Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Часть 1. Определение специфики явления самосборки.

Часть 2. Определение понятия дискретный аттрактор.

Часть 3. Построения моделей самосборки на базе дискретного аттрактора.

Часть 4. Основные определения явления симметрии.

Часть 5. Основные сведения по архитектуре вирусных капсидов (симметрия)

Часть 6. Постановка задачи исследования симметрии в моделях самосборки.

Части 7-9. Выбор порождающей функции и описание симметрии графика. Проявления симметрии в фазовом портрете аттрактора. Перенос симметрии фазового портрета на продукты самосборки.

Часть 10. Обсуждение результатов и заключение

Часть 11. Список литературы.

Часть 1. Определение специфики явления самосборки

В наш постиндустриальный век одной из важнейших задач является организация управления и координирования различных процессов. Каждый человек обладает какими-то идентификационными данными (паспортом, например), платит налоги, ежедневно взаимодействует с массой служб: коммунальная, дорожная и так далее. Работа каждой такой организации взаимосвязана с другими организациями, предприятиями, людьми… Очевидно, что такая сложная система не может обслуживаться вручную. Современные технологии позволяют создавать машины с довольно-таки замысловатым логическим устройством; алгоритмы, по которым они работают, достаточно непрозрачны.

В таких условиях на первый план выходит задача саморегуляции системы. Нет особой разницы, о чём конкретно идёт речь: работа городских служб, сеть Интернета, живые и неживые организмы или абстрактные функции. Все эти системы можно - путём, пусть иногда и нетривиальных, аналогий - свести к какой-то общей модели. Задачей, в данном случае, является построение такой модели, которая могла бы функционировать и после разрушения самой системы или каких-то связей внутри неё.

Примером описанного явления может быть маршрутизация в компьютерной сети. Действительно, при выходе из строя нескольких маршрутизаторов, остальные устройства исключат их из своих маршрутных таблиц и будут строить путь в обход сломанных маршрутизаторов. Кроме того, для передачи данных не обязательно знать о существовании всех возможных путей или даже части устройств; для передачи пакетов по сети не обязательно существование единого координирующего прибора. Конечно, существуют роутеры, которые «знают» все адреса в своем сегменте и рассчитывают все маршруты в ней, но данные могут передаваться и между различными сегментами. Такой принцип организации существенно облегчает передачу данных. И, хотя нельзя утверждать, что система может обходиться полностью без человека (технические неисправности) или некоторых локальных координирующих устройств, всю систему в совокупности можно считать автономной.

Следующий пример - параллельное программирование. Разумеется, необходима некоторая работа программиста, разбивающая код на не зависимые друг от друга куски, которые могут выполняться параллельно. Если требуется, можно продумать принцип обмена данных (передача их между процессами). Всё это служит для уменьшения времени вычислений. Тут нельзя рассуждать о полной самостоятельности вычислений и о понятии «самосборка», строго говоря, однако работы в данном направлении служат достижению и этой цели.

Итак, самосборка. Что же это такое?

Если разбирать слово «самосборка» по составу, в соответствии с правилами русского языка, можно выделить два корня: «сам» и «сбор». Логично будет предположить, что речь идёт о системе (организме, набор данных…), который порождается самостоятельно, без влияния извне, пользуясь лишь начальными данными и каким-то общим правилом (или набором правил). Тут будет уместно вспомнить о процессе формирования эмбриона. Всё начинается с зиготы.

Зигота - одна клетка с двойным набором хромосом - является тотипотентной клеткой. Тотипотентность - свойство клеток реализовывать генетическую информацию ядра, обеспечивает их дифференциацию и развитие из одной клетки целого организма (состоящего из многих типов клеток). Таким образом, одна зигота начинает делиться простым дроблением на множество дочерних клеток - бластомеры. Как только прекращается дробление зиготы, начинается морула, стадия раннего эмбрионального развития. Клетки зародыша формируют структуру, являющуюся шаровидной. Далее следует бластула - многоклеточный организм, имеющий один слой клеток.

