Оценка рыночной стоимости портфеля в стрессовых условиях

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оценка рыночной стоимости портфеля в стрессовых условиях



Содержание

Введение

Глава 1. Теоретические аспекты стресс-тестирования

1.1 Рыночный риск

1.2 Торговый портфель

1.3 Стресс-тестирование и сценарный анализ

1.4 Риск-метрики

1.5 Свойства финансовых временных рядов

1.6 Модели класса GARCH

1.7 Теория экстремальных значений

1.8 Теория копул

Выводы

Глава 2. Общий алгоритм построения модели стресс-теста

2.1 Эмпирическая база

2.2 Построение моделей эволюции риск-факторов и их взаимосвязи

2.3 Общая модель стресс-тестирования

Выводы

Глава 3. Результаты модели стресс-тестирования

3.1 Оценка параметров модели AR-GARCH

3.2 Моделирование ошибки модели

3.3 Оценка параметров t-копулы

3.4 Прогноз модели по базовому сценарию

3.5 Прогноз модели по стрессовому сценарию

3.6 Сравнение риск-метрик по построенным сценариям

Выводы

Заключение

Список литературы



Введение

В последние годы стресс-тестирование получило значительное количество внимания. Центральные банки и международные организации приняли активное участие в данной области исследований ввиду их заинтересованности в вопросе стабильности финансовой системы. [16] Под стресс-тестированием подразумевается набор техник, используемых для оценки подверженность финансовой системы исключительным, но при этом возможным шокам. [17] При этом стресс-тестирование должно учитывать не только прямой результат шокового события, но и его последствия. [18] Стресс-тестирование на уровне отдельно взятых институтов широко применяется банками в разных странах с начала 1990-ых годов. Регуляторы также требуют выполнение стресс-тестов для отслеживания рыночного и кредитного рисков.

Банки со своей стороны отмечают разработку и внедрение более робастных режимов стресс-тестирования, на которые они все больше полагаются. По сравнению с прошлым, кредитные организации также отмечают большую вовлеченность и заинтересованность руководства в развитии данного направления в управлении рисками. Согласно результатам опроса, проведенного Senior Supervisors Group, большинство из этих организаций осуществили усовершенствования в следующих аспектах программ стресс-тестирования:

· Частота тестов,

· Их гибкость,

· Количество рассмотренных сценариев,

· Количество учтенных риск-факторов. [15]

Торговая книга успела неоднократно побывать источником огромных потерь для финансовых институтов за последние годы. Такие убытки часто возникают из-за избыточных размеров заемных средств, используемых для формирования организацией своей торговой книги. Еще одна причина таких потерь - это непропорционально высокая концентрация портфеля (другими словами, нехватка диверсификации) с основной ставкой на небольшое количество инструментов или секторов рынка, как по ошибке, так и сознательно рискующими трейдерами.

Потери торговой книги могут иметь катастрофический глобальный эффект в ситуации, когда они касаются несколько финансовых институтов одновременно, например во время краха Long-Term Capital Management после Азиатского финансового кризиса 1997 года и экономического кризиса в России в 1998 году, или банкротства Lehman Brothers в 2008 году. В самом деле, глобальное кредитное сжатие и финансовый кризис 2008 года были тесно связаны с многомиллиардными убытками инвестиционных банков, имевших в своих торговых книгах ипотечные ценные бумаги.

Основной целью работы является разработка подхода к оценке рыночной стоимости портфеля в стрессовых условиях.

Основные задачи работы:

1. Построение распределения, описывающего поведение доходностей облигаций.

2. Построение стресс-сценариев с учетом динамики совместных зависимостей доходностей.

3. Сравнение убытков, предсказанных риск-метриками по стресс-сценариям, с реальными потерями в кризисный период

Объектом исследования является процесс стресс-тестирования рыночного риска, структура которой предлагается и обосновывается в рамках данной работы. стресс тестирование риск копул

Предмет исследования - применимость методологии, изложенной в данной работе, для стресс-тестирования портфеля индексов облигаций российских эмитентов.

Вышеуказанный портфель представляет из себя некоторый рыночный портфель облигационных индексов. Перечень рассматриваемых облигационных индексов включает в себя:

· Индекс корпоративных еврооблигаций,

· Индекс государственных еврооблигаций,

· Индекс корпоративных облигаций с дюрацией до 3 лет,

· Индекс корпоративных облигаций с дюрацией свыше 3 лет,

· Индекс государственных облигаций с дюрацией до 3 лет,

· Индекс государственных облигаций с дюрацией от 3 до 5 лет,

· Индекс государственных облигаций с дюрацией свыше 5 лет,

· Индекс муниципальных облигаций.

Рассматриваемый временной промежуток используемых исторических данных: 01.01.2012 - 01.01.2016.

Все использованные данные были скачаны с официального сайта одного из ведущих финансовых информационных агентств Cbonds. [19]

Актуальность работы состоит в активном развитии стресс-тестирования как направления в риск-менеджменте, которое позволяет предвидеть и избегать серьезные потери, связанные с экстремальными условиями.

Научная новизна состоит в использовании актуальных подходов и методов, применяемых для задачи стресс-тестирования, для оценки потерь портфеля облигаций, являющихся наиболее значимым компонентом торговой книги российских банков.

Практическая значимость данного исследования заключается в проверке соответствия выводов построенной модели стресс-тестирования реальным убыткам в сравнении с более простыми подходами.

Основными использованными методами исследования, которые были применены в данной работе, включают в себя:

1. Модели класса AR (1) - GARCH (1, 1) для построения прогнозов значений индексов;

2. Применение t-копулы Стьюдента для описания нелинейных взаимосвязей между значениями различных облигационных индексов;

3. Такие риск-метрики, как Value-at-Risk и Expected Shortfall, для расчета величины потерь в стресс-сценариях.

Для выполнения практической части данной работы использовался пакет обработки статистической обработки данных R.

Структура работы выглядит следующим образом:

· В главе 1 описаны те факты, теории и модели, которые были приняты во внимание при разработке подхода к стресс-тестированию,

· В главе 2 приведены шаги, выполненные при построении моделей,

· В главе 3 приводятся полученные в рамках данной работы результаты.



