Синергетика
Предмет и задачи синергетики. Теории бифуркаций и катастроф, их графическое представление. Последовательности бифуркаций. Флуктуации, обратные связи и эволюция систем. Динамический (детерминированный) хаос. Биологическая самоорганизация. Хаос и фракталы.
| Рубрика | Биология и естествознание |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 06.09.2013 |
| Размер файла | 1,5 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Реферат
Синергетика
К концу 20 в. сменилась научная парадигма и изменилось научное мировоззрение: мир предстал хаотическим, катастрофическим, непредсказуемым. Классические представления Лапласа об однозначно детерминированном и предсказуемом мире, и представления Эйнштейна, что «Бог не играет в кости», были полностью разрушены. В изменившейся картине мира однозначная детерминированность оказалась частным случаем, а предсказуемость - принципиально ограниченной. В прежние времена наука рассматривала главным образом устойчивость, равновесие, порядок, замкнутые системы и линейные зависимости, переход же к информационным технологиям привел к появлению новых подходов.
Новая обширная область междисциплинарных исследований, которую принято именовать нелинейной наукой, включает нелинейную термодинамику, теорию катастроф, теорию динамического хаоса, теорию самоорганизации и фрактальную математику.
В сумме эти междисциплинарные направления исследований нередко именуется синергетикой (от греч. - «согласованное действие») - такое краткое и удачное название дано в конце 60-х годов прошлого века немецким физиком Германом Хакеном.
Синергетику определяют также как науку о самоорганизации, т.е. самопроизвольном возникновении пространственной и временной упорядоченности в открытых нелинейных системах (открытыми называются системы, обменивающиеся энергией и веществом с окружающей средой, т.е. существующие и развивающиеся в потоке энергии; нелинейное поведение системы математически описывается нелинейными уравнениями).
Возникновение упорядоченных в пространстве и времени структур в открытых нелинейных системах - спонтанное возникновение порядка из хаоса - изучалось в Бельгии физиком и философом русского происхождения Ильей Пригожиным; его работы по исследованию упорядоченных, «диссипативных» структур, возникающих в неравновесных системах в результате нелинейных процессов, были удостоены в 1977 г. Нобелевской премии по физике.
Системы, исследуемые нелинейной наукой, обычно называют сложными; их свойства не сводимы к свойствам компонентов и проявляют вновь возникающие, или «эмерджентные» черты. Биологические системы - сложные системы, поведение которых не сводимо к основным законам физики и химии, хотя эти законы выполняют роль ограничителей разнообразия и сложности биологического мира.
Теории бифуркаций и катастроф
Катастрофой называется скачкообразное изменение, возникающее в виде внезапного нелинейного ответа системы на плавное изменение внешних условий. Математическое описание явлений, связанных с резкими скачками и качественными изменениями картины процесса, дается теорией катастроф французского математика Р. Тома и теорией бифуркаций А. Пуанкаре. Бифуркации (катастрофы) представляют собой разрывы в системах, описываемых гладкими (непрерывными) функциями. Эти теории описывают возникновение дискретных структур из непрерывных, называемых математиками гладкими.
Топологическая структура, называемая сборкой, она же бифуркация, элементарная катастрофа, и ее проекция на плоскость, схематически показана на рисунке.
Термин «бифуркация» (раздвоение, образование вилки) употребляется, как и «катастрофа», для обозначения качественных перестроек различных систем при плавном изменении параметров.
Обычный пример катастрофы, бифуркации представляет собой поведение какой-либо упругой конструкции, под воздействием увеличивающейся нагрузки внезапно, скачкообразно переходящей в другое положение, причем направление выгиба конструкции предсказать невозможно.
Прогиб колонны при превышении критической нагрузки
Графически бифуркация изображена на следующем рисунке: система имеет одно решение, одно значение в каждой точке -- вплоть до точки бифуркации, после чего появляется выбор между двумя возможными решениями.
Графическое представление бифуркации (катастрофы)
В самых разнообразных системах при изменении значения «управляющей» переменной система уходит от равновесия, достигая порога устойчивости. Это критическое значение называется точкой бифуркации. В точке бифуркации у системы появляется «выбор», в котором неизбежно присутствует элемент случайности с невозможностью предсказать выбор траектории эволюции системы. Последовательность бифуркаций во времени описывает морфологию поведения системы.
Примеры последовательностей бифуркаций
Теория катастроф указывает некоторые общие черты явлений скачкообразного изменения поведения разнообразных систем в ответ на плавное изменение внешних условий: сочетание случайности и необходимости, детерминизма и непредсказуемости, возможность выбора из нескольких решений вблизи точки бифуркации, неожиданно сильного отклика на слабое воздействие (и наоборот).
В 70-х годах теорию катастроф стали применять к широкому спектру явлений с дискретным, скачкообразным поведением, когда кажущаяся предсказуемой и упорядоченной система может подвергаться резким переходам из одного состояния в другое. Примеры бесконечны: природные и техногенные катастрофы и катаклизмы, социальные и, разумеется, биологические явления (метаморфоз и другие критические периоды развития, из которых гаструляция - разделение двух зародышевых листков - приведена как пример катастрофы самим Томом).
Появилось множество приложений теории катастроф в области естественных, технических и гуманитарных наук: биологии, физике, геологии, гидродинамике, экономике, психологии, лингвистике, с применением этой теории к самым разнообразным и неожиданным объектам исследования. Без математической теории бифуркаций и катастроф понимание динамики поведения сложных нелинейных системам и управление ими практически невозможно.
