Основы математической теории страховых рисков

Размещено на http://www.allbest.ru/

Филиал СПбГЭУ в г. Пскове

Основы математической теории страховых рисков

Клюжев Н. А.

Оглавление

Введение

1. Вероятностная неопределённость и риск

1.1 Теория риска есть теория принятия решений в условиях вероятностной неопределенности

1.2 Математическая модель риска

1.3 Портфель рисков

1.4 Страхование риска

2. Страховые портфели и их параметры

2.1 Простейший однородный страховой портфель

2.2 Простейший страховой портфель

2.3 Простой страховой портфель

2.4 Реальный страховой портфель

2.5 Принципы построения оценок тарифных ставок

2.6 Принцип безрискованности

2.7 Принцип справедливости

2.8 Принцип достаточного покрытия

2.9 Ограничения при аппроксимации нормальным распределением реальных распределений

3. Вычисление оценок тарифных ставок

3.1 Простейший однородный страховой портфель

3.2 Простейший страховой портфель

3.3 Простой страховой портфель

3.4 Реальный страховой портфель

4. Сфера применения модели реального страхового портфеля

4.1 Основные методики Росстрахконтроля

4.2 Оценка параметров модели реального страхового портфеля

4.3 Оценка параметров портфеля рисков по методике

Литература

Введение

Рискованный характер общественного производства - главная причина беспокойства каждого собственника имущества и товаропроизводителя за свое материальное благополучие.

Между тем жизненный опыт, основанный на многолетних наблюдениях, позволил сделать вывод о случайном характере наступления чрезвычайных событий и неравномерности нанесения ущерба. Было замечено, что число заинтересованных хозяйств, часто бывает больше числа пострадавших от различных опасностей. При таких условиях солидарная раскладка ущерба между заинтересованными хозяйствами заметно сглаживает последствия стихии и других случайностей. При этом чем большее количество хозяйств участвует в раскладке ущерба, тем меньшая доля средств приходиться на долю одного участника.

Так возникло страхование, сущность которого составляет солидарная замкнутая раскладка ущерба.

Раскладка ущерба в денежной форме создавала широкие возможности прежде всего для взаимного страхования, когда сумма ущерба возмещалась его участниками на солидарных началах либо после каждого страхового случая, либо по окончании хозяйственного года. Взаимное страхование в условиях рынка стало закономерно перерастать в самостоятельную отрасль страхового дела. Если при взаимном страховании еще не формировался заранее рассчитанный с помощью теории вероятности страховой фонд, то в дальнейшем вероятная средняя величина возможного ущерба, приходящаяся на каждого участника страхования, стала применяться в качестве основы страховых взносов для заблаговременного формирования страхового фонда. В условиях современного общества страхование превратилось во всеобщее универсальное средство страховой защиты всех форм собственности, доходов и других интересов предприятий, организаций, фермеров, арендаторов, граждан.

В данном пособии кратко рассматриваются математические основы теоретико-вероятностного моделирования портфеля однородных рисков. Приводится пример статистической оценки тарифных ставок. Поясняется методика, рекомендуемая РОССТРАХНАДЗОРОМ.

1. Вероятностная неопределённость и риск

1.1 Теория риска есть теория принятия решений в условиях вероятностной неопределенности

С математической точки зрения она является разделом теории вероятностей, а приложения теории риска практически безграничны.

Наиболее продвинута финансовая область приложений: банковское дело и страхование, управление рыночными и кредитными рисками, инвестициями, бизнес-рисками, телекоммуникациям. Развиваются и нефинансовые приложения, связанные с угрозами здоровью, окружающей среде, рисками аварий и экологических катастроф, и другими направлениями.

В данных методических указаниях теория риска представлена в рамках основных понятий как инструмент для задач принятия решений в условиях вероятностной неопределённости.