Глава 1. Теоретические аспекты стресс-тестирования

1.1 Рыночный риск

Управление рыночным риском - непростая, но крайне важная для банковской организации задача. Банки используют разнообразные подходы, различающиеся по применяемому математическому аппарату, используемой статистической информации, а также нормативно-учетной базе.

В 1988 г. Базельским комитетом по банковскому надзору был впервые опубликован консультативный документ "Международная конвергенция измерения капитала и стандартов капитала". Базельский комитет определил рыночный риск как риск потерь, возникающих под влиянием изменения рыночных котировок: в результате рисков, связанных с процентной ставкой, а также фондового и валютного рисков банка. Этим документом было предусмотрено разделение капитала банка (т.е. его собственных средств) на два уровня, а также произведение классификации активов по пяти уровням качества.

Рекомендации Базеля I стали применяться в российской практике после внедрения Положения Банка России № 89-П "О порядке расчета кредитными организациями размера рыночных рисков", согласно которому формула рыночного риска имела следующий вид:

РР = 12,5 Ч (ПР + ФР + ВР),

где РР - размер совокупных рыночных рисков,

ПР - процентный риск (размер рыночного риска инструментов, чувствительных к изменениям процентных ставок),

ФР - фондовый риск (размер рыночного риска инструментов, чувствительных к изменению рыночных цен на фондовые инструменты),

ВР - валютный риск (размер рыночного риска по открытым уполномоченным банком позициям в иностранных валютах и драгоценных металлах).

Процентный и фондовый риски делились на общий, связанный с изменением рыночных котировок соответствующего показателя, и специальный, связанный с кредитным риском эмитента. В расчете участвовали чистые позиции по однородным инструментам, которые затем взвешивались с определенными коэффициентами в зависимости от принадлежности к той или иной группе страны эмитента. Валютный риск рассчитывался как произведение совокупной величины открытых позиций по валюте на 8% (при дальнейшем умножении на 12,5 результирующий риск составлял 100% от суммарной величины открытых валютных позиций).

В международной практике следующим нововведением в области управления рыночным риском стал выпуск Базельским комитетом нового Консультативного документа "Международная конвергенция измерения капитала и стандартов капитала: новые подходы" (Базель II), где рыночный риск рассчитывался следующим образом:

РР = 10 Ч (ПР + ФР) + ВР.

В отличие от предыдущего метода расчета, использовалось более подробное разделение активов на категории с соответствующими коэффициентами взвешивания в зависимости от вида эмитента и ценных бумаг.

В 2011 г. Базельским комитетом был опубликован "Пересмотр подходов Базеля II к оценке рыночного риска". Им устанавливались усложненные подходы к оценке рыночного риска в части использования математического аппарата и классификации активов по уровням качества и риска. Были выделены два подхода к оценке рыночного риска - упрощенный (стандартизированный) и так называемый ВПОДК (основанный на внутренних моделях банков).

В российской практике данные подходы к расчету рыночного риска в части стандартизированного подхода были реализованы в Положении Банка России № 387-П, в соответствии с которым для рыночного риска были увеличены весовые коэффициенты, применяемые к финансовым инструментам, включаемым в расчет рыночного риска. Преимущества подхода, применяемого в России для его оценки, включают ясность алгоритма и простоту вычисления, а также его универсальность для всех финансовых инструментов. Однако эти достоинства отрицательно сказываются на точности оценки, так как не учитываются статистика, динамика и прочая релевантная рыночная информация. [20]

1.2 Торговый портфель

В соответствии с официальной позицией Базельского комитета, раннее определение регуляторного разграничения между торговой и банковской книгами являлось одним из "слабых мест" того положения. Ключевым фактором в разграничении до недавних пор было желание самих банков торговать теми или иными бумагами. Намерение торговать оказалось слишком субъективным критерием, который достаточно сложно проверить и недостаточно ограниченный с пруденциальной точки зрения в ряде юрисдикций. Наряду с серьёзными различиями в требованиях к капиталу по схожим видам риска в обеих книгах, действующая структура была подвержена манипуляциям со стороны банков как до кризиса 2008 года, так и после.

В мае 2012, Комитет предложил два различных метода определения данного разграничения:

· Подход на основании свидетельства о факте торговли.

При данном подходе граница между книгами определяется не простым намерением, но также и свидетельством их способности торгового деска торговать и управлять рисками. Здесь фундаментальным критерием является то, что намерение торговать, подкрепленное свидетельством и регуляторным требованием сохранять инструмент в исходной книге, является релевантной характеристикой определения требований к капиталу.

· Подход на основании оценки стоимости.

Данное предложение позволяет уйти от концепции "намерения торговли" и сформировать границу, которая стремится привести в соответствие регуляторные требования к капиталу и риски, которым подвергаются банковские капитальные ресурсы. Фундаментальным в данным вопросе является точка зрения, что капитальные требования по отношению к рыночному риску должны быть применены, когда изменения в справедливой стоимости финансовых инструментов, представляют риск для платежеспособности банка.

Отражая поступившие Комитету предложения, были сформулированы пересмотренные требования, учитывающие связь между регуляторными требованиями по включению инструментов в торговый портфель и перечнем инструментов, которыми банки считают допустимым торговать. При этом новый подход стремится обратить внимание на недостатки в разграничении и снизить вероятность "арбитража" путем предоставления большего числа рекомендательных инструментов. Таким образом, данное разграничение в большей степени зависит от практик в области риск-менеджмента самих банков касаемо подхода на основании оценки стоимости.

Регуляторная граница между книгами может быть рассмотрена как операционная конструкция, используемая для распределения инструментов и портфелей таковых инструментов таким образом, чтобы адекватно отразить капитальные требования для этого инструмента или портфеля инструментов. В таком случае, его определение является критичным для проведения разработки прочих ключевых элементов фреймворка торговой книги, включая подход к измерению риска.

