Рисковые и безрисковые активы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Часть первая

Рисковые и безрисковые активы



Содержание

Основные определения и факты

Модель Кокса-Росса-Рубинштейна

Общая модель Кокса - Росса - Рубинштейна

Безарбитражный и неполный рынок. Верхняя цена



Основные определения и факты

Ценные бумаги, фигурирующих на финансовом рынке, делятся на два основных класса: рисковые и безрисковые активы. Все разновидности безрисковых активов ведут себя приблизительно как банковский счёт. Рисковые же активы эволюционируют как акции и имеют ярко выраженный случайный характер. Такая двойственность и легла в основу математического названия финансового рынка-(B,S)-рынка. Прежде чем дать строгое определение этому понятию, рассмотрим две последовательности: и .

Нижние индексы обозначают дискретные моменты времени, причём -это начальный момент времени, с которого на финансовом рынке производятся определённые действия, подвергаемые анализу, а -финальный (терминальный) момент времени, на котором этот анализ завершается.

Первая последовательность -это последовательность положительных чисел, которые отражают эволюцию цены единицы банковского счёта.

Приведём наиболее общепринятые формулы эволюции банковского счёта. Обозначим через процентную ставку, приведенную по отношению к определенному временному периоду (год, месяц, день, час и т.д). Эволюция банковского счёта по формуле простых процентов происходит следующим образом:

В этом случае проценты начисляются исходя только из начальной суммы, а процентные деньги в дальнейшем увеличении капитала не участвуют.

Формула сложных процентов.

В этой формуле проценты начисляются с суммы начального капитала и процентных денег:

В основном в учебном пособии используется формула сложных процентов для банковского счета. Формула сложных процентов может быть записана в виде разностного уравнения:

, .(1.1)

В формуле (1.1) проявляется смысл процентной ставки. Процентная ставка по банковскому счету - это отношение наращенного капитала или прибыли: , к капиталу: .

Последовательность представляет собой последовательность случайных векторов цен акций разного типа:

Нижний индекс по-прежнему рассматривается как момент времени, в который происходит изменение цен акций, а верхний отражает тип акции.

Так как цены акций изменяются случайным образом, то естественно считать, что они представляют собой случайные величины на некотором вероятностном пространстве (Щ,F,P). Мы будем предполагать, что пространство элементарных событий Щ-конечное множество, а элементы множества Щ будем трактовать как состояния финансового рынка. Под F будем понимать у-алгебру всех подмножеств Щ и каждое событие из F будем трактовать как событие, могущее произойти на финансовом рынке. Так как F конечно, то для неё понятие у-алгебра совпадает с понятием алгебра событий.

Для акций можно ввести понятие процентной ставки, также как это делается для банковского счета:

, , (1.2)

В отличие от банковского счета - случайные величины, определенные на том же вероятностном пространстве, что и стоимости акций. Если известно

,

то последовательность

полностью определяет последовательность случайых векторов .

Определение 1.1.

(B,S)-рынком называется объект, состоящий из детерминированной последовательности строго положительных чисел , интерпретируемых как цены банковского счёта в моменты времени 0,1,2,…,N (цены безрисковых активов), и последовательности неотрицательных случайных векторов на конечном вероятностном пространстве (Щ,F,P),интерпретируемых как цены акций в моменты времени 0,1,2,…,N. (цены рисковых активов).

Определение 1.2.

Портфелем ценных бумаг (или финансовой стратегией называется объект

,

состоящий из последовательности случайных величин где каждое интерпретируется как число единиц банковского счёта в момент времени n, и последовательности случайных векторов

где каждое интерпретируется как число акций k-го типа в момент времени n (k=1,2,…,l; n=0,1,2,…,N). Последовательности и определены на том же самом вероятностном пространстве.

Определение 1.3.

Полным капиталом портфеля р в момент времени n (n=0,1,2,…,N) называется случайная величина

,

где понимается как скалярное произведение (n=0,1,2,…,N). Причём не обязаны быть целыми и неотрицательными, у банка берётся заём. Предполагается, что единица банковского счета - безгранично делима. Аналогичное предположение справедливо для .

Будем считать, что для момента времени нам известны все события, которые могут произойти до момента включительно. Обозначим через -алгебру этих событий. Таким образом, возникает неубывающая последовательность -алгебр: . Обычно считается, что - тривиальная алгебра, состоящая из двух элементов всего и пустого множества - , то есть ; финальная -алгебра - .