1.2 Математическая модель риска

В окружающей каждого из нас действительности мы наблюдаем процессы в форме последовательности во времени некоторых интересующих нас событий. Замечаем также, что в этих процессах наблюдается определённая устойчивость. Например, в таком простом процессе как подбрасывание монеты с наблюдением за исходами этих наших экспериментов при условии, что нас интересует событие «выпадение герба», легко заметить появление этого события не в каждом эксперименте. Но тем не менее мы всё же знаем, что исходом будет «выпадение гербы» или «выпадение решки». Это ограничение на множестве исходов можно «усилить», если посчитывать частоту наступления события «выпадение гербы». Данный эксперимент наводит на мысль, что данное событие устойчиво в смысле вероятностной предсказуемости, если множество исходов ограничено. Так в случае симметричной монеты говорят перед подбрасыванием монеты, что уверены в выпадении «герба» на 50 процентов! А если мы применим к монете как объекту управления воздействие в виде смещения её центра тяжести в «сторону герба» с целью увеличения частоты выпадения «герба», то наша уверенность возрастёт!

Приведённый пример кажется очень простым, но содержательная сторона его может служить мотивом для математического моделирования того, что мы часто называем словом «риск», когда сталкиваемся с неопределённостью предсказания будущих событий.

Математические модели, описывающие данного вида неопределённость, можно разделить на две группы:

· вероятностные модели, изучаемые в теории вероятностей;

· модели нечётких множеств, теория которых интенсивно развивается.

Здесь для описания риска будем рассматривать только вероятностные модели, которые позволяют ввести количественные характеристики, связанные исходами того или иного процесса. Таким образом мы будем описывать риск моделью случайной величины [1].

Определение 1.2.1. Риском называется произвольная случайная величина.

1.3 Портфель рисков

Поскольку совокупность рисков, если их рассматривать совместно, обладает часто свойствами, не присущими каждому из рисков в отдельности, имеет смысл рассматривать портфель (определённый набор) рисков.

Определение 1.3.1. Портфелем рисков P называется всякое подмножество множества R , т. е. P R .

1.4 Страхование риска

Цель страхования - это перераспределение риска между многими носителями. При этом передача риска от страхователя (физического или юридического лица) страховщику (специализированной компании) происходит за определённую плату, выраженную ценой страхования, тарифной ставкой или страховой премией.

Определение 1.4.1. Страховой портфель -это совокупность относительно однотипных и однородных рисков.

2. Страховые портфели и их параметры

Элементарное рассмотрение страховых портфелей включает их следующие виды [1]:

· простейший однородный страховой портфель;

· простейший страховой портфель;

· простой страховой портфель;

· реальный страховой портфель.

2.1 Простейший однородный страховой портфель

Пусть случайная величина имеет распределение Бернулли

Эта случайная величина имеет математическое ожидание и дисперсию . Риск, представленный моделью , показывает, что страховое событие может наступить с вероятностью с убытком, равным 1.

Можно сказать, что (1) является крайним случаем страхового портфеля, содержащего всего один риск.

Рассмотрим теперь семейство таких случайных величин, образующих портфель рисков

P.

В портфеле (2) все случайные величины распределены одинаково по закону Бернулли (1) и будем считать их независимыми рисками. Тогда портфель (2) имеет суммарный риск

 ,

имеющий параметры

, ,

,

где среднее квадратическое отклонение убытка (выплаты страховой суммы) простейшего однородного портфеля;

коэффициент вариации убытка этого портфеля.

Определение 2.1.1. Портфель (2) с независимыми рисками вида (1) и суммарными параметрами (3), (4), (5) назовём простейшим однородным портфелем с биномиальным распределением

.

2.2 Простейший страховой портфель

Чтобы построить данный портфель, следует в портфеле (3) оставить свойство независимости рисков и вместо распределения (2.1.1) для каждого риска предположить распределение

Эта случайная величина имеет математическое ожидание и дисперсию . Риск, представленный моделью , показывает, что страховое событие может с вероятностью наступить с убытком, равным . При этом и максимальное среднее квадратическое отклонение составляет , где страховая сумма по риску i.

Распределение суммарного риска в данном случае не имеет столь простого выражения, как (2.1.5). Однако достаточно просто вычисляются его основные параметры:

,

, .

