Генетические алгоритмы и традиционные способы оптимизации

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Глава 1. Аналитическая часть

1.1 Генетические алгоритмы и традиционные способы оптимизации

1.1.1 Описание генетических алгоритмов

1.2 Основные понятия генетических алгоритмов

1.3 Генетические операторы

1.4 Описание работы классического генетического алгоритма

1.4.1 Генерация начальной популяции

1.4.2 Оценка популяции

1.4.3 Проверка условия остановки

1.4.4 Генерация новой популяции

1.5 Вывод наилучшей особи

2. Глава 2. Проектная часть

2.1 Применение генетических алгоритмов для решения задачи коммивояжера

2.1.1 Постановка задачи безусловной оптимизации

2.2 Ограничения при реализации генетических алгоритмов

2.3 Решение задачи коммивояжера с помощью генетического алгоритма

2.4 Реализация генетического алгоритма для решения задачи коммивояжера с использованием пакета MATLAB 7.5

2.5 Развитие генетических алгоритмов в сторону модели с несколькими взаимодействующими популяциями

2.5.1 Модель миграции генетических алгоритмов

2.5.2 Островная модель генетических алгоритмов

3. Экономическое обоснование проекта

3.1 Выбор и обоснование методики расчета экономической эффективности

3.2 Расчеты показателей экономической эффективности проекта

4. Охрана труда и промышленная экология

4.1 Характеристика производственного объекта

4.2 Анализ опасных и вредных производственных факторов

4.2.1 Основные условия микроклимата в производственном помещении

4.2.2 Шум и вибрация

4.2.3 Освещение

4.3 Мероприятия по технике безопасности во время работы

4.4 Мероприятия по технике безопасности в аварийных ситуациях

4.5 Расчеты подтверждающие или обеспечивающие безопасные условия труда

Заключение

Список используемой литературы

Приложение 1. Кодирование Грея



Введение

Генетические алгоритмы возникли в результате наблюдения и попыток копирования естественных процессов, происходящих в мире живых организмов, в частности, эволюции, связанной с ней селекции (естественного отбора) популяции живых существ. Идея генетических алгоритмов была высказана в конце шестидесятых - начале семидесятых годов XX века. Она была основана на желании составить и реализовать в виде компьютерной программы алгоритм, который будет решать сложные задачи так, как это делает природа - путем эволюции. Современная библиография по генетическим алгоритмам давно перевалила за 9000 наименований и продолжает непрерывно увеличиваться. Однако, несмотря на такое обилие литературы, довольно трудно точно сформулировать, чем именно они являются - квинтэссенцией эволюционных перестроек в природных популяциях организмов, универсальным средством описания адаптаций в популяциях искусственных объектов, или мощной поисковой процедурой с претензиями на решение задач глобальной оптимизации.

Целью данной работы является изучение генетических алгоритмов как способа оптимизации, их эффективности и трудоемкости. В качестве решаемой задачи была выбрана задача коммивояжера, поскольку она очень хорошо изучена, имеет эффективные способы решения, для того, чтобы сравнить с полученными результатами. Также одной из целей данной работы является изучение распространения генетических алгоритмов на модель с несколькими взаимодействующими популяциями.

Основным инструментом для практического исследования была выбрана среда

MATLAB, поскольку она имеет множество встроенных функций и панелей инструментов для решения задач генетического программирования и их параллельного выполнения.



1. Аналитическая часть

1.1 Генетические алгоритмы и традиционные способы оптимизации

1.1.1 Описание генетических алгоритмов

Согласованность и эффективность работы элементов биологических организмов наводит на мысль о возможности использования принципов биологической эволюции с целью оптимизации практически важных для человека систем.

В 1975 г. вышла основополагающая книга Дж. Холланда (Holland) ЇАдаптация в естественных и искусственных системах, в которой был предложен генетический алгоритм - алгоритм, основанный на принципах естественного отбора Ч.Дарвина.

Генетические алгоритмы относят к области мягких вычислений. Понятие «мягких вычислений» (Лофти Заде, 1994 г.) подразумевает под собой совокупность неточных, приближенных методов решения задач, зачастую не имеющих решение за полиномиальное время. Такие задачи возникают в области биологии, медицины, гуманитарных наук, менеджменте. Методы мягких вычислений хорошо дополняют друг друга, и часто используются совместно. В область мягких вычислений входят такие методы как:

- нечеткая логика;

- нейронные сети;

- вероятностные рассуждения;

- байесовские сети доверия;

- эволюционные алгоритмы. [5]

Генетический алгоритм представляет собой метод, отражающей естественную эволюцию методов решения проблем, и в первую очередь задач оптимизации.

