Модель рынка с жесткой скупкой акции. (Обесценивание акции)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Часть третья

Модель рынка с жесткой скупкой акции. (Обесценивание акции)



Содержание

Модель рынка с жесткой скупкой акции. (Обесценивание акции)

Стохастический базис и мартингальные меры

Вычисление интервала справедливых цен

Сопоставление с моделью Кокса-Росса-Рубинштейна



Модель рынка с жесткой скупкой акции. (Обесценивание акции)

В этом разделе учебного пособия моделируется ситуация появления на рынке жесткого скупщика, который в случайный момент времени может изъять акцию из оборота, заплатив ее стоимость и до финального момента времени акция на рынке не появляется. Жесткий скупщик может придерживаться определенной стратегии (скупать акцию после первого падения стоимости, скупать акцию после первого подъема стоимости, может случайным образом комбинировать эти стратегии). Во всяком случае, стратегия жесткого скупщика считается неизвестной.

Начнем описание модели с описания стохастического базиса, который отличается от стохастического базиса модели Кокса-Росса-Рубинштейна.

Рис 3.1. Схема дробления атомов.

Стохастический базис и мартингальные меры

В любой дискретный момент времени на рынке происходят два события:

??= "акция скуплена" и

?= "акция продолжает функционировать". Событие

?=, событие

?=.

Сигма-алгебра . При переходе от момента времени к моменту времени дробление атомов происходит по следующей схеме:

Переход означает, что акция, скупленная до момента , на рынок не возвращается; переход означает, что акция скупается жестким скупщиком в момент времени ; переход означает, что акция продолжает функционировать.

В этой части пособия мы будем придерживаться несколько иного стиля изложения, и для дальнейшего нам понадобятся следующие обозначения.

Пусть , обозначим через Q- редуцированную меру на?F

: ,

,

.

Приведем без доказательства следующую теорему

Теорема 3.1. Следующие утверждения:

1) рынок - безарбитражный,

2) ,

3) ,

эквивалентны.

Рассмотрим наиболее простую реализацию модели ценообразования. Наиболее простая реализация рассмотренной модели получается при следующей структуре дробления атомов:

Рис.3.2. Наиболее простая схема дробления атомов.

Эта схема дробления накладывает ограничения на стратегию "жесткого скупщика". Если мы не хотим накладывать ограничений на стратегию "жесткого скупщика, то наиболее простая схема дробления атомов будет выглядеть следующим образом:

Рис. 3.3. Простейшая схема дробления атомов при отсутствии ограничений на стратегию "жесткого скупщика".

Переход означает падение цены акции, переход означает рост цены акции, подобно тому, как это происходит в модели Кокса-Росса-Рубинштейна.

Схема дробления, приведенная на рис. 3.3, порождает фильтрацию {ї,Ш},…,

,

, - атомы -алгебры . Разбиение проводится согласно формулам:

, (3.1)

Рассмотрим на измеримом множестве множество вероятностных мер R ={P}, где вероятности Р таковы, что

,

.

Определим на данном стохастическом базисе адаптированные последовательности

и , выражающие, соответственно, стоимость рискового (акции, котировка валют и т.д.) и безрискового активов (банковского счета), >0, P-п.н. Тем самым мы определим (B,S) - рынок на стохастическом базисе . Измеримость относительно позволяет записать

(3.2)

, а , - индикаторы соответствующих событий.

Будем предполагать выполнение следующего неравенства:

,(3.3)

которое отражает одно из, приведенных выше свойств модели.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3.2. Если выполняется неравенство

то следующие утверждения:

1) -рынок - безарбитражен,

2)

k=1,2,…,-1, n=1,…,N-1,

эквивалентны. При этом мартингальные меры вычисляются с помощью рекуррентных формул:

,

,

(3.4)

Доказательство.

Эквивалентность 1) и 2) вытекает из теоремы 3.1. Докажем (3.4).

Из формулы (3.2) следует ,что

=

=

=++

+=+

.

Таким образом,

E(/) =+

.

Отсюда и из равенства:

E(/)=

следует (3.4).



Вычисление интервала справедливых цен

Вычисление интервала справедливых цен . Допустим, выполнены условия:

1) k=1,2,…,-1, n=1,…,N-1;

2) ;

то есть, рассматриваемый рынок является безарбитражным (теорема 2.2). Поскольку множество мартингальных мер, эквивалентных исходной мере, содержит более одной меры (мартингальные меры удовлетворяют соотношениям (2.4)), то рассматриваемый рынок является неполным. Рассмотрим дисконтированное, неотрицательное и ограниченное финансовое обязательство . Во второй части пособия приведены формулы для вычисления верхней и нижней цен финансового обязательства. Здесь мы изучим эту проблему с иной точки зрения, а именно представим ее как задачу линейного программирования.