При учете относительных преимуществ разных вариантов для определения границы особенно важными критериями по мнению Базельского Комитета были следующие факторы [2]:

· Объективность в определении границы;

· Мера, в которой возможности арбитража капиталом минимизированы;

· Степень, в которой граница может быть легче обойдена банками;

· Степень, в которой определение данной границы соответствует внутрибанковским процессам риск-менеджмента;

· Легкость применения.

1.3 Стресс-тестирование и сценарный анализ

Концепция стресс-тестирования основывается на зависимости стоимости портфеля от ряда риск-факторов. Обозначим риск-факторы, влияющие на портфель, вектором r1, r2, …, rn, который определяет ситуацию на рынке. Функция, определяющая стоимость портфеля, обозначается как P(r). Рыночная ситуация в текущий момент rMM задает портфель с текущей стоимостью P(rMM). [4]

Выбор риск-факторов зависит от портфеля. Разные портфели, как правило, подвержены разными риск-факторами. Количество риск-факторов должно быть выбрано таким образом, чтобы включить все параметры, оказывающие стоимость портфеля.

Для стресс-тестирования сценарий rstress выбирается в соответствии с конкретными критериями, после чего производится расчет стоимости текущего портфеля при данных условиях P(rstress). После этого проводится сравнение этой величины с P(rMM), что позволяет оценить величину потерь в случае исполнения стресс-сценария при условии, что рынок двинулся настолько резко, что провести ребалансировку было уже невозможно.

В большинстве случаев это изменение имеет смысл. Шоки на финансовых рынках часто характеризуются внезапной конфронтацией участников рынка и ситуации на нем. Это может быть вызвано, например, большим ростом волатильности: когда цены быстро меняются участники не имеют возможности реструктурировать свои портфели за имеющееся время, и портфели переоцениваются на основании рыночных условий. Аналогичный эффект имеют кризисы ликвидности: для рыночного участника значение имеют только те цены, по которым он может ребалансировать портфель. При этом сделать это на неликвидном рынке по рыночным ценам затруднительно, поэтому речь чаще всего идет о изменении структуры портфеля в более поздний момент времени.

В общем случае невозможно найти такое состояние рынка, при котором стоимость портфеля минимальна, так как потенциал для потерь портфеля, как правило, неограничен. Простой пример: портфель, который состоит только из короткого колл-опциона: его стоимость будет неограниченно падать, пока стоимость базового актива будет расти. По этой причине, не все сценарии подойдут для стресс-тестирования. Вместо этого, поиск минимума будет проводиться среди сценариев, которые соответствуют некоторым стандартам правдоподобия.

Правдоподобие сценария имеет значение для интерпретации результатов стресс-теста. Результаты стресс-тестов, демонстрирующие сильные потери с большей вероятностью приведут к предприятию мер, если ответственные лица рассмотрят такое развитие событие вероятным. Следовательно, стандарты правдоподобия должны исключать самые невероятные сценарии, способные нарушить достоверность результатов.

По этой причине во внимание должны быть приняты корреляции между риск-факторами при определении стресс-сценариев. Сценарии, в котором изменения факторов нарушают корреляции, достаточно маловероятны, даже если каждый отдельно взятый фактор меняется на допустимую величину. Именно поэтому корреляции должны быть учтены при разработке стресс-теста.

Предполагается некоторая матрица ковариаций:

В данной матрице элементы главной диагонали si2 - дисперсии каждого риск-фактора, а остальные элементы sij - ковариации любых двух риск-факторов.

При условии нормального распределения риск-факторов и условии справедливости вышеописанной матрицы корреляций, тогда равновероятные сценарии r, к которым осуществляется переход из текущего состояния rMM, образуют n-мерный эллипсоид:

Длины главных осей данных эллипсоидов в k раз превышают собственные значения матрицы S-1. Если изменения риск-факторов распределены нормально, то при условии ковариаций S, вероятность попадания рыночного состояния внутрь эллипсоида определяется значением функции ч2-распределения с n степенями свободы при k2:

Таким образом, критерии приемлемости для сценариев могут быть заданы следующими шагами:

1. Задается уровень доверия p, равный, например, 95%.

2. Определяется k2, соответствующий условию

.

3. Область допустимых сценариев задается как

.

Заполненная область может быть обозначена как эллипсоид E.

Стоит также отметить, что текущие корреляции не единственный вариант ковариационной матрицы S. Может также быть полезным использовать стресс-корреляции в качестве корреляционной матрицы. Такие корреляции могут быть оценены, к примеру, на основании исторических событий.

Многие банки проводят периодические стресс-тесты, подразумевающие переоценку текущих портфелей против некоторых стандартных сценариев. Это зачастую стандартные сценарии в двойственном смысле: выбор сценария не зависит ни от банка, ни от времени проведения теста. Таким образом, стресс-тестирование имеет преимущество гарантии сравнимости в двух отношениях. В первом случае, возможно сравнить исходы стресс-тестов нескольких банков при одних и тех же сценариях. Это позволяет оценить экспозиции банков в отношении различных категорий рисков. Во-вторых, когда банк всегда смотрит на одни и те же сценарии, он может сравнить результаты в разные моменты времени. Это позволяет мониторить то, как менялась экспозиция к разным видам риска во времени.

1. Многие банки используют сценарии, схожие со стресс-сценариями, предложенными DGP (Derivatives Policy Group), которая рекомендует проведение стресс-тестов для измерения экспозиции портфеля к некоторым ключевым факторам риска. Сценарии, предложенные DPG, включают в себя:

· Параллельные сдвиги кривой доходностей на 100 базисных пунктов вверх и вниз;

· Изменение наклона кривых доходностей;

· Комбинацию сдвига и изменения наклона кривой;

· Изменение волатильности доходов на 20 процентов от превалирующих уровней;

· Изменение в значениях индексов акций на 10 процентов, и так далее.[7]

Сравнение этих стандартных сценариев DPG с реальными максимальными изменениями показывает, что некоторые сценарии DPG далеки от экстремальных показателей, наблюдаемых в прошлом. Следовательно, они не должны восприниматься, как реконструкция исторических кризисов или неких "худших случаев".

