Размещено на http://www.allbest.ru/

МБОУ «Гимназия № 5»

Городской округ Дзержинский Московская область

Учебный проект

Проценты в нашей жизни

Проект выполнили:

Весёлкина Полина

Голоколенова Дарья

Гордеева Олеся

Учитель-консультант:

Серова Наталья Андреевна



Содержание

Введение

1. Понятие процента. Основные типы задач на проценты

1.1 Процент. Основные понятия

1.2 Основные типы задач на проценты

2. Применение процентных расчетов в различных видах жизнедеятельности человека

2.1 Занимательные задачи на проценты

2.2 Процентное содержание, процентный раствор, концентрация, смеси и сплавы

2.3 Концентрация, смеси, сплавы

2.4 Примеры современных задач на проценты задания из вариантов ЕГЭ

2.5 Проценты в экологии города

3. Проценты в банке

Вывод



Введение

Проценты - одно из математических понятий, которое часто встречается в повседневной жизни. В настоящее время понимание процентов и умение производить процентные расчеты, необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, экономическую, социологическую и другие стороны нашей жизни. Данная тема сейчас весьма актуальна, так как понятие «кредит» (будь то ипотека, или авто-кредит) прочно вошло в жизнь современного человека. Люди берут банковские кредиты и, как правило, не могут правильно рассчитать процентные выплаты. Любой человек должен уметь свободно решать задачи, предлагаемые самой жизнью, уметь просчитать различные предложения магазинов, кредитных отделов и различных банков и выбрать наиболее выгодные.

Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент - это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту ( / ), возник современный символ для обозначения процента. Существует еще одна любопытная версия возникновения знака %, в которой говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

Теперь нам известно, что люди давно замети, что сотые доли величин удобны в тактической деятельности и придумали для них специальное название - процент. Сотая часть метра - это сантиметр, сотая часть рубля - копейка, сотая часть центнера - килограмм. Значит одна копейка - один процент от одного рубля, а один сантиметр - один процент от одного метра, так как один процент - это одна сотая доля числа. Математическими знаками один процент мы записывается так: 1%. Как найти 1% от числа? Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Как найти несколько процентов от числа? Например, 15%. Для этого нужно число разделить на 100, а затем полученный ответ умножить на 15. Таким способом, то есть, опираясь на определение процента, мы решали задачи в пятом классе. В шестом классе, изучив умножение и деление обыкновенных дробей, мы узнали, что деление на 100, можно заменить умножением на 0,01, значит теперь 15% от числа можно найти, просто умножив его на 0,15.

Объектом исследования является изучение различных типов задач по теме «Проценты». Предмет исследования: решение практических задач на проценты и процентное содержание, иллюстрирующих использование процентных расчетов в различных сферах жизнедеятельности человека. Методы работы: поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет; практический метод выполнения вычислений при решении различных задач на проценты; анализ полученных в ходе исследования данных.



1. Понятие процента

1.1 Основные типы задач на проценты

процентный ставка кредит

1. Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь.

2. Правило 2. Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов разделить на эту дробь.

3. Правило 3.Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов. Эти три основных правила, позволяют разделить задачи, изучаемые в курсе 6 класса на три основных типа: нахождение процентов от числа, нахождение числа по значению его процентов, нахождение в процентах какую часть одно число составляет от другого. В дальнейшем при решении составленных задач будем указывать тип задачи, тем самым выбирая правило по которому она решается.

4. Изучение прямой и обратной пропорциональной зависимости, дало нам универсальный способ решения задач на проценты, что позволило немного упростить их решение, так теперь не надо думать о типе задач. Только лишь правильно составить краткую запись к задаче.

1.2 Основные типы задач на проценты

Существует три основных типа задач на проценты:

Задача 1. Найти указанный процент от заданного числа.

Заданное число умножается на указанное число процентов, а затем произведение делится на 100.

П р и м е р. Вклад в банке имеет годовой прирост 6%. Начальная сумма вклада равнялась 10 000 руб. На сколько возрастёт сумма вклада в конце года?

Р е ш е н и е : 10000 · 6 : 100 = 600 руб.

Задача 2. Найти число по заданному другому числу и его величине в процентах от искомого числа.

Заданное число делится на его процентное выражение и результат умножается на 100.

П р и м е р. Зарплата в январе равнялась 15 000 руб., что составило 7,5% от годовой зарплаты. Какова была годовая зарплата?

Р е ш е н и е : 15 000 : 7,5 · 100 = 200 000 руб.

Задача 3. Найти процентное выражение одного числа от другого.

Первое число делится на второе и результат умножается на 100.

П р и м е р. Завод произвёл за год 40 000 автомобилей, а в следующем году - только 36 000 автомобилей. Сколько процентов это составило по отношению к выпуску предыдущего года?

Р е ш е н и е : 36000 : 40000 · 100 = 90%.



2. Применение процентных расчетов в различных видах жизнедеятельности человека

2.1 Занимательные задачи на проценты

Задача 1. Сколько человек работало на заводе?