Эти процессы представлены на рисунке:

Затем наступает гаструла - период, когда часть стенки бластулы впячивается внутрь; теперь зародыш состоит из двух частей: эктодермы (наружный слой клеток) и энтодермы (внутренний). Из внутреннего слоя клеток в дальнейшем формируются внутренние органы (легкие, кишечник и др.), а из эктодермы - нервная система, зубная эмаль и кожный эпителий.

Весь этот, известный ещё из школьного курса биологии, процесс не является регулируемым извне. Он происходит сам; клетки сами делятся, сами формируют шарообразную структуру, сами образуют полость, сами упорядоченно и организованно (хотя никакой организации-то в привычном смысле слова и нет!) формируют два слоя, два типа клеток - эктодерму и энтодерму.

Всё это напоминает муравейник. Насекомые не обладают строгим набором правил (инструкций), кто из них что должен делать. Есть деление на классы среди муравьев, но на этом организационный момент заканчивается. Польский мирмеколог Я.Добжанская проводила эксперимент: брались самка, личинки и только одна функциональная группа муравьев. (Разведчики, охотники, сборщики, строители, «няньки» - вот основные типы «профессий» у муравьев.) Эта функциональная группа распадалась: муравьи «перераспределяли» профессии по мере надобности, хотя никаких наблюдаемых инструкций они не получали. Вообще, муравейник - децентрализованная система.

Важнейшим примером в данной теме является самосборка вирусов. Необходимо более подробное описание процесса.

Что представляет из себя вирус? Это неклеточная форма жизни, которая, хоть и обладает собственным геномом (ДНК или РНК), может воспроизвести себя лишь в клетках другого организма.

На химическом уровне молекулы белка состоят из некоторых радикалов, аминогруппы NH₂ и карбоксильной группы COOH. Эти группы образуют пептидные связи; белковая субъединица - полипептид - содержит великое множество таких пептидов (от 50 аминокислотных остатков).

На приведённом ниже рисунке показана общая схема строения вируса:

Цифрами обозначены: 1 - геном (ДНК или РНК), 2 - нуклеокапсид (дополнительная белковая оболочка, окружающая геном; наличие не обязательно), 3 - капсид (построен или из идентичных субъединиц, или из объединений нескольких белков), 4 - липидная оболочка (задействована из ядерной или клеточной мембраны клетки-хозяйки; тоже встречается не всегда), 5 - фибриллы (для распознавания) и сокращающийся хвост (для доставки и интеграции вируса в клетку).

Цикл самосборки выглядит следующим образом. Вирусная частица (вирион) прикрепляется к клетке. Геном вируса (иногда со вспомогательными белками вируса) проникает в хозяйскую клетку. Затем клетка начинает синтезировать вместо своих собственных белков - вирусные белки и нуклеиновые кислоты. Из синтезированных компонентов начинается самосборка вируса.

самосборка аттрактор дискретный симметрия

На рисунке представлена схема самосборки вируса табачной мозайки. Вокруг РНК вируса, которая имеет спиралеобразную форму, нанизаны белковые частицы. Всего белковых субъединиц 2130, размеры вируса: длина примерно 300 нм, ширина - 17 нм.

Интересно то, что отдельные части вируса собираются независимо друг от друга, но в итоге получается одно целое; и, опять же, нет (или не установлено наличие) некоего внешнего фактора, который направлял бы движение молекул определённым образом.

Часть 2. Определение понятия дискретный аттрактор

Дискретный аттрактор - это устройство, на вход которого подаются данные (возможно, сопровождаемые функциональными полями); к этим данным применяется некоторое преобразование F (а также и к функциональным полям - соответствующее правило). Выходные данные снова могут стать входными, а могут и восприниматься как конечный результат. Данные эти представляются в строго определённой форме (определённой разрядности).