2. Моделирование исторических кризисов

Базельский комитет требует построение стресс-сценариев на основании исторических кризисов. Для чего использовать реконструкции исторических кризисов, ведь модели VaR тоже используют исторические данные? Как могут стресс-тесты предоставить дополнительную информацию, если они сами основываются на тех же данных?

Одно существенное различие между двумя методами состоит в том, что VaR обычно включают только данные за сравнительно небольшой период (к примеру, предыдущий год). В то же время стресс-тестирование может быть проведено для воспроизведения исключительных рыночных ситуаций, наблюдаемых в более отдаленные моменты времени. Так как модели VaR используют все данные из недавнего прошлого, включая периоды спокойствия на рынке, зачастую сглаживаются пики. И напротив, когда моделируются исторические кризисы, во внимание берутся только драматичные изменения рынка, а данные из спокойных периодов исключаются. В результате, пиковые значения могут быть смоделированы в полном объеме.

Стресс-сценарии, которые используют исторические данные моделируют стресс-события после экстремальных исторических движений рынка. Однако этот подход отчасти опасен: экстремальные сценарии не обязательно худшие случаи, а максимальные изменения не обязательно худшее, что может произойти. Некоторые портфели более чувствительны к небольшим сдвигам, чем большим движениям. И если используется стратегия "стрэддл", то худшее, что может произойти - это как раз отсутствие движения рынка.

3. Методы систематического поиска наихудшего сценария

a. Factor push method

Метод "толкания" переменных является относительно простым способом получения примерного представления о "худшем случае". Процесс представляет из себя изменение каждого индивидуального риск-фактора на заданную величину в направлении, который максимально уменьшит стоимость портфеля. Более конкретно, необходимо произвести следующие действия:

1. Для каждого риск-фактора ri определяются стоимости портфеля, полученные в результате положительного или отрицательного изменения риск-фактора. В результате рассчитывается величины

,

где k - заданное количество стандартных отклонений для риск-фактора.

2. Положительный или отрицательный знак VZ(i) присваивается каждому фактору согласно формуле

.

Иными словами, VZ(i) равен 1, если рост i-ого риск-фактора приводит к росту портфеля, в противном случае VZ(i) = -1.

3. Новый стресс-сценарий записывается как

Одним из главных преимуществ этого метода состоит в вычислительной простоте.

При этом основной недостаток включает в себя наличие решений лишь в углах n-мерного кубоида

.

Такое допущение не представляет опасности для портфелей с линейной зависимостью от риск-факторов, но в общем случае не может считаться верным.

b. Методы Монте-Карло

Методы Монте-Карло предоставляют аппроксимацию для минимального значения стоимости портфеля. Они также сравнительно просты, однако требуют значительные вычислительные мощности.

Чтобы найти примерные минимумы в допустимых пределах, определенных условием правдоподобия, можно, например, провести следующую процедуру:

1. Сгенерировать множество xj случайных точек, в n-размерном кубоиде Q с центром в начале координат с ребрами длиной 2k /, параллельных осям координат, где EW(i) - собственное значение S-1.

2. Определить унитарной матрицы U с собственными значениями S-1 в качестве столбцов. Это позволяет вписать кубоид Q в минимальный эллипсоид E точек, удовлетворяющих.

3. Отбросить трансформированные точки Uxj, лежащие вне эллипсоида. Обозначить оставшееся множество трансформированных точек как S.

4. Аппроксимация минимального портфеля:

,

где N - количество симуляций Монте-Карло. [5]

1.4 Риск-метрики

Риск-метрики представляют собой предсказательную статистическую меру, характеризующую инвестиционный риск и волатильность на основании исторических данных.

Более формально, если X - случайная величина, в таком случае R(X) - мера риска.

Для риск-метрик выполняются следующие аксиомы:

1. Сохранения масштаба

2. Суб-аддитивности



3. Монотонности

4. Инвариантности к смещениям

При выполнении всех вышеперечисленных аксиом мера риска называется когерентной.

Из наиболее распространенных мер риска можно выделить следующие:

1. Математическое ожидание

Данная риск-метрика представляет собой оценку наиболее вероятных убытков.

2. Value-At-Risk на уровне б (VaR)

Методология VaR хорошо известна: известен период держания инструмента t и уровень доверия б (в процентах). VaR - статистическая мера потерь портфеля, измеренная в денежных единицах, которая не превысит вышеупомянутую вероятность б при условии, что портфель останется неизменным за весь рассматриваемый период. Потери, превышающие VaR, происходят с малой вероятностью (1 - б) %. [9] В качестве б, как правило, используются следующие значения:

o 95%,

o 99%,

o 99.9%.

Рис 1. Value-at-risk и Expected Shortfall на графике плотности распределения.

3. Expected shortfall уровня б (ES)

Expected Shortfall является альтернативой VaR. Эта мера представляет собой ожидаемый убыток в б худших случаях. Она более чувствительна к распределению возможных потерь и позволяет лучше предсказывать менее вероятные, но при этом экстремальные потери. В качестве значений б чаще всего используются такие величины как

o 5%,

o 1%,

o 0,1%.

Из всех указанных метрик именно ES дает максимальные оценки ожидаемых убытков, таким образом наиболее адекватно соответствуя целям стресс-тестирования.

1.5 Свойства финансовых временных рядов

Для финансовых временных рядов существует ряд доказанных стилизованных фактов:

1. Волатильность имеет историческую зависимость.

Волатильности непостоянна во времени, она возвращается к среднему и имеет тенденцию к кластеризации. Это означает, что периоды высокой волатильности с большей вероятностью предшествуют последующим периодам повышенной волатильности, и наоборот. Более того, волатильность демонстрирует значимую автокорреляцию даже для очень больших лагов (говорят, что у волатильности "длинная память". [6]

Рис. 2. Пример графика волатильности.

2. Экстремальные события происходят чаще, чем предсказывает современная теория финансов.

Число больших доходностей, как положительных, так и отрицательных, заметно превосходит ожидаемое на основе распределений с тонкими хвостами. Иными словами, распределение доходностей имеет "толстые хвосты". Более того, шоки имеют сильное воздействие на волатильность и в общем случае ведут к последующим шокам. Большинство финансовых моделей неспособно воспроизводить данный факт. [11]



Рис. 3. QQ-диаграммы распределений доходностей некоторых российских акций.