Рассмотрим задачу вычисления верхней цены контракта. Напомним ее: при ограничениях

:

супермартингал относительно любой мртингальной меры, где - дисконтированный капитал.

Покажем, что эта задача эквивалентна задаче:

,

при ограничениях

: , (3.5)

Действительно. Рассмотрим ограничения. Если - супермартингал относительно любой мартингальной меры, то имеет место опциональное разложение и тогда неравенства

выполняются. Если выполняются неравенства, то - супермартингал относительно любой мартингальной меры.

Для решения задачи (3.5) применим метод динамического программирования [белм].

Определим случайную адаптированную последовательность

:

;

,

при ограничениях: , . Здесь

.

Верхняя цена

- .

Теорема 3.5. Для

при ограничениях:

.

Доказательство.

Рассмотрим две задачи:

при ограничениях:

,(3.6)

при ограничениях:

, .(3.7)

Пусть - решение задачи (3.6) последовательность:

является допустимой для задачи (3.7).

Следовательно . Пусть решение задачи (3.7) достигается на последовательности

,

то есть - решение задачи:

при ограничениях:

,(3.8)

Из определения последовательности следует, что . Сравнивая (3.6) и (3.8) делаем вывод, что . Тем самым теорема доказана.

Теорема 2.5 позволяет предложить следующий алгоритм решения задачи.

Алгоритм 2.1.

1. Инициализация. Полагаем

n=N, .

2. Итерация. Если n=0, то переходим к 3. Решаем задачу (3.6), полагаем n=n-1 и переходим к 2.

3. Остановка.

Решение задачи (3.6).

Рассмотрим атом (рис.3.3).

, при выполнении ограничений:

(3.9)

Поскольку

,

то решением задачи (3.9) будет

(3.10)

при произвольном . Положим

Рассмотрим атом (рис.2.3). В соответствии с дроблением атома требуется найти

, при выполнении ограничений:

,

,

. (3.11)

Зафиксируем , тогда

Рассмотрим три возможных случая.

1.

2.

3.

Для первого случая

Для второго случая

Для третьего случая

Таким образом, решение задачи (3.6) имеет вид:

Где

.(3.12)

Положим

,

тем самым вычислены верхняя цена контракта и верхний хедж. Нижний хедж и нижняя цена контракта вычисляются аналогично, и мы в очередной раз предоставляем эту возможность читателю,

Далее рассмотрим среднеквадратичное хеджирование.

Среднеквадратичный хедж при жесткой скупке акции.

Для вычисления оптимального портфеля параметризуем множество мартингальных мер. Для этого рассмотрим предсказуемую последовательность:

. (3.13)

Заметим, что может быть любым числом. Так как при определении мартингальной меры, как мы увидим далее, не используется. Построим меру, определяемую последовательностью . Прежде всего, определим редуцированную меру:

,(3.14)

и определим редуцированную меру:

(3.15)

Мера определяется при помощи рекуррентных уравнений:

, (3.16)

- произвольный атом , - атом ,

содержащий ,

Покажем, что уравнения (3.14) - (3.16) определяют вероятность. Действительно,

и Покажем, что . Действительно,

Обратно, пусть .

Определим последовательность На атоме типа определим произвольным образом, например ,. На атоме типа определим

.

Из того, что . Отсюда

Тем самым теорема доказана.

Теорема 3.6 Множество мартингальных мер параметризуемо предсказуемой последовательностью , удовлетворяющей (3.13).

Пусть выбрана параметризующая последовательность . Оптимальный портфель рассчитывается по формулам:

,

(3.17)

Отметим одну важную особенность (3.17). Составляющие портфеля не зависят непосредственно от последовательности .

Вернемся к нижней и верхней цене дисконтированного финансового обязательства . Как отмечалось в предыдущем параграфе,

,

.

Одновременно с этим оптимальный начальный капитал при среднеквадратичном хеджировании

,

где некоторая мартингальная мера. Таким образом, при вычислении интервала справедливых цен можно использовать параметризующую последовательность , и формулы среднеквадратичного хеджировании (3.17). И так, для вычисления верхней и нижней цены следует решить две оптимизационные задачи:

, .(3.18)

Для решения задач (3.18) применим уже упоминавшийся метод динамического программирования. Определим две последовательности:

(3.19)

Нижняя цена и верхняя цена: .

Теорема 3.7.