,

где среднее квадратическое отклонение по убыткам простейшего страхового портфеля;

коэффициент вариации страховой выплаты по портфелю рисков, обусловленной вероятностной неопределённостью наступления страхового события, которая уменьшается с ростом числа договоров страхования. Отметим, что имеет место соотношения:

и .

2.3 Простой страховой портфель

Чтобы построить данный портфель, следует в простейшем портфеле оставить свойство независимости рисков и вместо распределения (2.2.1) для каждого риска предположить распределение



Эта случайная величина имеет математическое ожидание и дисперсию . Риск, представленный моделью , показывает, что страховое событие может наступить с вероятностью с убытком, равным . При этом и максимальное среднее квадратическое отклонение составляет , где страховая сумма по риску i.

Распределение суммарного риска в данном случае не имеет столь простого выражения, как (2.1.6). Однако достаточно просто вычисляются его основные параметры:

,

,

,

где средняя страховая выплата по портфелю рисков;

средняя квадратов страховых выплат;

квадрат средней страховой выплаты;

коэффициент вариации страховой выплаты по портфелю рисков.

коэффициент неоднородности портфеля по страховым суммам.

среднее квадратическое отклонение по убыткам портфеля.

Сравнение средних квадратических отклонений и позволяет установить, что

,

неоднородность портфеля по размерам страховых выплат увеличивает среднее квадратическое отклонение по убыткам портфеля и тем самым возрастает неопределённость в управлении портфелем, поскольку она

2.4 Реальный страховой портфель

Реальный страховой портфель получается из простого портфеля путем некоторого его усложнения, если допустить возможность произвольных убытков каждого риска в интервале .

Математическая модель этого портфеля содержит: совокупность из N независимых рисков

P ,

с одинаковой вероятностью p наступления страхового события по каждому му риску, а размер убытка представлен случайной величиной

,

где случайная величина



соответствует наступлению страхового события по му риску; есть размер страховой суммы; совокупность независимых и одинаково распределённых на интервале [0, 1] случайных величин с функцией распределения и числовыми оценками

, .

Тогда имеем для i- го риска

, ,

где коэффициент вариации случайной величины .

Для риска всего реального портфеля также нет простого явного выражения функции распределения, но можно подсчитать параметры портфеля (1):

,

где среднее квадратическое отклонение по убыткам портфеля;

коэффициент неоднородности убытков по отдельным однотипным договорам страхования.

Таким образом, основные параметры реального портфеля, такие как среднее значение убытка по одному договору и среднее квадратическое отклонение убытка, достаточно доступно можно оценить по данным страховой статистики.

Вычисление параметров, начиная с модели простейшего однородного портфеля и последовательно переходя к модели реального портфеля, помогает контролировать выполнение преобразований и выделяет сущность усложнения моделей, которая состоит в том, что происходит нарастание неопределённости в устойчивости страховой компании по мере диверсификации рисков, т. е. расширению их разнообразия в одном договоре страхования.

2.5 Принципы построения оценок тарифных ставок

Если страховая компания вводит новый вид страхования, то она должна решить вопрос о размере страхового взноса, называемого страховой премией, которая взимается с клиента (страховщика). Из отдельных страховых премий складывается суммарная величина Q - суммарная премия портфеля, состоящего из N договоров страхования, заключённых между клиентом- страховщиком и страховой компанией-страхователем. В страховании принято выражать страховую премию в долях от страховой суммы , то есть страхования премия i - риска принимается равной , а положительный коэффициент Т принимается одинаковым для всех рисков портфеля и называется тарифной ставкой.

Таким образом, клиент платит при заключении договора страховую премию в размере . При наступлении страхового события выгодоприобретатель (сам клиент или его наследник) получает страховую сумму и договор страхования прекращается. Если же в течение срока страхования страховое событие не наступило, то договор тоже прекращается без каких-либо страховых выплат выгодоприобретателю со стороны страхователя.

Следовательно, перед компанией возникает теперь вопрос о выборе значения параметра Т таким, чтобы обеспечить устойчивое функционирование компании при выполнении ею своих обязательств перед клиентами.

