Далее были посчитаны моменты для логарифмов реальных значений потребления, доходностей рисковых и безрисковых активов.

Таблица 2. Статистические показатели потребления и доходностей активов в США на годовых данных

Из Таблицы 3 видно, что рыночная премия, т.е. то, на сколько доходность по акциям превышала доходность безрискового актива, составляет 6,02% при стандартном отклонении равном 20,07%. Следует обратить внимание на то, что ковариация доходности по акциям и рыночной премии с потреблением составляет 0,25% и 0,28% соответственно при корреляции с потреблением более 0,6. Это может быть объяснено небольшим стандартным отклонением потребления.

При подставлении значений из Таблицы 3 в уравнение (8), получим, что коэффициент неприятия риска равен 21,74, что значительно больше максимального допустимого значения для этого коэффициента - 10 (Mehra, Prescott, 1985).

Аналогично моменты были рассчитаны для российских данных за 1996-2014 гг. (см. Таблица 4). Также напомним, что для российских данных доходность безрискового актива была принята равной нулю. Следовательно, премия за риск равна доходности по акциям.

Таблица 3. Статистические показатели потребления и доходностей активов в России на годовых данных

Кроме того, можно заметить, что средние показатели и ковариация с потреблением по российским данным выше, чем по США, однако и стандартные отклонения также заметно выше. Вообще стандартное отклонение может быть ассоциировано с риском и неопределенностью, таким образом, можно сделать вывод о том, что российские акции примерно в три раза более рискованные, чем американские, а большая волатильность прироста потребления россиян свидетельствует о более нестабильной экономической ситуации в России.

После того как данные моментные условия были подставлены в уравнение (8), было обнаружено, что коэффициент риск-аверсии составляет 4,66. Таким образом, можно сделать вывод о том, что на российских данных отсутствует загадка премии по акциям вопреки предположениям о том, что акции являются слишком рискованным вложением для россиян. Тем не менее, нельзя исключать возможности неточных результатов из-за малого количества наблюдений.

Кроме того, коэффициент риск-аверсии был рассчитан с помощью статистического пакета Getl (Таблица 4). Это позволит сравнить результаты до и после введения привычки агента в модель, а также отличие результатов, полученных методом GMM с помощью статистического пакета от расчетов вручную в программе Excel. 

Таблица 4. Расчет коэффициента риск-аверсии обобщенным методом моментов

Основываясь на результатах, представленных в Таблице 4, можно сделать вывод о том, что для всех рынков одношаговый и итерационный ОММ дали примерно одинаковые приемлемые значения межвременного дисконтирующего фактора на уровне 0,8. Это означает, что в экономике деньги сегодня стоят дороже, чем завтра, поэтому агенты предпочитают текущее потребление будущему. Тем не менее, значения коэффициента риск-аверсии заметно различаются. На годовых данных как по России, так и по США и одношаговый, и итерационный обобщенный методы моментов дали отрицательные значения. Данные результаты достаточно необычны, так как в литературе по данной тематике предполагается, что данный показатель должен быть больше нуля. Поэтому, данные результаты можно считать ошибочными по причине слабой объясняющей способности обобщенного метода моментов на малых выборках -- 88 наблюдений для США и 19 для России. Тем не менее, отрицательное значение коэффициента неприятия риска можно попытаться объяснить как склонность агентов к риску, эйфорию инвесторов, когда они готовы делать рискованные вложения. Однако если принять отрицательное значение коэффициента и найти из уравнения (8) премию за риск, то она получится также отрицательной. Это означает, что агенты в экономике согласны идти на риск, не получая за это никакой платы. Такая ситуация может возникнуть при недооценивании риска инвесторами, что обычно приводит к появлению пузырей на финансовых рынках.

Наиболее показательными являются месячные результаты по США. Коэффициент риск-аверсии получился положительным и значительно превышающим 10, что сопоставимо с расчетами вручную, когда данный показатель был равен 36,66. Кроме того, данные результаты свидетельствуют о наличии загадки.

