Основы финансовых вычислений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1. Банк выдал ссуду размером P руб. Дата выдачи ссуды - T_н, возврата - Т_к. День выдачи и день возврата ссуды считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых. Найти: 1) точные проценты с точным числом дней ссуды; 2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды; 3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение. Вычисления проводим по формуле

Рис. 1. Начисление простых процентов

Ответ.

1) точные проценты с точным числом дней ссуды составят 69 616 руб. 44 коп.;

2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды составят 70 583руб. 33 коп.;

3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды составляет 24383руб. 33коп.

Задача 2. Через T_дн дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные).

Какова первоначальная сумма и дисконт?

Решение. Вычисления проводим по формуле

Рис. 2. Математическое дисконтирование

Ответ. Первоначальная сумма составляет 8564476 руб. 89 коп.

Дисконт составляет 235523 руб. 11 коп.

Задача 3. Ссуда, размером P руб. предоставлена на T_лет лет. Проценты сложные, ставка - i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.

Решение. Вычисления проводим по формуле

(рис.3)

Рис. 3. Наращение по сложным процентам с номинальной ставкой

Ответ. Наращенная сумма составляет 6021499 руб. 51 коп.

Задача 4. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых.

Решение. Вычисления проводим по формуле

Рис. 4. Связь эффективной ставки процента с номинальной ставкой

Ответ. Если банк начисляет проценты 4 раза в год, исходя из номинальной ставки 11% годовых, то эффективная ставка процента равна 11,46%.

Задача 5. Через T_лет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.

Решение. Вычисления проводим по формулам

(рис. 5)

Рис. 5. Банковский учет векселя по сложной процентной ставке

Ответ. Дисконт при учете векселя по сложной учетной ставке 11% годовых для выплаты через 5 лет по векселю суммы 3500000 руб. составляет 1545579 руб. 19 коп.

Задача 6. В течение n лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по R руб., на которые один раз в году начисляются проценты по сложной ставке i% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение. Вычисления проводим по формуле

Рис. 6. Обычная годовая рента

Ответ. Наращенная сумма к концу указанного срока составляет 7535569руб. 60 коп.

Задача 7. В течение n лет на расчетный счет p раз в году поступают платежи равными долями из расчета R руб. в год, на которые в конце каждого года начисляются проценты по сложной ставке i% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение. Используем формулу

Рис. 7. р- срочная рента с начислением процентов 1 раз в году

Ответ. Наращенная сумма к концу указанного срока составляет 7911016 руб. 01 коп.

Задача 8. В течение n лет на расчетный счет p раз в году поступают платежи равными долями из расчета R руб. в год, на которые m раз в году начисляются проценты по сложной ставке i% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение. Используем формулу

Рис. 8. р-срочная рента с начислением процентов т раз в году (р=т)

Ответ. Наращенная сумма к концу указанного срока составляет 7983709 руб. 24 коп.

Задача 9. Через n лет на расчетном счете необходимо иметь S руб. Определить размер ежегодных платежей в конце года по сложной ставке i% годовых.

Решение. Вычисления проводим по формуле

Рис. 9. Определение величины отдельного платежа в конце года

ссуда процент ставка расчет

Ответ. Ежегодный платеж в конце года составляет 1854810 руб. 15 коп.

Задача 10. Предприниматель взял кредит в размере A руб. сроком на n лет по сложной ставке i% годовых. Рассчитать размер ежегодных погасительных платежей, если они будут выплачиваться в начале года.

Решение. Используем формулу

Рис. 10. Определение величины отдельного платежа в начале года

Ответ. Ежегодный платеж в начале года составляет 1811478 руб. 08 коп.

Задача 11. На момент окончания финансового соглашения заёмщик должен выплатить S руб. Платежи размером R руб. поступают ежегодно в конце года с начислением по сложной процентной ставке i% годовых. Определить срок простой ренты постнумерандо.

Решение. Вычисления проводим по формуле

Рис. 11. Определение срока простой ренты постнумерандо

Ответ. Срок простой ренты постнумерандо равен 4,5 года.

Задача 12. Организация взяла кредит в размере A руб. с условием погашения ежегодными платежами по R руб. в начале года и начислением по сложной процентной ставке i% годовых. Определить срок простой ренты пренумерандо.

Решение. Используем формулу

Рис. 12. Определение срока простой ренты пренумерандо

Ответ. Срок простой ренты пренумерандо равен 4,69 года.

