів мовою Verilog.

Для спрощення і прискорення проектування даних фільтрів була розроблена утиліта, що дозволяє переналаштовувати описи фільтрів мовою Verilog на роботу з даними, що представляються різним числом розрядів, а також утиліта для виконання прямого та зворотного перетворення чисел з десяткового в двійковий формат з плаваючою комою.

Використовуючи розроблені описи фільтрів з бікомплексними та дійсними коефіцієнтами, було проведено моделювання даних фільтрів та їх розміщення в різних за параметрами ПЛІС. Ця задача була виконана за допомогою системи проектування Quartus II для різних варіацій проектів цифрових фільтрів як з бікомплексними, так і з дійсними коефіцієнтами, що відрізняються кількістю розрядів, якими представляються дані, та зразками ПЛІС компанії Altera.

В результаті моделювання отримано максимальні значення тактової частоти і внутрішніх затримок для різних варіацій фільтрів, кількість логічних елементів, регістрів пам'яті і спеціальних блоків цифрової обробки сигналів, займаних пристроєм в ПЛІС.



ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі досліджено і реалізовано новий підхід до побудови цифрових фільтрів, що базується на використання ГЧС для представлення коефіцієнтів передавальної функції.

Основні результати, отримані в дисертаційній роботі, можна сформулювати наступним чином:

1. Проведено аналіз існуючих підходів до проектування цифрових фільтрів з використанням ГЧС, який дозволив виявити особливості побудови таких фільтрів, виконати узагальнення методу побудови цифрових фільтрів, для представлення наборів коефіцієнтів передавальних функцій яких використовуються різні ГЧС.

2. Проведені дослідження щодо перспектив автоматизації проектування цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами показали перспективність цього напряму. Було визначено функції програмного модуля як додатка до вже існуючих САПР, що може використовуватися при проектуванні фільтрів, передавальна функція яких має гіперкомплексні коефіцієнти.

3. В результаті досліджень по вивченню множинності ГЧС та правил виконання операцій в різних ГЧС було визначено системи різних вимірностей, що є прийнятними для представлення коефіцієнтів передавальних функцій цифрових фільтрів. Було побудовано передавальні функції фільтрів першого порядку з коефіцієнтами, що належать цим системам.

4. Для проведення аналізу складності реалізації фільтрів виконано порівняння кількості операцій, які виконуються під час роботи цифрових фільтрів, що описуються передавальними функціями з гіперкомплексними коефіцієнтами. Для зменшення кількості операцій, необхідних для функціонування цифрових фільтрів, передавальні функції яких мають гіперкомплексні коефіцієнти, було запропоновано підхід, що ґрунтується на властивостях ізоморфного переходу між різними ГЧС.

5. В роботі запропоновано моделі рекурсивних цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами, що отримані як з застосуванням підходу для зменшення кількості операцій, необхідних для роботи фільтрів, так і без нього.

6. Запропоновано підхід для зменшення на заданій смузі частот сумарної параметричної чутливості модуля передавальної функції цифрового фільтра до зміни її коефіцієнтів. Наведено результати розрахунку та порівняння даної характеристики для різних прикладів цифрових фільтрів.

7. Розроблено модулі автоматизованої побудови передавальних функцій цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами. Запропоновано прототипи цифрових фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами, що написані мовою C++ та реалізації таких фільтрів мовою опису апаратних засобів Verilog. Розроблено додаткові утиліти, що спрощують проектування фільтрів з гіперкомплексними коефіцієнтами. Наведено результати моделювання цифрових фільтрів з бікомплексними коефіцієнтами та проведено їх порівняння з результатами моделювання відповідних фільтрів з дійсними коефіцієнтами.

Потрібно зауважити, що виконані в роботі дослідження, в подальшому, потрібно розширювати і проводити на більшому числі прикладів з застосуванням ГЧС вищих вимірностей.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Синьков М.В. Зображення нелінійностей в скінченновимірних гіперкомплексних числових системах / Синьков М.В., Каліновський Я.О., Боярінова Ю.Є., Федоренко О.В. // Доповіді НАН України. - 2008. - №8. - С. 43-51.

2. Федоренко О.В. Цифрові фільтри з низькою параметричною чутливістю / О.В. Федоренко // Реєстрація, зберігання і обробка даних. - 2008. - Т. 10, №2. - С. 87-94.

3. Синьков М.В. О дифференциальных уравнениях, определяющих функции гиперкомплексного переменного / Синьков М.В., Калиновский Я.А., Бояринова Ю.Е., Федоренко А.В. // Реєстрація, зберігання і обробка даних. - 2006. - Т. 8, №3. - С. 20-24.

4. Синьков М.В. Построение некоторых функций в гиперкомплексной числовой системе 4-го порядка / Синьков М.В., Калиновский Я.А., Бояринова Ю.Е., Федоренко А.В. // Реєстрація, зберігання і обробка даних. - 2006. - Т. 8, №1. - С. 9-16.

5. Синьков М.В. О повышении производительности вычислений в некоторых классах гиперкомплексных числовых систем / Синьков М.В., Калиновский Я.А., Чапор А.А., Синькова Т.В., Федоренко А.В. // Электронное моделирование. - 2000. - Т. 22, №6. - С. 13-18.

6. Синьков М.В. Дослідження та використання гіперкомплексних числових систем в задачах динаміки, кінематики та кодування інформації / Синьков М.В., Боярінова Ю.Є., Каліновський Я.О., Постнікова Т.Г., Синькова Т.В., Федоренко О.В. // Пріоритети наукової співпраці ДФФД і БРФФД: Матеріали спільних конкурсних проектів Державного фонду фундаментальних досліджень і Білоруського республіканського фонду фундаментальних досліджень (“ДФФД-БРФФД - 2005”). - К. : ДІА, 2007. - С. 21-34.

7. Федоренко О.В. Модель цифрового фільтра з гіперкомплексними коефіцієнтами / Федоренко О.В. // Системний аналіз та інформаційні технології: матеріали X Міжн. наук.-техн. конф. - К. : НТУУ „КПІ”, 2008. - С. 413.

8. Федоренко О.В. Аналіз коефіцієнтної чутливості цифрового фільтра з квадриплексними коефіцієнтами / Федоренко О.В. // Щорічна підсумкова наукова конференція ІПРІ НАН України: мат. конф. - К. : ІПРІ НАН України, 2008. - С. 98.

9. Федоренко О.В. Аналіз програмних систем автоматизованого проектування програмованих логічних інтегральних схем / Федоренко О.В. // Інженерія програмного забезпечення 2006: мат. Всеукр. конф. аспір. і студ. - К. : НАУ, 2007. - С. 262-268.

10. Синьков М.В. Разработка структур эффективных цифровых фильтров с помощью гиперкомплексного представления информации / Синьков М.В., Калиновский Я.А., Бояринова Ю.Е., Синькова Т.В., Федоренко А.В. // Комп'ютерне моделювання та інформаційні технології в економіці: зб. наук. стат. Всеукр. наук.-практ. конф. - Х. : ХНЕУ, 2006. - №6. - С. 83-84.

11. Федоренко О.В. Автоматизація проектування цифрових гіперкомплексних фільтрів / Федоренко О.В., Бояринова Ю.Є. // Современные информационные и электронные технологии : труды 8-й междун. науч.-практ. конф. - Одесса, 2007. - С. 256.

Размещено на Allbest.ru

...