(3.20)

Доказательство. Воспользуемся формулами (3.17)

при . В первом и во втором случаях функции линейны по переменной , поэтому достигают своего наибольшего и наименьшего значений на концах интервала. Отсюда непосредственно следует утверждение теоремы.

Теорема 3.7 позволяет вычислить последовательности и . Для этих последовательностей, применяя формулы (3.17), можно вычислить портфели скупщик стохастический мартингальный рубинштейн

и

с начальными капиталами и .

Рассмотрим задачу подобную той, которая рассматривалась во второй части пособия. Если из интервала справедливых цен выбрана цена хеджирования

(, то требуется определить одну из возможных мартингальных мер , для которой

,

и вычислить портфель, который является решением задачи

.

Решение задачи дает следующая теорема.

Теорема 3.8. Для мартингальной меры

оптимальный портфель

.

Доказательство. Справедливость теоремы вытекает из равенств:

,

и формул (3.17).

Если достигнута компромиссная цена , то естественным является выбор компромиссной меры , что приводит к портфелю .

Сопоставление с моделью Кокса-Росса-Рубинштейна

В модели Кокса-Росса-Рубинштейна дробление атомов происходит по следующей схеме:

Рис. 3.4. Схема дробления атомов в модели Кокса-Росса-Рубинштейна.

Для произвольного момента времени приращение дисконтированной стоимости:

, . (3.18)

Рынок, определяемый моделью КРР, является безарбитражным и полным. Редукция единственной мартингальной меры :

.(3.19)

Параметризующая последовательность

.

Воспользуемся формулами (3.17), в результате получим:

(3.20)

Обратимся к изучаемой модели. Для произвольного момента времени приращение дисконтированной стоимости:

, , .(3.21)

Воспользуемся формулами (3.12) и (3.17):

(3.22)

Покажем, что если дисконтированное финансовое обязательство - и - выпуклая функция, то

Докажем это.

Определим последовательность функций

.

Докажем методом математической индукции что эта последовательность - последовательность выпуклых функций. Для утверждение справедливо. Пусть оно будет справедливо для

.

Установим справедливость утверждения для . Функции и - выпуклые функции, как суперпозиции выпуклой и линейной функций. Следовательно, выпуклая функция, как выпуклая комбинация выпуклых функций. Из равенства

и выпуклости функции следует неравенство . Отсюда для любого и любого . Докажем методом математической индукции, что

.

Для утверждение справедливо. Пусть оно будет справедливо для . Установим справедливость утверждения для . Из (3.22)

Из (3.22), доказанного неравенства и выпуклости следует

Отсюда

.

Докажем, что

.

Применим в очередной раз метод математической индукции. Положим .

Из (3.22)

.

Из выпуклости функции следует, что

,

Тогда

.

Пусть формула верна при

.

Это значит, что

и

.

Отсюда и из выпуклости функции ,

.

Таким образом, формула

верна для любого .

Таким образом, формулы для расчета верхней цены и верхнего хеджа, нижней цены и нижнего хеджа имеют следующий вид:

(3.23)

Исходя из (3.23)

.

Отсюда

.

Сопоставив с формулами (3.20) делаем вывод, что для изучаемой модели, в рассматриваемом случае, верхняя цена совпадает со справедливой ценой для модели КРР, а нижняя цена

.

Модель с динамически изменяющимися параметрами.

Начнем изложение с определения.

Определение. [Ширяев]. Последовательность удовлетворяет условию условного двуточия, если

, где .

При этом утверждения:

1) безарбитражный -рынок является полным;

2) дисконтированная стоимость акции удовлетворяет условию условного двуточия и ;

являются эквивалентными.

Основным источником случайности на -рынке считается рисковый актив . Поскольку рассматривается дискретный -рынок, то эквивалентно

.

Наиболее простой случай, когда

.(3.24)

Так как , то из неравенств: следует, что

.(3.25)

В (3.25) последовательность удовлетворяет разностному уравнению:

,

.

Отметим, что данное разностное уравнение является эйлеровой аппроксимацией дифференциального уравнения: , решением которого является функция

.

Поскольку решение - выпуклая функция, то при

,

справедливо неравенство

.

В этом случае вместо неравенств (3.25), можно рассматривать более грубые неравенства:

. (3.26)

Применим формулы (3.17). Отметим, что

,

(3.27)

Отсюда для вычисления верхней и нижней цен, а также верхнего и нижнего хеджа получаем формулы:

(3.28)

Случай, когда дисконтированное финансовое обязательство

- выпуклая функция, предлагаем рассмотреть читателю.

Размещено на Allbest.ru

...