Схематично это описывается так:

Начальные входные данные a₀ после преобразования F превращаются в a₁; после повторного преобразования уже получившегося результата a₁ получатся данные a₂. Очевидно, что можно построить некоторый граф переходов данных из состояния a₀ в a₁, из a₁ в a₂ , и так далее… Этот граф будет называться графом кодовых переходов. Эти понятия разрабатывались в трудах Владимира Игоревича Арнольда.

Данные представляются в виде последовательностей нулей и единиц, число которых равно разрядности регистра. Таким образом, каждому данному соответствует кодовое состояние машинного регистра.

С графом кодовых переходов связано понятие «компонента связности», эти компоненты бывают следующими:

1. Цикл. В работах В. И. Арнольда обозначается как O_m, содержит m циклически соединённых вершин.

2. Бинарное дерево из 2ⁿ вершин, которое обозначается знаком T₂ⁿ.

Примеры выглядят так:

Все вершины графа кодовых переходов имеют одну и только одну исходящую дугу. Это верно в силу единственности преобразования F. Входящих дуг может быть несколько. Из этого следуют нижеперечисленные типы структур графа кодовых переходов:

1. Полюс. Точка, возвращающаяся сама в себя.

2. Кольцо. Это последовательность из нескольких вершин, отличных от полюса, имеющих по одной входной дуге.

3. Цепь. В отличие от кольца, тут присутствует полюс (со входной дугой), а остальные вершины не могут иметь больше одной входящей дуги.

4. Дерево. Эта структура отличается от цепи наличием нескольких входящих дуг для одной (или нескольких) из вершин.

5. Розетка. Эта структура состоит из нескольких деревьев (или одиночных вершин, не содержащих входящих дуг), сходящихся не к полюсу, а к кольцу.

Других типов структур нет.

Говоря о дискретном аттракторе, надо сказать и о таком его свойстве, как устойчивость. Под термином «устойчивость» в данном случае подразумевается способность аттрактора при утере каких-либо промежуточных данных восстановить весь цикл. Действительно, если из начальных данных а₀ генерируется последовательность а₁, а₂, а₃..., и при этом пропадает какое-то промежуточное звено, например, а₄, то, имея предыдущие результаты или одни только начальные данные, несложно будет восстановить всю последовательность.

Следующим важным свойством дискретного аттрактора является компрессия. Для того, чтобы воспроизвести весь граф, необходимо хранить в памяти только начальные значения (начальные данные) и функциональное преобразование, применяемое к ним. Примером такой компрессии служат числа Фибоначчи. В этой последовательности существуют лишь два первых числа; каждое же следующее получается путем суммирования двух предыдущих. (Правда, последовательность чисел Фибоначчи не является ограниченной.) таким образом, сам принцип работы дискретного аттрактора позволяет экономить место в памяти.

Если в обыкновенном дискретном аттракторе вместо одного преобразования F проводить с одними и теми же данными разные преобразования F₁, F₂, F₃ и так далее, то получившееся устройство будет называться репеллером. В графе, построенном при помощи репеллера, может нарушиться правило аттрактора «только одна исходящая дуга для каждого из различных чисел»; или же, без нарушения этого правила, в графе будут встречаться повторяющиеся кода. Очевидно, что, если убрать ограничения на разрядность данных (т.е., фактически, ограничение их определённым диапазоном значений), репеллер даёт возможность ветвиться графу практически неограниченно.

Схема репеллера (общий вид):

Схема репеллера (ветвление):

На этом рисунке показано, что данные после преобразований могут совпадать с данными, уже возникшими ранее.

Часть 3. Построения моделей самосборки на базе дискретного аттрактора

Теперь, после введения понятия «дискретный аттрактор» становится ясно, что модели самосборки можно связать с ним. Действительно, если закодировать каким-либо образом набор белков и задать преобразование F (или несколько преобразований), то можно попробовать описать с помощью этого аппарата процесс самосборки вируса.