Сложные динамические системы включают флуктуирующие, случайным образом изменяющиеся компоненты. Отдельные флуктуации или их сочетания в системе с обратной связью, усиливаясь, вызывают разрушение прежнего состояния системы. Случайные воздействия в момент перелома (в точке бифуркации) могут подтолкнуть систему на новый путь развития; после же выбора одного из возможных путей, траектории развития, действует однозначный детерминизм - развитие системы предсказуемо до следующей точки бифуркации. Так случайность и необходимость дополняют друг друга.
В неравновесных условиях вблизи точки бифуркации система очень чувствительна к внешним воздействиям, и малое по силе внешнее воздействие, слабый сигнал может вызвать значительный отклик, неожиданный эффект. Известный пример с автоколебаниями, возникающими в системе усилитель - микрофон. Внешние физические поля могут восприниматься системой, влияя на ее морфогенез. Так, гравитация играет определяющую роль в становлении дорзовентральной полярности при развитии яйцеклетки амфибий, градиент освещенности - в поляризации зиготы фукоидных водорослей.
Итак, в далеком от равновесия состоянии системы на первый план выступают нелинейные соотношения, слабое внешнее воздействие может порождать неожиданное, непредсказуемое поведение системы в целом. Иногда в состояниях, далеких от равновесия, очень слабые флуктуации или внешние возмущения могут усиливаться до огромных, скачкообразным образом разрушающих всю прежнюю структуру системы и переводящих ее в иное состояние.
Системы с большим числом взаимодействующих элементов спонтанно эволюционируют к критическому состоянию, когда малое воздействие может привести к катастрофе. Сложные системы могут разрушиться не только от мощного удара, но и от малого события, запускающего цепную реакцию, каскад бифуркаций, разрушительный турбулентный режим.
К сложным системам относятся многие природные (земная кора, экосистемы) и социальные системы. Примеры природных катастроф - землетрясения, лавины, социальных - крушение империй, обвал рынков. Одна из экспериментальных моделей сложных систем - конические кучи сухого песка. Падение единственной песчинки на песчаный конус, находящийся в критическом состоянии, может вызвать обвал, катастрофу. В критическом состоянии падение отдельных скатывающихся песчинок, фиксируемое в эксперименте как «шум мерцания», оказывается предвестником катастрофы; можно выявить подобные предвестники природных и социальных катастроф. Кучи песка - это не просто экспериментальная модель, это новый взгляд на мир, метафора кооперативного поведения многих частиц, неустойчивого равновесия, непредсказуемости. Глобальные характеристики и эволюцию системы нельзя понять, анализируя составляющие ее части.
Вхождение системы в непредсказуемый режим, переход к хаосу, описывается каскадом бифуркаций, следующих одна за другой. Каскад бифуркаций ведет последовательно к появлению выбора между двумя решениями, затем четырьмя и т.д.; система начинает колебаться в хаотическом, турбулентном режиме последовательного удвоения возможных значений.
Теория бифуркаций и катастроф неразрывно связана с современными представлениями о динамическом, или детерминированном, хаосе.
Сценарий удвоения периода; на вставке показана выделенная часть
Флуктуации, обратные связи и эволюция систем.
Флуктуации есть в любой системе, но обычно они подавляются системами отрицательных обратных связей. Отрицательные обратные связи обеспечивают стабильность системы, обеспечивают ее существование и создают окружающий нас мир как устойчивую систему устойчивых систем.
Вблизи точек бифуркации коллективное взаимодействие элементов системы кардинально изменяется -- решающую роль приобретают положительные обратные связи. В результате флуктуации резко усиливаются, что ведет к резкому изменению или разрушению структуры системы.
Таким образом, эволюция любой системы -- это чередование этапов адаптивного развития и этапов катастрофного поведения.
Вспомним теорию прерывистого равновесия Элдриджа и Гоулда: стазис вида -- адаптивное развитие, видообразование -- катастрофа.
Адаптивное развитие -- это изменение параметров системы, ее параметрическая адаптация, приспособление к меняющимся внешним условиям, при сохранении неизменного порядка организации системы.
Катастрофа -- это изменение самой структуры исходной системы, ее перерождение, возникновение новых качеств. Новая структура позволяет системе перейти на новую термодинамическую траекторию развития, которая отличается меньшей скоростью производства энтропии, или меньшими темпами диссипации энергии.
Динамический (детерминированный) хаос
синергетика бифуркация хаос фрактал
В классической равновесной термодинамике мерой хаоса служила энтропия. Два начала термодинамики были сформулированы еще Клаузиусом: энергия мира постоянна; энтропия мира стремится к максимуму. Для неравновесных открытых систем эти два закона дополняются третьим: принципом минимума диссипации энергии: Если допустимо не единственное состояние системы, а целая их совокупность, согласованная с законами сохранения и связями, наложенными на систему, то реализуется то ее состояние, которому отвечает минимальное рассеяние энергии, или минимальный рост энтропии.
Изолированные системы вследствие линейных термодинамических процессов эволюционируют к стационарному состоянию максимальной энтропии и неупорядоченности. Второй закон термодинамики описывает мир как непрерывно деградирующий, сползающий от порядка к молекулярному хаосу и тепловой смерти.
Возникновение диссипативных структур как переход противоположной направленности - от беспорядка, хаоса к порядку - весьма маловероятное событие по представлениям классической термодинамики. Однако эти процессы происходят постоянно и в неживой, и в живой природе. Возникновение диссипативных структур, самоупорядочение возможно лишь в открытых системах; при этом существенную роль играет диссипация, рассеивания энергии в открытой системе, находящейся в энергетическом потоке. Живые системы - открытые, далекие от равновесия, непрерывно обменивающиеся веществом и энергией со средой. Порядок клетки или организма репродуцируется на матричной основе предсуществовавшей упорядоченности, поддерживается и увеличивается до определенного предела за счет поглощения энергии и вещества из среды. Жизнь возникла и существует на границах сред, разделе физических фаз не случайно - здесь наиболее сильны конвекционные токи, потоки энергии и энтропии.