Определение 1.4.

Неубывающая последовательность -алгебр событий называется фильтрацией (или информационным потоком). Объект (Щ,, полученный из вероятностного пространства после внедрения в него фильтрации, называется стохастическим базисом.

Поскольку в момент времени нам становится известным цены акций, то естественно считать, что случайный вектор определен на -алгебре , То есть последовательность является согласованной или адаптированной. Аналогичное можно сказать относительно последовательности процентных ставок .

Рассмотрим промежуток времени [n-1,n). Момент - момент объявления новых цен акций. В этот промежуток времени мы перераспределяем капитал портфеля между акциями и банковским счетом и получаем в результате единиц банковского счёта и акций. В результате возникает уравнение

.(1.3)

Выполняя это действие, мы опираемся на информацию доступную до момента времени включительно, это означает, что и определены на -алгебре , то есть предсказуемы. В момент времени в результате объявления новых цен полный капитал портфеля, как уже отмечалось ранее,

(1.4)

где

,

такое переобозначение будет удобным в последствие. Если , то капитал портфеля определяется только стоимостью акций и банковского счета в момент времени (самофинансируемый портфель); если , то часть средств, полученных от реализации акций и банковского счета, изымается (портфель с потреблением; если , то к средствам, полученным от реализации акций и банковского счета добавляется некоторая сумма (портфель с инвестициями).

Теорема 1.1

Рассмотрим портфель

ценных бумаг с капиталом (1.4) и распределением (1.3). Тогда следующие условия равносильны:

(b) балансовое соотношение:

(c) формула приращения капитала:

(d) формула приращения дисконтированного капитала:

.

Заметим, что под дисконтированием в финансовой математике понимается отношение цен рисковых активов к цене безрискового актива.

Определение 1.5.

Финансовым обязательством[5,стр.17] называется произвольная неотрицательная случайная величина

Экономически финансовое обязательство-это количество денег, которое мы запланировали получить в терминальный момент в результате ведения портфеля ценных бумаг.

Определение 1.6.

(B,S)-рынок называется полным[5,стр.23], если любое финансовое обязательство реплицируемо, то есть существует такой самофинансируемый портфель

,

что его финальный капитал в точности совпадает с , то есть

Определение 1.7.

(B,S)-рынок называется безарбитражным [5,стр.23], если не существует самофинансируемого портфеля, удовлетворяющего условиям

и причём хотя бы одно из чисел

Определение 1.8.

Самофинансируемый портфель

называется верхним (x, )-хеджем, если он удовлетворяет условиям:

1)

2)

Совокупность всех верхних (x, )-хеджей обозначается

Определение 1.9.

Верхней ценой [5,стр.35](стоимостью) контракта называется число

Ш)

Определение 1.10.

Самофинансируемый портфель

называется нижним (x, )-хеджем, если он удовлетворяет условиям:

1)

2)

Совокупность всех нижних (x, )-хеджей обозначается

Определение 1.11.

Нижней ценой (стоимостью) контракта называется число

Ш)

Определение 1.12.

(, )-хедж называется совершенным, если он является одновременно верхним и нижним, то есть если выполняется равенство

Теорема 1.2.

Если данный рынок безарбитражен, то для любого финансового обязательства верно неравенство

Теорема 1.3.

Если данный (B,S)-рынок безарбитражен и полон, то для любого финансового обязательства значения и совпадают, причём для существует совершенный (x, )-хедж.

Определение 1.13.

Пусть (Щ,-стохастический базис, а адаптированная последовательность с.в. (т.е. для любых n=0,1,…,N с.в. измерима относительно алгебры Данная последовательность с.в. называется мартингалом, супермартингалом, субмартингалом , если для любого n=0,1,…,N-1 справедливо:, , соответственно. Разумеется, необходимо существование вышеуказанных условных математических ожиданий.

Приведем простой пример.

Пример 1.1. Пусть

последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих два значения: -1 и 1 и

.

Построим последовательность частичных сумм

.

Определим естественную фильтрацию

.

Последняя запись означает, что содержит все события, порождаемые случайным набором , например, принадлежит событие

.

Последовательность частичных сумм - адаптированная последовательность относительно этой фильтрации. Вычислим условное математическое ожидание

.