Генетические алгоритмы - это процедуры поиска, основанные на механизмах естественного отбора и наследования. В них используется эволюционный принцип выживания наиболее приспособленных особей. Они отличаются от традиционных методов оптимизации несколькими базовыми элементами. В частности, генетические алгоритмы обладают рядом отличительных свойств:

1. кодирование параметров - генетические алгоритмы обрабатывают не значения параметров самой задачи, а их закодированную форму

2. операции на популяции - генетические алгоритмы осуществляют поиск решения исходя из единственной точки (начальное приближение) а из некоторой популяций

3. использование минимума информаций о функций - генетические алгоритмы используют только целевую информацию, а не производные либо дополнительную информацию

4. рандомизация информаций - генетические алгоритмы применяют вероятностные, а не детерминированные правила выбора

Байесовские сети доверия - модель вероятностных и причинно-следственных отношений между переменными в статистическом информационном моделировании.

Сфера применения генетических алгоритмов - это в основном оптимизация многопараметрических функций. Прикладное же применение генетических алгоритмов весьма обширно. Они применяются при разработке программного обеспечения в системах искусственного интеллекта, оптимизации, искусственных нейронных сетях и в других отраслях знаний. Следует отметить, что с их помощью решаются задачи, для которых ранее использовались нейронные сети. В этом случае генетические алгоритмы выступают просто в роли независимого от нейронных сетей метода, предназначенного для решения той же самой задачи. Примером может служить задача коммивояжера, изначально решавшаяся при помощи сети Хопфилда¹. Генетические алгоритмы часто используются совместно с нейронными сетями. Они могут поддерживать нейронные сети или наоборот, либо оба метода взаимодействуют в рамках одной гибридной системы, предназначенной для решения конкретной задачи. Генетические алгоритмы так же применяются совместно с нечеткими системами.

Целесообразность использования генетических алгоритмов изложена очень емко и кратко во фразе из статьи К. Де Йонга: «Решающий аргумент при использовании генетических алгоритмов тесно связан с вопросом о том, какое пространство поиска будет исследовано. Если это пространство легко анализировать и его структура позволяет использовать специализированные методы поиска, то использование генетических алгоритмов менее эффективно с точки зрения затрат вычислительных ресурсов. Если же пространство поиска не поддается анализу и относительно слабо структурировано, и если возможен эффективный способ представления в генетических алгоритмах этого пространства, то они оказываются удивительно эффективным методом эвристического поиска в больших и сложных областях». [8]

Но не стоит расценивать генетические алгоритмы как своеобразную панацею для задач оптимизации. С большой вероятностью генетические алгоритмы покажут как минимум не лучшие результаты по сравнению со специально разработанными методами для решения специализированных задач. Большой плюс эволюционных вычислений в предоставляемом ими унифицированном подходе к решению самых различных проблем.

Генетические алгоритмы показывают блестящие результаты при решении сложных переборных задач (большинство из которых NP-полные, т.е. не решаются полным перебором за полиномиальное время), таких, например, как задача коммивояжера и поиск булевых термов.

генетический алгоритм популяция

1.2 Основные понятия генетических алгоритмов

При описании генетических алгоритмов используются определения, заимствованные из генетики в упрощенном виде и основные понятия линейной алгебры.

Вектор - упорядоченный набор чисел, называемых компонентами вектора.

Булев вектор - вектор, компоненты которого принимают значения из двух элементного (булева) множества значений, как правило {0, 1}.

Популяция - конечное множество особей.

Особь (индивидуум, организм) - набор хромосом с закодированными в них множествами параметров задачи, то есть решений, которые иначе называются точками в пространстве поиска (search points).

Хромосома (цепочка или кодовая последовательность) - это вектор генов.

Хромосома может быть представлена в виде булева вектора, полученного с помощью двоичного кодирования либо кода Грея (см. приложение А). Хромосома обозначается, как правило, A.

Ген (свойство, знак или детектор) - атомарный элемент генотипа, в частности, хромосомы. Несет в себе наследственную информацию. Обозначается x.

