Портфель рискованных активов. Множество инвестиционных возможностей. Эффективная граница

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова

Факультет математической экономики и информатики

Кафедра математических методов в экономике

Контрольная работа

Портфель рискованных активов. Множество инвестиционных возможностей. Эффективная граница

Выполнила:

студентка 442 группы

Азрапкина Я.И.

Москва 2014 г.



Задание 1

Даны ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями = 10%, = 20%, = 30%, ковариационная матрица доходностей этих активов равна:

? =

1) Найти портфель ценных бумаг с наименьшей дисперсией доходности, если

а) короткие продажи разрешены

б) короткие продажи запрещены

Определить ожидаемую доходность и среднеквадратическое отклонение доходности найденного портфеля.

Решение

а) короткие продажи разрешены;

Рассматривается задача отыскания портфеля ценных бумаг с наименьшим риском при разрешенных коротких продажах (- любое).

Решение данной задачи при разрешенных коротких продажах сводится к решению следующей задачи:

- любое, i=1,2,3.

Функция является положительной, квадратичной, а, следовательно, является выпуклой. Таким образом, рассматриваемая задача относится к задачам нелинейного квадратичного программирования.

Решение подобного рода задачи включает два этапа:

1. Составим функцию Лагранжа:



), где

,

где - дисперсия доходности ценной бумаги i - ого вида, i = 1,2, … n

- ковариация между доходностями ценных бумаг i - ого и j - ого видов.

2. Необходимым и достаточным условием существования минимума данной функции являются:

В общем случае система имеет вид:

Решение этой системы является вектором, соответствующим портфелю с наименьшим риском.

Таким образом, определим портфель ценных бумаг с наименьшим риском при разрешенных коротких продажах для рассматриваемой задачи:

Функция Лагранжа имеет вид:



Разрешим данную систему методом Гаусса:

				b
0,2	0	0,2	1	0
0	0,2	-0,2	1	0
0,2	-0,2	0,5	1	0
1	1	1	0	1
				b
1	0	1	5	0
0	1/5	-1/5	1	0
0	-1/5	3/10	0	0
0	1	0	-5	1
				b
1	0	1	5	0
0	1	-1	5	0
0	0	1/10	1	0
0	0	1	-10	1
				b
1	0	0	-5	0
0	1	0	15	0
0	0	1	10	0
0	0	0	-20	1
				b
1	0	0	0	- 1/4
0	1	0	0	3/4
0	0	1	0	1/ 2
0	0	0	1	-1/20



Таким образом, портфель ценных бумаг с наименьшей дисперсией доходности при разрешенных коротких продажах имеет вид:

=

Ожидаемая доходность портфеля ценных бумаг является линейной комбинацией ожидаемых доходностей ценных бумаг, входящих в этот портфель, то есть:

Для рассматриваемого случая:

+

Дисперсия доходности портфеля определяется следующим равенством:

,

где - дисперсия доходности ценной бумаги i - ого вида, i = 1,2, … n

- ковариация между доходностями ценных бумаг i - ого и j - ого видов

Среднеквадратическое отклонение доходности портфеля определяется по формуле:

Таким образом, для рассматриваемой задачи имеем:



Ответ: портфель ценных бумаг с наименьшей дисперсией доходности, то есть с наименьшим риском, при разрешенных коротких продажах имеет вид:

= ;

ожидаемая доходность найденного портфеля ценных бумаг: ;

среднеквадратическое отклонение доходности портфеля: .

б) короткие продажи запрещены

Рассмотрим случай, когда короткие продажи запрещены (:

где - дисперсия доходности ценной бумаги i - ого вида, i = 1,2, … n

- ковариация между доходностями ценных бумаг i - ого и j - ого видов.

При запрещенных коротких продажах портфель ценных бумаг не менее рискован. Отыскание портфеля с наименьшим риском в случае, когда короткие продажи запрещены, сводится к решению задачи:



Необходимо привести задачу к стандартному виду (все условия должны быть записаны в виде неравенств типа (?0), а условие неотрицательности должно быть наложено на все переменные):

Исключим выражение из выражения . То есть выражение

примет вид:

Стандартная задача квадратичного программирования имеет вид:

Составим функцию Лагранжа



Минимум функции Лагранжа достигается, если

(*)

Решение задачи (*) сводится к решению ЗЛП:

где - искусственные переменные, z - дополнительная переменная.

- если оптимальное решение задачи не содержит сопряженных базисов.

Решение этой системы является вектором, соответствующим портфелю с наименьшим риском.