На примере простейшего страхового портфеля сформулируем некоторые естественные принципы определения значений параметра Т.

2.6 Принцип безрискованности

Попытаемся назначить тарифную ставку так, чтобы деятельность страховой компании была беcрискованной, то есть собранных премий

с вероятностью 1 хватало для покрытия страховых убытков портфеля. Для простейшего портфеля и, следовательно максимальный убыток равен N с вероятностью его появления . Так как из (1) следует, что

то с необходимостью следует равенство , то есть размер страховой премии совпадает с размером страховой выплаты. Понятно, что в этом случае для страхователей непривлекательно и не имеет смысла страхование.

Упражнение 3.1 Показать для простого и реального портфелей, что принцип беcрискованности даёт значение тарифной ставки .

Таким образом следует вывод:

невозможно ведение беcрискованного страхового бизнеса,

то есть для тарифной ставки должно выполняться неравенство

2.7 Принцип справедливости

Поскольку смысл страхового бизнеса состоит в передаче в перераспределении риска между клиентом и компанией, то справедливость требует соблюдения эквивалентности финансовых обязательств партнёров. Исходя из того, что страховые премии клиентов детерминированы, а возмещаемый клиенту страховая сумма моделируется как случайная величина, то баланс обязательств понимается в среднем по портфелю:

Из равенств (1) следует, что . Понятно, что такой размер страховой премии оказывается достаточно малым для ведения страхового бизнеса, поскольку при многократном воспроизведении такого простейшего страхового портфеля с вероятностью 1 произойдёт разорение компании. Действительно, при выполнении равенства (3) , а дисперсия этой разности равна и с ростом числа договоров возрастает, что повышает неопределённость в состоянии портфеля компании и ведёт её к разорению. По этой причине разумно считать, что должно выполняться неравенство . Следовательно, для тарифной ставки должно выполняться следующее ограничение:

Для более сложных портфелей тарифная ставка должна превосходить размер среднего относительного убытка портфеля

.

Упражнение 3.2 Применить принцип эквивалентности к простоту и реальному портфелям и показать, что тарифная ставка должна превосходить размер средних относительных убытков портфеля (5).

2.8 Принцип достаточного покрытия

Предыдущие два принципа в случае простейшего портфеля дали нам достаточно «грубое» правило выбора значения тарифной ставки в форме интервальной оценки (4): . Это мотивирует нас обратиться к рассмотрению выбора ставки Т из условия достаточного покрытия предстоящих убытков собранными премиями, что выражается заданием вероятности б наступления события , то есть

,

где - случайная величина равная суммарной величине убытков для страховой компании в форме страховых выплат; Q - суммарная величина страховых премий портфеля; б - вероятность покрытия, отражающая «уровень безопасности» и задаваемая страховой компанией как б .

Пусть случайная величина имеет функцию распределения а центрированная и нормированная случайная величина

имеет функцию распределения F. Тогда уравнение (1) примет следующий вид:

.

Учитывая, что , находим при , что и

,

что позволяет получить основное уравнение для вычисления тарифной ставки Т:

,

где функция, обратная к F.

Поскольку определение точного вида распределения случайной величины затруднительно, а объём портфеля N достаточно большой, то можно со ссылкой на центральную предельную теорему принять распределение случайной величины приближённо нормальным, то есть предположить .

Тогда уравнение (8) преобразуется в уравнение

,

где - интеграл вероятностей, значения которого табулированы и представлены в статистических таблицах. При вычислении интеграла учитываем, что

Таким образом, принцип достаточного покрытия позволяет вычислять оценки для страхового тарифа при любых распределениях страховых выплат (убытков для страховой компании), если объём портфеля достаточно велик.

2.9 Ограничения при аппроксимации нормальным распределением реальных распределений

При переходе в основном уравнении (3.3.3)

к аппроксимации распределения F стандартным нормальным распределением получили новый вид основного уравнения для оценки значений тарифной ставки Т:

В последнем уравнении следует ввести ограничение в виде соблюдения неравенства

.

