Метод і модель двохкритеріальної оптимізації ресурсів при програмуванні урожайності сільськогосподарських культур

Тоді множина ефективних по Парето значень П_х визначиться із умови:

, (10)

де

або

 (11)

тобто

(12)

Останнє рівняння показує, що множина П_х співпадає з множиною (х₁^*, х₂^*) розв'язків рівняння (11), тобто є точками дотику ізоклін. В кожній точці дотику (х₁^*, х₂^*) цих кривих (ізоклін) повинна бути спільна дотична. Саме ця вимога і міститься в умовах (11), які можна переписати в вигляді одного векторного співвідношення (рис.1) або

(13)

В лівій частині цього співвідношення стоїть градієнт функції f₁ (х), який, як відомо, є нормаллю до лінії рівного рівня функції f₁ (х) або направляючий вектор дотичної до цієї лінії; в свою чергу вектор є направляючий вектор іншої ізолінії в точці {х₁^*, х₂^*} - прямої С^max- Р₁х₁ - Р₂х₂ = f₂ (х) = const.

Таким чином, умови (13) є не що інше, як вимога пропорційності направляючих векторів дотичних (градієнтів) до ліній f₁ (х)=const і f₂ (х)=const або вимога співпадання цих двох дотичних, що проходять через точку (х₁^*, х₂^*).

Рівняння (13) означає також, що в області визначення П_х Парето оптимальних значень один із критеріїв зростає (а саме f₁ (х)), а інший - (критерій f₂ (х)) спадає вздовж лінії (х₁^*, х₂^*), заданої рівнянням (13). Множина П_х - геометричне місце точок, яке в просторі критеріїв має „фізичний зміст” гребеня, що з'єднує дві вершини - точки абсолютних мінімумів f₁(х) та f₂(х) в області визначення D_x.

Рівняння цієї кривої, де дотикаються ізокліни двох функцій, буде мати вигляд (рис.1.б):

grad f₁ = л grad f₂ (14)

Размещено на http://www.allbest.ru/

а б

Рис. 1 Область Парето оптимальних рішень П_х в області визначення D_x: а - П_х - область Парето оптимальних рішень, що утворюють точки дотику ізоклін. б - протилежна направленість градієнтів в точці А

Модель двохкритеріальної оптимізації ресурсів при вирощуванні кукурудзи на зерно. Метод дозволяє кожному рівню водних ресурсів встановлювати відповідний оптимальний рівень добрив.

Загальний вигляд функцій валової продукції та ресурсної функції наведено на рис. 2.

Рис. 2 Загальний вигляд функції валової продукції та ресурсної функції при вирощуванні кукурудзи на зерно

Для вирішення двохкритеріальної задачі знаходимо рівняння кривої, де дотикаються ізокліни двох функцій, яке буде мати вигляд:

grad f₁ + л grad f₂ = 0 (15)

Використовуючи останню систему рівнянь, знаходимо:

(16)

де U, - відповідно фактична і потрібна зрошувальні норми, о - опади за період вегетації.

Виключаючи параметр л з системи (16), одержимо рівняння:

(17)

Для прикладу була вибрана залежність урожайності кукурудзи від зрошувальної норми та доз добрив. Підставляючи відповідні значення коефіцієнтів моделі „урожайність - вологозабезпеченість” та „урожайність - рівень добрив” для кукурудзи на зерно в (1), отримаємо наступні рівняння:

, (18)

Ресурсний критерій при вирощуванні кукурудзи на зерно матиме вигляд:

(19)

Розв'язуючи дану систему рівнянь як параметричну для кожного значення величини доз добрив К₂, знаходимо відповідне значення водних ресурсів U.

