Граничні теореми для цін похідних цінних паперів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Граничні теореми для цін похідних цінних паперів

01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика

Соловейко Олена Миколаївна

Київ - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теорії ймовірностей, статистики та актуарної математики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

МІШУРА Юлія Степанівна,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

завідувач кафедри теорії ймовірностей,

статистики та актуарної математики

механіко-математичного факультету.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

ЄЛЕЙКО Ярослав Іванович,

Львівський національний університет

імені Івана Франка,

завідувач кафедри теоретичної

та прикладної статистики

механіко-математичного факультету;

доктор фізико-математичних наук, доцент

РАДЧЕНКО Вадим Миколайович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

професор кафедри математичного аналізу

механіко-математичного факультету

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Найбільшої популярності та розвитку теорія оцінювання похідних цінних паперів набула в другій половині двадцятого століття. З того часу було зроблено велику кількість досліджень з цієї тематики як теоретиками, які будували різноманітні моделі для опису поведінки цін цінних паперів, так і практиками, які проводили статистичні обстеження та виводили оцінки. Для оцінювання цінних паперів потрібен складний математичний апарат, зокрема, стохастичні методи, оскільки ціну акції, а отже і ціни похідних цінних паперів, найкраще описує стохастичний процес, як це було показано П. Самуельсоном. Над знаходженням справедливих цін похідних цінних паперів працювала і працює велика кількість видатних науковців, починаючи від Р.Мертона та Ф.Блека і М.Шоулса. Вони вперше строго формалізували проблему оцінювання опціонів і вивели класичні формули для цін, узагальненням та дослідженням яких, а також дослідженням властивостей яких досі займаються провідні науковці. Мертон, зокрема, був першим, хто знайшов справедливу ціну Європейського бар'єрного опціону купівлі “down-and-out”. Інші формули для цін опціонів з одним бар'єром опубліковані в роботі М. Рубінштейна та Е. Реньє. Крім того, знаходженням цін різних деривативів в моделі Блека-Шоулса також займались Д. Річ, Р. Гейнен, Г. Кет, П. Карр, Н. Кунітомо, М. Ікеда, Г. Герман.

Вищенаведені роботи розв'язують задачу, коли всі параметри моделі, такі як волатильність, відсоткова ставка та дивіденди, є сталими. Однак, на ринку, в реальних умовах, моделі параметрів, взагалі кажучи, залежать від часу. Проблема обчислення цін Європейських бар'єрних опціонів з параметрами, що залежать від часу, не тривіальна, вона стала основною темою досліджень деяких подальших робіт, зокрема, таких авторів як Ч. Ло, Ч. Ху, Г. Робертс, К. Шотленд. В своїх роботах Д. Халл, А. Вайт, М. Чесні, Л. Скотт, Е. Стайн, Д. Стайн, С. Хестон будують різні моделі для оцінювання опціонів з стохастичною волатильністю.

Біноміальна схема була введена Дж. Коксом, С. Росом та М. Рубінштейном як спрощення моделі Блека-Шоулса для оцінювання опціонів, і є відомим і гнучким інструментом для оцінювання різних типів опціонів. Цей метод дуже корисний через те, що моделює зміну ціни акції в реальному часі, що спрощує його застосування для обчислення цін Американських та інших опціонів. Дослідженням питання швидкості збіжності біноміальної моделі до моделі Блека-Шоулса займались Д. Лайзен, Ф. Даєнер, М. Даєнер, Л. Роджерс, І. Стейплтон, Дж. Волш. П. Бойл запропонував замість біноміального дерева триноміальну решітку для більш ефективного алгоритму оцінювання опціонів (цей метод швидше дає точніші значення). Методи, основані на триноміальній решітці, були також розглянуті М. Броуді, П. Гласерманом, С. Коу, П. Хьорфельтом, Д. Аном, С. Фіглевські, Б. Гао, П. Рітчкеном.

Теорія оцінювання платіжних зобов'язань, що вивчалась Р. Мертоном, Ф. Блеком і М. Шоулсом та інших роботах, можна виразити в термінах зворотних стохастичних диференціальних рівнянь. Н. Ель Каруї, М.-К. Квенез та С. Пенг вивчають різні властивості таких рівнянь, що містять вінерівський процес, та їх застосування в фінансовій математиці. С. Ронг розглядав рівняння зі стрибками, що містять вінерівський процес та процес Пуассона, з не ліпшицевими коефіціентами. М. Ель Отмані, Д. Нуаларт, В. Шоутенс, К Бахлалі, Б. Оксендал та інші розглядали моделі, що містять процес Леві. Основним результатом їх робіт є доведення теореми про існування та єдиність розв'язку такого стохастичного диференціального рівняння.