Коэффициент неприятия риска показывает какую надбавку сверх доходности безрискового актива хочет агент, приобретая рисковый актив. Слишком большое значение коэффициента риск-аверсии на месячных данных по США может быть объяснено тем, что рисковые активы сильнее коррелируют с потреблением, чем безрисковые. Однако, как было ранее упомянуто, агенты предпочитают активы, которые имеют обратную зависимость с потреблением, т.к. они позволяют не снижать потребление в моменты экономического спада. Следовательно, рисковые активы не выполняют роли "страховки" в трудные времена, из-за чего агенты хотят получать по ним большую доходность.

Тем не менее, если предположить, что такое большое значение коэффициента риск-аверсии приемлемо, то возникает другая проблема -- слишком маленькое значение наблюдаемой безрисковой ставки. При высоком значении коэффициента неприятия риска безрисковая ставка, получаемая из C-CAPM, гораздо больше, чем та, что получена по безрисковым активам.

Для проверки данной загадки рассчитаем безрисковую ставку, применяя следующую формулу:

(25)

где:

-- безрисковая ставка в момент времени t;

-- межвременной фактор предпочтений;

-- коэффициент риск-аверсии;

-- средний темп прироста потребления;

-- дисперсия прироста потребления.

Также примем в годовом выражении и 9 -- в месячном (9, стр. 331).

В результате безрисковая ставка для США на годовых данных получилась равной 32,14%, что гораздо выше наблюдаемой -- 0,71%, на месячных данных по США 7% и 13,90% для России, что также заметно больше 0 или даже ставки по ГКО-ОФЗ, которая составляет примерно 8%. Таким образом, безрисковая ставка для модели C-CAPM слишком велика по сравнению с историческими данными. Следовательно, на американских и российских данных можно наблюдать аномалию безрисковой ставки.

На основании выше представленных расчетов было доказано существование обеих рассматриваемых в работе загадок на фондовом рынке США на месячных данных и аномалии безрисковой ставки на российском и американском рынках на годовых данных. Также можно говорить о том, что обобщенный метод моментов лучше работает на месячных данных, нежели на годовых, так как коэффициент риск-аверсии убывает с увеличением шага расчетов. Далее для решения загадок были применены подходы с учетом привычки агента и редких катастроф.

В рамках первого подхода был применен обобщенный метод моментов. В нашей ситуации было использовано больше ограничений, чем параметров, следовательно, модель сверхидентифицирована. Поэтому перед применением метода все ряды данных были проверены на стационарность с помощью теста Дики-Фуллера. В качестве нулевой гипотезы в тесте обычно берется предположение о том, что спецификация модели не верна. Затем значение J-статистики сравнивается с критическим значением Хи-квадрат распределения. Если J-статистика больше этого значения, то альтернативная гипотеза отвергается, и модель не адекватна (Cochrane, 2009).

Для этого сначала находились наиболее значимые лаги автокорреляционных функций, а затем проводился сам тест в 3 вариациях: без константы, с константой и с константой и трендом. В результате было выявлено, что все ряды стационарны (см. Приложение 1).

В качестве инструментальных переменных обычно выбираются те, которые тесно связаны с факторными переменными, но сами не являются эндогенными. В этой работе в качестве инструментов были выбраны первый и второй лаги потребления и доходности рынка по аналогии с основополагающими работами по данной теме.

Таблица 5. Расчет коэффициента риск-аверсии обобщенным методом моментов в модели с учетом привычки агента

Таким образом, на основании Таблицы 5 можно сделать вывод о том, что после введения в модель привычки агента на годовых данных по США и России были получены адекватные значения коэффициента риск-аверсии (за исключением отрицательного результата итерационным ОММ для России), показывающие отсутствие загадки. Тем не менее, на месячных данных по США значения коэффициента все еще остаются слишком большими. Так, итерационным ОММ коэффициент неприятия риска снизился со 105,03 до 51,21, то есть более чем в 2 раза, однако все еще превышает допустимое значение примерно в 5 раз. Одношаговый обобщенный метод моментов вообще дал увеличение коэффициента с 76,81 до 198,72, то есть почти в 2,5 раза. Значения межвременного дисконтирующего фактора для всех выборок находится на приемлемом уровне.