Возможны три варианта. Вариант первый,

-

мартингал, вариант второй,

- супермартингал,

-

субмартингал. Важным инструментом для вычислений в стохастической финансовой математике является разложение Дуба.

Разложение Дуба.

Пусть адаптированная последовательность - супермартингал. Представим следующим образом

.



Для приращения запишем тождество

. тогда

.

Обозначим через

, .

Последовательность с является мартингалом, последовательность с - невозрастающая предсказуемая последовательность. Таким образом,

. (1.5)

Представление супермартингала в виде (1.5) называется разложением Дуба.

Является справедливой следующая теорема.

Теорема 1.4

Пусть - супермартингал. Если

,

где - мартингал, - невозрастающая предсказуемая последовательность с , то .

Отметим, что для дискретного времени получить разложение Дуба - тривиальная задача. Для непрерывного времени задача разложения является трудной задачей.

Рассмотрим пример на разложение Дуба.

Пример 1.2. Пусть в примере 1.1 последовательность частичных сумм является супермартингалом (). Построим разложение Дуба для последовательности частичных сумм. Легко вычисляется, что

,

.

В этом примере последовательность - невозрастающая детерминированная последовательность.

Определение 14.

Вероятность называется мартингальной вероятностью (или мартингальной мерой) данного (B,S)-рынка, если для любого индекса i=1,…,l процесс

мартингал.

Обозначим через - множество мартингальных мер эквивалентных исходной мере .

Теорема 1.5. Пусть . Справедливы импликации:

a) портфель самофинасируемый мартингал;

b) портфель с потреблением супермартингал;

c) портфель с инвестициями субмартингал

Не менее важным инструментом является опциональное разложение.

Опциональное разложение. Пусть - супермартингал относительно любой мартингальной меры . Тогда для справедливо представление:

, (1.6)

где - адаптированная невозрастающая последовательность с . Причем представление (1.6) единственно. Сравним представление (1.5) и (1.6). В (1.5) последовательность - предсказуемая. В тоже время представление (1.5) существенно зависит от меры. Такова плата за предсказуемость. Отметим, что если мартингальная мера единственная, то последовательность - предсказуема.

Рассмотрим разложение конечного и дискретного времени. Рассмотрим и .

Так как - конечно, то и - конечнопорожденные алгебры. Пусть и , где .

Пусть адаптированная последовательность - супермартингал относительно любой мартингальной меры. Разложение (1.6) эквивалентно выполнению системы неравенств.

, и (1.7)

В системе неравенств

,

.

Введем дополнительную переменную и рассмотрим задачу линейного программирования:

, и .(1.8)

Если система неравенств имеет решение, то задача имеет решение причем . Если задача имеет решение причем , то система неравенств имеет решение. Рассмотрим двойственную к (1.8) задачу линейного программирования

(1.9)

Пусть в (1.9)

,

где некоторая вероятностная мера. При этом последнее равенство в (1.9) выполняется. Предпоследнее неравенство означает, что

,

то есть . Поскольку это множество непустое, то область допустимых решений задачи - непустое множество. Так как для любой мартингальной меры последовательность супермартингал, то целевая функция двойственной задачи ограничена сверху на множестве допустимых решений

.

Следовательно (1.8) имеет решение.

Следовательно задача (1.7) имеет решение по теоремам о двойственности [].

Пусть - решение прямой задачи, а

-

решение двойственной задачи. Следовательно, по теоремам о двойственности

.

Так как , то система неравенств (1.7) имеет решение, следовательно имеет место разложение (1.6).

Приведем две основные фундаментальные теоремы финансовой математики.

Первая фундаментальная теорема.

Для того, чтобы (B,S)-рынок был безарбитражен, необходимо и достаточно, чтобы множество мартингальных мер эквивалентных исходной мере - было непусто.

Вторая фундаментальная теорема.

Для того, чтобы безарбитражный (B,S)-рынок был полон, необходимо и

достаточно, чтобы множество состояло из одного элемента.

Определение 15.

Динамическим финансовым обязательством называется последовательность неотрицательных случайных величин.

Определение 16.