Для случайной величины отношение



в котором величина коэффициент вариации, характеризует для последовательности выплат при наступлении страхового случая их неоднородность.

Учитывая, что для интеграла вероятностей , то получаем неравенство , которое в практических расчётах часто выполняется. Поэтому вполне можно допустить, что основное уравнение для оценки величины тарифной ставки можно использовать в виде

3. Вычисление оценок тарифных ставок

Рассмотрим процедуры вычисления оценок тарифной ставки Т для различных видов страховых портфелей, используя основное уравнение (3.4.3), что позволит также выявить структуру этой ставки.

В последующих формулах обозначим через ц корень уравнения

где интеграл вероятностей, значения которого табулированы и представлены в статистических таблицах.

Согласно (1) получаем, что если б , то корень ц .

3.1 Простейший однородный страховой портфель

Данный портфель имеет параметры . Запишем суммарную страховую премию для этого портфеля:

.

Страховой убыток по договору i представим как случайная величина со следующим распределением:

Суммарные убытки портфеля получаем суммирование убытков отдельных договоров:

.

Предполагая, что убытки по отдельным договорам независимыми случайными величинами, приходим к выводу, что Х распределена по биномиальному закону:

где

,

Для биномиального закона распределения известно, что

, .

Используя (3.9) и (1), при учёте (2), (3) получаем уравнение

,

из которого следует, что оценка тарифной ставки выражается формулой:

.

Из (5) видно, что оценка тарифной ставки состоит из двух слагаемых:

.

Первое слагаемое зависит только от вероятности наступления страхового события. Его называют основной частью тарифной ставки. Второе слагаемое называют рисковой надбавкой, которая состоит из двух множителей. Первый множитель



и стремиться к нулю с ростом числа договоров. Второй множитель есть функция от «уровня безопасности» б , который задаётся компанией-страховщиком.

3.2 Простейший страховой портфель

Данный портфель имеет параметры . Запишем суммарную страховую премию для этого портфеля:

.

Страховой убыток по договору i представим как случайная величина со следующим распределением:

Суммарные убытки портфеля получаем суммирование убытков отдельных договоров:

.

Предполагая, что убытки по отдельным договорам независимыми случайными величинами, приходим к выводу, что распределена по биномиальному закону:

Значение	0	S	2S		NS
Вероятность

где

,

Для биномиального закона распределения известно, что

.

Используя (3.9) и (1), при учёте (2), (3) получаем уравнение

,

из которого следует, что оценка тарифной ставки выражается формулой:

.

Из (5) видно, что оценка тарифной ставки состоит из двух слагаемых:

Первое слагаемое зависит только от вероятности наступления страхового события. Его называют основной частью тарифной ставки. Второе слагаемое называют рисковой надбавкой, которая состоит из двух множителей. Первый множитель

и стремиться к нулю с ростом числа договоров. Второй множитель есть функция от «уровня безопасности» б , который задаётся компанией-страховщиком. страхование риск тарифный ставка

Таким образом показали, что тарифные ставки простейшего однородного портфеля и простейшего портфеля совпадают.

3.3 Простой страховой портфель

Анализ простого страхового портфеля во многом напоминает проведённый выше анализ.

Портфель имеет параметры . Введём обозначения

, ,

где

; .

Размер страховой премии по договору i равен , а суммарный размер премии

.

Суммарные убытки портфеля получаем суммирование убытков отдельных договоров, моделируя отдельные риски как независимые случайные величины:

,

а их сумма имеет математическое ожидание и дисперсию, выраженные формулами (8). Используя (3.9) и (1), при учёте (8), (9) получаем уравнение

,

из которого следует, что оценка тарифной ставки выражается формулой:

,

где коэффициент неоднородности простого портфеля по страховым выплатам.

Из (11) видно, что оценка тарифной ставки состоит из двух слагаемых:

Предполагая, что множество страховых сумм можно рассматривать как совокупность реализаций случайной величины S, выполним преобразование множителя в выражении для :

,

где коэффициент вариации для множества страховых сумм.