Отже, у зв'язку з широким використанням цін похідних цінних паперів, їх оцінок на фінансових ринках, а також в зв'язку з використанням результатів про швидкість збіжності цін деривативів при неточності вимірювання параметрів, що визначають модель, або при наближенні неперервної моделі дискретною, актуальним є подальше дослідження питань збіжності та швидкості такої збіжності для цін похідних цінних паперів. Розглянуті у дисертації моделі узагальнюють класичні моделі Блека-Шоулса та Мертона, знайдені умови та властивості збіжності справедливих цін похідних цінних паперів та цін акцій.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано в рамках наукової теми № 06БФ038-03 “Аналітичні та стохастичні методи дослідження динамічних систем” (номер державної реєстрації 0106U005864), що виконується на кафедрі теорії ймовірностей, статистики та актуарної математики механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка, і входить до комплексного тематичного плану науково-дослідних робіт “Математичні проблеми природознавства та економіки”.

Мета і задачі дослідження. Метою та основними задачами дисертаційної роботи є знаходження умов збіжності справедливих цін похідних цінних паперів в різних моделях фінансового ринку.

Об'єктом дослідження є математичні моделі фінансового ринку.

Предметом дослідження є збіжність справедливих цін платіжних зобов'язань в математичних моделях фінансового ринку.

Методи дослідження. В роботі використовуються методи теорії ймовірностей, фінансової математики, мартингальні методи, методи теорії диференціальних рівнянь в частинних похідних, зворотних стохастичних диференціальних рівнянь, елементи стохастичного аналізу, методи моделювання Монте-Карло.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі результати, отримані в роботі, є новими. Новизна полягає в доведенні ряду граничних теорем, а саме:

* Встановлено умови стійкості цін акцій, справедливих цін Європейських опціонів купівлі та продажу та Європейських бар'єрних опціонів купівлі “up-and-out” відносно зміни чи неточності вимірювань параметрів, що визначають модель;

* Знайдено оцінку швидкості збіжності справедливих цін Європейських опціонів купівлі та продажу для моделі фінансового ринку, де стрибок ціни акції рівномірно розподілений на деякому інтервалі, до відповідної ціни в неперервній моделі;

* Отримано швидкість збіжності справедливих цін Європейських бар'єрних опціонів купівлі “up-and-out” на загальному дискретному ринку, змодельованому нормальними величинами, та на дискретному біноміальному ринку, на яких відсоткова ставка та знос є функціями, залежними від часу, до відповідної ціни на неперервному ринку;

* Доведено збіжність за параметром справедливої ціни платіжного зобов'язання на ринку зі стрибками.

Практичне значення отриманих результатів. Дисертація має як теоретичне, так і практичне значення. Отримані результати для моделей, в яких параметри змінюються з часом або залежать від певних зовнішніх чинників, що більше підходять для опису реальних ринків, ніж класичні моделі. На практиці одержані результати можуть бути застосовані при моделюванні цін похідних цінних паперів на фондовому ринку.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертації одержані автором особисто. Науковому керівнику Мішурі Ю.С. належать постановки задач та загальне керівництво роботою. Формула для справедливої ціни Європейського бар'єрного опціону купівлі “up-and-out”, що використовується при моделюванні, належить Шевченку Г. М. Результат стосовно диференційовності за бар'єром ціни Європейського бар'єрного опціону купівлі “up-and-out” належить Кулику О. М. та наведений в додатку до дисертації.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались на наукових семінарах:

* кафедри теорії ймовірностей, статистики та актуарної математики механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка,

* кафедри системного аналізу факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка,

* кафедри математичного аналізу та теорії ймовірностей Національного технічного університету України “КПІ”,

а також на міжнародних наукових конференціях:

* Міжнародна конференція “Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці ІІ”, присвячена пам'яті А. Я. Дороговцева (м. Київ, 1-5 жовтня, 2004 р.);

* Міжнародна конференція “Диференціальні рівняння та їх застосування”, присвячена 60-річчю кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, 6-9 червня, 2005 р.);