Падение котировок акций в крахе 1987 года, приходилось на величину, приходящуюся на 10-20 стандартных отклонений. Если считать, что при нормальности изменение в 7 стандартных отклонений должно происходить раз в миллиард лет, то данное предположение выглядит неадекватным.

3. Автокорреляционная функция модулей доходностей убывает медленно относительно лагов самих доходностей.

Из данного утверждения следует, что предположение о линейной зависимости между последовательными наблюдениями является неадекватным при построении соответствующей модели. Следовательно, применение линейных моделей для прогнозирования финансовых показателей ошибочно. В этом можно убедиться, изучив автокорреляционные функции для лагов доходностей, их модулей и квадратов. [10]



Рис. 4. Графики автокорреляционных функций некоторых российских акций.

1.6 Модели класса GARCH

Для описания поведения доходности могут быть использованы разные классы моделей. Простейшей является модель уровня p (AR(p)), имеющая следующую общую запись:

,

где m - базовый уровень показателя;

еt - ошибка (в стандартной формулировке это независимая и одинаково распределенная случайная величина).

Недостаток данной модели состоит в том, что она не способна учитывать особенности финансовых временных рядов, описанных ранее. Для учета явления кластеризации волатильности модель может быть дополнена до обобщенной модели с условной гетероскедастичностью (GARCH).

Случайная ошибка GARCH-модели описывается следующим разложением:

,

где д??- случайная ошибка,

у??- условное стандартное отклонение, заданное отдельным уравнением:

,

где щ - базовый уровень волатильности,

???? - GARCH-коэффициенты,

в?? - ARCH-коэффициенты.

Обычно предполагается, что случайные ошибки - независимые и одинаково распределенные случайные величины (например, д?? ~ N(0,1)), что упрощает определение функции правдоподобия. Для определения параметров такой модели используется метод квази-максимального правдоподобия (QMLE). В предположении, что функция правдоподобия Гауссова, то функция лог-правдоподобия имеет следующую форму с точностью до констант:

Где

Максимизируемая функция не обязана являться Гауссовой, то есть процесс не обязан быть Гауссовым белым шумом, следовательно, функция LT - функция квази-правдоподобия. [12]

Хотя для описания случайной ошибки часто используется стандартное нормальное распределение, это обычно не соответствует действительности, так как не учитывается стилизованный факт о "толстых хвостах" распределения вероятности доходностей. В рамках данного исследования ошибка будет описана с помощью распределения, состоящего из двух компонент:

· Центральной части, описываемой оценкой нормального распределения на базе истории,

· Хвостовых частей, моделируемых через обобщенное Парето-распределение, описанное в теории экстремальных значений.

1.7 Теория экстремальных значений

На фондовом рынке экстремальные отрицательные изменения цен могут проявляться как в обычное время в виде коррекций, так и в кризисные периоды времени, проявляясь в виде обвала котировок ценных бумаг. В подобной ситуации возможно использование теории экстремальных значений, так как модели, основанные на ней, могут применяться для получения относительно точных оценок риска.

Для выборки случайных величин X1, X2, …, Xn, распределения которых независимы и описаны одинаковым распределением F, могуть быть выявлены следующие значения:

.

Максимум как и минимум является случайной величиной, зависящей от выборки длины n. Так как минимальное значение можно выразить через максимум от той же выборки с отрицательным знаком, то достаточно обратить внимание на Mn, что и является объектом исследования теории экстремальных значений. [3]

Обобщенный вид распределения экстремальных значений позволяет описывать случайную величину Mn:

,

где 1/о - коэффициент, определяющий тяжесть хвоста,

м - коэффициент сдвига,

у - 0 коэффициент масштабирования.

Теория экстремальных значений содержит несколько теорем, которые приводят к важным результатам для финансовых временных рядов.

Теорема: Пусть X1, …, Xn независимые и одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения F. Существуют последовательности {an} и {bn}, и невырожденное предельное распределение G(x), такое что

.

Тогда можно подобрать такие коэффициенты м, у, о, что G(x) = Г(x).

С помощью этой теоремы вводится понятие области притяжения D(о). Область притяжения для Го - это множество распределений F, сходящихся к Го. Кроме того, можно показать, что из независимости Xn следует

.

Теорема: F принадлежит области притяжения Г с нормализующими коэффициентами {an} и {bn} тогда и только тогда, когда для любого x

.

Из этой теоремы следует, что именно предельное поведение F определяет, будет ли оно принадлежать области притяжения распределения экстремальных значений.



Рис. 5. Функция плотности и кумулятивная функция распределения некоторых обобщенных распределений из теории экстремальных значений.

Теорема: Пусть X1, …, Xn независимые и одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения F, при этом для всех положительных о

.

Тогда для положительных x

,

Где bn = 0,

an = F-1(1 - 1/n).

Если обозначить

,



То утверждение теоремы равносильно тому, что F принадлежит области притяжения Г(x) тогда и только тогда, когда

для некоторой функции L, где

.

Теорема:

Для некоторого значения о имеется F ? D(о) тогда и только тогда, когда существует положительная и измеримая функция а(•) такая, что для всех x таких, что (1 + xо) > 0 справедливо

,

где: xF - максимальное предельное значение случайной величины X.

Необходимое и достаточное условие теоремы может быть записано в другой форме:

.

Таким образом, обобщенное распределение Парето



можно связать с произвольным распределением экстремальных значений:

Определим условную функцию распределения Fu следующим образом

.

С учётом предыдущей теоремы можно сделать вывод, что F ? D(о) тогда и только тогда, когда для некоторой функции в: R+ > R+ справедливо

.

Согласно этому выражению, обобщенное Парето распределение асимптотически описывает пробои порогового значения, и при этом существует однозначное соответствие между нахождением F в области притяжения Го и тем, что поведение хвостов распределения F описывается обобщенным Парето распределением с коэффициентом о.