Портфель с потреблением

называется верхним [5,стр.35] (x, )-хеджем, если он удовлетворяет условиям:

1)

2)

Также как и ранее совокупность всех верхних (x, )-хеджей обозначается Аналогично определяется нижний хедж. Портфель с инвестициями называется нижним [5,стр.35] (x, )-хеджем, если он удовлетворяет условиям:

1)

2)

Совокупность всех нижних хеджей обозначается При этом верхняя и нижняя цены контракта и определяются по аналогии с предыдущим.

Теорема 1.2 справедлива и для динамического финансового обязательства.

Опционы европейского типа.

Опционы-call, то есть опционы на покупку акций, предполагают следующую ситуацию.

Покупателю опциона нужно в момент времени N приобрести акцию определённого типа. Естественно предположить, что в момент N он хочет купить эту акцию по определенной цене, защитив себя от увеличения стоимости акции. банковский процент кокс безарбитражный

С этой целью он заключает с продавцом опциона-call контракт, согласно которому продавец опциона обязуется продать покупателю нужную акцию в момент времени N по заранее оговорённой цене K-контрактной цене. За выполнение этого контракта покупатель сразу платит продавцу деньги С (цена контракта, премия). Основной момент данного вида сделки состоит в том, что продавец обязан в момент N выполнить условия контракта в то время, как покупатель имеет право не предоставлять контракт к исполнению. Продавец опциона берет на себя финансовое обязательство:

.(1.10)

Опционы-put, то есть опционы на продажу акций, предоставляют возможность покупателю опциона продать акцию в момент времени N по заранее оговорённой цене продавцу опциона.

Покупатель опциона платит за эту возможность деньги С, а продавец опциона обязуется купить акцию в момент N по контрактной цене К. Финансовое обязательство продавца:

. (1.11)

Возможна комбинация опциона

- call и опциона

- put, называемая спрэдом. Финансовое обязательство спрэда:

, . (1.12)

Американские опционы.

В отличие от опционов европейского типа контракты в американских опционах могут быть предъявлены в любой момент времени

и тем самым порождают динамические финансовые обязательства. Так американский опцион - call порождает финансовое обязательство:

, (1.13)

американский опцион - put:

(1.14)

и американский спрэд:

; .(1.15)

Модель Кокса-Росса-Рубинштейна

Модель Кокса - Росса - Рубинштейна являясь моделью полного рынка, сыграла такую же роль в финансовой математике, как и биноминальная модель в теории вероятностей.

Эволюция стоимости единицы банковского счета и акции определяется в модели следующим образом:

, (1.16))

где , - постоянная процентная ставка, - последовательность одинаково распределенных, независимых в совокупности случайных величин, принимающих два значения: и , причем . Из (1.11) дисконтированная стоимость акции удовлетворяет разностному уравнению:

,

где - бинарная случайная величина. Отсюда дисконтированная стоимость акции:

, (1.17)

Где

.

При выполнении условия: существует единственная мартингальная вероятность, при которой случайные величины независимые и одинаково распределены:

. (1.18)

Для мартингальной вероятности случайная величина распределена по биномиальному закону, поэтому модель Кокса-Росса-Рубинштейна также называют биномиальной моделью, а рынок биномиальным рынком.

На полных и безарбитражных рынках существует, как уже отмечалось ранее, справедливая цена контракта и совершенный хедж. Справедливая цена контракта и совершенный хедж определяются следующими формулами:

(1.19)

Для биномиальной модели и финансового обязательства формулы (1.19) приобретают вид:

(1.20)

Где

.

Общая модель Кокса-Росса-Рубинштейна

Рассмотрим естественную фильтрацию, соответствующую модели Кокса-Росса-Рубинштейна:

(1.21)

Адаптированность последовательности

означает лишь одно, возможность представить последовательность в виде:

.(1.22)

Вычислим условное математическое ожидание:

.(1.23)

Из определения условного математического ожидания следует, что

,(1.24)

Где

.

Из мартингального равенства легко устанавливается следующий факт.

Теорема 1.5. Для того, чтобы мера была мартингальной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

,(1.25)

для всех

.

Если

, для всех , то для вероятностей справедливы рекуррентные уравнения:

, .(1.26)

Соотношения (1.26) можно рассматривать как определение мартингальной вероятности при условии:

.(1.27)

Теорема 1.6. Если , для всех , то для того, чтобы существовала единственная мартингальная мера (рынок был безарбитражным и полным), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (1.27).

Допустим, что существует такие значения

и , для которых

.