Связь хромосомы и гена изображена на рисунке 1.

Рисунок 1.2.1 - Распределение наследственной информации по длине хромосомы.

Генотип (структура) - набор хромосом данной особи. Следовательно, особями популяции могут быть генотипы либо единичные хромосомы (в самом простом случае, генотип состоит из одной хромосомы).

Фенотип - набор значений, соответствующих данному генотипу, то есть это декодированная структура или множество параметров задачи (решение, точка пространства поиска).

Аллель - значение конкретного гена.

Локус - позиция, указывающая место размещения данного гена в хромосоме.

Множество позиций генов - локи.

Очень важным понятием в генетических алгоритмах считается функция приспособленности (fitness function), иначе называемая функция оценки. Эта функция играет важнейшую роль, поскольку позволяет определить степень приспособленности конкретных особей в популяции и выбрать из них наиболее приспособленные (то есть имеющие наибольшие значения функции приспособленности) в соответствии с эволюционным принципом выживания сильнейших. Функция приспособленности так же получила свое название из генетики.

В задачах оптимизации функция приспособленности, как правило, оптимизируется, (точнее сказать, максимизируется) и называется целевой функцией. В задачах максимизации целевая функция преобразуется, и проблема сводится к максимизации. В теории управления функция приспособленности может принимать вид функции погрешности, а в теории игр - стоимостной функции. На каждой итерации генетического алгоритма приспособленность каждой особи данной популяции оценивается при помощи функции приспособленности, и на этой основе создается следующая популяция особей,

составляющих множество потенциальных решений проблемы.

Очередная популяция в генетическом алгоритме называется поколением, а к вновь создаваемой популяции особей применяется термин «новое поколение» или «поколение потомков».



1.3 Генетические операторы

Генетические операторы необходимы для того, чтобы применить принципы наследственности и изменчивости к популяции. Помимо отличительных особенностей, о которых будет рассказано ниже, для всех операторов определено такое свойство как вероятность. То есть описываемые операторы не обязательно применяются ко всем скрещиваемым особям, что вносит дополнительный элемент неопределенности в процесс поиска решения. В данном случае, неопределенность не подразумевает негативный фактор, а является своеобразной "степенью свободы" работы генетического алгоритма.

Оператор кроссинговера (кроссовера, скрещивания, рекомбинации) - оператор,при котором хромосомы обмениваются своими частями. Моделирует процесс скрещивания особей. Пусть имеются две родительские особи с хромосомами A и B. Случайным образом определяется точка внутри хромосомы, в которой обе хромосомы делятся на две части и обмениваются ими. Назовем эту точку точкой кроссинговера (crossover point), иногда она так же называется точкой разрыва. Описанный процесс изображен на рис. 1.3.1.

Рисунок 1.3.1 - Одноточечный кроссинговер

Данный тип кроссинговера называется одноточечным (single-point crossover), т.к. при нем родительские хромосомы «разрезаются» только в одной случайной точке. В двухточечном (и многоточечном кроссинговере (multi-point crossover) вообще) кроссинговере хромосомы рассматриваются как циклы, которые формируются соединением концов линейной хромосомы. Для замены сегмента одного цикла сегментом другого цикла требуется выбор двух точек разрыва. В таком представлении, одноточечный кроссинговер может быть рассмотрен как двухточечный, но с одной точкой разреза, зафиксированной в начале строки. Следовательно, двухточечный кроссинговер решает ту же самую задачу, но более полно. В настоящий момент исследователи соглашаются, что двухточечный кроссинговер лучше, чем одноточечный. [7]

Рисунок 1.3.2 - Мутация хромосомы.

Так же как и кроссинговер, мутации могут проводиться не только в одной случайной точке. Можно выбрать для изменения несколько, причем их число может быть случайным. Также можно инвертировать сразу некоторую группу подряд идущих точек.

Вероятность мутации значительно меньше вероятности кроссинговера и редко превышает 1%. Так же вероятность может быть функцией от характеристики решаемой задачи, например вероятность мутирования генов можно положить обратно пропорциональной длине хромосомы или размеру популяции.