1.8 Теория копул

Для оценки взаимосвязей между переменными существует целый ряд разнообразных метрик. Классическим является коэффициент корреляции Пирсона, который представляет из себя меру линейной зависимости, имеющий область значений между -1 и 1, где единица соответствует полной линейной зависимости, а минус единица - полной отрицательной линейной зависимости.

Коэффициент линейной корреляции:

,

где X, Y - случайные величины,

Var(X) и Var(Y) - дисперсии случайных величин,

Cov(X, Y) - ковариация X и Y.

Несмотря на свое удобство, данная мера не лишена серьезных недостатков. Ключевым для данного исследования является следующий: если две величины независимы, то линейная корреляция между ними равна нулю, однако обратное утверждение истинным не является. Для примера можно использовать значения некоторой нелинейной функции около экстремума (например, Y=X2 при X, Y около нуля). В таком случае корреляция может быть равна нулю, но зависимость есть.

Среди прочих недостатков данной меры можно перечислить следующие:

1. Коэффициент корреляции Пирсона является скалярным, что не позволяет описать полную структуру зависимости риск-факторов между собой.

2. Вычисление коэффициента корреляции предполагает, что дисперсия значений риск-факторов конечна, что не соответствует случаю тяжелых хвостов.

3. Корреляция не инвариантна при преобразовании, например, с помощью строго возрастающих нелинейных функций.

Данные ограничения не позволяют с (X, Y) адекватно описывать совместное поведение финансовых временных рядов. Наиболее удачной альтернативой этому инструменту представляется теория копул, так как они позволяют описывать сложные межвременные структуры взаимозависимости между разными факторами.

Согласно определению, копула C: - это d-мерная функция распределения, каждое предельное распределение которой равномерно распределено на [0,1]. Обратное утверждение тоже верно, то есть каждая функция распределения, удовлетворяющая данному условию, является копулой. [14]

Копулы, как любые функции распределения, обладают рядом характерных свойств:

1. Копула (т.е. функция C(u1, u2, … , ud)) является неубывающей по каждому аргументу.

2. Переход к равномерному предельному распределению любого аргумента получается присвоением остальным аргументам значения 1:

.

Теорема Шкляра гласит, что для каждой d-мерной функции F(x1, x2, … , xd) распределения вероятности с предельными функциями распределения F1, … , Fd существует копула C:, для которой выполняется равенство:

,

где.

Альтернативная запись копулы выглядит следующим образом:

,

где F-1(ui) = inf{x : F(x) ? y} - обратная функция распределения,

ui - распределенные на [0,1] случайные величины.

При работе с копулами часто переходят к плотности распределения, которая описывается следующим образом:



.

Также стоит упомянуть ряд фундаментальных копул при разных видах зависимости:

1. Абсолютная независимость

Данной копулой описывается случай полной независимости факторов между собой, где вероятность равна произведению предельных вероятностей факторов. Этот случай соответствует нулевой корреляции при линейной зависимости.

2. Сомонотонность

Данной копулой описывается случай абсолютной позитивной зависимости, например, через преобразование строго возрастающей функцией. Этот случай соответствует корреляции равной 1 при линейной зависимости.

3. Противомонотонность

Данной копулой описывается случай абсолютной отрицательной зависимости, например, через преобразование строго убывающей функцией. Этот случай соответствует корреляции равной -1 при линейной зависимости.

Копулы делятся на две категории:

· Задаваемые неявно

Данный вид копул строится на основе плотностей распределений тех или иных распределений.

· Задаваемые явно

Эта категория копул описывается с помощью явно записанных выражений. [8]

Неявно задаваемые копулы:

1. Гауссова копула

Пусть некоторые нормально распределенные величины также распределены совместно по нормальному закону. Тогда, например, для двухмерного случая определена копула следующего вида:

,

где Ф - функция нормального стандартного распределения,

ФУ - функция нормального стандартного распределения с корреляционной матрицей У и математическим ожиданием, равным 0.

Рис. 6. Функция плотности распределения копулы Гаусса.

В явном виде Гауссова копула может быть записана в следующем виде:

.

2. t-копула Стьюдента

В общем виде копула Стьюдента задается следующим выражением:

,

где tv, У - функция многомерного распределения Стьюдента,

tv - функция распределения одномерного распределения Стьюдента.

Рис. 7. Функция плотности распределения t-копулы Стьюдента.

Также как между собой схожи распределения Стьюдента и нормальное распределения, схожи и копулы на основе данных распределений. Основное различие проявляется на концах распределения, где хвостовая зависимость сильнее у t-копулы.

Явно задаваемые копулы:

1. Копула Гумбела

Задается аналитическим выражением:

,

где .

Рис. 8. Функция плотности распределения копулы Гумбела.

Данная копула отчетливо выделяет хвостовую зависимость у координат (1,1).

2. Копула Клейтона

Задается аналитическим выражением:

,

где \{0}.

Рис. 9. Функция плотности распределения копулы Клейтона.

Данная копула заметно выделяет хвостовую зависимость у координат (0,0).

3. Копула Франка

Задается аналитическим выражением:

.



Рис. 10. Функция плотности распределения копулы Франка.

Как и в ранее описанных неявно задаваемых копулах, выделяются две хвостовые зависимости: в районе (0,0) и (1,1).



Выводы

Управление рыночным риском - сложная и важная для кредитной организации задача. Для выполнения этой задачи могут быть использованы различные методы, среди которых одним из наиболее важных является стресс-тестирование.

Объектом управления рыночным риском является торговый портфель банка, в который входят инструменты, предназначенные для краткосрочных операций и хеджирования риска других инструментов, в противовес банковской книге, содержимое которой лежит на балансе банка и предназначено для долгосрочных инвестиций.

Многие банки проводят стресс-тесты, представляющие из себя переоценку текущих портфелей против некоторых сценариев, которые могут быть заданы стандартно, на основании исторических кризисов или с помощью симуляций.

Наиболее известными риск-метриками, позволяющими оценить величину убытков, являются Value-at-Risk и Expected Shortfall разных уровней значимости. Эти метрики основываются на конкретных распределениях ожидаемых доходностей и убытков.