С учётом (13) выражение для рисковой надбавки

.

Анализ выражения (7) для рисковой надбавки показывает, что в случае это выражение соответствует выражению для простейшего портфеля.

3.4 Реальный страховой портфель

Рассматриваемый реальный страховой портфель обладает всеми свойствами простого портфеля, но страховые выплаты при наступлении страхового события, связанного с договором i, не обязательно равны постоянной страховой сумме , а могут принимать произвольные значения из интервала . В этом случае страховые выплаты моделируются как случайные величины:

,

где случайная величина, распределённая по биномиальному закону принимающая значение 1 с вероятностью р (наступление страхового события) и 0 с вероятность (1-р)=q, а r- случайная величина с распределением на отрезке . Здесь предполагается, что введённые случайные величины независимые.

Предполагаем, что для случайной величины r заданы с математическое ожидание и дисперсия:

, .

Тогда вычислим параметры распределения величины страховой выплаты по договору i:

, .

Параметры убытков всего портфеля :

,

где

; .

В [1] коэффициент называется коэффициентом неоднородности портфеля, для которого справедливо неравенство . Ранее было показано , что оправдывает его название, поскольку в сумме под радикалом в первом слагаемом присутствует коэффициент вариации как обобщённая характеристика неоднородности совокупности страховых выплат. Суммарные выплаты составят .

Основное уравнение для получение оценки страхового тарифа (тарифной ставки) теперь имеет вид уравнения

,

решение которого относительно тарифной ставки

.

Выражения для основной части и рисковой надбавки тарифной ставки имеют вид

,

,

где

,

 .

Таким образом, окончательное выражение для тарифной ставки примем в виде

.

Сравнение выражений (6), (7), (8), (9), (10) и (11) с аналогичными выражениями для простого портфеля показывает, что основная часть тарифной ставки по-прежнему отражает средние ожидаемые убытки на 1 рубль страховой суммы, а в выражении для рисковой части надбавки учитывается дополнительно неопределённость, вносимая вариацией значений страховых выплат. Кроме этого можно отметить, что из (6), (11) легко получаются соответствующие выражения как для простого портфеля, так и простейшего портфеля.

Выражение (25) для тарифной ставки Т позволяет охарактеризовать модель реального страхового портфеля (МРСП) набором из пяти параметров:

МРСП

где объём портфеля, т. е. количество договоров страхования по выбранному виду риска, одинаковому для всех договоров и с одинаковым периодом (сроком) действия, по завершении которого договор прекращается, или договор завершается наступлением страхового события;

вероятность наступления страхового события;

коэффициент неоднородности фиксированных размеров страховых выплат по договору;

коэффициент неоднородности размеров страховых выплат согласно предполагаемому закону распределения случайной величины r;

параметр, значения которого выбираются в зависимости от принимаемого страховой компанией «уровня безопасности» ведения страхового бизнеса:

С учётом модели (12) получаем модель простого страхового портфеля (МПСП):

МПСП

и модель простейшего страхового портфеля (МПрСП):

МПрСП=.

Заметим, что согласно рекомендациям действующей «Методики расчёта тарифных ставок по рисковым видам страхования» (Росстрахнадзор), утверждённой Распоряжением Федеральной службы Российской Федерации по надзору за страховой деятельностью № 02-03-36 от 08.07.93 г. рекомендуемое значение коэффициента неоднородности . Тогда с учётом выражения (23) оценка рекомендуемого значения коэффициента вариации или 66%, что равно удвоенному значению предельной оценки однородности вариационного ряда, принятой в практической статистике.

4. Сфера применения модели реального страхового портфеля

Для начинающих страховой бизнес процедуры оценки страховых рисков и расчета страховых тарифов представляются достаточно сложными. По этой причине Федеральная служба России по надзору за страховой деятельностью рекомендует использовать предлагаемую ею методики, а в случае использования иных способов оценки страхового риска и размера страховых тарифов обоснованность применяемых методик должна быть подтверждена использованием математических методов, учитывающих специфику страховых операций.