* Міжнародна конференція “Сучасна стохастика: теорія та застосування”, присвячена пам'яті М. Й. Ядренка (м. Київ, 19-23 червня, 2006 р.);

* Міжнародна науково-практична конференція студентів, аспірантів, молодих вчених, присвячена 90-річчю з дня заснування Українського Студентського Наукового Товариства Київського Університету Святого Володимира: “Шевченківська весна - 2008” (м. Київ, 20-23 березня, 2008 р.);

* Міжнародна школа: “Фінанси, страхування та ринки енергетики - стійкий розвиток” (м. Вастерос, Швеція, 5-9 травня, 2008 р.);

* Дванадцята міжнародна наукова конференція імені Михайла Кравчука (м. Київ, 15-17 травня, 2008 р.);

* П'ята конференція з актуарних наук та фінансів на Самосі (м. Карловасі, Греція, 3-6 червня, 2008 р.).

Публікації. За результатами дисертаційної роботи опубліковано 6 статей у фахових виданнях [1] - [6], 6 тез доповідей на міжнародних наукових конференціях [7] - [12] й одне електронне видання [13].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, семи розділів, розбитих на підрозділи, висновків, додатку та списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації становить 147 сторінок, додаток займає 11 сторінок, таблиці займають пів сторінки, список використаних джерел займає 13 сторінок і містить 98 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету, задачі, об'єкт, предмет та визначено методи дослідження.

Перший розділ містить короткий історичний огляд літератури за тематикою дисертації та висвітлює сучасний стан вивчення проблем, схожих до тих, що розглядаються в дисертаційній роботі.

Другий розділ містить відомі поняття та твердження, на яких базуються результати дисертаційної роботи.

В третьому розділі вивчається модель Блека-Шоулса з параметрами, що залежать від часу та параметру серії. На повному ймовірнісному просторі з фільтрацією розглянуто безризиковий актив, ціна якого дорівнює , та ризиковий актив, ціна якого дорівнює

(1)

для При цьому - невід'ємна функція, інтегровна за Лебегом на будь-якому відрізку, і - невипадкові функції, а - стандартний вінерівський процес відносно міри . Розглядається звуження вказаної моделі на інтервал , де - дата виконання опціону.

Припускаємо, що виконуються умови та .

Справедлива ціна Європейського опціону купівлі розглядається як функція ціни акції та часу, що минув, та задовольняє крайову задачу наступного вигляду

(2)

, з крайовою умовою:

(3)

де - страйкова ціна.

Доведено теореми про явний вигляд справедливих цін Європейських опціонів купівлі та продажу в такій моделі.

Теорема 3.1. Нехай функції і - неперервні на , для всіх .

Тоді розв'язок рівняння (2) з крайовою умовою (3) має вигляд:

(4)

де

а

-

функція стандартного нормального розподілу.

Аналогічну теорему доведено для Європейського опціону продажу.

В третьому підрозділі розділу розглянуто сім'ю фінансових ринків з неперервним часом, що описуються послідовностями невипадкових вимірних функцій , , для яких виконуються всі наведені вище умови. Динаміка цін акцій задається рівнянням

(5)

і виконуються умови , та умова : при кожному .

Ціна Європейського опціону купівлі знаходиться як

(6)

де

- ціна акції в момент часу .

Знайдено умови слабкої збіжності ціни акції за параметром серії.

Теорема 3.2. (Теорема 3.3 дисертації) Нехай виконуються умови:

1. в ;

2. в .

Тоді ціни акцій , що задаються формулою (5), слабко збігаються до ціни акції, що задається формулою (1), в кожний момент .

Знайдено умови збіжності справедливих цін Європейських опціонів купівлі та продажу за параметром серії та доведено відповідні теореми двома способами: аналітичним, використовуючи явний вигляд справедливої ціни опціону, та ймовірнісним методом, без використання цього явного вигляду справедливої ціни.

Теорема 3.3. (Теорема 3.4 дисертації) Нехай виконуються умови:

1. збігається до в , збігається до в .

2. Для всіх виконується умова .

3. Числова послідовність в момент часу , .

Тоді ціни опціонів, що задаються формулою (6), збігаються до ціни, що задається формулою (4), в кожний момент .