Кроме того, основываясь на сравнении J-статистики и Хи-квадрат статистики, на 5% уровне значимости все результаты Таблиц 4 и 5 принимаются. Тем не менее, это показывает только статистическую удобоваримость моделей, но не гарантирует, что они имеют какую-либо экономическую ценность.

В результате, после введения в модель привычки агента значения коэффициент неприятия риска снизились во всех моделях, кроме результатов по одношаговому GMM для месячных данных по США. Так как коэффициент риск-аверсии получился меньше 10 в одношаговом методе на годовых данных и по США, и по России при приемлемом значении межвременных дисконтирующих факторов, то можно считать, что загадка премии по акциям решена с математической точки зрения. Однако результаты данного метода неоднозначны.

Далее был применен подход редких катастроф. Сначала рассчитывался базовый случай, в котором изначально задавались все параметры, а затем оценивались коэффициент риск-аверсии, межвременной дисконтирующий фактор и безрисковая ставка. Так в США историческое значение прироста потребления за 1927-2014 гг. составляет примерно 2% со стандартным отклонением 0,022. Величина дрифта была взята равной 0,025 в соответствии со статьей Р. Барро (9, стр. 15). Коэффициент риск-аверсии был зафиксирован на уровне 10 в альтернативном варианте для сравнения результатов.

Для нахождения коэффициента риск-аверсии и межвременного дисконт фактора подставим описанные выше значения показателей в уравнения (22) и (23) и оценим их совместно. Получим коэффициент неприятия риска равный 123,76 и дисконтирующий фактор 0,62 -- для США. Если же в систему подставить коэффициент риск-аверсии равный 10, то безрисковая ставка составит 6,22% (действительная ставка составляет 0,71%),а межвременной дисконт фактор будет равен -0,16, что не соответствует ограничениям, налагаемым моделью -- . Следовательно, данные США подтверждают наличие загадки премии по акциям. Однако на российских данных коэффициент неприятия риска получился 5,44 при дисконтирующем факторе 0,11, что говорит об отсутствии аномалии.

Таблица 6. Расчет показателей при нулевых вероятностях наступления катастроф

После этого проводились расчеты с учетом предположения о ненулевой вероятности наступления катастроф (см. Таблица 7). В качестве базового случая рассматривалась ситуация, когда в экономике присутствует однопроцентная вероятность наступления катастрофы первого типа, при которой произойдет снижение ВВП на 50%. Далее рассматривались случаи с более высокой и более низкой вероятностью катастрофы первого типа, случай наличия вероятности обоих типов катастроф и случаи с более высоким и более низким падением ВВП при катастрофе первого типа.

Таблица 7. Расчет показателей при ненулевых вероятностях наступления катастроф

На основании проведенных расчетов и результатов, представленных в Таблицах 5 и 6, можно сделать ввод о том, что при увеличении вероятности катастрофы первого типа с 0,00 до 0,01 коэффициент риск-аверсии снижается с 123,76 до 2,88 и межвременной дисконтирующий фактор с 0,62 до 0,08 в базовом случае на данных США. На российских данных также наблюдается снижение этих показателей.

Кроме того, интересно отметить, что при увеличении вероятности катастрофы первого типа с 1,00% до 1,50% агенты в Америке становятся более нетерпимы к риску, а в России -- наоборот. При уменьшении этой вероятности до 0,50% и в США, и в России коэффициент риск-аверсии становится больше, чем в базовом случае.

При увеличении вероятности наступления катастрофы второго типа с 0,00 до 0,025 при наличии вероятности первой катастрофы 0,01 коэффициент неприятия риска увеличился на американских данных, а межвременной дисконт фактор снизился. На российских данных наблюдалась противоположная ситуация. Поэтому нельзя установить однозначного влияния наличия вероятности обеих катастроф на искомые переменные.

Увеличение масштабов катастрофы первого типа, при которой ВВП страны снижается не на 50%, а на 60% приводит к снижению коэффициента риск-аверсии в США и России. Если ВВП во время катастрофы упадет только на 25%, то коэффициент неприятия риска возрастет. Особенно ярко данный эффект проявился на данных США. Коэффициент риск-аверсии превысил значение 10, а межвременной дисконтирующий фактор оказался отрицательным, что наблюдается только в этой спецификации.

