Размещено на http://www.allbest.ru/

Аннотация

Фрактальные свойства волатильности и применение "черного шума" для тестирования торговых систем

В данной статье на основе модели фрактального рынка и модели волатильности ARFIMA описан простой путь построения модельных торговых рядов для численного исследования и тестирования торговых систем.

Постановка задачи

Одной из проблем, с которой сталкиваются разработчики торговых роботов и систем торговли, является ограниченный набор данных, на которых можно провести тестирование и их адекватную настройку. Эта проблема, на мой взгляд, имеет критическое значение как для нашего рынка, с ограниченной пока еще историей, так и для зарубежного, где достаточно трудно "получить" длительный ценовой ряд. Использовать для тестирования несколько разных бумаг - бессмысленно, в силу различной ликвидности и разного круга участников торговли. Известно, что поведение котировок РАО ЕЭС радикально отличается от поведения цен НК ЛУКОЙЛ, а сам ЛУКОЙЛ торгуется иначе, чем бумаги Сургутнефтегаза или ОАО Ростелеком.

Правильным решением этой задачи является моделирование возможного ценового ряда случайным процессом, с характеристиками близкими к реальному для той бумаги, на которую настраивается система. Если будет найдено разумное и достаточно простое решение этой нетривиальной задачи, то разработчик получает в свои руки практически неограниченный набор данных для отработки торговых тактик.

Ниже мы покажем, как с использованием модели волатильности ARFIMA (авторегрессионный дробноинтегрированный процесс скользящего среднего, разработанный Хоскингом [1]) и модели фрактального рынка (Эдгар Петерс, [2]) можно достаточно просто получать большие массивы данных, моделирующие ценовые ряды котировок исследуемой бумаги. Попутно проверим гипотезу фрактального рынка и определим показатель Херста (Hurst) H - величину, связанную с дробной размерностью рынка.

Толстые хвосты и фрактальная размерность рынка

К сожалению, изменение цен биржевых активов не может быть описано простым случайным процессом типа "белого шума". Широко известно, что доходности не подчиняются Гауссовому распределению, а описываются так называемыми распределениями с "толстыми" хвостами и высокими пиками. Это имеет место на любых масштабах. Высокий пик распределения свидетельствует о наличии "памяти" на рынке (и, следовательно, говорит о применимости технического анализа, а с ним и идеологем МТС). С другой стороны, - "толстые хвосты" распределений определяют высокую вероятность появления на рынке событий от 4-х до 6-ти , то есть событий отклоняющихся от средних на величину от 4-х до 6-ти среднеквадратичных отклонений. Данные события легко могут быть найдены на любом масштабе. Так называемые "крахи" (или катастрофы, а также спекулятивные пузыри) на дневных или недельных графиках представляют собой именно эти события. Существенные провалы и всплески котировок, вызванные со спекулятивным сбросом или скупкой бумаг (как говорят трейдеры "проливы" и "выносы"), достаточно часто встречаются на внутридневных графиках, и на своем масштабе также являются событиями с большим сигма. Ниже показано реальное распределение дневных доходностей индекса РТС и аппроксимирующее его нормальное распределение.

На рисунке хорошо виден как высокий пик в окрестности среднего значения доходности, так и толстые или "тяжелые" хвосты функции плотности распределения. С точки зрения распределения Гаусса вероятность появления событий значительно уклоняющихся от средних значений - так называемых выбросов, - экспоненциально уменьшается и практически равна нулю на всех масштабах. Тем не менее, рынки на всех масштабах демонстрируют нам такие события и не учитывать их - значит существенно недооценивать риски. С точки зрения разработчика торговых систем такой учет позволяет легко понять, как поведет себя торговая система при коллапсе рынка.

Рисунок 1. Отличие реальной плотности распределения от нормальной для дневных доходностей индекса РТС с 1995 года по март 2004-го

Одним из способов описания рынка является переход в фазовое пространство доходностей r_i и анализ получающихся временных рядов. Основным показателем здесь является простая волатильность , которая есть среднеквадратичное отклонение доходностей r_i финансового актива, вычисленная на основе N торговых периодов:

,

(1)

где - цена закрытия i-го интервала. Обычно, в качестве интервалов используют дневной промежуток и говорят при этом о дневной волатильности. Если за интервал принимают час, то такую волатильность уместно назвать часовой волатильностью и так далее.