В последние десятилетия 20 века понятие хаоса изменилось. Сразу же следует заметить, что динамический, или детерминированный хаос нелинейных динамических систем - это не хаос, понимаемый как полная дезорганизация и случайность событий. Современное понимание хаоса ближе к исходному древнегреческому: «хаос» - беспредельная неупорядоченная масса, из которой возникло все существующее.
Динамический (детерминированный) хаос - сложное непредсказуемое поведение детерминированной нелинейной системы. Оказалось, что простые системы (иногда - вызывающе простые модельные системы), состоящие из малого числа компонентов и детерминированные правилами, не включающими элементов случайности, могут проявлять случайное поведение, достаточно сложное и непредсказуемое, причем случайность носит принципиальный, неустранимый характер. Такого рода случайность, непредсказуемость развития системы понимается как хаос.
Детерминированный хаос сочетает детерминированность и случайность, ограниченную предсказуемость и непредсказуемость и проявляется в столь разных явлениях как кинетика химических реакций, турбулентность жидкости и газа, геофизические, в частности, погодные изменения, физиологические реакции организма, динамика популяций, эпидемии, социальные явления (например, курс акций).
Прежде разделяли детерминированные системы, для которых был возможен прогноз на любой отрезок времени (подобно прогнозу затмений солнца) и стохастические системы, которые можно охарактеризовать лишь статистически.
Теперь же появился новый класс объектов, формально детерминированных, но с поведением, прогнозируемым лишь на ограниченный отрезок времени. Оба полюса - порядок и хаос - не существуют в чистом виде, если понимать упорядоченные системы как полностью регулярные, детерминированные, предсказуемые, а неупорядоченные системы как совершенно нерегулярные, случайные, непредсказуемые. Примером систем с высокой степенью порядка и стабильности служат кристаллы; на противоположном полюсе располагается такие хаотические системы как газы.
Можно напомнить, что основы однозначного детерминизма в квантовой механике были подорваны принципом неопределенности В. Гейзенберга, устанавливающим невозможность измерения с заданной точностью одновременно координаты и импульса элементарной частицы.
Теория динамического хаоса уничтожила разрыв между классической динамикой и статистической физикой: регулярное движение становится стохастическим вследствие всегда присутствующих небольших флуктуаций.
Эволюция системы математически описывается векторным полем в фазовом пространстве - абстрактном пространстве динамических переменных системы, векторном поле в координатах переменных.
Точка фазового пространства задает состояние системы, вектор в этой точке указывает направление изменения системы. Кривые последовательных состояний процесса, создаваемые изменением положения точки в фазовом пространстве, называются фазовыми траекториями, а их совокупность - фазовым портретом системы.
На рисунке показаны фазовые портреты (нижний ряд) для системы с затухающими колебаниями (траектория, стремящаяся к положению равновесия), с постоянными колебаниями (замкнутая кривая) и более сложный случай системы, колеблющейся в лишенном строгой периодичности режиме. Установившиеся режимы движения, иными словами, множество точек (в простейшем случае - одна точка) в фазовом пространстве системы, к которым стремятся ее траектории, получили название аттракторов - они как бы привлекают, притягивают траектории в фазовом пространстве. В первом случае аттрактором оказывается неподвижная точка, во втором - предельный цикл, в третьем же - так называемый странный, или хаотический аттрактор.
Таким образом, аттракторы - геометрические структуры, характеризующие поведение системы в фазовом пространстве после достаточно длительного периода времени. Хаотические, странные аттракторы соответствуют непредсказуемому поведению систем, не имеющих строго периодической динамики, это математический образ детерминированных непериодических процессов. Странные аттракторы структурированы и могут иметь весьма сложные и необычные конфигурации в трехмерном пространстве.
Впервые построение странного аттрактора как решение системы дифференциальных уравнений осуществил в работе по компьютерному моделированию термоконвекции и турбулентности в атмосфере американский метеоролог Э. Лоренц.
Аттрактор Лоренца. Конечное состояние системы Лоренца чрезвычайно чувствительно к начальному состоянию. Размерность странного аттрактора отлична от обычной, или топологической. Позже странные аттракторы, траектории которых при последовательных вычислениях компьютера бесконечно расслаиваются, расщепляются, были отождествлены с фракталами.
Предсказуемость положения точки в фазовом пространстве странного аттрактора сильно ограничена. 10 000 «меченых» точек сначала движутся по близким траекториям, но с течением времени их траектории расходятся по двум ветвям аттрактора и настолько «размазываются» по всему аттрактору, что точное предсказание положения какой-либо отдельной точки в данной системе становится невозможным - возможно лишь статистическое предсказание в пределах системы аттрактора.
Это иллюстрация динамического хаоса в данной системе с ограниченной предсказуемостью и принципиальной невозможностью точного прогноза ввиду случайности выбора траектории движения каждой точки по одной из двух ветвей аттрактора. Расхождение соседних траекторий приводит к неопределенности положения точки через некоторое время, создавая «облако неопределенности». Поведение системы предсказуемо на малом отрезке времени и непредсказуемо на достаточно большом отрезке - система начинает вести себя как хаотическая, для которой возможно лишь статистическое описание.
Таким образом, системы, поведение которых детерминируется правилами, не включающими случайность, с течением времени проявляют непредсказуемость за счет нарастания, усиления, амплификации малых неопределенностей, флуктуаций.
Наглядный образ системы с нарастанием неопределенности - так называемый биллиард Синая: достаточно большая последовательность соударений шаров неизбежно ведет к нарастанию малых отклонений от исчисляемых траекторий за счет не идеально сферической поверхности реальных шаров, не идеально однородной поверхности сукна, что ведет к непредсказуемости поведения системы.
