Оценка рисковых активов на фрактальном рынке

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оценка рисковых активов на фрактальном рынке Автор выражает признательность научному руководителю, Зав. Кафедрой математики ФГОУ ВПО "Финансовая академия при Правительстве РФ", к.ф.-м.н., доц. Гисину В.Б. за постоянное внимание и помощь в работе.

Марков Андрей Аркадьевич

Исследуемая модель ценообразования рискового актива имеет вид:

(1),

где

St и S0 - стоимости рискового актива в моменты времени t и 0 соответственно;

м - дрейф базисного актива;

у - волатильность базисного актива;

ВtH - сечение фрактального броуновского движения (далее - ФБД) с показателем Херста Н в момент времени t.

В исходном виде данная модель допускает арбитраж. Однако существует ряд подходов к исключению арбитража из модели с ФБД. Из их числа наиболее приближенным к практическим реалиям торговли на фондовых рынках видится подход, основанный на включении в модель пропорциональных транзакционных издержек Безарбитражность модели с транзакционными издержками показана в: Guasoni P. No arbitrage under transaction costs, with fractional Brownian motion and beyond // Mathematical Finance, Volume 16, Issue 3. - 2006 - pp. 569-582.. В роли издержек выступают брокерские комиссии, вычисляемые как фиксированный процент от объема торговой сделки.

1. Дискретная аппроксимация модели с ФБД

Непрерывная модель (1) является исходной в данной работе, однако для дальнейшего решения ряда задач возникает потребность в переходе к ее дискретному аналогу. Дискретный аналог Подробнее о дискретной модели см. в: Sottinen T. Fractional Brownian motion, random walks and binary market models // Finance & Stochastics 5. - 2001. - pp. 343-355.. представляет собой модифицированное биномиальное дерево, в котором цена рискового актива на n-м шаге определяется по формуле:

(2),

где

а - смещение, определяемое как средняя доходность в расчете на шаг;

ХХn - коэффициент повышения (понижения), вычисляемый путем замены интеграла в интегральном представлении ФБД на частичные суммы.

2. Оценка верхних и нижних границ стоимостей опционов с учетом транзакционных издержек (брокерских комиссий) Данная методология подробно описана в: Constantinides G.M., Perrakis S. Stochastic dominance bounds on derivatives prices in a multiperiod economy with proportional transaction costs // Journal of Economic Dynamics & Control, 26. - 2002 - pp. 1323-1352..

Предположим, что базисный актив не приносит дивидендного дохода.

Оценка верхней границы стоимости европейского опциона-колл на n-м шаге (n < N) вычисляется по формуле:

(3),

где

Sn и SN - стоимость базисного актива на n-м и N-м шагах соответственно, транзакционный брокерский ценообразование

К - цена исполнения опциона-колл,

k - комиссия за операции по покупкам и продажам в процентах от оборота,

r - безрисковая процентная ставка в расчете на шаг модели.

Оценка нижней границы стоимости европейского опциона-колл на n-м шаге (n < N) вычисляется по формуле:

(4),

где S'(n) определяется из условия

(5).

При этом для n = N граница равна

.

Отметим, что формулы (3)-(5) применимы к случаю ФБД, поскольку не используют независимость доходностей.

Оценки стоимостей опционов-пут можно получить по аналогии с оценками для опционов-колл.

3. Оценка фрактальных характеристик фондовых индексов на основе исторических цен закрытия Подробно о методах расчетов и их результатах см. в: Марков А.А. Некоторые фрактальные свойства фондовых индексов // Сегодня и завтра российской экономики, №30. - 2009. - с. 103-112..

Оценки показателя Херста получены методом нормированного размаха. Результаты R/S-метода проверены другими методами (см. Таблицу 1). Расчеты проведены по историческим логарифмическим доходностям Данные взяты из: Экспорт/Архив РТС Классический. Индекс РТС. Экспорт данных daily. - http://export.rbc.ru/expdocs/free.rts.1.shtml?RTSI., при этом из данных удален линейный тренд согласно интегральному виду модели (1).

Путем расчета V-статистики оценена продолжительность непериодических циклов в динамике индексов. V-статистика получена по формуле:

(6).

Проверена гипотеза о том, что характер динамики рынка на некоторых горизонтах обусловлен детерминированным хаосом. Для этого оценена корреляционная размерность индексов.

Полученные оценки показателя Херста, а также длины выделенного непериодического цикла для индекса РТС приведены в Таблице 1.

Таблица 1

Результаты вычислений дают основания считать, что динамика индекса РТС подчиняется процессу черного шума. Это персистентный процесс, характеризующийся существенной зависимостью от начальных условий.

Вместе с тем на некоторых инвестиционных горизонтах наблюдаются признаки детерминированного хаоса в поведении данного индекса. В случае 10-дневного горизонта логарифмические доходности имеют конечную корреляционную размерность, тангенс угла наклона кривой корреляционного интеграла стабилизируется на уровне около 7.