Если бы распределение доходностей подчинялось нормальному распределению, то знание волатильности, измеренной на временном периоде , давало бы значение волатильности на временном периоде T согласно известной формуле Эйнштейна:

(2)

Так, волатильность в расчете на год будет:

_Y = _D250, (3)

где 250 - число торговых дней в году, а _D - дневная волатильность. К сожалению формулы (2) и (3) неверны практически для всех финансовых рынков и не описывают их существенные свойства: наличие памяти и склонность к большим выбросам. И то, и другое свойство рынка может быть учтено в модели фрактальной природы рынков [2]. Данная модель утверждает, что рынки самоподобны на различных временных масштабах, а волатильности, вычисленные на базе разных временных интервалов соотносятся друг с другом по следующей формуле:

(4)

Более того, утверждается, что дисперсия и волатильность растут с ростом масштаба быстрее, чем это предписано нормальным законом распределения, то есть H>0.5. Показатель степени H называется показателем Херста. Случай H=0.5 соответствует случайному блужданию Броуновской частицы, то есть процессу полностью лишенному памяти.

Для оценки показателя Херста мы проанализировали биржевые котировки акций НК ЛУКОЙЛ и РАО ЕЭС на временных интервалах от минутных до месячных. Результаты представлены на Рис. 2.

Рисунок 2. Зависимость логарифма волатильности акций НК ЛУКОЙЛ и РАО ЕЭС от логарифма масштаба

Первая точка (T=1) соответствует одноминутным интервалам, вторая - 5-тиминуткам. Далее следуют 10-ти, 15-ти и 30-ти минутные интервалы, затем: час (T=60), два и четыре часа, день (T=495), неделя (T=2475) и месяц (T=10692). Для расчета волатильности по минутным графикам использовались выборки размера 50 тысяч точек, для прочих периодов - выборки размера 1000 точек. Исключение было сделано для месячных периодов, каковых было меньше тысячи в силу относительной молодости рынка. фрактальный волатильность тестирование торговая

Прекрасно видно, что при логарифмировании масштаба времени и волатильности, полученные значения хорошо укладываются на прямую линию, что и подтверждает степенной характер роста волатильности с ростом масштаба, то есть формулы (4). На этом же графике нанесены линии регрессий, позволяющие вычислить показатель H, а также показан случай "белого шума" H=0.5. Случай "белого шума" лежит далеко вне 95-ти процентного доверительного интервала для показателя H. Это позволяет утверждать, что рынок ликвидных бумаг действительно обладает фрактальными свойствами.

На первый взгляд отличие показателя H=0.64 от 0.50 не выглядит впечатляющим, но на самом деле оно более чем драматично. Так, например, учет рисков сделанный по результатам дневных торгов в пересчете на год по формуле (3) дает величину, заниженную более чем в два раза по сравнению с той, которая получится из формулы (4) и использовании реального показателя H.

Моделирование поведения цен

Следующий шаг состоит в построении модели ценового ряда. Принято строить модели временных рядов доходностей r_i, а уже через них выражать цены закрытия на следующем торговом интервале:

Выражение для r_i разделим на две части: среднее значение <r> и случайную величину _i, подчиняющуюся искомому статистическому распределению с нулевым средним значением:

В качестве модели процесса мы выбираем модель авторегрессионного дробноинтегрированного процесса скользящего среднего (ARFIMA). Эта модель позволяет учесть память рынка (авторегрессионность), выражаемую в стремлении следовать существующим тенденциям, "вязкость" рынка, выраженную в эффектах запаздывания и сглаживания, что дает учет осреднения предыдущих данных и фрактальность, что позволяет учесть толстые хвосты. Наиболее просто такой процесс может быть получен из процесса _i, подчиняющегося Гауссовому распределению с нулевым средним значением и среднеквадратичным отклонением :

(5)

причем (x) - гамма-функция, выражаемая для целых значений аргумента через факториал, а ₀ = 1 при любом показателе H. По сути, формула (5) представляет собой свертку Гауссова процесса с бесконечным рядом. Или, если угодно, бесконечное скользящее среднее Гауссова процесса, что моделирует процесс с памятью.

Полученный по формуле (5) случайный процесс _i, обладает следующими нужными свойствами:

· нулевым средним, как и процесс ,

· тем же среднеквадратичным отклонением , что и процесс , а также,

· фрактальностью и памятью при H>0.5.

Заметим, что последнее свойство не характерно для исходного процесса.

Таким образом, случайный процесс обладает памятью при положительных значениях d, и является так называемым персистентным процессом.

Частный случай H = 0.5 соответствует так называемому белому шуму, а ряд при этом совпадает с рядом .

Другой частный случай H = 1.5 соответствует так называемому процессу "коричневого шума", который получается простым суммированием (интегрированием) процесса белого шума. При этом все веса бесконечного ряда (5)_k = 1.