Возможность предсказаний - одна из основных целей науки. До появления работы Э. Лоренца полагали, что сбор и обработка достаточно большого объема информации обеспечит точность долгосрочного прогнозирования погоды. Теперь представление об однозначной детерминированности сменилось пониманием принципиальной непредсказуемости поведения многих систем на достаточно большом отрезке времени, выяснились ограничения прогностических моделей, предсказуемая непредсказуемость динамики поведения сложных систем: предсказание границ, но не положения точки в их пределах.
Каскад следующих одна за другой бифуркаций существенно изменяет систему. Вероятность обратного хода событий крайне низка, эволюция системы становится необратимой. Необратимость, однонаправленность процессов эволюции и онтогенеза хорошо известна биологам. Необратимые процессы в открытых системах порождают высокие уровни организации, например, диссипативные структуры.
Возникает новая интерпретация второго закона термодинамики: энтропия - не просто безостановочное соскальзывание к однородному состоянию, лишенному организации; энтропия может порождать порядок.
Итак, нелинейные детерминированные системы, состоящие из немногих простых компонентов, могут вести себя неупорядоченно, хаотически.
Хаотические системы чувствительны к малым воздействиям, как начальным, так и во всех точках движения. В хаотическом мире трудно предсказать, какие вариации возникнут в данное время и в данном месте, ошибки и неопределенность нарастают экспоненциально с течением времени.
Э. Лоренц назвал это явление эффектом бабочки: бабочка, взмахивающая крыльями в Айове, может вызвать лавину эффектов, которые могут достигнуть высшей точки в дождливый сезон в Индонезии. Полное предсказание становится в принципе невозможным.
Теория самоорганизации
Самоорганизация - установление упорядоченного состояния в сложных открытых системах, возникновение из начальной неупорядоченности организованных в пространстве и времени структур и процессов без упорядочивающих внешних воздействий. Самоорганизация -- это формирование структуры посредством простых локальных взаимодействий компонентов системы.
Спонтанное структурирование в условиях притока энергии извне известно уже давно. Классическим примером может служить возникновение ячеек Бенара - появление сложной пространственной организации с согласованным, когерентным перемещением множества молекул и образованием конвективных ячеек в форме геометрически весьма правильных шестигранных структур в подогреваемой снизу достаточно вязкой жидкости, например, в слое силиконового масла.
Не менее классическим примером из области гидродинамики является переход ламинарного течения жидкости в турбулентное.
Г. Хакен исследовал формирование когерентного лазерного светового пучка, описав переход от некоррелированного излучения атомами световых волн при «накачке» лазера. При этом атомы начинают когерентно осциллировать, и само поле становится когерентным. Это тоже типичный пример самоорганизации: временная структура когерентной волны возникает без вмешательства извне. На смену хаосу приходит порядок. Отсюда и термин, предложенный Хакеном - «синергетика», согласованное действие - для названия междисциплинарной науки о самоорганизации.
В 1951 году Б.П. Белоусов и Жаботинский открыли и экспериментально исследовали химическую реакцию окисления лимонной кислоты броматом при катализе ионами церия в сернокислотной среде, ставшую классическим примером возникновения диссипативных структур и возникновения пространственно-временной упорядоченности В реакции возникал периодический режим с колебаниями окраски раствора в режиме желтый-бесцветный, а при добавлении железофенантролинового комплекса - красный-синий. В определенных физических условиях реакция порождает следующие видимые структуры:
Достаточно сложный рисунок застывших, окаменевших волн и вихревых потоков можно видеть на распиле декоративных горных пород, например, скарна.
Реакция Белоусова-Жаботинского и многие процессы в биологии представляют собой автокаталитические реакции, в которых для синтеза некоторого вещества требуется присутствие этого же вещества; такая обратная связь графически изображается реакционной петлей обратной связи.
В фазовом пространстве реакция Белоусова-Жаботинского описывается странным аттрактором, весьма схожим с аттрактором Лоренца.
Колебания во времени обычны для биохимических реакций - концентраций веществ в ходе гликолитических реакций и множества других биохимических процессов в организме, характеризующихся обратной связью и нелинейностью. Системы со странными аттакторами могут моделировать самые разные явления - колебательные химические реакции, гидродинамические процессы, динамику численности популяций, процессы в экономике и различные социальные процессы..
Многочисленны примеры самоорганизации в космологии, физике, химии, биологии и техногенных системах
Итак, самоорганизация с возникновением сложного непредсказуемого поведения и пространственно-временного структурирования обнаружена на всех исследованных уровнях организации.
Биологическая самоорганизация
В биологии известно огромное число примеров самоорганизации различных биологических систем всех уровней, от молекулярного и клеточного до популяционного.
Сборка макромолекулярных комплексов, например, таких, как многосубъединичные ферменты, нуклеосомы, рибосомы, цитоскелетные структуры, рассмотренная ранее, уже традиционно представляется как самоорганизация биологических структур.
На уровне клеточных популяций детально исследована самоорганизация пространственных паттернов, радиальных и спиральных, в клеточных колониях.
Классическим, одним из первых, примером биологической самоорганизации стала агрегация амеб Dictyostelium. Как известно, агрегирующие клетки движутся в направлении возрастания концентрации аттрактанта, цАМФ; клеточный источник аттрактанта становится центром агрегации. Агрегация амеб происходит неравномерно, с формированием концентрических или спиральных волн клеток, т.е. пространственно-временной упорядоченности вокруг центров агрегации.