Однако тут возникает множество вопросов. Какое преобразование выбрать? Как именно связать процесс самосборки вируса с этим преобразованием? На каком уровне точности нужно рассматривать вирус?..

Ответ на последний вопрос очевиден. Современная наука не может проследить некоторые процессы, протекающие при самосборке вирионов. Происходит это в силу ряда объективных причин, например, из-за быстроты действа и сложности получения результатов в препаратах. Это означает, что, во-первых, рассматриваться самосборка будет на уровне «субъединица белка - отдельная частица» (не принимая во внимание её внутреннее устройство), а, во-вторых, некоторые заключения будут лишь умозрительными. Однако предположение о том, как происходит самосборка вируса, не может быть неверным только потому, что невозможно её пронаблюдать полностью своими глазами.

Важным подспорьем тут будет играть роль такое свойство предметов, как симметрия.

Часть 4. Основные определения явления симметрии

Симметрией называется свойство неизменности вида тела при определённых изменениях. Существует несколько типов симметрии в геометрии: зеркальная, осевая, вращательная, центральная и т.д. Наибольший интерес в данном случае представляет собой осевая симметрия n-го порядка.

Под осевой симметрией n-го порядка понимается случай, когда фигура может повернуться вокруг некоторой оси на 360^о/n, где n - натуральное число, и при этом самосовместиться.

Примеры осевой симметрии различных порядков вокруг оси О представлены на рисунке:

Явление симметрии весьма распространено в природе. Например, зеркальной (или почти зеркальной, за вычетом небольших различий) является симметрия лица относительно вертикальной линии, проходящей ото лба к подбородку. Примером осевой симметрии служит любой круг. Приведённый выше тип - осевая симметрия n-го порядка - также встречается в жизни, а описан наукой кристаллографией.

В кристаллографии существуют осевые симметрии только 2, 3, 4 и 6го порядков. Это связано с тем, что иные структуры на момент зарождения теории классификации кристаллов (1848 - Огюст Браве нашел основные типы кристаллических решёток) были неизвестны. Однако в 1982 году Даном Шехтманом впервые наблюдались квазикристаллы. Эти кристаллы не попадают под классическую теорию, так как содержат оси симметрии 5го порядка, а также дальний порядок (повторяемость на неограниченно больших расстояниях упорядоченности во взаимном расположении атомов или молекул).

Тип структуры вирусного капсида - икосаэдрическая. Там-то как раз и проявляется осевая симметрия 5-го порядка. Рассмотрим фигуру икосаэдра подробнее.

На рисунках изображен икосаэдр (справа) и икосаэдр в развертке (слева). Как видно из рисунков, икосаэдр содержит в себе 20 граней (правильных треугольников), которые дадут в совокупности 10 осей симметрии 3его порядка. Эти оси симметрии будут проходить через центры каждого из треугольников (напоминание, в правильном треугольнике центр - точка пересечения медиан ,или высот, или биссектрис; в икосаэдре каждому из этих треугольников будет соответствовать парная фигура, находящаяся в параллельной плоскости к плоскости данного треугольника; таким образом, линия, проходящая через центры треугольников, будет перпендикуляром к плоскостям этих треугольников - в силу строения икосаэдра).

Далее существуют 15 осей второго порядка - это середины 30 ребер икосаэдра.

Наконец, осями пятого порядка в икосаэдре будут прямые, проходящие через симметричные вершины икосаэдра.

Часть 5. Основные сведения по архитектуре вирусных капсидов (симметрия)

Чем же так привлекательна ось симметрии пятого порядка? Дело в том, что капсиды многих вирусов имеют обладают икосаэдрической симметрией. (Другим распространенным типом структуры капсида является палочковидная, где геномная РНК упакована по спирали.)

Замечание. Для того, чтобы фигура обладала икосаэдрической симметрией, она вовсе не должна быть икосаэдром.

