Определение скоростей движения вертикальной и горизонтальной границы насыщения увлажняемой почвы

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 631.423

Определение скоростей движения вертикальной и горизонтальной границы насыщения увлажняемой почвы

Р.Г. Иксанов

Для рассмотрения динамики передвижения границы увлажнения используем уравнение Букингема - Ричардса [1], записанное в общем виде

увлажнение инфильтрация вода впитывание

?и/?t = (D*(и) и) - ?k*(и)/?z.

Здесь оператор = ? /?x + j? /?y + k? /?z (остальные обозначения приведены ниже). Для одной переменной z это соотношение в потенциалах представим в форме

C(h) ?h/?t = ?(k*(h) (?h/?z - 1))/?z, (1)

где C(h) = dи /dh - капиллярная влагоемкость; z - вертикальная координата, направленная вниз. Для простоты дальнейшего рассмотрения, по аналогии с 6 предположим, что коэффициент влагопроводности к* и влажность связаны с потенциалом влаги h (h ? 0) следующими зависимостями:

К*(h) = к_s e^h; (h) = (_s - _r) e^h + _r, (1а)

где _s и к_s - соответственно, влажность и влагопроводность при максимальном насыщении; _r - гигроскопическая влажность, - константа. С учётом приведённых соотношений уравнение (1) будет выглядеть как

= D - к + к()², (2)

где D = , k = .

Преобразованное таким образом уравнение влагопроводности (2) используем для описания процесса впитывания влаги в почву, явно выделяя фронт увлажнения. Для этого индексом «1» обозначим величины, относящиеся к увлажненной части почвенного слоя, а индексом «2» - более сухому, исходному состоянию.

1. Рассмотрим вначале случай инфильтрации влаги.

Пусть до начала увлажнения (t = 0) почвенная среда занимала полупространство z > 0 с постоянным от времени потенциалом h₂⁰. На рисунке представлена схема процесса увлажнения.

С момента времени t > 0 на границе z = 0 поддерживается постоянная влажность с потенциалом h₁(0,t) = h_s. В этом случае вблизи граничной поверхности возникает увлажненный слой с потенциалом h₁(z,t), толщина которого с течением времени увеличивается (см. рисунок).

Фронт увлажнения z = (t) в любой момент времени отделяет горизонт с потенциалом h₁ от соответствующего горизонта h₂, двигаясь с некоторой скоростью = d /dt в направлении более сухого слоя с потенциалом h₂(z, t). Считая, что влажности и соответствующие им потенциалы в обеих частях почвенного профиля могут изменяться скачком, запишем уравнения влагопроводности (2) для двух областей в виде:

= D - к + к ()²; t > 0, 0 < z < (t), (3)

= D - к + к()²; t > 0, (t) < z <

Учитывая, что в начальный момент времени существует только жидкая фаза с потенциалом h₂(z), для t = 0 имеем

h₂( z,0) = h₂⁰, z = 0.

Краевые условия сформулируем следующим образом:

1) на границах области

h₁ (0,t) = h_s, t > 0, z = 0;

h₂ (z, t) = h₂^k t > 0, z > ?;

2) на фронте увлажнения z = (t)

h_{1¦ z=-0} = h_{2 z=+0}.

Кроме того, предполагается, что на движущейся границе z = (t)±0 изменение влажности и соответствующих им потенциалов происходит в результате диффузионных процессов. Отсюда можно получить второе граничное условие (так называемое условие Стефана), рассматривая уравнение баланса влаги, которое представим здесь в такой форме

= ,

где ₁ и ₂ влажности, соответствующие потенциалам h₁(z,t) и h₂(z,t).

Отметим, что подобные условия на движущейся границе применялись ранее многими авторами, в частности, Радкевичем в задачах фильтрации из водохранилищ [4].

Заменяя далее влажности на потенциалы согласно (1а), после несложных преобразований, получим

= . (3а)

Для линеаризации уравнений в системе (3) введем новую функцию u(z,t) = exp(h), после чего перепишем (3) следующим образом

= D - к t > 0, 0 < z < (t); (4)

= D - к , t > 0, (t) < z < .