Существует ряд стилизованных фактов, характеризующих финансовые временные ряды. Среди них наиболее важными для стресс-тестирования представляются быстро убывающая автокорреляционная функция лагов доходностей и факт кластеризации волатильности, а также существование "толстых" хвостов в распределениях доходностей.

Для учета первых двух фактов при моделировании доходностей может быть применена модель класса AR-GARCH с небольшим количеством лагов. Преимуществом данной модели является возможность одновременно моделировать изменяющуюся во времени волатильность и ошибку с распределением, отличающимся от нормального.

Распределение, отражающее существование "толстых" хвостов, может быть построено благодаря теории экстремальных значений, которая позволяет построить полу-параметрическое распределение на основе нормальной центральной части и обобщенного Парето-распределения на хвостах.

Ещё одним важным фактом, который необходимо учитывать при моделировании убытков портфеля, является нелинейный характер зависимости доходностей различных инструментов. Для моделирования случайной ошибки отдельных инструментов может быть использована теория копул для описания важных для стресс-тестирования хвостовых зависимостей.



Глава 2. Общий алгоритм построения модели стресс-теста

2.1 Эмпирическая база

Исходными для исследования данными были временные ряды облигационных индексов, взятые с сайта Cbonds. [19] Выбор пал именно на портфель индексов в связи с малой ликвидностью многих отдельно взятых эмиссий, которая приводит к отсутствию наблюдений для многих торговых дней, что не позволяет на основе статистики создать значимую модель.

Кроме того, еще одним преимуществом портфеля индексов является то, что их формула предполагает учет НКД и купонных выплат, что более реально отражает поведение торгового портфеля, состоящего из изменяющихся, но почти всегда открытых позиций в облигациях.

Формула, по которой происходит расчет значений индексов:

,

где i - некоторый выпуска бумаг индексного списка,

n - количество бумаг данного выпуска,

Pt - цена бумаги в момент t,

НКДt - накопленный купонный доход в момент t,

Gt - купонные выплаты и/или выплаты в рамках амортизации, получаемые по i-ой бумаге в момент времени t,

Nt - объем выпуска облигаций из индексного списка в момент времени t.

Для формирования портфеля индексов необходимо определить веса, с которыми эти индексы учитываются на общем уровне. При выборе размерах весов было принято решение использовать в их качестве относительную капитализацию входящих в индекс облигации на момент последнего пересмотра.

Таким образом, индексы имели следующие веса:

Табл. 1. Веса индексов в портфеле облигационных индексов.

Индекс облигаций	Капитализация индекса, млн. руб.	Относительный вес в портфеле
Индекс государственных еврооблигаций	1 273 212.65	15.49%
Индекс корпоративных еврооблигаций	3 841 564.44	46.74%
Индекс корпоративных облигаций с дюрацией до 3 лет	192 982.55	2.35%
Индекс корпоративных облигаций с дюрацией свыше 3 лет	68 477.90	0.83%
Индекс государственных облигаций с дюрацией до 3 лет	731 079.45	8.90%
Индекс государственных облигаций с дюрацией от 3 до 5 лет,	846 711.77	10.30%
Индекс государственных облигаций с дюрацией свыше 5 лет,	1 061 895.81	12.92%
Индекс муниципальных облигаций.	202 504.71	2.46%

Рассматриваемый временной горизонт:

· Обучающий период: 01.01.2012 - 15.12.2014.

· Прогнозный период: 16.12.2014 - 31.12.2014.

Рис. 11. Кумулятивный прирост котировок, начиная с 2012 года.

2.2 Построение моделей эволюции риск-факторов и их взаимосвязи

В качестве модели, описывающей эволюцию риск-факторов, будет выступать модель класса AR(1) - GARCH(1,1), имеющая следующий вид:

,

Где i - рассматриваемой индекс,

м - базовый уровень доходности,

еt - ошибка в доходности в момент t,

уt - условное стандартное отклонение в момент t,

дt - случайная компонента ошибки в момент t,

щ - базовый уровень условного стандартного отклонения.

При этом распределение случайной ошибки построено с помощью комбинированного полу-параметрического метода оценки распределения:

1. В центральной части распределение должно описываться некоторой непрерывной функцией распределения, которая получается из дискретного путем "сглаживания" оператором с заданным окном. Пример такого оператора:

,

где Xi,…,Xn - рассматриваемая выборка,

K - сглаживающий оператор,

h - ширина окна. [1]

При это сглаживающий оператор, также называемый ядром, должен обладать следующим свойством:

.

В качестве ядра в данной работе использовался сглаживающий оператор Гаусса:

.

2. Хвостовая часть моделировалась с помощью оценки параметров обобщенного Парето-распределения, для чего с каждого конца распределения выделялись 10% от общего числа исходов. Затем методом максимального правдоподобия производилась оценка параметров этого распределения.

Учет взаимосвязей между случайными ошибками различных индексов облигаций предлагается осуществлять, используя t-копулу Стьюдента, параметры которой оценивались на обучающем периоде, а затем использовались при построении прогнозов по каждому отдельному индексу на определенном периоде времени. Для оценки параметров копулы был использован метод квази-максимального правдоподобия.

2.3 Общая модель стресс-тестирования

1. На вход модели подаются временные ряды доходности облигационных индексов, входящих в портфель;

2. Для каждого из индексов для описания эволюции доходностей строится модель AR(1) - GARCH(1,1).

Модель GARCH для моделирования волатильности получается из модели AR(1) путем вычитания лагов и мультипликативного разложения остатков:

,

где дt - стохастическая составляющая остатков,

уt - условная дисперсия в момент t.

3. Для адекватного описания поведения ошибки используется подход, при котором случайная ошибка в центральной части моделируется эмпирическим распределением, а на хвостах - обобщенным Парето-распределением из теории экстремальных значений.

4. Описание структуры зависимости между индексами облигаций (являющимися в данной модели и риск-факторами) осуществляется с применением t-копулы Стьюдента. Оценка параметров копулы происходит на основе исторических значений случайной ошибки процесса AR-GARCH.

5. Динамика эволюции риск-факторов совместно с их зависимостями образуют модель, позволяющую предсказывать динамику риск-факторов на прогнозном периоде, исходя из которых строится распределение прогнозной стоимости всего рассматриваемого портфеля в базовом сценарии.