У четвертому розділі розглядається така ж модель Блека-Шоулса та досліджуються умови збіжності Європейського бар'єрного опціону купівлі “up-and-out” за параметром серії. Справедлива ціна такого опціону в дограничній моделі має вигляд

(7)

де - страйкова ціна, - бар'єр, - нейтральна до ризику міра, і для всякого введено позначення . Справедлива ціна відповідного опціону в граничній моделі має вигляд

(8)

де .

Доведено теорему про збіжність справедливих цін Європейських бар'єрних опціонів купівлі “up-and-out” в дограничній моделі до відповідної ціни в граничній моделі.

Теорема 4.1. Нехай виконуються умови:

1. Числові коефіцієнти збігаються: , , при ;

2. збігається до в , збігається до в .

3. Для всіх виконується умова .

Тоді, якщо параметр серії , то ціни Європейських бар'єрних опціонів купівлі “up-and-out” в дограничній моделі , що задаються формулою (7), збігаються до відповідної ціни , що задається формулою (8).

В третьому підрозділі розділу розглядається ціна Європейського бар'єрного опціону купівлі “up-and-out” як функція ціни акції в початковий момент та часу, що минув. Доведено граничну теорему для розв'язків першої крайової задачі для параболічних рівнянь з коефіцієнтами, залежними від часу, за допомогою того факту, що така ціна є її розв'язком.

Теорема 4.2. Розглянемо на крайову задачу, що складається з рівняння

(9)

, з крайовими умовами

(10)

Нехай для кожного коефіцієнти рівняння (9) є обмеженими і неперервними, і, додатково, коефіцієнти задачі (9) - (10) задовольняють умови теореми 4.1, де умову 1 замінено на , при . Тоді розв'язок дограничної крайової задачі збігається поточково до розв'язку граничної крайової задачі.

В п'ятому розділі розглядається модель фінансового ринку в схемі серій, в якій весь часовий інтервал в -ій серії розбито на кроки , На такому ринку розглядається один безризиковий актив з ціною причому

(11)

що еквівалентно , - скінченна стала, і один додатний ризиковий актив , для якого випадкова величина , , в -ий період рівномірно розподілена на інтервалі при

(12)

Означення 5.1. Назвемо модель ринку симетричною, якщо і такі, що для деякого .

Зауваження 5.1. Зауважимо, що коефіцієнт 3 в степені експоненти підібраний з метою, щоб збіжність ціни на дискретному ринку мала місце саме до ціни Блека-Шоулса.

При цьому виконуються умови (11), (12). Ціновий процес для ризикового активу має вигляд

де початкове значення - задана стала.

Ризиковий актив розглядається на ймовірнісному просторі . За фільтрацію ми беремо Ймовірнісна міра - це мартингальна міра для кожного , тобто дисконтована ціна , , є -мартингалом відносно фільтрації . Існує не єдина міра, що задовольняє таку умову. Будемо шукати щільність розподілу, що відповідає мартингальній мірі, у вигляді

(13)

де

- обмежені. Крім того, роглядаються такі значення , що

(14)

ціна опціон дискретний ринок

Доведено деякі проміжні результати.

Теорема 5.1. Для симетричної моделі мають місце рівності:

де - стала.

Позначимо граничну міру, відносно якої процес має логнормальний розподіл, через .

Теорема 5.2 При виконанні умов (11), (12) та (14), коли мартингальна міра задається через щільність, що має вигляд (13), розподіл відносно слабко збігається до логнормального розподілу з параметрами і , тобто до розподілу

В другому підрозділі знаходиться оцінка швидкості збіжності справедливих цін Європейських опціонів купівлі та продажу на симетричному ринку з використанням теореми про асимптотичні розклади функції розподілу суми незалежних однаково розподілених випадкових величин. Доведено відповідну теорему.

Теорема 5.3. В моделі ринку, на якому стрибок ціни акції є випадковою величиною, що відносно об'єктивної міри рівномірно розподілена на симетричному інтервалі, існує послідовність еквівалентних мартингальних мір така, що швидкість збіжності справедливих цін Європейських опціонів купівлі й продажу відносно цих мір до справедливої ціни в граничній моделі має порядок .

В шостому розділі розглядається - повний імовірнісний простір з фільтрацією та - стандартний -броунівський рух. На ньому побудовано модель Блека-Шоулса фінансового ринку, на якому є два активи: безризиковий, ціна якого у момент дорівнює і ризиковий актив (акція) з ціною . Припускаємо, що волатильність - стала. Вважаємо, що - мартингальна міра для дисконтованого процесу ціни ризикового активу, тобто .