Если зафиксировать значение коэффициента риск-аверсии на уровне среднего значения по предыдущим спецификациям, то есть равного 3, то значение рыночной доходности будет близко к базовому случаю, а безрисковой ставки будет заметно выше как по США, так и по России. Тем не менее, значение безрисковой ставки по России будет находиться на уровне 7,91%, что сопоставимо с доходностью по ГКО-ОФЗ, равной в среднем 7,75%. Американская безрисковая ставка составила 2,48% в последней спецификации, в то время как ее наблюдаемое значение находилось на уровне 0,71%.

Более того, следует отметить, что в базовой спецификации и коэффициент неприятия риска, и межвременной дисконтирующий фактор были выше по России, чем по США. Однако загадка премии по акциям была выявлена данным подходом только на американских данных. Логичным было бы предположить, что подобный результат возможен из-за малого количества наблюдений по России, среди которых присутствуют два крупных кризиса 1998 и 2008 годов, которые изначально оказали свое влияние на результаты.

Для большей наглядности и понимания значения коэффициента риск-аверсии воспользуемся уравнениями (22)-(24). Можно заметить, что доходности рискового и безрискового актива сокращаются при увеличении вероятности катастрофы первого типа, но увеличиваются при росте вероятности катастрофы второго типа. Такое влияние может быть объяснено тем, что при росте вероятности наступления катастрофы второго типа агенты не видят смысла вкладываться вообще во что-либо, так как при такой катастрофе они все потеряют и межвременная норма замещения не увеличивается из-за того, что люди будут стремиться перераспределить потребление в пользу текущего, а не будущего. Также, разность логарифмов доходности рискового и безрискового актива или спрэд положительно связана с коэффициентом неприятия риска. Таким образом, чем сильнее нетерпимы инвесторы к риску, тем большую премию за риск они будут требовать. Кроме того, можно обнаружить, что положительное влияние на спрэд также оказывает увеличение вероятности катастрофы первого типа, ковариации с потреблением и масштабом катастрофы, однако, от вероятности наступления катастрофы второго типа он никак не зависит.

В результате проведенного исследования была выявлена загадка премии по акциям на месячных данных по США за 03.1959-06.2015 и только аномалия безрисковой ставки на российских и американских годовых данных за 1996-2014 гг. и 1927-2014 гг. соответственно. Коэффициент неприятия риска составил 21,74 на годовых данных по США, 36,66 на месячных и 4,66 по России при расчете вручную при максимально допустимом значении 10. После применения модели с учетом привычки агента, метода GMM, коэффициент риск-аверсии снизился по всем выборкам. Можно заключить, что данный подход может быть применен для решения загадки, однако, он не всегда дает адекватные результаты, что также подтверждает проведенный обзор литературы по проблеме. Лучше всего его использовать на больших выборках со стационарными значениями.

Также для решения загадки был применен подход редких катастроф. Изначально подход показал наличие аномалии на американских данных -- коэффициент неприятия риска составил 123,76. Однако на российских данных этот подход не выявил аномалии, так как коэффициент риск-аверсии составил 5,44, что меньше 10. После введении в модель вероятностей наступления катастроф коэффициент риск-аверсии понизился в обеих выборках. Поэтому можно полагать, что данный подход также применим для решения загадки премии по акциям.

В начале работы были поставлены гипотезы, о том, что 1) На американских и российских исторически данных по фондовому рынку можно обнаружить загадку премии по акциям; и 2) загадка премии по акциям может быть решена с помощью подхода с учетом привычки агента и подхода редких катастроф. В итоге, первая гипотеза подтверждается частично, так как на российских данных аномалия не была обнаружена. Вторая гипотеза может быть полностью принята.