Рассмотрим строение вирусного капсида. Впервые было рассчитано Криком и Уотсоном, что для построения сферы капсида, обладающей симметрией икосаэдра, необходимо 60 субъединиц белка (как минимум). Каждая из этих субъединиц не должна совпадать с осью симметрии икосаэдра, то есть ей следует находиться в асимметричной ячейке - участке поверхности икосаэдра, не содержащей его осей симметрии. Это представлено на рисунке ниже:

Цифрами 2, 3 и 5 обозначены точки прохождения осей соответствующих порядков; иными цифрами обозначены асимметричные ячейки (или асимметричные части).

Асимметричные ячейки могут содержать симметричные друг другу молекулы, но по-прежнему оси симметрии икосаэдра не должны совпасть с осями симметрий этих молекул. Это могут быть молекулы как разных, так и одного и того же белка; кроме того, как будет показано ниже, молекулы одного и того же белка могут «выглядеть» по-разному, в силу относительной свободы положения в асимметричной части.

Сколько субъединиц белка необходимо для построения капсида? В 1962 году был дан ответ на этот вопрос Каспаром и Клугом. Ими было введено число триангуляции Т. Это число равно количеству субъединиц белка в одной асимметрической ячейке икосаэдра. Каждая грань содержит 3Т субъединиц белка, а весь капсид - 60Т.

Значение Т высчитывается по формуле Т = h²+hk+k², где h, k - натуральные числа.

Как говорилось раньше, для того, чтобы фигура имела икосаэдрический тип симметрии, она вовсе не должна быть икосаэдром. Поэтому капсид вируса, удовлетворяющий этому типу симметрии, внешне состоит из 12 пентамеров и 10*(Т-1) гексамеров (и это не вызывает противоречий).

На рисунке ниже изображен случай с Т=3. Это означает, что в одной асимметричной части лежит 3 субъединицы белка; в данном случае они обозначены как А, В, С.

Эти субъединицы идентичны; субъединицы В и С сближаются вокруг осей 3-его порядка, а А взаимодействуют с другими субъединицами А вокруг осей симметрии 5-го порядка. В данном случае возникает понятие псевдосимметрии: до определенного предела (тут - порядка десятков ангстерм) симметричные объекты похожи. Однако истинной симметрией тут является ось 3его порядка; таким образом, 3В и 3С - 6 субъединиц - расположены вокруг осей симметрии 3его порядка псевдосимметрично (а оси эти, 3-его порядка, являются и осями псевдосимметрии).

Последнее, о чем необходимо сказать в данном разделе, - возможность доменного устройства структуры белков. Она изображена центральной фигурой на рисунке выше. Идентичные молекулы разбиваются на домены; однако молекулы эти не обязательно имеют одинаковые контакты (как в данном случае). P и S домены соединены гибкой петлей - они находятся на поверхности капсида, - а домен R частично разупорядочен. В субъединице С домены P и S имеют отличающуюся от субъединиц А и В ориентацию. В участках взаимодействия субъединиц А и В проявляются локальные структурные различия (хотя субъединицы эти в своей конформации практически идентичны).

Часть 6. Постановка задачи исследования симметрии в моделях самосборки

самосборка аттрактор дискретный симметрия

При исследовании самосборки одной из главных задач является определение логики, с которой элементы системы взаимодействуют друг с другом. Симметрия в данном случае является великолепным подспорьем. Если удастся уловить взаимосвязь - симметрию - между элементами системы, это позволит сделать более широкие выводы, нежели для несимметричной системы.

В данном случае, к тому же, всё наглядно. Симметрия в строении вирусов является той вещью, которую можно не предчувствовать, а наблюдать своими собственными глазами; это, во-первых, придаёт больший вес умозрительным заключениям, а, во-вторых, грамотная иллюстрация к задаче иногда содержит в себе половину (если не всё) решения.

Подбор правильной функции может помочь в прогнозировании реального процесса самосборки вируса.