Також розглядається біноміальна модель ринку з дискретним часом, яка будується наступним чином. Часовий інтервал ділиться на частин, визначимо , , . Нехай , - незалежні однаково розподілені випадкові величини, такі, що . Ціна ризикового активу в біноміальній моделі ринка визначається так:

на ми покладемо , і нехай відсоткова ставка дорівнює . Замість броунівського руху, роль “випадкового рушія” фінансового ринку в біноміальній моделі відіграє випадкове блукання , визначене як

Аналог Європейського бар'єрного опціону купівлі “up-and-out” в біноміальній моделі має функцію виплат , відповідно, його ціна

де .

Доведено результат про збіжність ціни бар'єрного опціону в біноміальній моделі до ціни такого опціону в неперервній моделі.

Теорема 6.1. Для різниці справедливих цін Європейського опціону купівлі “up-and-out” в дискретній біноміальній і неперервній моделях, де для відсоткової ставки виконується умова кускової ліпшицевості, справедлива оцінка

Для доведення цього результату використано наступний допоміжний результат щодо збіжності справедливої ціни Європейського опціону купівлі “up-and-out” в загальній дискретній та неперервній моделі.

На ринку з дискретним часом визначимо дискретизовану версію :

де , і розглянемо Європейський бар'єрний опціон купівлі “up-and-out” з виплатою , де . Його справедлива ціна має вигляд

Теорема 6.2 Для різниці справедливих цін Європейського опціону купівлі “up-and-out” в загальній дискретній і неперервній моделях, де для відсоткової ставки виконується умова кускової ліпшицевості, справедлива оцінка

В другому підрозділі шостого розділу наведено приклад (моделювання), що показує як швидко ціни в загальній дискретній та дискретній біноміальній моделі збігаються до відповідної ціни в неперервній моделі.

Для прикладу розглянемо наступну функцію зсуву:

Якщо знос має такий вигляд, то справедливу ціну Європейського опціону купівлі “up-and-out” можна подати у вигляді

де , , а - сумісна щільність розподілу максимума на відрізку , точок максимума та значень броунівського руху.

Беруться наступні значення параметрів: , , , , , , . Тоді з точністю , за допомогою пакета Mathematica знайдено, що

Щоб оцінити порядок швидкості збіжності для цін опціонів з дискретним часом, використано метод Монте Карло, для оцінки математичного сподівання змодельовано 50000 траєкторій ціни акції для . Одержані результати занесено у відповідні таблиці.

В сьомому розділі розглядається зворотне стохастичне диференціальне рівняння

(15)

де - скомпенсований мартингал одновимірного процесу Пуассона, інтенсивність процесу Пуассона вважається неперервною додатною функцією;

- кінцеве значення - це -вимірна випадкова величина ;

- породжуюча функція відображає в і є -вимірною;

- вектор та матриця є передбачуваними процесами;

- вектор - узгоджений процес.

Позначимо - простір всіх -вимірних випадкових величин , що задовольняють умову ; - простір всіх узгоджених процесів , таких що . Для і через позначатимемо . Нехай - це простір , оснащений нормою .

Означення 7.1. Розв'язком рівняння (15) називають триплет ,що задовольняє (15) і такий, що є -узгодженим, є -передбачуваними, і .

Означення 7.2. Припустимо, що , , і що є рівномірно по і ліпшицевою, тобто існує , така що м.н.

Тоді називається стандартним параметром для зворотного СДР.

Доведено теорему про апріорні оцінки для розв'язку зворотного стохастичного диференціального рівняння.

Вважаємо інтенсивність процесу Пуассона додатною неперервною функцією, так що .

Теорема 7.1. Нехай - два стандартні параметри зворотного СДР і - два інтегровані з квадратом розв'язки відповідно. Нехай - ліпшицева стала для , і покладемо , , і .

Тоді для всіх , таких що , , і , мають місце нерівності:

Нехай - це сім'я стандартних параметрів зворотного СДР, розв'язок яких позначається через . Для спрощення позначень будемо писати замість .

Нехай

1. Сім'я є рівномірно ліпшицевою по й , тобто існує , така що м.н.

2. Функція є “неперервною”, тобто для кожного має місце збігається до в і збігається до в при .

Доведено теорему про неперервність за стандартним параметром розв'язку зворотного стохастичного диференціального рівняння.

Теорема 7.2. Нехай - сім'я стандартних параметрів зворотного СДР з розв'язком .