Заключение

В данном исследовании была изучена загадка премии по акциям в межвременной модели ценообразования финансовых активов C-CAPM. Данная модель создавалась как расширение и улучшение модели CAPM на основе стохастического дисконтирующего фактора, так как базовая модель имеет жесткие предпосылки и оторвана от реальности. Поэтому новая модель приобрела более адекватное теоретическое обоснование с экономической точки зрения. Суть C-CAPM заключается в решении межвременной задачи потребления инвестором. В отличие от базовой модели ценообразования, учитывающей только риск и доходность, потребительская модель содержит дополнительный компонент -- потребление агента, а риск актива определяется ковариацией его стоимости с этим потреблением.

Тем не менее, не смотря на гибкость потребительской модели, она не только не смогла объяснить аномалии базовой модели, но и породила новые. Одной из таких аномалий является загадка премии по акциям, которой посвящена данная работа. Основная проблема заключается в том, что исторически наблюдается высокая премия за риск в модели C-CAPM, которую можно объяснить только сильной несклонностью к риску агентов в экономике. Однако данное предположение расходится с реальным поведением инвесторов на рынке, из-за чего некоторые экономисты полагают, что загадка премии по акциям до сих пор не объяснена, не смотря на наличие различных математических решений.

Для изучения данной аномалии нами были взяты годовые данные по американскому фондовому рынку за 1927-2014 гг. и месячные данные за 03.1959-07.2015, а также годовые данные по российскому рынку за 1996-2014 гг., на основе которых рассчитывался коэффициент риск-аверсии и безрисковая ставка процента для модели C-CAPM. При сравнении коэффициента неприятия риска с максимально допустимым значением и безрисковой ставки с наблюдаемым значением было обнаружено, что расчетные значения значительно превосходят допустимое и максимальное соответственно. Таким образом, на исследуемых данных была обнаружена загадка премии по акциям. Тем не менее, при использовании обобщенного метода моментов на данном этапе для годовых данных и по США, и по России были получены отрицательные значения, что, скорее всего, является ошибкой, вызванной небольшим количеством наблюдений.

Далее была совершена попытка решить данную загадку с помощью модели с учетом привычки агента обобщенным методом моментов, а также подходом редких катастроф. В итоге было выявлено, что оба подхода работают, однако, первый имеет определенные недостатки и дает неоднозначные результаты. Основными недостатками подхода с учетом привычки агента являются сложности подбора инструментальных переменных и зависимости результата от них, а также влияние размера выборки на результат. Основываясь на проведенном обзоре литературы и собственном исследовании можно заключить, что подход редких катастроф дает наиболее логичное и однозначное решение загадки премии по акциям и безрисковой ставки процента. Следует отметить, что после применения обоих подходов коэффициент риск-аверсии на российских данных был немного больше, чем на американских. Из этих результатов можно сделать вывод о том, что россияне более нетерпимы к риску и требуют большую премию за риск, чем американцы.

К ограничениям данной работы можно отнести то, что существует слишком мало данных по российскому фондовому рынку в силу его недолгого существования. Из-за этого обобщенный метод моментов может давать смещенные результаты.

Дальнейшим развитием данной работы может послужить расширение выборки по развитым и развивающимся странам, применение различных калибровок к данным, изменение вида привычки в подходе с учетом привычки агента и введение стохастики в модель редких катастроф. Кроме того, в модель с учетом привычки агента могут быть введены другие переменные, например, переменная благосостояния агента или доступной информации.

Также полагаем, что было бы интересно проанализировать влияние кризисов на потребление, сбережение и отношение к риску агентов. Более того, можно изучить последствия макроэкономической политики в развитых и развивающихся странах с точки зрения изменения уровня неприятия риска инвесторами.

Кроме того, есть альтернативная точка зрения, которая предполагает, что загадка премии по акциям гораздо глубже и не решена до сих пор, как было сказано ранее. Загадка премии по акциям говорит, что агенты сильно не терпимы к риску. Загадка безрисковой ставки показывает, что агенты предпочитают сберегать даже когда безрисковая ставка очень мала. Но знаем ли мы почему это так? Существует несколько вариантов объяснения большого коэффициента неприятия риска как то, что это зависит от предпочтений агента или что затраты на торговлю акциями и облигациями значительно различаются. Однако эти предположения не кажутся реальными. Для их подтверждения требуется вести в модель транзакционные издержки и оценить их влияние, что также может стать дальнейшим усовершенствованием данного исследования.