Частный случай 0.5<H<1.5 соответствует так называемым процессам "черного шума", или шума с дробной размерностью. Именно эти случаи и наблюдаются на финансовых рынках.

Наконец, случай -0.5<H<0.5 соответствует так называемым антиперсистентным процессам "розового шума". Эти случаи характерны для эффектов турбулентности.

Рисунок 3. Динамика цен модельного финансового актива с показателем Херста H=0.575 и =0.0015. Среднее значение <r>=0

Частный случай H - 0.5 = - 1 эквивалентен "дифференцированию" ₀ = 1, ₁ = _1, прочие _k = 0. Отсюда понятно, что область антиперсистентности -0.5<H<0.5 соответствует "дробному дифференцированию", случай H - 0.5 = 1 - интегрированию, а область 0.5<H<1.5 - "дробному интегрированию" (либо, если угодно, сначала интегрированию, а затем "дробному дифференцированию").

Ниже мы приводим примеры динамики цен, полученных на описанном выше пути. На всех графиках изображены цены закрытия с интервалом в одну минуту. Одно деление по оси абсцисс соответствует одному торговому дню. Подписи на оси времени соответствуют окончанию недели. Соответственно, на всем графике изображен торговый месяц в 21 торговый день.

На рисунке 3 видна консолидация цен в нисходящем треугольнике, прорыв треугольника наверх. Преодоление предыдущего локального максимума, где сформировалась поддержка. Далее мы имеем движение в боковом диапазоне с последующем пробоем уровня сопротивления - верхней границы этого диапазона. Все это так знакомо и характерно для рынка ценных бумаг.

Рисунок 4. Динамика цен модельного финансового актива. Показатели те же, что и на Рис. 3

На этом рисунке виден слабовосходящий тренд. С третьей попытки покупателям удалось преодолеть уровень сопротивления вблизи 12 рублей, за чем последовало усиление скорости роста и формирование более мощного восходящего движения. Такие ситуации мы также неоднократно видели на нашем рынке.

Рисунок 5. Динамика цен модельного финансового актива с показателем Херста H=0.582 и =0.0015. Среднее значение доходности вновь было принято нулем

Рисунок 6. Динамика цен модельного финансового актива с показателем Херста H=0.524 и =0.0015. Среднее значение доходности по-прежнему равно нулю

На рисунке 5 показан прорыв бокового диапазона наверх и формирование восходящего тренда с хорошо различимыми периодами "спекулятивной скупки" и коррекциями. Хорошо видны как уровни поддержки и сопротивления, так и номинальные границы тренда.

Рисунок 6 демонстрирует слом восходящего тренда и переход в фазу коррекции с формированием краткосрочного нисходящего движения. Показатель Херста здесь ближе к белому шуму, чем в предыдущих случаях. Это ведет к большей "изрезанности" графика цен на малом масштабе. Однако долговременная память в виде краткосрочных трендов присутствует и на этом рисунке.

Наконец, на рисунке 7 показан случай процесса с более сильной памятью, чем на предыдущих.

Рисунок 7. Динамика цен модельного финансового актива с показателем Херста H=0.7 и =0.0015. Среднее значение доходности по-прежнему равно нулю

Котировки на этом рисунке демонстрируют меньшую изрезанность и более сильную зависимость от предыдущей динамики.

Заключение

Результаты, приведенные в настоящей статье, позволяют сформулировать следующие выводы:

· Наш достаточно не "эффективный" рынок является фрактальным.

· Показатели Херста ликвидных ценных бумаг лежат в области "черного шума", недалеко друг от друга, но достаточно далеко от случая "белого шума".

· Отказ от учета фрактальных свойств рынка ведет к заниженным значениям рыночных рисков.

· Модель волатильности ARFIMA на основе авторегрессионного дробноинтегрированного процесса скользящего среднего позволяет моделировать возможные ряды доходностей, (а вместе с ними и ценовые ряды, как это показано на рисунках 3-7). При этом для моделирования достаточно всего трех параметров: средней доходности <r>, ожидаемой волатильности у на этом же масштабе, и показателя Херста H. Ключевое слово здесь - возможные, что означает возможность использования полученных данных для отработки торговых систем. Однако, данная модель еще далека от того, чтобы ее можно было использовать для построения прогнозов и предсказаний реального поведения биржевых активов.

Литература

1. J. Hosking, "Fractional Differencing", Biometrica, 1981, pp. 165-76.

2. Edgar E. Peters "Fractal Market Analysis", John Wiley&Sons, Inc, 2003.

Размещено на Allbest.ru