Согласно 3 решение полученной системы уравнений (4) можно представить следующим образом:

u₁(z,t) = A+BФ((z-kt)/(2)), > 0, 0 < x < (); (5)

u₂(z,t) = A₂+B₂ Ф((z-kt) /(2)), >0, ()< x < ?,

Возвращаясь к первоначальным функциям h_i (z,t), из уравнений (5) получим

б h_i (z,t) = Ln u_i (z,t) = Ln( Ai+BiФ((z-kt)/(2)), (6)

Константы интегрирования A_i и В_i для решений (6) найдем из соответcтвующих граничных условий. При любом t > 0, как видно из (6), условие на границе z = 0 для h₁(z,t) может быть выполнено при соблюдении равенства В₁ = 0. Тогда для константы А₁ имеем соотношение

A₁ = exp (б h_s). (7)

Из первого условия на фронте увлажнения с учетом (7) найдем зависимость между коэффициентами А₂ и В₂ в виде

б h_s, = Ln(A₂+B₂ Ф(( (t) - kt)/(2 ))).

Анализ этого выражения показывает, что для любого t > 0 условие на границе увлажнения может быть выполнено только в том случае, если аргумент функции ошибок не зависит от времени. Следовательно, необходимо принять, что соотношение ( (t) - kt)/ = const = у.

Таким образом, с точностью до некоторой постоянной у, закон движения фронта увлажнения описывается уравнением (t) = kt + уvD vt, а его скорость - уравнением (t) = k + (у t^-1/2)/2. Раскрывая обозначения для к и D, принятые в (2), перепишем полученные соотношения в следующем виде

( t) = k t + 2 в уvt; (t) = k+ в у t^-Ѕ,

где в = (k_s / 4б (_s - _r))^1/2; k = k_s / (_s - _r). Таким образом, закон инфильтрации определяется формулой

(t) = k_s / (_s - _r) + ( k_s / 4б (_s - _r))^1/2 у t^Ѕ. (7а)

Вернемся к нахождению постоянных коэффициентов А₂ и В₂ . С учётом вышеизложенного анализа и полученных ранее соотношений следует, что

A₂ + B₂ = = exp(б h₂^к ); A₂ + B₂ Ф(у/2) = exp(б h_s),

откуда имеем

A₂ = (exp(б h_s) - exp (б h₂^к )Ф(у/2))/щ,

B₂ = - ((exp(б h_s).- exp(б.h₂^к ))/щ,

где введено обозначение щ = 1 - Ф(у/2).

В результате, с учетом найденных соотношений, решение первоначальной задачи (3) запишем следующим образом:

h₁ ?z‚t? = h_s t > 0, 0 < z < ( t); (8)

h₂ (z,t) = h_s + Ln[(1 - Ф(м/2))/щ ‚) + з(Ф(м/2) - Ф (у/2))/ щ /б,

t > 0, ( t) < z < ?. (8a)

Здесь введены обозначения: м = (z-kt)/, з = exp(б h_s).- exp(б.h₂^к ). Точное выражение для скорости движения увлажненной границы можно получить, если определить значение постоянной у. Для этого воспользуемся условием Стефана на фронте увлажнения для задачи (3). Так как dФ / dz = 2 exp(-z²)/vр, то после дифференцирования интеграла по параметру t в соотношении (3а) и последующих алгебраических преобразований, условие на границе будет выглядеть следующим образом

-(/vр)(- з / щ) exp(-у²/4) / = з .

Подставляя в это соотношение (вместо ) выражение для скорости движения фронта увлажнения, и воспользовавшись условием уvD / vt >> k, получим уравнение для расчета постоянной у

2 exp(-у²/4) = vр у(1 - Ф(у/2)). (9)

Анализ трансцендентного уравнения (9) показывает, что существует единственное положительное значение параметра , удовлетворяющее этому соотношению. Отметим, что уравнение для скорости влагопереноса (7а) по форме совпадает с уравнением Филипа [5]

(t) = A.+ B t^Ѕ, (10)

где A = K_p+ , B = ; K_P - влагопроводность при влажности _p (в нижней части почвенного слоя, куда фронт увлажнения еще не проник), _о - влажность на поверхности почвы, коэффициенты и представляют собой функции влажности (выраженные в форме кривой, с которой можно снять их численные значения, соответствующие данному ). Причем уравнение справедливо для достаточно малых промежутков времени, следующих за началом затопления поверхности почвы.