Еще один пример пространственной самоорганизации в популяциях насекомых, - агрегация личинок жука Dendroctonus micans, происходящая под влиянием аттрактанта - феромона, синтезируемого личинками. Личинки перемещаются в направлении возрастания концентрации феромона; чем больше личинок скапливается вместе, тем выше концентрация продуцируемого ими аттрактанта. Поэтому агрегация личинок представляет собой автокаталитическую реакцию с самоусилением. Подобный очень простой механизм «коллективного разума» функционирует также при построении термитника: сначала термиты приносят и беспорядочно раскладывают кусочки земли, содержащие аттрактант; случайное расположение нескольких таких комочков вблизи друг друга определяет центр привлечения большего числа термитов, после чего вступает в действие механизм обратной связи, самоусиления.
Коллективное поведение особей общественных насекомых, обычно объясняемое генетически, может быть результатом взаимодействий в системе, т.е. самоорганизации. Разделение муравьев на «тружеников» и «лентяев», как оказалось, изменяется в зависимости от внешних условий. После разрушения сложившихся в популяции связей в каждой группе, как среди «тружеников», так и среди «лентяев», произошло расслоение с выделением тех же двух групп и внезапным превращением «лентяев» в «тружеников» и наоборот. Показано, что самосинхронизация и распределение задач в колониях муравьев осуществляются без воздействия каких-либо внешних сигналов. Сходным образом воспроизводится расслоение сообществ на лидеров и ведомых. Таким образом, целостность и иерархическая структура сообществ воспроизводится, «регенерирует», подобно тому, как планария регенерирует удаленную голову или заднюю часть.
Популяции животных самоорганизуются, генерируя коллективные паттерны, и функционируют как интегрированное целое, обладающее новыми свойствами.
Синхронизированное коллективное поведение насекомых, птиц, рыб и млекопитающих - фактически, их социальное поведение - уже рассматривается как пример самоорганизации, или самосборки социума.
В высокой степени способность к формированию разнообразных пространственно-временных паттернов проявляется нервными клетками. Примечательно поразительное разнообразие и сложность организации мозга. Даже у близнецов найдены очень большие различия нейронной организации. Полиморфизм и вариабельность нейронной организации позволяет мозгу реагировать на разнообразие среды. Самоорганизация нейронов - синхронизация активности в группах нейронов и сигнала двух взаимосвязанных нейронов - обнаружена в клеточной культуре.
Итак, в ходе биологической самоорганизации нелинейные взаимодействия элементов могут вести к сложному и неожиданному поведению их системы с формированием упорядоченной в пространстве или времени структуры на базе хаотической динамики отдельных элементов системы.
Фрактальная геометрия
Переход к хаосу может быть представлен в виде диаграммы бифуркаций. Простой путь перехода к хаосу как каскад бифуркаций - последовательность Фейгенбаума, или сценарий удвоения периода. М. Фейгенбаум выявил закономерность, определяющую поведение разнообразных нелинейных систем с последовательными бифуркациями удвоения периода: до определенного порога значений параметров система имеет периодический режим с периодом T, который удваивается при переходе через порог (период становится равным 2 T), затем при переходе через следующий порог снова удваивается, становится равным 4 T, и т.д. Последовательность Фейгенбаума - один из типичных сценариев перехода от порядка к хаосу, от простого периодического режима к сложному апериодическому при бесконечном удвоении периода. Последовательность Фейгенбаума имеет самоподобную, фрактальную структуру - увеличение какой-либо области выявляет подобие выделенного участка всей структуре
Итак, переходим к фрактальной геометрии - геометрии динамического хаоса. Нелинейная динамика и фрактальная геометрия тесно связаны, однако эти разделы науки развивались порознь, и их связь и тем более единство еще не полностью установлены.
Термин «фрактал» (от лат. fractare - ломать, дробить; fractus - расчлененный, разбитый; англ. fractal - дробный) ввел Бенуа Мандельброт, он же Б. Мандельбро (Benoit Mandelbrot), родившийся в Варшаве (в 1924 г.), работавший во Франции и США.
Согласно определению Б. Мандельброта, фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше его топологической размерности. Проще говоря, фрактал - множество, размерность которого отличается от обычной размерности, называемой топологической. Б. Мандельброт дает и другое определение: фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Строгого и исчерпывающего определения фракталов пока не существует.
Фрактальная структура образуется путем бесконечного повторения (итерации) какой-либо исходной формы во все уменьшающемся (или увеличивающемся) масштабе по определенному алгоритму, т.е. в соответствии с определенной математической процедурой. Этот несложный процесс с обратной связью дает поразительно многообразный морфогенез, нередко подобный созданию природных форм. Таким образом, фракталы характеризуются самоподобием, или масштабной инвариантностью, т.е. единообразием в широком диапазоне масштабов.
Традиционные геометрические объекты имеют целочисленную размерность: линия одномерна, плоская поверхность двумерна, поверхность сферы трехмерна. Фрактальные объекты характеризуются фрактальной, дробной размерностью. Такая размерность была введена Ф. Хаусдорфом. Если гладкая эвклидова линия заполняет в точности одномерное пространство, то фрактальная линия выходит за его пределы, частично заполняя двумерное, ее размерность - дробная, промежуточная между исходной размерностью линии и двумерного пространства, в котором идет морфогенез фрактала. Например, фрактальная линия берега имеет размерность между 1 и 2; фрактальная поверхность (горный рельеф) - размерность между 2 и 3.
Исследование фракталов было связано с практической задачей измерения береговой линии. Фрактальная размерность изрезанного фиордами побережья Норвегии характеризуется значением D около 1,5. Для менее изрезанной береговой линии Англии значение D оказалось равным приблизительно 1,3.
Упрощенно можно представить фрактальную размерность как отношение длины измеряемого контура к длине мерки. Фрактальная размерность является показателем, мерой заполнения пространства фрактальной структурой.