Часть 7. Выбор порождающей функции и описание симметрии графа. Перенос симметрии на продукты самосборки

Среди множества всех функций предлагается рассмотреть так называемую «функцию сдвига».

В кодовом представлении данных (в виде последовательностей нулей и единиц) две стоящие рядом цифры суммируются по модулю два; чтобы получившееся число оказалось той же разрядности, что и начальное, в качестве последней цифры используется результат сложения по модулю два первой и последней цифр данного числа.

Пример: 01 11, 10 11, 11 00, 00 00.

Будем рассматривать дискретный аттрактор с разрядностью 4.

Условимся (для простоты обозначений) обозначать коды их значением в десятичной системе счисления:

Далее был построен следующий граф. Было введено дополнительное теговое поле, которое имело определённый знак - «метку» - «+» или «-». Выбраны эти метки были изначально произвольно, однако потом было введено следующее правило: у новых данных сохраняется только левая метка (см. рис) . Как видно ниже, структура эта - классическое бинарное дерево и кольцо (по Арнольду). Отсюда видно, что должна сохраниться только одна из меток «родителей»; поэтому метки в начале графа были поставлены нижеследующим образом.

Справа изображены этапы собирания субъединиц белка на спираль РНК; можно предположить, что они собираются именно по такому правилу.

Очевидно, что можно сделать аналогичный граф с другими метками (вместо «-» - «+», и наоборот). Если спираль за «проход» одного такого графа собирается в «шайбу» (см. рис. ниже), то можно предположить, что метка - ничто иное, как некий «замок», некое правило, по которому эти «шайбы» могут крепиться между собой. Чередование «+» и «-» - условие крепления.

Часть 8. Обсуждение результатов и заключение

Итак, процесс самосборки - не зависящая от какого-то центрального управления вещь. Он встречается повсюду; наблюдения, даваемые его исследованием, могут применяться в различных областях жизни. Математической моделью для описания этого процесса является дискретный аттрактор; это устройство позволяет строить вроде бы умозрительные, но, тем не менее, вполне жизнеспособные модели. Пример с самосборкой вируса является отличнейшей иллюстрацией работы этой модели.

Симметрия в данном случае играет ключевую роль. Благодаря самому существованию этого явления можно предполагать различные варианты протекания процесса, наблюдать который непосредственно в момент происхождения физически невозможно. Однако те результаты, которые можно наблюдать, вполне удовлетворяют построенной модели.

Кроме того, существуют иные типы симметрии вирусов, которые ещё не были описаны при помощи дискретного аттрактора, но представляют большой интерес для науки.

Список литературы

1. Арнольд В.И. Сложность конечных последовательностей нулей и единиц и геометрия конечных функциональных пространств, Публичная лекция 13 мая 2006 г.

2. Джо Брокмайер, Ди-Эн Лебланк, Рональд Маккарти, мл. Маршрутизация в Linux, «Вильямс», 2002, 17-29 стр.

3. «Биологический энциклопедический словарь.» Гл. ред. М. С. Гиляров; Редкол.: А. А. Бабаев, Г. Г. Винберг, Г. А. Заварзин и др. -- 2-е изд., исправл. -- М.: Сов. Энциклопедия, 1986.)

4. "Энциклопедический словарь" Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона, современное переиздание.

5. А.А. Захаров. «Муравей, семья, колония», «Наука», Москва, 1978

6. Березов Т.Т., Коровкин Б.Ф., «Биологическая химия» - взято с http://xumuk.ru/biologhim/023.html , актуально на 1.06.2015

7. А.В. Махиборода, «Феномен самосборки: исследования и применение» - взято с http://www.abercade.ru/research/analysis/1295.html , актуально на 1.06.2015

8. В. А. Костюченко, В.В. Месянжинов, «Архитектура сферических вирусов», «Успехи биологической химии», 2002 г.

Размещено на Allbest.ru