В начале года число мужчин, работавших на заводе, составляло 40% от общей численности работников завода. После того, как были приняты на работу еще 6 мужчин, а 5 женщин уволилось, число мужчин и женщин на заводе сравнялось. Сколько человек работало на заводе в начале года?

Число мужчин, работавших на заводе в начале года, было на 11 меньше числа работавших там женщин

Процентная разность между числом женщин и числом мужчин составляла в начале года 20%.

Общая численность работавших на заводе в это время 11:0,2 = 55 человек.

Задача 2. Сколько процентов составляет возраст сестры?

Возраст брата составляет 40% от возраста сестры. Сколько процентов составляет возраст сестры от возраста брата?

Примем возраст сестры за 100%.

Возраст брата составит 40%. Процентное отношение возраста сестры к возрасту брата равно: (100/40) · 100% = 250%.

Задача 3. Как изменилась масса арбуза?

Влажность купленного арбуза составила 99%. В результате длительного хранения влажность снизилась до 98%. Как изменилась масса арбуза?

Свежий арбуз на 99% процентов состоит из жидкости и на 1%ю - из сухой массы. В результате усушки количество жидкости уменьшилось и составило 98% от новой, также уменьшившейся массы арбуза.

Количество же сухого вещества, оставаясь неизменным, составило 2% от новой массы арбуза. Процентное содержание в арбузе сухого вещества (при неизменной его массе) увеличилось вдвое.

Следовательно, масса арбуза в результате усушки уменьшилась вдвое.

2.2 Процентное содержание, процентный раствор, концентрация. Смеси и сплавы

При решении задач на проценты приходится сталкиваться с понятием "процентное содержание", "концентрация", "%-й раствор". Поэтому предлагаем задачи на эти понятия.

Процентное содержание. Процентный раствор.

Задача 1. Сколько кг соли в 10кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.

Решение:

10. 0,15 = 1,5 (кг) соли.

Ответ: 1,5кг.

Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли.

Задача 2. Сплав содержит 10кг олова и 15кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?

Решение:

Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.

1) 10 + 15 = 25 (кг) - сплав;

2) 10/25. 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;

3) 15/25. 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве;

Ответ: 40%, 60%.

Концентрация.

Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения.

Пример. Концентрация серебра в сплаве 300г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261г.

300. 0,87 = 261 (г).

В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.

ПР2. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?

Решение:

1) 10 + 15 = 25(кг) сплав;

2) 10 : 25 • 100% = 40% процентное содержание олова в сплаве.

3) 15 : 25 • 100% = 60% процентное содержание цинка в сплаве.

Ответ: 40%, 60%.

2.3 Концентрация, смеси и сплавы

Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения.

Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%.

Это означает, что чистого серебра в сплаве 300•0,87 = 261 г

В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.

Отношение объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этой компоненты.

Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1. В этом случае концентрация - безразмерная величина. Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится:



к = р : 100%,

к - концентрация вещества;

р - процентное содержание вещества (в процентах).

Дополнительные задачи.

Задача 1.

Имеется два сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго слава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?

Решение (с помощью уравнения):

Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить Х кг второго сплава. Тогда получим (20+Х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4•20 = 8 (кг) серебра, а в (20+Х) кг нового сплава содержится 0, 32•(20+Х) кг серебра.

Составим уравнение: 8+0,2Х = 0,32(20+Х);

Х=13 1/3.

Ответ: 13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра.

Задача 2.

При смешивании 5%-ного раствора кислоты с 40%-ным раствором кислоты получили 140 г 30%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?

Решение (с помощью системы уравнений):

Проследим за содержанием кислоты в растворах. Возьмем для смешивания Х г 5%-ного раствора кислоты (или 0,05Х г) и Х г 40%-ного раствора (или 0,4Х г). Так как в 140 г нового раствора кислоты стало содержаться 30%, т. е. 0,3•140 г, то получаем следующее уравнение

0,05Х + 0,4Х = 0,3•140.

Кроме того Х + Х = 140.

Таким образом, приходим к следующей системе уравнений:

0,05Х + 40Х = 30•140,

Х + Х = 140.

Из этой системы находим

Х = 40, Х = 100.

Итак,

5%-ного раствора кислоты следует взять 40 г,

а 40%-ного раствора - 100 г.

Ответ: 40 г, 100 г.

2.4 Примеры современных задач на проценты задания из вариантов ЕГЭ

1. Смешали 160 г раствора, содержащего 60% соли, и 240 г раствора, содержащего 40% соли. Сколько процентов соли в получившемся растворе?

2. В январе пакет акций стоил на 10% меньше, чем в феврале. В феврале этот же пакет акций стоил на 20% меньше, чем в марте. На сколько процентов меньше стоимость акций в январе, чем в марте?

3. Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%. На сколько процентов необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня?

4. Зарплату повысили на р%. Затем новую зарплату повысили на 2р%. В результате двух повышений зарплата увеличилась в 1,32 раза. На сколько процентов зарплата была повышена во второй раз?