Предшественники современной фрактальной геометрии: К. Вейерштрасс, Ф. Хаусдорф, Г. Кантор, Дж. Пеано, Г. Жюлиа, Х. Кох, В. Серпинский в конце XIX - начале XX веков создали первые графические образы структур, названных впоследствии фрактальными. Эти классические примеры фракталов помогают уяснить их сущность.
Построение дискретного множества Г. Кантора проводится таким образом: из исходного отрезка выбрасывается интервал (одна треть), и эта операция повторяется бесконечно (рис). Фрактальная размерность (топологический инвариант) фрактальной множества Кантора
D = ln 2 / ln 3 0, 63
Весьма наглядны такие линейные геометрические фракталы, как линия Коха (рис., генерация которой определяется ломаной линией, заменяющей за один шаг все отрезки фигуры, и треугольник Серпинского (рис.), имеющий фрактальную размерность D = ln 3 / ln 2 1, 58.
Рис. Построение кривой Коха
Фрактальная размерность - топологический инвариант каждой фрактальной структуры, особый вид симметрии - как бы симметрия фрактала относительно масштаба.
Итак, фрактальная линия выходит за пределы одномерного пространства, вторгаясь в двумерное, ее размерность - дробная, промежуточная между исходной размерностью линии и двумерного пространства, в котором идет морфогенез фрактала. Точно так же фрактальная плоскость частично выходит в трехмерное пространство; теоретически мыслим и выход трехмерной поверхности в результате ее фрактализации в пространство высшей размерности.
Рис. Построение треугольника Серпинского
Фрактальными (точнее, квазифрактальными) оказались, помимо береговой линии, многие другие природные структуры и процессы: реки с их притоками, молнии, раскаты грома, поверхность гор, облаков, распределение галактик, солнечная активность и т. д. Окружающие нас естественные ландшафты формируются как результат динамического хаоса природных процессов. Фрактальность природных объектов доказывается возможностью построения весьма правдоподобных компьютерных ландшафтов виртуального мира по простым фрактальным программам, в которых подобие реальности достигается рандомизацией, некоторой степенью нерегулярности путем введением случайных чисел. Так, при построении желаемой поверхности виртуальных ландшафтов, с невысокими сглаженными холмами или же гор с остроконечными скальными пиками, применяется метод случайного - в определенных пределах, определяющих степень гладкости ландшафта - смещения средней стороны треугольников, на которых разбивается плоскость.
Помимо виртуальных ландшафтов, применение компьютерных программ дает возможность создания сложнейших, завораживающе красивых или неописуемо фантастических образов, претерпевающих бесконечные метаморфозы. Однако фракталы могут быть и невзрачными, например, хлопьевидные, зернистые, волокнистые и т. п. структуры и агрегаты.
Самоподобие фрактальных структур как результат реитерации функции с обратной связью (самореферентная обратная связь) определяет связь ближнего (локального) и дальнего (глобального) порядков и дает возможность сжатого математического описания структур и процессов, еще недавно недоступных такому описанию и пониманию.
Множества Жюлиа (рис.) и Мандельброта - нелинейные, квадратичные фракталы, комплексные динамические системы, генерируемые бесконечным повторением (итерацией) алгебраических функций или систем функций, причем значение вычисленной функции при следующей операции подставляется как аргумент. Простые математические правила порождают самоподобное относительно нелинейных преобразований, весьма сложное формообразование - это означает, что в основе сложных структур и процессов могут лежать простые правила.
Рис. Примеры множеств Жюлиа
При генерации этих множеств используется простой алгоритм на основе полинома второй степени. Наиболее сложный и интересный фрактальный объект - множество Мандельброта.
Рис. Множество Мандельброта
Формула для вычисления z множества Мандельброта:
c (zІ + 1)І
--------
z (zІ - 1)І
где переменная z и константа c - комплексные числа, состоящие из действительной и мнимой частей (мнимая часть содержит множитель i: квадратный корень из -1). Эти числа отображаются точками на координатной плоскости и экране компьютера, где формируется пространственно-временной образ множества. Компьютер, последовательно вычисляющий значения этих чисел, используется подобно микроскопу, обеспечивая возможность увеличения части изображения за счет дальнейших вычислений компьютера с постоянным уменьшением масштаба. При этом наблюдается воспроизведение одной и той же основной структуры множества Мандельброта (которую разные авторы именуют по-разному: пряничный человек, сердце, черный карлик) с появлением множества копий в разных масштабах, но без полного повторения окружающих структур, без строгого самоподобия, с развертыванием бесконечных вариаций и появлением весьма нетривиальных картин (след. рис.). Множество Мандельброта оказывается и вместилищем изображений множеств Жюлиа.
Таким образом, простой алгоритм построения раскрывается при бесконечном повторении как генератор разнообразных причудливых форм, некоторые из которых напоминают биологические и эффектно выглядят даже в черно-белом статичном изображении, получаемом при последовательных «увеличениях» с помощью компьютера (рис.). Преобразования, происходящие при развертывании множества Мандельброта, можно представить в виде каскада бифуркаций, с последовательным удвоением числа решений и нарастанием неопределенности - невозможности точного прогнозирования положения отдельной точки. Поэтому множество Мандельброта - визуализация образа детерминированного хаоса.
Итак, сложные формы, нередко напоминающие биологические, могут быть созданы без генов, по простому рекурсивному (с обратной связью) алгоритму, выполняющему роль генетических правил.