Сравнение уравнений (7а) и (10) показывает, что константы первого уравнения имеют явную связь с гидрофизическими характеристиками почвы. Слагаемое уравнения (7а) k = k_s / (_s - _r) также явно характеризует влагопроводимость поверхности почвенного слоя, чего нельзя сказать о константах в уравнении Филипа.

2. Рассмотрим динамику передвижения границы увлажнения в горизонтальном направлении. Для этого уравнения (1)…(3) перепишем без учета гравитационной составляющей: C(h) ?h/?t = ?(k*(h) (?h/?x))/?x; (11)

= D + к ()² ; (12)

= D + к ()²_; t > 0, 0 < x < (t); (13)

= D + к()², t > 0, (t) < x < .

Начальное и краевые условия, а также условие Стефана на движущейся границе увлажнения подобны рассмотренным выше. Аналогичная линеаризация уравнений в системе (13), приводит их к следующему виду

= D, t > 0, 0 < x < (t); (14)

= D, t > 0, (t) < x < .

Согласно 3 решение полученной системы уравнений (14) можно представить следующим образом:

u₁(x,t) = A+BФ(x/(2)), t > 0, 0 < x < (t); (15)

u₂(x,t) = A₂+B₂ Ф(x/(2)), t > 0, (t) < x < .

Анализ уравнений (15), проведенный аналогично предыдущему случаю, сводится к принятию допущения о равенстве (t)/ = const = у. Таким образом, с точностью до

некоторой постоянной у, закон движения фронта увлажнения в горизонтальном направлении описывается уравнением

(t) = уvD vt, а его скорость - (t) = (уvD/vt)/2,

или ( t) = 2 в уvt; (t) = в у t^-Ѕ, (16)

где в = (k_s / 4б (_s - _r))^1/2 , k = k_s / (_s - _r).

Здесь константу можно найти из уравнения (9), справедливого во всем временном интервале, то есть свободного от допущения уvD / vt >> k. Отметим, что аналогичные (16) результаты были получены в [2] для случая вертикального передвижения влаги, когда в нижележащем почвенном слое не учитывалась гравитационная составляющая потенциала в уравнении Ричардса.

Выводы

1. Из решения уравнения Ричардса с подвижной границей с точностью до постоянной величины у найдена скорость инфильтрационного передвижения воды в виде

(t) = k_s / (_s - _r) + ( k_s / 4б (_s - _r))^1/2 у t^-Ѕ.

При этом первое слагаемое вызвано наличием гравитационного потенциала, а второе - капиллярного. Оба слагаемых явно связаны с гидрофизическими характеристиками почвы.

2. Аналогично получена скорость впитывания в горизонтальном направлении:

(t) = ( k_s / 4б (_s - _r))^1/2 у t^-Ѕ.

В этом случае скорость движения влаги определяется действием только капиллярных сил.

3. Величину у можно найти из решения уравнения (9).

Библиографический список

1. Веригин Н.Н, Васильев С.В, Саркисян В.С, Шержуков Б.С. Гидродинамические и физико-химические свойства горных пород. М.: Недра, 1997. С. 271.

2. Иксанов Р.Г. Задача Стефана о впитывании влаги в почву. /Сб. науч. трудов МГУП. М.,2004. С. 155-160.

3. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф.Справочник по нелинейным уравнениям математи

4.

5. ческой физики: Точные решения. М.: Физматлит, 2002. С.432.

6. Радкевич Е.В, и др. Краевые задачи со свободной границей. Ташкент, 1988.

7. Чайлдс Э. /Под ред. Глобуса А.М. Физические основы гидрогеологии почв. Л.: Гидром

8. етеоиздат, 1973.С.428.

9. Chen J.-M., Tan Y.-C., Chen C.-H. and Parlange J.-Y. Analitical solutions for linearized Richard's equation with arbitrary time-dependent surface fluxes. Water Resour.Res., 37(4), 1091-1093, 2001.

Размещено на Allbest.ru