В зависимости от типа оптимизируемой функции стратегия выбора значения вероятности мутации изменяется. Так, например, мутация с фиксированной вероятностью приводит к хорошим результатам для унимодальных функций. Для мультимодальных применяют самоадаптирующуюся оценку вероятности. Хорошим эмпирическим правилом считается выбор вероятности мутации из соотношения

(1.3.1)

где M - число бит в хромосоме.

Оператор инверсии (inversion) - изменение порядка следования генов в хромосоме или ее фрагменте (рис. 4). Данный оператор применяется достаточно редко, но основной его целью является попытка найти порядок генов, который имеет лучший эволюционный потенциал. Инверсия также значительно расширяет область поиска. Мало того, что генетический алгоритм пытается находить хорошие множества значений генов, он также одновременно пробует находить хорошее упорядочения генов. Это гораздо более трудная задача для решения.

Рисунок 1.3.3 - Инверсия в хромосоме.



1.4 Описание работы классического генетического алгоритма

В отличие от эволюции, происходящей в природе, генетический алгоритм только моделирует те процессы в популяции, которые являются существенными для развития.

Наиболее приспособленные особи получают возможность "воспроизводить" потомство с другими особями популяции, что приводит к появлению новых особей, сочетающих в себе некоторые характеристики, наследуемые ими от родителей. Менее приспособленные особи с меньшей вероятностью смогут воспроизвести потомков, так что те свойства, которыми они обладали, будут постепенно исчезать из популяции в процессе эволюции.

Таким образом, воспроизводится вся новая популяция допустимых решений, путем выбора лучших представителей предыдущего поколения, скрещивания их и получения множества новых особей. Это новое поколение будет содержать более высокое соотношение характеристик, которыми обладают хорошие члены предыдущего поколения. В итоге, хорошие характеристики распространяются по всей популяции.

Скрещивание наиболее приспособленных особей приводит к тому, что исследуются наиболее перспективные участки пространства поиска. В конечном итоге, популяция будет сходиться к оптимальному решению задачи.

Имеется много способов реализации идеи биологической эволюции в рамках генетического алгоритма. Схема генетического алгоритма представлена на рис. 1.4.1.

Рисунок 1.4.1 - Схема работы классического генетического алгоритма.

Ниже подробнее рассмотрим шаги алгоритма.

1.4.1 Генерация начальной популяции

Из биологии мы знаем, что любой организм может быть представлен своим фенотипом (физическое представление объекта), который фактически определяет, чем является объект в реальном мире, и генотипом, который содержит всю информацию об объекте на уровне хромосомного набора. При этом каждый ген, то есть элемент информации генотипа, имеет свое отражение в фенотипе. Таким образом, для решения задач нам необходимо представить каждый признак объекта в форме, подходящей для использования в генетическом алгоритме, то есть произвести кодирование решений для того, чтобы генетический алгоритм смог с ними работать.

Все дальнейшее функционирование механизмов генетического алгоритма производится на уровне генотипа, позволяя обойтись без информации о внутренней структуре объекта, что и обуславливает его широкое применение в самых разных задачах.

Генетический алгоритм для представления генотипа объекта применяет битовые строки, и в дальнейшем все его операторы работают только со строками. При этом каждому атрибуту объекта в фенотипе соответствует один ген в генотипе объекта. Ген представляет собой битовую строку, чаще всего фиксированной длины, которая представляет собой значение этого признака.

Для кодирования признаков можно использовать самый простой вариант - битовое значение этого признака. Тогда нам будет весьма просто использовать ген определенной длины, достаточной для представления всех возможных значений такого признака. Но, к сожалению, такое кодирование не лишено недостатков. Основной недостаток заключается в том, что соседние числа отличаются в значениях нескольких битов, так, например числа 7 и 8 в битовом представлении различаются в 4-х позициях, что значительно увеличивает размер поискового пространства. Одним из решений данной проблемы является использование кода Грея (см. приложение А). И, наоборот, для того чтобы определить фенотип объекта (то есть значения признаков, описывающих объект) нам необходимо только знать значения генов, соответствующие этим признакам, то есть генотип объекта. Операция определения фенотипа объекта по его генотипу называется операцией декодирования или роста, то есть мы выращиваем фенотип из генотипа.

Таким образом, для того чтобы инициализировать начальную популяцию,

необходимо сначала определиться со способами кодирования особей. [3]

1.4.2 Оценка популяции

После генерации начальной популяции особей осуществляется ее оценка с помощью операции декодирования и проверяется условие остановки. В случае, когда условие остановки не выполняется, для дальнейшего развития процесса поиска, применяются специализированные операторы генетического алгоритма, одним из которых является оператор селекции.