Припустимо ці параметри задовольняють умови 1 і 2.

Тоді функція , є неперервною.

Отриманий результат застосовано на фінансовому ринку. Розглядається наступна модель ринку.

Базові цінні папери містять актив. Один безризиковий з ціною за одиницю, що керується рівнянням , де - короткострокова процентна ставка, та ризикових активів, ціни яких залежать від неперервного часу . Ціновий процес для кожної з акцій задається стохастичним диференціальним рівнянням

тобто

(16)

де - моменти стрибків, - стандартний броунівський рух, - скомпенсований мартингал одновимірного процесу Пуассона, що визначені на ймовірнісному просторі . Інтенсивність процесу Пуассона вважається неперервною додатною функцією. Інформація задається неперервною справа фільтрацією .

Нехай виконуються наступні умови.

1. Короткострокова процентна ставка є адаптованим і обмеженим процесом. Як правило, вона вважається невід'ємною.

2. Вектор коефіцієнта подорожчання акцій - адаптований і обмежений процес, - транспонований до .

3. Матриця волатильності - передбачуваний і обмежений процес, . Припускаємо, що - матриця повного рангу м.н. для всіх і - існує і також є обмеженим процесом.

4. Вектор - передбачуваний, обмежений процес, тотожно не нульовий вектор, - процес, транспонований до . Оскільки ціна акцій вважається невід'ємною, то з рівняння (16) видно, що доцільно розглядати поелементно.

5. Існує передбачуваний і обмежений вектор , вектором ризикової премії, такий, що м.н., де .

Розглядається деякий інвестор на фінансовому ринку зі стрибками, що не впливає на ціноутворення на ринку. Нехай він очікує, що його капітал складтиме величину в майбутній момент часу , тобто . Тоді процес капіталу і процес портфеля інвестицій (його ризикова частина) , , задовольняють наступне зворотне СДР:

(17)

За припущень 1-5 ціну платіжного зобов'язання можна знайти як , де - похідна Радона-Никодима нової імовірнісної міри.

Рівняння (17) є зворотним СДР типу

(18)

де і описані вище.

Якщо за всіх наведених умов для невеликого інвестора його процес прибутку задовольняє зворотне СДР (17), то його прибуток буде становити в майбутній час за умови, що в кожен момент часу він інвестуватиме суму і формуватиме портфель , де - розв'язок зворотного СДР (17).

Рівняння (18) за умов, наведених в першій частині розділу, має єдиний розв'язок , і цей розв'язок визначає розв'язок рівняння (17).

Отже, застосувавши теорему 7.2, ми отримали, що ціна платіжного зобов'язання

збігається за нормою в просторі , де

Результат сформульовано у вигляді теореми.

Теорема 7.3. (Теорема 7.4 дисертації) Нехай - -вимірна величина, , , при .

Тоді і при .

ВИСНОВКИ

У дисертації отримано наступні результати:

* Одержано явний вигляд цін Європейських опціонів купівлі та продажу в моделі Блека-Шоулса з параметрами, що залежать від часу. Встановлено умови стійкості, робастності цін акцій, справедливих цін Європейських опціонів купівлі та продажу та Європейських бар'єрних опціонів купівлі “up-and-out” відносно зміни чи неточності вимірювань параметрів, що визначають модель, двома способами: використовуючи явний вигляд ціни та ймовірнісними методами без використання цього вигляду;

* Доведено неперервність за параметром серії розв'язку крайової задачі, яку задовільняє справедлива ціна бар'єрного опціону купівлі “up-and-out”, без знаходження явного розв'язку;

* Отримано оцінки параметрів розподілу ціни акції в дискретній моделі ринку, у якій стрибок ціни акції рівномірно розподілений на деякому визначеному інтервалі. Знайдено швидкість збіжності справедливої ціни Європейського опціону купівлі та продажу для моделі такого дискретного фінансового ринку до відповідної ціни в неперервній моделі;

* Знайдено оцінку швидкості збіжності справедливих цін Європейських бар'єрних опціонів купівлі “up-and-out” на загальному дискретному ринку, змодельованому нормальними величинами, та на дискретному біноміальному ринку, на яких відсоткова ставка та знос є функціями, залежними від часу, до відповідної ціни на неперервному ринку. Наведено результати моделювання, які ілюструють швидкість збіжності відповідних цін;

* Отримано апріорні оцінки для розв'язку зворотного стохастичного диференціального рівняння, що містить пуассонівську компоненту, доведено його неперервність за параметром. Застосувавши отриманий результат доведено збіжність за параметром справедливої ціни платіжного зобов'язання на ринку зі стрибками.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Кулик О.М. Збіжність за параметром серії та диференційовність за бар'єром цін бар'єрних опціонів / О.М. Кулик, Ю.С. Мішура, О.М. Соловейко // Теорія ймовірностей та математична статистика. - 2009. - В. 81. - C. 102-113.