Аналогичные расчеты проведены для индексов ММВБ, Dow Jones Industrial Average, NASDAQ и Standard&Poors 500.

4. Фьючерсный опцион-колл американского типа на индекс РТС (погашение опциона - 14 октября 2009 г.)

По состоянию на 12 октября 2009 г. данный опцион торговался на РТС FORTS. Базисный актив - фьючерсный контракт на индекс РТС с исполнением 14 декабря 2009 г.

Расчет верхних и нижних границ стоимости опционов (с ценами исполнения 100 000, 110 000, 120 000, 125 000, 130 000 и 150 000 б.п. с одним и тем же базисным активом) проводился ежедневно в течение четырех недель с 14 сентября по 9 октября 2009 г. при помощи модели (2) с N = 10 шагов. Оценки параметров модели (2) составили: Н = 0.617; м = 0.000709 (в пересчете на 1 день); у = 0.02883 (в пересчете на 1 день); r = 9.0079% годовых - безрисковая процентная ставка, соответствующая доходности наиболее близкой по дюрации государственной облигации ОФЗ-25057 по состоянию на начало сентября 2009 г. Транзакционные издержки (брокерские комиссии) взяты равными 0.01% от торгового оборота.

Проведено сравнение результатов расчетов с реальными ценами сделок, с котировками на покупку и продажу, а также с теоретической ценой опциона-колл, рассчитываемой биржей РТС по формуле Блэка-Шоулза Данные взяты из: Фьючерсы и опционы RTS FORTS - доска опционов. - http://www.rts.ru/ru/forts/optionsdesk.aspx?sby=0&isin=RTS-3.09&sid=1&bSubmit=%CF%EE%EA%E0%E7%E0%F2%FC+%2F+%CE%E1%ED%EE%E2%E8%F2%FC.. В Таблице 2 представлены результаты расчетов границ стоимостей наиболее ликвидного (из перечисленного набора) опциона, который имеет цену исполнения 120 000 б.п.

Таблица 2

По мере приближения дня погашения величины оценок верхней и нижней границ стоимости опциона естественным образом сходятся друг к другу. Оценки, как и следовало ожидать, находятся в выраженной прямой зависимости от цены базисного актива. Цены последних сделок Более подробные сведения по итогам торгов доступны по ссылке http://www.rts.ru/ru/forts/contractresults.html. во все дни, когда проводился расчет, попали в интервал между верхней и нижней границами. В данном случае то же самое можно сказать и о теоретических ценах опционов, хотя это скорее стечение обстоятельств, поскольку результаты применения формулы Блэка-Шоулза никак не зависят от модели (2). В то же время цены bid и ask ведут себя достаточно произвольно, что в ряде случаев объясняется невысокой ликвидностью торгов опционами на FORTS.

5. Фьючерсный опцион-колл американского типа на индекс РТС (погашение опциона - 14 декабря 2009 г.)

По состоянию на 12 октября 2009 г. данный опцион торговался на РТС FORTS. Базисный актив - фьючерсный контракт на индекс РТС с исполнением 14 декабря 2009 г. Таким образом, опцион исполняется одновременно с базисным активом.

Расчет верхних и нижних границ стоимости опционов (с ценами исполнения 110 000, 120 000, 130 000 и 150 000 б.п. с одним и тем же базисным активом) проводился ежедневно в течение тех же четырех недель с 14 сентября по 9 октября 2009 г. при помощи модели (2) с N = 10 шагов. Все параметры модели, кроме срока до исполнения, остаются прежними.

Для обеспечения наглядной сопоставимости расчетов в Таблице 3, как и в Таблице 2, приведены результаты оценки границ стоимости опциона с такой же ценой исполнения - 120 000 б.п., но более длинным сроком до исполнения.

Таблица 3

Как и следовало ожидать, разность между оценками верхних и нижних границ стоимости "длинного" опциона больше, чем "короткого". Однако она предсказуемо уменьшается по мере приближения срока исполнения инструмента. Теоретические цены опционов, как и цены последних сделок, попали в интервал между верхней и нижней границами. Цены bid и ask вели себя более произвольно.

Заключение

Результаты проведенных расчетов показали, что гипотеза фрактального рынка вполне согласуется с реальным поведением исследуемых рисковых активов и производных финансовых инструментов на фондовом рынке. Динамика всех рассмотренных фондовых индексов подчиняется процессу "черного шума", то есть ФБД с показателем Херста H > 0,5. Персистентность индексов меняется в зависимости от длины инвестиционного горизонта. Подобная неоднородность позволяет выделить непериодические циклы, и всем анализируемым индексам присущ как минимум один цикл.

Безарбитражная модель, основанная на процессе ФБД, адекватно описала динамику ценообразования анализируемых биржевых инструментов. Показаны адекватность модели (1)-(5) и ее практическая применимость как минимум на российском рынке опционов.

Размещено на Allbest.ru