Принимаем гипотезу о равномерном вращательном движении жесткой плиты, на которой располагается наш локальный участок земной поверхности. При этом пункт М1 располагается на расстоянии 0,5 км от оси вращения и опускается, а пункты М2 и М3 располагаются на одной прямой, параллельной оси вращения плиты на расстоянии 0,95 км от нее.

Схему расположения мобильных пунктов на плите земной коры можно представить в следующем виде (см. рис. 2).

Рис. 2. Схема расположения мобильных пунктов на плите земной коры

Принимая гипотезу равномерного вращения жесткой плиты с мобильными пунктами, выполним по МНК оценивание следующих параметров: отметок мобильных пунктов и скорости вращения плиты с их точностными характеристиками; как функции указанных величин, получим оценки смещений и скоростей движений пунктов с их точностными характеристиками.

Для этого выполним следующее:

введем вектор параметров состояния объекта (локального участка земной поверхности), компонентами которого будут отметки мобильных пунктов на первую эпоху и угловая скорость вращения жесткой плиты;

получим начальную оценку (приближенные значения параметров) вектора состояния;

составим параметрические уравнения связи для измеренных превышений;

составим уравнения поправок для измеренных превышений двух эпох, для чего вычислим коэффициенты и свободные члены уравнений поправок, а также веса измеренных превышений;

решим полученные уравнения поправок по МНК;

получим оценку вектора параметров состояния объекта и средние квадратические ошибки параметров;

определим смещения и скорости движений мобильных пунктов.

При уравнивании результатов измерений параметрическим способом по МНК [2] в качестве параметров принимают такие величины, функциями которых могут быть выражены любые элементы геодезической сети (в нашем случае это могут быть отметки мобильных пунктов, непосредственно измерения - превышения, как в первую, так и во вторую эпохи, смещения мобильных пунктов, скорости смещений и т.п.). Исходя из этого, выберем в качестве параметров отметки мобильных пунктов в первую эпоху и угловую скорость вращения плиты. Тогда вектор параметров примет следующий вид:

(6)

Где щ - угловая скорость вращения плиты;

-отметки мобильных пунктов в первую эпоху.

Тогда математическая модель равномерного вращательного движения жесткой плиты, на которой расположены наши мобильные пункты, может быть представлена в виде следующей системы уравнений, которые связывают отметки в первую и вторую эпохи:

(7)

Целью уравнивания результатов измерений по МНК является исключение ошибок измерений. Для этого необходимо решить систему уравнений поправок следующего вида:

AДX + L = V (8)

Где A - матрица коэффициентов уравнений поправок, прямоугольная, число строк равно числу измерений n, а число столбцов равно числу параметров t;

Д X - вектор поправок в приближенные значения параметров;

L - вектор свободных членов уравнений поправок;

V - вектор поправок в измеренные величины.

Для составления уравнений поправок вида (8) необходимо определить матрицу коэффициентов А и вычислить вектор L, для чего необходимо составить параметрические уравнения связи, которые связывают измеренные превышения с параметрами щ,

Тогда для измерений первой эпохи параметрические уравнения связи будут иметь вид:

(9)

С учетом уравнений (7) параметрические уравнения связи для измерений второй эпохи будут иметь вид:

Коэффициенты уравнений поправок (элементы матрицы А) представляют собой частные производные от параметрических уравнений связи по всем параметрам (щ, ) Исходя из этого получаем матрицу А (таблицу 5).

Таблица 5 - Матрица коэффициентов уравнений поправок (А)

Для получения вектора свободных членов уравнений поправок L необходимо вычислить приближенные значения измеренных превышений, для чего сначала нужно получить приближенные значения вектора параметров Х и подставить их в уравнения (10) и (11).

Получим приближенные значения вектора параметров Х: для этого используем значения отметок стабильных пунктов С₁ и С₂, измеренные превышения h₁, h₂, h₇ и расстояние R от мобильного пункта М1 до оси вращения плиты и получаем:

(11)

Далее определим свободные члены уравнений поправок l по формуле 12:

(12)

(13)

Где l - свободный член уравнения поправок для i-го измеренного превышения;

hєi - приближенное значение превышения, полученное по формулам (9), (10).

Для I эпохи приближенные значения измеренных превышений вычисляются следующим образом:

Теперь необходимо вычислить матрицу весов измеренных превышений Р.

(14)

Где S_i - длина хода в км;

Р_i - вес измеренного превышения,

Веса измеренных превышений имеют следующие значения:

Р1 = Р8 = 0,2381;

Р2 = Р9 = 0,3125;

Р3 = Р10 = 0,5000;

Р4 = Р11 = 0,3571;

Р5 = Р12 = 0,5000;

Р6 = Р13 = 0,3333;

Р7 = Р14 = 0,2778.

Решение полученных уравнений поправок выполняется в программе Parmo, предназначенной для решения уравнений поправок параметрическим способом по методу наименьших квадратов.

В итоге обработки программа выдает поправки в приближенные значения параметров и их средние квадратические ошибки:

СКО единицы веса Мu=0.024

Уравненные отметки мобильных пунктов и угловой скорости находятся по формулам:

(15)

Вектор поправок в измеренные превышения и Уравненные значения превышений приведены в таблице:

Контроль:

3. Структурная идентификация модели объекта

Для строгой проверки выдвинутых гипотез (моделей) с целью статистически обоснованного решения задачи структурной идентификации моделей объекта используем так называемый F-критерий или критерий минимума суммы дисперсий ошибок, идентичных для разных моделей величин - координат пунктов и их смещений, определяемых либо непосредственно как параметры состояния модели, либо как функции параметров модели [3].

На основании статистического F-критерия выберем адекватную модель перемещения мобильных пунктов. F-критерий находится по формуле:

(16)

Где - СКО единицы веса, полученная из совместного уравнивания 2 эпох (модель № 1 - произвольного перемещения мобильных пунктов);

- СКО единицы веса, полученная из совместного уравнивания 2 эпох (модель № 2 - вращательного движения жесткой плиты земной коры); - число избыточных измерений, которое определяется по формуле:

= n - t

где n - число измерений;

t - число параметров.

Подставляем:

В данной работе F-критерий получился равный - 2,11. Таким образом, при поставленном условии, что если F > F Табл., то выбирают гипотезу № 1, если меньше, - то гипотезу № 2.

Вывод: так как табличное значение F-критерия, равное 4,46, больше практического значения, то принимается гипотеза № 2 вращательного движения жесткой плиты.

мониторинг земля недвижимость мобильная сеть

Список литературы