В заключение следует отметить, что сегодня мы не достаточно хорошо понимаем и описываем макроэкономические процессы, т.к. существующие модели упускают ключевые моменты, которые могли бы объяснить поведение агентов в экономике. Изученная загадка может служить тому подтверждением.

Список литературы

1. Гельман С.В., Шпренгер К. Сколько должны стоить финансовые активы? Нобелевские премии по экономике 2013 г //Экономический журнал Высшей школы экономики Higher School of Economics Economic Journal. - 2014. - Т. 18. - №. 3. - С. 160-172.

2. Слуцкин Л.Н. Обобщенный метод моментов //Прикладная эконометрика. - 2007. - №. 3.

3. Солодухина А.В. Поведенческие модели ценообразования активов //Финансы и кредит. - 2010. - №. 11. - С. 63-73.

4. Abel A. B. Asset prices under habit formation and catching up with the Joneses //The American Economic Review. - 1990. - С. 38-42.

5. Barro R.J. Rare events and the equity premium. - National Bureau of Economic Research, 2005. - №. w11310.

6. Campbell J.Y. et al. The econometrics of financial markets. - Princeton, NJ: princeton University press, 1997. - Т. 2. - С. 149-180.

7. Campbell J.Y., Cochrane J.H. By force of habit: A consumption-based explanation of aggregate stock market behavior. - Journal of Political Economy. 1999. С. 205-251.

8. Constantinides G. M. Habit formation: A resolution of the equity premium puzzle //Journal of political Economy. - 1990. - С. 519-543.

9. Cuthbertson K., Nitzsche D. Quantitative financial economics: stocks, bonds and foreign exchange. - John Wiley & Sons, 2005.

10. Deaton A., Muellbauer J. An almost ideal demand system //The American economic review. - 1980. - С. 312-326.

11. Gabaix X. Linearity-generating processes: A modelling tool yielding closed forms for asset prices. - National Bureau of Economic Research, 2007. - №. w13430.

12. Ghosh A., Julliard C. Can Rare Events Explain the Equity Premium Puzzle? //2008 Meeting Papers. - Society for Economic Dynamics, 2008. - №. 1090.

13. Ju G. A Resolution to Equity Premium Puzzle, Risk-Free Rate Puzzle, and Capital Structure Puzzle. - 2010.

14. Khan B.M. Cross-country Determinants of Equity Risk Premium: дис. - University of Paris, 2009.

15. Kocherlakota N.R. The equity premium: It's still a puzzle //Journal of Economic literature. - 1996. - С. 42-71.

16. Li B. Testing world consumption asset pricing models //European Journal of Economics, Finance and Administrative Sciences. - 2010. - Т. 22. - С. 7-20.

17. Mehra R., Prescott E.C. The equity premium: A puzzle //Journal of monetary Economics. - 1985. - Т. 15. - №. 2. - С. 145-161.

18. Rietz T.A. The equity risk premium a solution //Journal of monetary Economics. - 1988. - Т. 22. - №. 1. - С. 117-131.

19. Saikkonen P., Ripatti A. On the estimation of Euler equations in the presence of a potential regime shift //The Manchester School. - 2000. - Т. 68. - №. s1. - С. 92-121.

20. Storesletten K., Telmer C.I., Yaron A. Asset pricing with idiosyncratic risk and overlapping generations //Review of Economic Dynamics. - 2007. - Т. 10. - №. 4. - С. 519-548.

21. Sundaresan S. M. Intertemporally dependent preferences and the volatility of consumption and wealth //Review of financial Studies. - 1989. - Т. 2. - №. 1. - С. 73-89.

22. Verbeek M. A guide to modern econometrics. - John Wiley & Sons, 2008.

23. Weil P. The equity premium puzzle and the risk-free rate puzzle //Journal of Monetary Economics. - 1989. - Т. 24. - №. 3. - С. 401-421.

Размещено на Allbest.ru