Рис. 3 Оптимальне співвідношення доз добрив і води при вирощуванні кукурудзи на зерно

Необхідно зазначити, що при дефіциті водних ресурсів та добрив не можна задовольнити всі культури, що вирощуються на заданій площі S максимальними (біологічно оптимальними) нормами та максимальними дозами добрив [8,9]. Деякі з них можуть бути политими не біологічно оптимальними нормами W, а економічно доцільними зрошувальними нормами U [1]; при обмежених водних ресурсах зрошувальні норми можуть бути меншими за економічно доцільні. При цьому відповідним чином повинні бути зменшені і величини доз добрив. Таке оптимальне співвідношення добрив і води може бути знайдене на основі оптимізації часткової задачі (окремо по кожній культурі) [10,11].

В результаті вирішення часткової задачі (2) на прикладі кукурудзи на зерно одержується оптимальне співвідношення доз добрив і води (рис. 3). з метою оптимізації чистого прибутку від вирощування сільськогосподарської культури.

Висновки. Таким чином, формалізована задача двохкритеріальної оптимізації виробничої функції (валової продукції) та функції ресурсів дозволяє для кожного рівня ресурсів води знаходити оптимальний рівень ресурсів добрив, тобто оптимізувати процес прийняття рішень при програмуванні врожаю.

Запропонована модель двохкритеріальної оптимізації, що включає критерії чистого прибутку та ресурсний критерій; дозволяє оптимізувати чистий прибуток від зрошення в умовах обмежених ресурсів. При цьому здійснюється найбільш ефективне використання ресурсів, тобто для кожного рівня добрив знаходиться відповідна величина водних ресурсів і навпаки. Розроблений метод та алгоритм оптимізації проілюстровано на конкретному прикладі оптимізації ресурсів при програмуванні врожаю кукурудзи на зерно.

Література

1.Ковальчук П.І, Матяш Т.В. Оптимізація річного планування водокористування в умовах дефіциту ресурсів. // Меліорація і водне господарство, 2006.Вип 93-94. с.210-218.

2.Ушкаренко В.А. Программирование урожаев сельскохозяйственных культур на орошаемых землях. Научные основы программирования урожаев сельскохозяйственных культур. Научные труды ВАСХНИЛ. М.: Колос, 1978. с. 201-208.

3. Ковальчук П.І., Лазер П.Н., Пендак Н.В., Матяш Т.В., Зябрев І.А.. Інтегроване управління водними, земельними та матеріальними ресурсами у зрошуваному землеробстві.// Таврійський науковий вісник: Збірник наукових праць ХДАУ. Вип.52. Херсон: Айлант.2007.с.87-92.

4. Філіп'єв І.Д., Михеєв Є.К. Як програмувати врожай. К.: Урожай, 1990. 96с.

5. Митчерлих Э.А. Определение потребности почвы в удобрении. М.Л.: ОГИЗ сельхозиздат, 1931. 268с.

6. П.Ковальчук, Т.Матяш. Структура і моделі САПР платного водокористування //Водне господарство України, 2005.№5.с.18-22.

7. В.В. Хоменюк. Элементы теории многоцелевой оптимизации. М.: «Наука». 1983.127с.

8. Ромащенко М.І., Балюк С.А. Зрошення земель в Україні. Стан та шляхи поліпшення. К.:Світ.2000.114с.

9. П.І. Коваленко, Ю.О. Михайлов. Раціональне використання води при зрошенні. Київ: Аграрна наука. 2000.154с.

10. Ковальчук П.І, Матяш Т.В., Криницька Т.В.. Багатокритеріальна оптимізація зрошувальних норм в умовах дефіциту ресурсів.// Вісник Національного університету водного господарства та природокористування, 2006. Вип 3 (35).с.42-49.

11. Ковальчук П.І., Пендак Н.В., Матяш Т.В., Шевчук С.А.. Нормоване водокористування з використанням ГІС-технологій.// Таврійський науковий вісник: Збірник наукових праць ХДАУ. Вип.52. Херсон: Айлант.2007.с.248-256.

Размещено на Allbest.ru