Для остальных условие (1.27) выполняется.

Пусть

и - такие значения. Рассмотрим соответствующее уравнение из условий (1.25):

.

В результате несложных преобразований получим:

.

Отсюда для существования мартингальной меры необходимо и достаточно, чтобы

,

при этом отношение произвольное число из интервала . В этом случае мартингальная мера существует, но неединственная, то есть рынок является безарбитражным и неполным.

Не трудно теперь представить ситуацию, когда мартингальная мера отсутствует. Например, не выполняется хотя бы одно из условий (1.27). В этом случае рынок является арбитражным. Таким образом, рассматриваемая модель достаточна, чтобы описывать всевозможные ситуации на рынках.

Безарбитражный и полный рынок. Пусть рассматриваемый рынок - безарбитражный и полный, т.е. выполняются условия (1.27). Рассмотрим вычисления по формулам (1.19) для рассматриваемой модели рынка. Из адаптированности последовательности следует:

(1.28)

Из

(использовано телескопическое свойство условного математического ожидания) следует

= =

.

Отсюда получаем рекуррентные соотношения:

,(1.29)

,

причем , где получаются из представления

финального платежного обязательства

.

Справедливая цена опциона

.

Далее вычисляется приращение дисконтированного капитала

и приращение дисконтированной стоимости акции

.

Вычисляем

,

используя формулы (1.19). Сошлемся на теорему:

Теорема 1.7 [] Пусть последовательность мартингал, причем мартингальная мера - единственная. Последовательность любой другой мартингал, тогда справедливо выражение , где - предсказуемая последовательность.

Поскольку последовательность , определяемая соотношением (1.19), - мартингал и мартингальная мера единственная, то мы можем воспользоваться теоремой 1.7. Предсказуемость последовательности означает, что

и

.(1.30)

Для справедлива легко выводимая формула:

.(1.31)

Таким образом, для безарбитражного и полного рынка формулы (1.29) - (1.31) позволяют полностью вычислить справедливую цену и совершенный хедж для произвольного финансового обязательства.

Модель Кокса-Росса-Рубинштейна получается из общей модели, если

Положить

.

Читателю предлагаем убедиться, что в этом случае формулы (1.29) - (1.31) трансформируются в формулы (1.20).

Безарбитражный и неполный рынок. Верхняя цена

Пусть теперь мартингальная мера неединственная. Из второй основной теоремы финансовой математики следует, что совершенного самофинансируемого хеджа может не существовать. Приведем основные определения необходимые для дальнейшего изложения.

Определение 17.

Портфель с потреблением

называется верхним [5,стр.35] (x, )-хеджем, если он удовлетворяет условиям:

1)

2)

Также как и ранее совокупность всех верхних (x, )-хеджей обозначается Аналогично определяется нижний хедж. Портфель с инвестициями

называется нижним (x, )-хеджем, если он удовлетворяет условиям:

1)

2)

Совокупность всех нижних хеджей обозначается При этом верхняя и нижняя цены контракта и определяются по аналогии с предыдущим.

Таким образом, для того, чтобы найти верхнюю и нижнюю цены контракта необходимо решить задачи:

при ограничениях

: (1.32)

супермартингал; и

при ограничениях

: (1.33)

субмартингал.

Рассмотрим решение задачи (1.32). Решение имеет следующий вид[]:

,(1.34)

где - множество мартингальных мер.

Составляющие портфеля получаются из опционального разложения супермартингала . И так рассмотрим вычисление верхней цены контракта для общей модели Кокса-Росса-Рубинштейна. Прежде всего, используем равенство

[].

Поскольку - адаптированная последовательность, то

.

Рассмотрим два случая:



1) , ;

2) , .

В результате получаем рекуррентные уравнения:

, , (1.35)

если ; , если ; .

Определим :

, (1.36)

если , , если

.

Заметим, что в случае

-

произвольное число, что говорит о неоднозначности решения. Напомним, что - предсказуемая последовательность, то есть

.

Определим процесс потребления

.

Здесь

, если

; , если

и ; , если

и .(1.37)

Вычислим

.

Следует также рассмотреть два случая:

и . В результате

, если

, , если

. (1.34)

Вычисление нижней цены и нижнего хеджа производится аналогично и мы предоставляем читателю выполнить эти вычисления в качестве упражнения.

Размещено на Allbest.ru

...