6. Для проведения стресс-тестирования модели на вход подаются прогнозируемые условия на начало прогнозного периода. Затем эти данные преобразуются в распределение прогнозной доходности в стрессовом сценарии.



Выводы

В качестве исходных данных был выбран искусственный рыночный портфель российских облигаций, преимуществом которого является сравнительно высокая ликвидность, благодаря которой для построения значимой модели достаточно наблюдений.

Построение модели поведения данного портфеля начинается с описания эволюции доходности. После вычитания из наблюдений члена уравнения авторегрессии с лагом, можно перейти к моделированию остатков. Остатки мультипликативно раскладываются на случайную ошибку и моделируемой GARCH условного стандартного отклонения.

Случайная ошибка моделируется с помощью полу-параметрического распределения на основе центральной части с ядром нормального распределения и хвостами, задаваемыми обобщенным распределением Парето.

Для описания взаимных зависимостей риск-факторов данная работа обращается к теории копул, точнее, к t-копуле Стьюдента, которая строится для случайных ошибок из модели AR-GARCH.

Полученные на обучающей выборке оценки параметров используются для стресс-тестирования в базовом сценарии, а для более пессимистичного сценария используются параметры, заданные через модификацию оценок базового сценария для одного и более факторов в модели.



Глава 3. Результаты модели стресс-тестирования

3.1 Оценка параметров модели AR-GARCH

Одно из главных предположений, на основании которого была выбрана модель AR(1) - GARCH(1,1) - быстро убывающая автокорреляционная функция лагов наблюдений доходностей, при этом АКФ нелинейных функций от лагов убывает медленно.

Рис. 12. Автокорреляционные функции от модулей и квадратов лагов доходностей облигационных индексов.



Рис. 13. Автокорреляционная функция от лагов доходностей индексов.

Результатом оценки параметров модели методом максимального правдоподобия является следующая таблица коэффициентов:

Табл. 2. Коэффициенты модели AR-GARCH для различных индексов облигаций.

Облигационный индекс	М	з1	Щ	б1	в1
Индекс государственных еврооблигаций	0.02	0.15	0	0.18	0.83
Индекс корпоративных еврооблигаций	0.02	0.38	0	0.33	0.71
Индекс корпоративных облигаций с дюрацией до 3 лет	0.04	-0.14	0	0.22	0.81
Индекс корпоративных облигаций с дюрацией свыше 3 лет	0.04	-0.29	0	0.18	0.87
Индекс государственных облигаций с дюрацией свыше 5 лет	0.03	-0.09	0	0.41	0.61
Индекс государственных облигаций с дюрацией от 3 до 5 лет	0.03	0.04	0	0.35	0.68
Индекс государственных облигаций с дюрацией до 3 лет	0.02	0.19	0.01	0.18	0.81
Индекс муниципальных облигаций	0.03	-0.27	0	0.41	0.71

3.2 Моделирование ошибки модели

Еще одно крайне важное предположение - наличие толстых хвостов в распределении случайных ошибок остатков модели авторегрессии.



Рис. 13. Слева - QQ-диаграмма распределений доходностей индекса муниципальных облигаций, справа - распределения значений случайной ошибки в модели AR-GARCH для муниципальных облигаций.

В данном исследовании для случайная ошибка дt описывалась специальным распределением, состоящим из двух составляющих:

1. Центральной части, моделировавшейся как нормальное распределение.

2. Хвостов, моделировавшихся через обобщенное Парето распределение из теории экстремальных значений:

.

Параметры полученных распределений имели следующий вид:

Табл. 3. Параметры полу-параметрического распределения случайных ошибок модели.

Облигационный индекс	Левый хвост	Правый хвост
	О	в	о	в
Индекс государственных еврооблигаций	0.12	0.62	-0.02	0.64
Индекс корпоративных еврооблигаций	0.22	0.56	0.03	0.57
Индекс корпоративных облигаций с дюрацией до 3 лет	0.18	0.63	0.05	0.59
Индекс корпоративных облигаций с дюрацией свыше 3 лет	0.23	0.69	0.05	0.52
Индекс государственных облигаций с дюрацией свыше 5 лет	0.31	0.56	0.07	0.5
Индекс государственных облигаций с дюрацией от 3 до 5 лет	0.05	0.78	0.11	0.53
Индекс государственных облигаций с дюрацией до 3 лет	0.1	0.66	-0.02	0.67
Индекс муниципальных облигаций	0.08	0.66	0.36	0.45

3.3 Оценка параметров t-копулы

Подгонка параметров копулы средствами R дала следующую их оценку:

Табл. 4. Параметры t-копул облигационных индексов.

Индекс	CORP EUR	SOV EUR	CORP 1-3	CORP 3-5	SOV 5	SOV 3-5	SOV 1-3	MUNI
CORP EUR	1	0.77	0.983	0.725	0.988	0.459	0.873	0.983
SOV EUR	0.77	1	0.788	0.947	0.782	0.649	0.895	0.792
CORP 1-3	0.983	0.788	1	0.744	0.994	0.498	0.894	0.997
CORP 3-5	0.725	0.947	0.744	1	0.737	0.689	0.851	0.751
SOV 5	0.988	0.782	0.994	0.737	1	0.48	0.888	0.994
SOV 3-5	0.459	0.649	0.498	0.689	0.48	1	0.567	0.493
SOV 1-3	0.873	0.895	0.894	0.851	0.888	0.567	1	0.889
MUNI	0.983	0.792	0.997	0.751	0.994	0.493	0.889	1

На основании вышеуказанной таблицы можно отметить высокую степень взаимной зависимости индексов корпоративных облигаций, и низкую, например, для индексов среднесрочных рублевых облигаций и корпоративных еврооблигаций.



3.4 Прогноз модели по базовому сценарию

В качестве базового сценария рассматривалось отсутствие экзогенного шока 16 декабря 2014 года, и параметры на прогнозные период (дальнейшие 10 торговых дней) предполагались неизменными относительно тех, что были оценены моделью на обучающем периоде по состоянию на конец 15.12.2014.

...