4.1 Основные методики Росстрахконтроля

Под рисковыми понимаются виды страхования [2], относящиеся к видам страховой деятельности иным, чем страхование жизни, т. е.

· не предусматривающие обязательства страховщика (страховой компании) по выплате страховой суммы при окончании срока действия договора страхования;

· не связанные с накоплением страховой суммы в течение срока действия договора страхования.

В [2] дано определение основных понятий, используемых в методике Росстрахнадзора.

Ш Страховой тариф (брутто-тариф) - ставка страхового взноса с единицы страховой суммы или объекта страхования. Страховой тариф состоит из нетто-ставки и нагрузки.

Ш Нетто-ставка страхового тарифа - часть страхового тарифа, предназначенная для обеспечения текущих страховых выплат по договорам страхования.

Ш Нагрузка - часть страхового тарифа, предназначенная для покрытия затрат на проведение страхования и создания резерва (фонда) предупредительных мероприятий. В составе нагрузки может быть предусмотрена прибыль от проведения страховых операций.

В [2] рекомендованы две методики.

Ш Методика (I) расчёта тарифных ставок по массовым рисковым видам страхования, которая применима в следующих условиях: существует статистика либо какая другая информация по рассматриваемому виду страхования, позволяющая при заранее известном количестве договоров N, которые предполагается заключить со страхователями, оценить для портфеля однородных рисков его параметры при условии, что не будет опустошительных событий, когда одно событие влечёт за собой несколько страховых событий;

Ш Методика (II) расчёта тарифных ставок по массовым рисковым видам страхования, которую целесообразно использовать на основе имеющейся страховой статистики за определённый период времени или при отсутствии таковой использовать статистическую информационную базу (демографическая статистика, смертность, инвалидность, производственный травматизм и т.д.). При этом определение страхового тарифа на основе страховой статистики (сумме страховых возмещений и совокупной страховой сумме по риска, принятым на страхование за ряд лет) учитывать прогнозируемый уровень убыточности страховой суммы на следующий период как зависимости от времени, близкой к линейной.

4.2 Оценка параметров модели реального страхового портфеля

Пример. Рассмотрим решение следующего учебного задания.

Даны некоторого риска следующие статистические данные (табл. 5.1):

Таблица 5.1

№	Страховая сумма, тыс. руб.	Страховое возмещение тыс. руб
i
1	53	22
2	20	9
3	23	6
4	15	8
5	12	11
6	23	7
7	29	4
8	35	11
9	16	8
10	13	11
11	12	11
12	34	9
13	14	6
14	32	8
15	21	9
16	13	12
17	47	18
18	44	21
19	45	16
20	41	12
21	14	8
22	44	21
23	23	6
24	21	7
25	24	6

Задание

1. Оцените параметры неоднородности страховых сумм и страховых возмещений.

2. Оцените значение нетто-ставки, если вероятность наступления страхового случая p=0,01 при предполагаемом количестве договоров в портфеле N=1000 и «уровне безопасности» ведения страхового бизнеса также оцените ожидаемые размеры стараховых сумм и выплат.

3. Оцените размер брутто-ставки, если доля нагрузки в общей тарифной ставке равна 30%.

Решение

(1) Оценка параметров неоднородности

В табл. 2 приведены результаты вычисления оценок по данным табл. 1:

a) для страховых сумм:

· среднее размер страховой суммы тыс. руб.;

· среднее значение квадратов страховых сумм ;

· коэффициент неоднородности страховых сумм

коэффициент вариации для размеров страховых сумм

· среднее квадратическое отклонение

тыс. руб.

· стандартная ошибка среднего

тыс. руб.

(стандартная ошибка среднего отражает диапазон значений, в котором должно находиться среднее значение при использовании других выборочных данных), т. е.

 тыс. руб.

b) для страховых возмещений

· средний размер страхового возмещения тыс. руб.;

· среднее значение квадрата страхового возмещения ;

· коэффициент неоднородности страховых возмещений

· коэффициент вариации для размеров страховых возмещений

· среднее квадратическое отклонение

тыс. руб.