2. Мішура Ю.С. Швидкість збіжності ціни Європейського орціону на ринку, на якому стрибки цін акцій рівномірно розподілені на деякому інтервалі. / Ю.С. Мішура, О.М. Соловейко // Український математичний журнал. - 2008. - В. 60, № 8. - С. 1075-1086.

3. Соловейко О.М. Збіжність опціонів в моделі Блека-Шоулса / О.М. Соловейко // Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Серія: математика та механіка. - 2005. - В. 14. - С. 92-96.

4. Соловейко О.М. Зворотні стохастичні диференціальні рівняння та їх застосування в фінансовій математиці / О.М. Соловейко // Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Серія: математика та механіка. - 2006. - В. 15. - С. 43-48.

5. Соловейко О.М. Про швидкість збіжності цін бар'єрних опціонів з дискретним та неперервним часом / О.М. Соловейко, Г.М. Шевченко // Теорія ймовірностей та математична статистика. - 2008. - В. 79. - С. 166-172.

6. Shevchenko G. On the rate of convergence of barrier option prices in binomial market to those in continuous time market / G. Shevchenko, O. Soloveiko // Theory of Stochastic Processes. - 2008. - Vol. 14(30), № 3-4. - P. 165-173.

7. Соловейко О.М. Граничні теореми для розвязків зворотного стохастичного диференціального рівняння та їх застосування у фінансовій математиці / О.М. Соловейко // матеріали Міжнародної конференції [“Диференціальні рівняння та їх застосування”], (Київ, 6-9 червня 2005 р.) / Київський національний університет імені Тараса Шевченка. - Київ, 2005. - С. 102.

8. Соловейко О.М. Деякі фінансові обчислення, пов'язані з цінамі акцій на ринку / О.М. Соловейко // матеріали Міжнародної конференції [“Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці II”], (1-5 жовтня 2004 р.) / Київський національний університет імені Тараса Шевченка. - Київ: видавничо-поліграфічний центр “Київський університет”, 2004. - С. 115.

9. Соловейко О.М. Зворотні стохастичні диференціальні рівняння з пуасcонівською компонентою їх застосування в фінансовій математиці / О.М. Соловейко // матеріали Міжнародної конференції [“Сучасна стохастика: теорія та застосування”], (19-23 червня 2006 р.) / Київський національний університет імені Тараса Шевченка. - Київ, 2006. - С. 82.

10. Соловейко О.М. Швидкість збіжності цін Європейських опціонів на неперервному фінансовому ринку / О.М. Соловейко // матеріали Міжнародної науково-практичної конференції студентів, аспірантів та молодих вчених [“Шевченківська весна - 2008”], (20-23 березня 2008 р.) / В. VI: у 4-х част. - Ч. 2/ За заг. ред. проф. О.К. Закусила / Київський національний університет імені Тараса Шевченка. - Київ: Обрії, 2008. - С. 135-136.

11. Соловейко О.М. Швидкість збіжності справедливих цін Європейських опціонів купівлі та продажу на неперервному фінансовому ринку / О.М. Соловейко // матеріали Дванадцятої міжнародної наукової конференції імені Михайла Кравчука, (15-17 травня 2008 р.) Т. 2. / Національний технічний університет України “КПІ”. - Київ: ТОВ “Задруга”, 2008. - С. 117.

12. Soloveiko O. The rate of convergence of barrier option price with non-constant drift in discrete time to such in continuous time / O. Soloveiko // Programme, Abstracts, Second Announcement. International school [“Finance, Insurance, and Energy Markets - Sustainable Development”], (May 5-9, 2008) / Mдlardalen University. - Vдsterеs, Sweden, 2008. - P. 27.