Рис. Фрагменты множества Мандельброта
Хаос и фракталы
Структура идеального компьютерного фрактала сохраняется при любых масштабах ее рассмотрения. Чтобы получить такой фрактал, итерации должны продолжаться бесконечно долго, иначе полученное множество не будет фракталом, утрачивая на каком-то шаге свою фрактальную структуру. Природные, в частности, биологические структуры - стохастические, хаотические фракталы, или квазифракталы; повторяемость их структуры в разном масштабе неполна и неточна - это «обрубленные» фракталы. Некоторые исследователи, например, С.Д. Хайтун (1996), приходят к заключению, что фракталы не являются реально существующими объектами, а реальные системы могут быть только фракталоподобными.
Все природные квазифрактальные структуры) представляют собой след, результат, структурную запись порождающих их хаотических природных процессов. Фрактальная геометрия природы, неживой и живой - это геометрия хаоса. Структурные квазифракталы можно считать пространственными аналогами хаотических нелинейных процессов; в результате таких процессов возникают природные квазифрактальные структуры. Хаотические процессы тоже характеризуются повторением своей структуры при изменении масштаба, т.е. статистическим самоподобием, квазифрактальностью во времени.
П. Бак и К. Чен (1991) рассматривают фракталы как мгновенные «срезы» самоорганизующихся критических процессов, пространственные «отпечатки» самоорганизованной критичности, в структуре которых отсутствует строгое самоподобие.
Рис. Ураган и вид речного бассейна из космоса
Итак, даже относительно простые фракталы неживой и живой природы отличаются от идеальных компьютерных фракталов неполнотой и неточностью повторений структуры - это квазифракталы, хаотические, или случайные фракталы. Множество процессов в природе и обществе проявляют хаотическую фрактальную динамику - от космических и планетарных до физиологических и биохимических явлений; Б. Мандельброт, анализируя изменения индекса Доу-Джонса, обнаружил фрактальные флуктуации в разных масштабах времени. Шумы и музыка также имеют фрактальную природу. Создаваемая человеком музыка, как оказалось, имеет общие черты с динамикой природных процессов - имитируя таким образом изменения нашего мира во времени.
Особый тип хаотических фракталов составляют так называемые фрактальные кластеры - новый класс физических объектов, плотность которых уменьшается по мере роста, с увеличением размера кластера. Многие биологические объекты подобны физическим фрактальным кластерам. Несколько позже выяснилась универсальность этой модели и ее применимость к имитационному моделированию многих фрактальных форм неживой и живой природы и столь разных явлений как осаждение металла при электролизе, электрический разряд при пробое диэлектрика, формирование “вязких пальцев” при вытеснении воздухом вязкой жидкости, рост минеральных дендритов, бактериальных колоний (рис. 23).
Рис. Физические фрактальные кластеры: осаждение металла при электролизе; «вязкие пальцы»; электрический разряд
Модифицируя экспериментальные условия, можно получить рост анизотропных кластеров. Так, рост дендритных кластеров цинка при электролизе и дендритов другой природы от граничной поверхности ведет к образованию анизотропных фрактальных деревьев, весьма напоминающих формы живой природы.
Внешнее сходство фрактальных кластеров весьма разнообразной природы подкрепляется возможностью их моделирования. При этом компьютерные модели не только имитируют морфологию фрактальных кластеров и дают их математическое описание, но и объясняет образование таких кластеров. Отличительная черта этих моделей и подобных процессов роста фрактальных агрегатов - это концентрация ростовых процессов в периферических областях кластера, что происходит вследствие экранирования внутренних частей агрегата от вновь поступающих диффундирующих частиц.
Итак, фрактальная геометрия -- это геометрия природы, и окружающий нас мир наполнен хаотическими фракталами, красота или невзрачность которых поддается сжатому математическому описанию и моделированию с использованием простого рекурсивного, с обратной самореферентной связью алгоритма, выполняющего роль генетических правил при построении компьютерных фракталов.
Самоподобие, связь локального и глобального порядков делают фракталы сходными с голограммами, каждая часть которых несет целостное изображение, и биологическими морфогенетическими полями.
Литература
1.Горелов А.А. Концепции современного естествознания: Курс лекций. М., Центр, 2007 - 208 с.
2.Грушевицкая Т.Г., Садохин А.П. Концепции современного естествознания: Учебное пособие. - М.: Высшая школа, 2007. - 383 с.
3.Данилова В.С., Кожевников Н.Н. Основные концепции современного естествознания: Учебн. пособие для вузов.-М.:Аспект Пресс, 2007. -256 с.
4.Дубнищева Т.Я., Пигарев А.Ю. Современное естествознание. Уч. пособие.-М. «Маркетинг», 2007. - 160 с.
5.Карпенков С.Х. Концепции современного естествознания: Учебник.-М. Высшая школа. 2007. - 334 с.
6.Клинк Н.Ю. Краткий конспект лекций по КСЕ.- кафедра современного естествознания СПб ИНЖЭКОН ( филиал в г.Чебоксары), 2009.
7.Конспект лекций по КСЕ. - Сост. Ревская Н.В.- СПб: Альфа. 2008.-160 с.
8.Концепции современного естествознания. - Под ред. В.Н.Лавриненко.: М.ЮНИТИ, 2008.- 303 с.
9.Концепции современного естествознания.: учебник для вузов под ред.С.И.Самыгина.- Ростов-н-Д.: Феникс, 2008, 2003.-576 с.
10.Липовко П.О. Практикум по естествознанию - Ростов-на-Дону/ Феникс. 2008.- 320 с.
11.Лось В.А. Основы современного естествознания. Уч. пособие. М., ИНФРА, 2007. - 192 с.
12.Масленникова И.С., Дыбов А.М., Шапошникова Т.А. Концепции современного естествознания. - СПб, СПбГИЭУ. 2008.-283 с.