Задача 13. В течение n лет на расчетный счет p раз в году поступают платежи равными долями из расчета R руб. в год. Дисконтирование производится ежемесячно по сложной процентной ставке i% годовых. Определить современную стоимость ренты.

Решение. Используем формулу

Рис. 13. Определение современной стоимости р-срочной ренты (р?т)

Ответ. Современная стоимость р-срочной ренты составляет 5072792руб. 83 коп.

Задача 14. Коэффициент корреляции бумаг A и B равен . Найти портфель минимального риска и его доходность. Найти портфель максимальной доходности и его риск. Найти портфель и его риск, если доходность портфеля равна %. Найти портфель и его доходность, если риск портфеля равен %. Сделать чертёж.

Решение. Множество допустимых портфелей в случае полной корреляции представляет собой отрезок с концами (0,5;0,9) и (0,17;0,55) (рис. 14.1).

Рис. 14. Множество допустимых портфелей

1. Портфель минимального риска состоит только из бумаги наименьшего риска Х1=(1;0). Доходность такого портфеля равна 5%.

2. Портфель максимальной доходности состоит только из бумаги наибольшей доходности Х2=(0;1). Риск такого портфеля равен 22%.

3. Портфель заданной доходности м имеет вид

Х3=,

его риск может быть вычислен по формуле

у=у1*х1+ у2*х2

4. Портфель заданного риска у имеет вид

Х4=,

его доходность может быть вычислена по формуле

м=х1* м1+х2* м2

Ответ.

1. Портфель минимального риска состоит только из бумаги наименьшего риска х1 = (1;0). Доходность такого портфеля равна 5%.

2. Портфель максимальной доходности состоит только из бумаги наибольшей доходности х2= (0;1). Риск такого портфеля равен 22%.

3. Портфель заданной доходности 14% имеет вид х3=. Риск такого портфеля приближенно равен 18,75%.

4. Портфель заданного риска 14 % имеет вид х4=. Доходность такого портфеля приближенно равен 9,62%.

Задача 15. Коэффициент корреляции бумаг A и B равен . Найти портфель нулевого риска и его доходность. Найти портфель максимальной доходности и его риск. Сделать чертёж.

Решение. Портфель нулевого риска имеет вид

,

его доходность может быть вычислена по формуле

Множество допустимых портфелей в случае полной антикорреляции представляет собой ломаную, состоящую из отрезка с концами (0,5;0,9) и (0,8.48;0) и отрезка с концами (0,8.48;0) и (0,17; 0,55) (рис. 15.1)

Портфель максимальной доходности состоит только из бумаги максимальной доходности (0;1). Риск такого портфеля равен 25%.

Рис. 15. Множество допустимых портфелей

Ответ. Портфель нулевого риска имеет вид (0,710;0,290). Доходность такого портфеля равна 8,48%.

Портфель максимальной доходности состоит только из бумаги максимальной доходности (0;1). Риск такого портфеля равен 22%.

Задача 16. Коэффициент корреляции бумаг A и B равен . В портфель добавлена безрисковая бумага с доходностью %. Найти портфель Тобина минимального риска с доходностью % и его риск.

Решение. Имеем задачу нелинейного программирования:

Найти минимум функции

при ограничениях

Решим полученную задачу с помощью надстройки «Поиск решения» MS Excel

Ответ. Портфель Тобина минимального риска с доходностью 14% имеет вид (0,000;0,769;0,231). Риск такого портфеля равен 16,92%.

Задача 17. Найти текущую стоимость облигации номинальной стоимостью N руб., сроком погашения n лет и ежегодными выплатами по купонной ставкой c% при годовой процентной ставке, составляющей r%.

Решение. Вычисления проводим по формуле

Ответ. Текущая стоимость облигации составляет 1766 руб. 62 коп., что меньше номинальной стоимости облигации.

Задача 18. Найти изменение дисконта облигации со сроком обращения n лет, номинальной стоимостью N руб., купонной ставкой c% и доходностью к погашению % при продаже её в настоящий момент и продаже её через год.

Решение. Дисконт I (разность между номиналом N и текущей рыночной стоимостью V ) при продаже облигации в настоящий момент равен I= N- V.

Вычисления V1 и V2 проводим по формуле

с учетом изменения п.

Ответ. Дисконт изменится от 82 руб. до 67 руб. 74 коп.

Задача 19. Найти дюрацию облигации со сроком погашения n лет, купонной ставкой c% (с ежегодной выплатой) и доходностью к погашению y%.

Решение. Вычисления проводим по формуле

Ответ. Дюрация облигации равна 4,465 года.

Размещено на Allbest.ru