13. Shevchenko G. Proximity of barrier option prices in discrete and continuous time: (Proceedins of 5th Conference in Actuarial Science and Finance on Samos, September 4-7, 2008) [Electronic resource] / O. Soloveiko, G. Shevchenko // Samos, Greece, 2009. - P. 66-76. - Режим доступу до журн.:// http://www.actuar.aegean.gr/samos2008/Abstracts/Proceedings08.pdf

АНОТАЦІЯ

Соловейко О. М. Граничні теореми для цін похідних цінних паперів - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2010.

Дисертаційну роботу присвячено дослідженню властивостей збіжності цін похідних цінних паперів. Розглянуті у дисертації моделі узагальнюють класичні моделі Блека-Шоулса та Мертона. Задачі, що розглядаються в дисертації можна розділити на дві групи: дослідження стійкості, робастності справедливих цін опціонів відносно зміни чи неточності вимірювання параметрів ринку, таких як відсоткова ставка, знос, волатильність, та умови збіжності справедливих цін опціонів при граничному переході в моделі ринку з дискретним часом до моделі з неперервним часом.

Ключові слова: похідні цінні папери, справедлива ціна, стохастичне диференціальне рівняння, вінерівський процес, процес Пуаcсона, мартингальна міра.

Соловейко Е. Н. Предельные теоремы для цен производных ценных бумаг - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2010.

Диссертационную работу посвящено исследованию свойств сходимости цен производных ценных бумаг. Рассмотренные в диссертации модели обобщают классические модели Блека-Шоулса и Мертона. Рассматриваемые в диссертации задачи можна разделить на две группы: исследование стойкости, робастности справедливых цен опционов относительно изменения или неточности измерения параметров рынка, таких как процентная ставка, снос, волатильность, и условия сходимости справедливых цен опционов при предельном переходе в модели рынка с дискретным временем к модели с непрерывным временем.

Ключевые слова: производные ценные бумаги, справедливая цена, стохастическое дифференциальное уравнение, винеровский процесс, процесс Пуассона, мартингальная мера.

Soloveiko O. M. Limit theorems for the prices of derivatives - Ma-nuscript.

The thesis for the degree of the candidate of physical and mathematical sciences in speciality 01.01.05 - Probability Theory and Mathematical Statistics. - Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2010.

Thesis is devoted to investigate the properties of convergence of derivative securities. The models, considered in this thesis, generalize the classical Black-Scholes-Merton models. The discussed problems can be divided into two parts. The first one is investigation of stability, i.e., robustness, of the fair prices of options with respect to changes of market parameters, such as interest rate, drift, volatility, or errors in their measurements. The second one is determination of convergence conditions for options fair prices when the market model with discrete time converges to the model with continuous time.

The boundary value problem containing Black-Scholes equation for the prices of European call and put options is solved for complete arbitrage free market model that involves parameters depending on time. After some technical transformations, the equation in partial derivatives for any of such prices is reduced to the heat equation. Explicit form of fair prices of European call and put options with time dependent parameters is established. The conditions of stability of share prices, fair prices of call and put European options and barrier European “up-and-out” call options with respect to changes or errors of measurements are found in two ways: using the explicit form of option prices and without using explicit form solution by probabilistic method.

The model of financial market with discrete time is considered under assumption that jump of share price is uniformly distributed on some time interval. The rate of convergence of fair prices of European call and put options in such a model to the corresponding Black-Scholes price of the model with continuous time is established. This is done by using the theorem about the asymptotic decomposition of distribution functions of sums of independent identically distributed random variables. This model is natural because in many cases we can only predict the interval for the share price jump size, but not the value of this jump.

Discrete market is incomplete, although the limit market is complete. We choose one of the possible martingale measures in incomplete market and esti-mate that the rate of convergence of fair prices of European call and put options to the Black-Scholes price equals , where is the number of periods in the discrete model.

The general discrete market and the discrete binomial market with time depen-dent interest rate and drift are considered. The rates of convergence of the fair prices of barrier European “up and-out” call options on these markets to appropri-ate prices for continuous market are established. It is proved that the rate of convergence is . Numerical examples (modeling) are given.

Parameter convergence of fair price of contingent claim is proved for the market with jumps. Some a priori estimates for solution of backwards stochastic differenti-al equation with Poisson component are found. With their help the convergence of solutions of backwards stochastic differential equation with Poisson component is proved. The result is applied in the financial market with jumps to prove the convergence of prices of contingent claims.

Keywords: derivatives, fair price, stochastic differential equation, Wiener pro-cess, Poisson process, martingale measure.

Размещено на Allbest.ru

...