13.Найдыш В.М. Концепции современного естествознания. М.:Высшая школа, 2009.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Особенность синергетики как науки. Синергетика Ч. Шеррингтона, синергия Улана и синергетический подход И. Забуского. Объекты исследования синергетики. Структура и хаос. Теория диссипативных структур и автоволновых процессов. Поиски универсальной модели.
контрольная работа [31,5 K], добавлен 16.04.2011Понятия "эволюционизм" и "эволюция". Исторические этапы развития и принципы универсального эволюционизма. Сущность основных понятий синергетики: аттрактор, бифуркация, диссипативность, нелинейность, открытая система, порядок, синергия, флуктуации, хаос.
презентация [195,9 K], добавлен 05.12.2013Синергетика – наука о сложном. Сущность гуманитарного аспекта синергетики. Синергетический процесс с социальной точки зрения. Подходы к анализу систем. Эволюционная триада и принцип причинности. Диалектика, самоорганизация, хаос и порядок, эволюция.
реферат [96,3 K], добавлен 10.01.2011Синергетика как новое направление междисциплинарных исследований и новое миропонимание. Основные этапы развития синергетики: термины, понятия и категориальный аппарат, уровни самоорганизации материи, концепция развития. Диалектика эволюции живой природы.
курсовая работа [42,6 K], добавлен 09.06.2010Характеристики самоорганизующихся систем. Открытость. Нелинейность. Диссипативность. Системная модель мира. Самоорганизация и эволюция сложных систем, далеких от равновесия. Основы теории самоорганизации систем. Синергетическая картина мира.
реферат [53,9 K], добавлен 18.11.2007Существо и понятие синергетики как нового направления современной научной мысли. Основные проблемы синергетики и отношение к ней других наук. Самоорганизация в синергетике, синергетический процесс с социальной точки зрения, его методологические проблемы.
реферат [33,6 K], добавлен 10.03.2011Естественнонаучная и гуманитарная культуры и история естествознания. Корпускулярная и континуальная концепции описания природы. Порядок и беспорядок в природе, хаос. Пространство и время, принципы относительности, симметрии, универсального эволюционизма.
курс лекций [545,5 K], добавлен 05.10.2009Кибернетика и ее принципы. Самоорганизующиеся системы. Связь кибернетики с процессом самоорганизации. Синергетика как новое направление междисциплинарных исследований. Отличие синергетики от кибернетики. Структурные компоненты процесса самоорганизации.
реферат [58,1 K], добавлен 09.09.2008Суть современных концепций относительности пространства и времени в специальной и общей теориях. Гиперхронологическое историческое пространство, ускорение исторического времени. Раскрытие понятий бифуркаций, фракталов, аттракторов, факторов случайности.
контрольная работа [466,4 K], добавлен 10.12.2009Воздействие синергетики на современные высокие социальные технологии. Синергетика как междисциплинарное направление научных исследований. Основные понятия синергетики. Синергетический подход в биофизике. Основные принципы синергетики в естествознании.
реферат [18,8 K], добавлен 25.06.2010Основные свойства эволюционных процессов и их отличие от динамических и статистических процессов и явлений в природе. Современные подходы к анализу сложных самоорганизующихся систем. Особенности синергетики. Экономика с точки зрения синергетики.
курсовая работа [23,1 K], добавлен 01.10.2010Анализ главной темы книги "Время, хаос, квант" - вопроса о парадоксе времени, который рассмотрен как проблема, решение которой требует расширения основной концептуальной схемы теоретической физики. Особенности проблемы центральной роли "законов природы".
анализ книги [16,8 K], добавлен 02.12.2010Исследование понятия синергетики, нового направления в познании человеком природы, общества и самого себя, смысла своего существования. Анализ синергетической теории управления, принципов нелинейного мышления, синергетических подходов к синтезу систем.
реферат [34,9 K], добавлен 19.12.2012Понятие синергетики и бифуркации, общая характеристика теории катастроф. Актуальность и область применения универсальных законов бедствий. Законы распределения вероятностей и степенные законы. Механизмы возникновения и развития катастрофических событий.
аттестационная работа [788,8 K], добавлен 13.01.2011Исторические этапы и структура процессов эволюции. Суть теории бифуркации в синергетике. Кризис современной цивилизации и пути выхода. Синергетика как составляющая научной картины мира. Идея самоорганизации системы. Эволюционно-синергетическая концепция.
презентация [23,6 M], добавлен 22.11.2011Дриопитеки как животные предки человека. Представители человеческой линии эволюции - австралопитеки. Эволюция рода человек. Самоорганизация как основа эволюции. Основные условия и положения самоорганизации систем. Две теории о происхождении материков.
контрольная работа [29,6 K], добавлен 10.08.2009Самоорганизующиеся системы как предмет изучения синергетики. Подходы к изучению синергетики, ее диалогичность. Модели самоорганизации в науках о человеке и обществе. Сверхбыстрое развитие процессов в сложных системах. Коэволюция, роль хаоса в эволюции.
курсовая работа [47,0 K], добавлен 30.01.2010Принципы осмысления действительности. Принципы нелинейной термодинамики неравновесных процессов в синергетике. Синергетика как научная теория о самоорганизации в природе и обществе как открытых системах. Катастрофы и бифуркации синергетической системы.
реферат [32,4 K], добавлен 24.06.2010Физика глазами гуманитария: образы физики. Физика необходимого и возможного. Живые системы и человек в биосфере. Принципы синергетики, эволюционная триада и системный подход. Качественные методы в эволюционных задачах, а также самоорганизация в природе.
курс лекций [284,0 K], добавлен 14.01.2009Синергетика как теория самоорганизующихся систем в современном научном мире. История и логика возникновения синергетического подхода в естествознании. Влияние этого подхода на развитие науки. Методологическая значимость синергетики в современной науке.
реферат [30,9 K], добавлен 27.12.2016