3. Проценты в банке

Задача 1 «Сезонная распродажа»

На сезонной распродаже магазин снизил цены на обувь на 24%. Сколько рублей можно сэкономить при покупке кроссовок, если до снижения цен они стоили 1593 рубля?

Решение:

1. 100%-24%=76%=0,76 - составит стоимость кроссовок от первоначальной цены в сезонную распродажу.

2. 1593•076=1210,68 (руб.) - стоимость кроссовок во время сезонной распродажи.

Ответ: 1210,68 руб.

Задача 2 «Банковский вклад»

Банк начисляет 12% годовых и внесенная сумма равна 100 000 рублей. Какая сумма будет на счете клиента банка через 3 года?

Решение:

1. 100000+100000•0,12=112000 (руб) - через 1 год.

2. 112000+112000•0,12=125440 (руб) - через 2 года.

3. 125440+125440•0,12=140492,8 (руб) - через 3 года.

Ответ: 140492,8руб.

Задача 3 «Автосалон»

Итак, вы пришли в автосалон “SECOND LIFE AUTO”, что в вольном переводе означает “ВТОРАЯ ЖИЗНЬ МАШИНЫ”. Здесь вы можете приобрести подержанную автотехнику в отличном состоянии и по доступной цене. Автомобиль станет вашим после того как правильно заполните весь пакет документов.

Задача 3 «Кредит»

Ситуация с деньгами у вас сложилась так, что вы не можете сразу оплатить всю сумму, поэтому мы с вами заключаем договор о кредитовании на 3 месяца: в декабре - 60% всей стоимости, в январе - 75% остатка, в феврале - всю оставшуюся сумму.

Определите, пожалуйста, сколько рублей в каждом месяце вы заплатите и заполните “Договор о кредитовании”

Задача 4 «Квитанция»

За оформление права собственности нотариус возьмет с вас 1,5% от стоимости автомобиля в виде нотариальной пошлины. Во сколько рублей вам обойдется ваша покупка вместе с нотариальной пошлиной? Будьте особенно внимательны при заполнении этой квитанции, можно обращаться за помощью к менеджерам (см. приложение).

Задача 5 «Страховка»

Наш автосалон предлагает вам сразу заключить договор о страховании автомобиля от угона на 100 000 рублей. Определите, какой процент от стоимости вашего автомобиля будет вам выплачен в случае угона. Страховой взнос - 10 % от стоимости покупки (см. приложение).

Задача1

В банк положено 50000 руб., а через 1,5 года на счете было 110000 руб. Определите ставку процентов банка, проценты простые точные.

Решение

110000 =50000*(1+i1.5)

110000/50000=1+i1.5

2.2-1=i1.5

1.2=i1.5

I=1.2/1.5=0.8

Ставка процента банка составила 80% годовых.

Практическая часть

П р и м е р. Вклад в банке имеет годовой прирост 6%. Начальная сумма вклада равнялась 10 000 руб. На сколько возрастёт сумма вклада в конце года?

Р е ш е н и е : 10000 · 6 : 100 = 600 руб.

П р и м е р. Зарплата в январе равнялась 15 000 руб., что составило 7,5% от годовой зарплаты. Какова была годовая зарплата?

Р е ш е н и е : 15 000 : 7,5 · 100 = 200 000 руб.

Пример. Возраст брата составляет 40% от возраста сестры. Сколько процентов составляет возраст сестры от возраста брата?

Примем возраст сестры за 100%.

Возраст брата составит 40%. Процентное отношение возраста сестры к возрасту брата равно: (100/40) · 100% = 250%.

Пример. Пример. На сезонной распродаже магазин снизил цены на обувь на 20%. Сколько рублей можно сэкономить при покупке кроссовок, если до снижения цен они стоили 3000 рубля?

Решение:

1. 3000•0,2=600 (руб.) - экономия.

Ответ: 600 руб.

Свою практическую часть мы провели среди 9 классов нашей школы.

Задача	9 А	9 Б	9 В	9 Г
№1	14 чел.	14 чел.	16 чел.	6 чел.
№2	15 чел.	8 чел.	10 чел.	-
№3	7 чел.	-	4 чел.	-
№4	13 чел.	12 чел.	15 чел.	1 чел.



Список используемой литературы

1. Виленкин, Н. Л. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1989. -73с.

2. Виленкнн, Н. Л., Жохов, В. И., Чесноков, А. С., Шварцбурд, С. И. Математика 6. - М.: Дрофа, 2006. - 288с.

3. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В/ А.Л. Семенов, И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, М.А. Посицельская, С.Е. Посицельский, С.А. Шестаков, Д.Э. Шноль, П.И. Захаров, А.В. Семенов, В.А. Смирнов; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. - М.: Издательство «Экзамен», 2011. - 511с.

4. Занимательная математика на уроках и внеклассных мероприятиях. 5-8 классы/ авт.-сост. Ю.В. Щербакова, И.Ю. Гераськина. - 2-е изд., доп. - М.: Издательство «Глобус», 2010. - 240с.

5. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Конкурсные задачи по математике. М: Наука, 1992.



Приложение 1

Задача №1



Задача №2



Размещено на Allbest.ru

...