Таким образом, определим портфель ценных бумаг с наименьшим риском при запрещенных коротких продажах для рассматриваемой задачи:



=0,15*

Функция Лагранжа имеет вид:

0,15*

Задача линейного программирования имеет вид:



Полученную систему решим симплекс-методом:

?1	?2	?	?1	?2	y1	y2	z	b
3/10	1/2	1	-1	0	1	0	0	3/10
1/2	1 1/10	1	0	-1	0	1	0	7/10
1	1	0	0	0	0	0	1	1
0	0	0	0	0	-1	-1	0	0
4/5	1 3/5	2	-1	-1	0	0	0	1
3/5	1	2	-2	0	2	0	0	3/5
- 4/25	0	-1 1/5	2 1/5	-1	-2 1/5	1	0	1/25
2/5	0	-2	2	0	-2	0	1	2/5
- 4/25	0	-1 1/5	2 1/5	-1	-3 1/5	0	0	1/25
5/11	1	10/11	0	- 10/11	0	10/11	0	7/11
- 4/55	0	- 6/11	1	- 5/11	-1	5/11	0	1/55
6/11	0	- 10/11	0	10/11	0	-10/11	1	4/11
0	0	0	0	0	-1	-1	0	0

Итак, имеем:

1) Все оценки векторов - условий в (m+1) строке неположительны.

2) Целевая ячейка равна 0.

3) Искусственные переменные y1 y2 не входят в базис (следовательно, этим искусственным переменным будут соответствовать нулевые координаты).

4) Условия сопряженности: выполнены.

Тогда оптимальное решение m-задачи имеет вид:

(0; 7/11; 0; 1/55; 0; 0; 0; 4/11)

Таким образом, получаем, что портфель ценных бумаг с наименьшей дисперсией доходности, то есть с наименьшим риском, при запрещенных коротких продажах имеет вид: = (0; 0,636364;0,363636)

Для рассматриваемой задачи получим:

Таким образом, получили, что портфель ценных бумаг с наименьшей дисперсией доходности, то есть с наименьшим риском, при запрещенных коротких продажах имеет вид: = (0; 0,636364;0,363636)

Ожидаемая доходность найденного портфеля ценных бумаг

Среднеквадратическое отклонение доходности портфеля

Задание 2

Даны ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями = 10%, = 20%, = 30%, ковариационная матрица доходностей этих активов равна:

? =

Задана ожидаемая доходность портфеля R = 25%

Найти портфель ценных бумаг с наименьшей и наибольшей дисперсией доходности при заданной ожидаемой доходности портфеля R.

Решение

Решение данной задачи при разрешенных коротких продажах сводится к решению следующей задачи:

- любое, i=1,2,3.

,

Составим систему уравнений:

->min

Из уравнений (2) и (3) найдем:

-0,5

0,1*(x-0,5)^2+0,1*(1,5-2*x)^2+0,25*(x)^2+0,2*(x-0,5)*x-0,2*(1,5-2*x)*x



Подставим в (1)

=

Тогда

f=

f'=

=0,407407

Рассмотрим случай, когда короткие продажи разрешены (:

=0,407407

-0,5= - 0,09259

=0,685185

: =

0,161015

Ответ: ; 0,161015- портфель с наименьшим риском при фиксированной доходности 25%, короткие продажи разрешены.

Рассмотрим случай, когда короткие продажи запрещены



Ответ:

; - портфель с наибольшим риском при фиксированной доходности 25%, короткие продажи запрещены.

; - портфель с наименьшим риском при фиксированной доходности 50%, короткие продажи запрещены.

Задание 3

Даны ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями = 10%, = 20%, = 30%, ковариационная матрица доходностей этих активов равна:

? =

Найти множество портфелей, определяющих эффективную границу множества инвестиционных возможностей при использовании данных ценных бумаг, записать уравнение эффективной границы, если:

а) Короткие продажи разрешены

Так как короткие продажи разрешены, - любое. Для нахождения множества портфелей, определяющих эффективную границу множества инвестиционных возможностей необходимо решить систему:

Составим функцию Лагранжа:

ценный бумага инвестиционный доходность

По теореме Куна-Таккера получим:

Решим данную систему методом Гаусса:

?1	?2	?3	?1	?2	b
0,2	0	0,2	1	0,1	0
0	0,2	-0,2	1	0,2	0
0,2	-0,2	0,5	1	0,3	0
1	1	1	0	0	1
0,1	0,2	0,3	0	0	r
0,2	0	0,2	1	0,1	0
-0,2	0,2	-0,4	0	0,1	0
0	-0,2	0,3	0	0,2	0
1	1	1	0	0	1
0,1	0,2	0,3	0	0	r
0,4	-0,2	0,6	1	0	0
-2	2	-4	0	1	0
0	-0,6	1	0	0	0
1	1	1	0	0	1
0,1	0,2	0,3	0	0	r
0	-0	0,2	1	0	-0,4
0	4	-2	0	1	2
0	-1	0,7	0	0	-0
1	1	1	0	0	1
0	0,1	0,2	0	0	r-0,1
0	0	1,4	1	0	6r-1
0	0	-10	0	1	6-40r
0	0	2,7	0	0	10r-1,4
1	0	-0	0	0	2-10r
0	1	1	0	0	10r-1
0	0	0	1	0	22/27 * r + 37/135
0	0	0	0	1	-80/27 * r + 22/27
0	0	1	0	0	100/27 * r - 14/27
1	0	0	0	0	-170/27 * r + 40/27
0	1	0	0	0	70/27 * r - 1/27

Таким образом, получаем:

- множество портфелей с наименьшим риском.

Для получения уравнения границы инвестиционных возможностей подставим координаты в :



Далее найдем уравнение, определяющее множество инвестиционных возможностей :

, где

,

,

.

Из положительной квадратичной функции

следует, что А > 0, C > 0 и B2 - 4AC < 0.

В нашем случае:

Тогда

A = 1,481481

B = -0,81481

C = 0,137037



xв=-b/2a=0,275

При 0,275

)

Найдем портфель с наименьшим риском:

-0,25 0,750,5

Ответ:

Множество портфелей, определяющих эффективную границу множества при разрешенных коротких продажах имеет вид:

Портфель с наименьшим риском при : -0,25 0,750,5;

Уравнение эффективной границы множества инвестиционных возможностей при разрешенных коротких продажах имеет вид:



при

а) Короткие продажи запрещены

Так как короткие продажи запрещены: . Эффективная граница множества инвестиционных возможностей определяется множеством портфелей с наименьшем риском при заданной доходности , т.е.:

,

Предварительно находим характеристики портфеля с наименьшим риском:

;

Множество портфелей с наименьшим риском при заданной доходности находится из решения системы:

В рамках нашей задачи система имеет вид:



Составим функцию Лагранжа:

По теореме Куна-Таккера получим:

Базис оптимального решения задачи не должен содержать сопряженных векторов-условий, т.е. в базис не должны входить одновременно векторы соответствующие и .

Используя полученную систему, построим множество портфелей с наименьшим рисков при заданной доходности, определяющее эффективную границу

?1	? 2	? 3	?1	?2	?1	?2	?3	a	b
0,2	0	0,2	1	0,1	-1	0	0	0	0
0	0,2	-0,2	1	0,2	0	-1	0	0	0
0,2	-0,2	0,5	1	0,3	0	0	-1	0	0
1	1	1	0	0	0	0	0	1	0
0,1	0,2	0,3	0	0	0	0	0	0	1
0,2	0	0,2	1	0,1	-1	0	0	0	0
-0,2	0,2	-0,4	0	0,1	1	-1	0	0	0
0	-0,2	0,3	0	0,2	1	0	-1	0	0
1	1	1	0	0	0	0	0	1	0
0,1	0,2	0,3	0	0	0	0	0	0	1
0,4	-0,2	0,6	1	0	-2	1	0	0	0
-2	2	-4	0	1	10	-10	0	0	0
0,4	-0,6	1,1	0	0	-1	2	-1	0	0
1	1	1	0	0	0	0	0	1	0
0,1	0,2	0,3	0	0	0	0	0	0	1

"Вычеркнем" из таблицы векторы и и получим:

O1	O2	O3	?1	?2	?3	a	b
0,4	-0,6	1,1	-1	2	-1	0	0
1	1	1	0	0	0	1	0
0,1	0,2	0,3	0	0	0	0	1
-0,4	0,6	-1,1	1	-2	1	0	0
1	1	1	0	0	0	1	0
0,1	0,2	0,3	0	0	0	0	1
-1	0	-1,7	1	-2	1	-0,6	0
1	1	1	0	0	0	1	0
-0,1	0	0,1	0	0	0	-0,2	1
-2,7	0	0	1	-2	1	-4	17
2	1	0	0	0	0	3	-10
-1	0	1	0	0	0	-2	10

Таким образом, получаем:

Определим множество :



- множество портфелей с наименьшим риском на множестве .

Для получения уравнения границы инвестиционных возможностей подставим координаты в :

55

3,1

-26

Тогда уравнение эффективной границы на множестве примет вид:



Ответ:

Множество портфелей, определяющих эффективную границу множества при запрещенных коротких продажах имеет вид:

,

Эффективная граница множества инвестиционных возможностей при запрещенных коротких продажах имеет вид:

Размещено на Allbest.ru

...