· стандартная ошибка среднего

тыс. руб.

(стандартная ошибка среднего отражает диапазон значений, в котором должно находиться среднее значение при использовании других выборочных данных), т. е.

 тыс. руб.

c) для коэффициента фактической убыточности

· среднее значение

;

· оценка среднего значения

· среднее значение квадратов

· коэффициент неоднородности

· коэффициент вариации

· среднее квадратическое отклонение

· стандартная ошибка среднего

· Проверка гипотезы при уровне значимости 0,1

,

т. е. различие средних значений статистически значимо; в дальнейшем будем использовать оценку .

Приведенные выше оценки рекомендуется вычислить с помощью ППП Excel (раздел «Описательная статистика»):

Результаты расчётов оценок параметров неоднородности

, ,

в которых теоретические величины заменим их соответствующими оценками со значком «».

Окончательное выражение для нетто-ставки примем в виде

где , а значение (см. табл. 4).

Таблица 4

	0,84	0,90	0,95	0,98	0,9986
	1,0	1,3	1,645	2,0	3,0

Таким образом, получаем оценку нетто-ставки со 100 руб.:

(2) Оценка брутто-ставки при нагрузке в общей тарифной ставке из равенства

,



Например, если оцениваемый риск оценивается страхователем на страховую сумму , то его взнос при заключении договора составит

Ожидаемый общий размер страховой суммы

Ожидаемый общий размер страховых выплат

4.3 Оценка параметров портфеля рисков по методике

1. Оценка вероятности страхового события:

,

где общее количество договоров, заключённых за некоторый период времени в прошлом; количество наступления страховых случаев (событий) в договорах (сумма значений ).

2. Оценка среднего значения страховой суммы по одному договору:

3. Среднее возмещение по одному договору страхования при наступлении страхового случая:

,

где фактическое возмещение по i- договору при наступлении страхового случая.

1. Отношение средней выплаты к средней страховой сумме:

;

является выборочной оценкой для математического ожидания .

При страховании по новым видам риска рекомендуется после экспертного обоснования рекомендуется воспользоваться для оценки значениями, приведёнными в [2], для различных видов рисков.

2. Нетто-ставка , соответствует рассматриваемой выше, тарифной ставке, и состоит из двух частей:

где основная её часть соответствует средним выплатам страховщика, зависящим от вероятности наступления страхового случая р, средней страховой суммы и среднего возмещения . Обычно она берётся условно со 100 руб. страховой суммы:

Рисковая надбавка вводится, чтобы учесть вероятные превышения количества страховых случаев относительно их среднего значения.

Рисковая надбавка для каждого вида риска:

,

где коэффициент неоднородности фиксированных размеров страховых выплат по договору

и может быть оценён по множеству страховых сумм , для которого вычислено среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение)

,

и далее коэффициент вариации

.

Коэффициент неоднородности размеров страховых выплат

согласно предполагаемому закону распределения случайной величины r, может быть оценён через коэффициент вариации

.

Если предположить, что величина выплаты распределена по показательному закону, то .

При наличии статистики выплат страховых возмещений может быть вычислена несмещённая оценка дисперсии

,

что позволит вычислить оценку

,

а, следовательно, оценку коэффициента неоднородности размеров страховых выплат (11).

Коэффициент находим по заданному значению параметра из таблицы

	0,84	0,90	0,95	0,98	0,9986
	1,0	1,3	1,645	2,0	3,0

Если у страховой компании нет данных о параметре , то допускается положить и вычислять оценку рисковой надбавки по формуле

.

Литература

1. А.А. Новосёлов Моделирование финансовых рисков /Лекции для студентов Института математики СФУ,

2. Методика расчёта тарифных ставок по рисковым видам страхования/РОССТРАХНАДЗОР- Утверждено Распоряжением Федеральной службы РФ по надзору за страховой деятельностью N 02-03-36 от 08.07.93 г.

Размещено на Allbest.ru

...