Оператор селекции является одним из наиболее важных операторов, помогающих поддерживать генетическое разнообразие популяции, которое отвечает за характер поведения популяции: широкий разброс точек в пространстве поиска, сбор точек вокруг некоторой точки и т.д.

Оператор селекции - генетический оператор поиска, посредством которого отбираются индивиды, имеющие разрешение (например, из-за Їхорошего? значения целевой функции) на производство потомства. То есть селекция состоит в том, что родителями могут стать только те особи, значение приспособленности которых не меньше пороговой величины, например, среднего значения приспособленности по популяции.

Таблица 1.4.2.1 - Метод рулетки. Размер популяции = 5. Суммарная пригодность популяции = 200.

Особь	Пригодность	Вероятность выбора	Доля
Особь1	52	52/200 = 0.26	26%
Особь2	85	85/200 = 0.425	42.5%
Особь3	37	37/200 = 0.185	18.5%
Особь4	3	3/200 = 0.015	1.5%
Особь5	23	23/200 = 0.115	11.5%



Колесо рулетки

Рисунок 1.4.2.1 - Оператор селекции типа колеса рулетки с пропорциональными функции приспособленности секторами

- Турнирная селекция (tournament selection) - из популяции, состоящей из N

особей, создается группа из t ( ? 2) особей, выбранных случайным образом (рис. 1.4.2.1). Особь с наибольшей пригодностью в группе отбирается, остальные - отбрасываются. Такая операция повторяется k раз. Затем отобранные особи используются для кроссинговера. Размер группы t часто равен 2, в таких случаях говорят о парных (двоичных) турнирах (binary tournament). Число t называется численностью турнира (tournament size).

Преимуществом турнирной селекции является то, что она не требует дополнительных вычислений и упорядочивания особей в популяции по возрастанию приспособленности. [3]

- Отбор усечением (truncation selection) - индивиды сортируются (ранжируются) на основе их пригодности таким образом, чтобы ? для ? , т.е. первым стоит наиболее приспособленный индивид. Число особей для скрещивания выбирается в соответствии с порогом T?[0; 1]. Порог определяет, какая доля особей, начиная с самой первой (то есть самой приспособленной) будет принимать участие в отборе. Порог может быть задан и числом больше 1, тогда он будет равен числу особей из текущей популяции, допущенных к отбору. Среди особей, попавших "под порог", случайным образом N раз выбирается самая везучая, среди которых затем выбираются особи непосредственно для скрещивания.

Из-за того, что в этой стратегии используется отсортированная популяция, время е? работы может быть большим для популяций большого размера и зависеть также от алгоритма сортировки. [3]

1.4.3 Проверка условия остановки

Определение условия остановки генетического алгоритма зависит от его конкретного применения. В оптимизационных задачах, если известно максимальное (или минимальное) значение функции приспособленности, то остановка алгоритма может произойти после достижения ожидаемого оптимального значения, возможно - с заданной точностью. Остановка алгоритма также может произойти в случае, когда его выполнение не приводит к улучшению уже достигнутого значения. Алгоритм может быть остановлен по истечении определенного времени выполнения либо после выполнения заданного количества итераций. Если условие остановки выполнено, то производится переход к завершающему этапу выбора «наилучшей» хромосомы.

1.4.4 Генерация новой популяции

Данный шаг является, в своем роде, одним из видов селекции. Здесь происходит применение генетических операторов и отбор индивидов теперь уже из двух популяций (родители и потомки) в новую популяцию, которая будет работать на следующем поколении.

Для того чтобы индивидуальные алгоритмы обладали разными стратегиями оптимизации необходимо обеспечить разнообразие в схемах формирования нового поколения. Существуют различные схемы формирования нового поколения, рассмотрим основные:

- Стратегия элитарности (elitism strategy) - метод основан на построении новой популяции только из лучших особей репродукционной группы, объединяющей в себе родителей и их потомков. Данный метод хорош с той точки зрения, что исключает «случайное блуждание по пространству поиска», поскольку осуществляется переход в следующее поколение самой лучшей особи (найденной на данном этапе поиска или ранее);

- Отбор с вытеснением (exclusion selection) - отбор, построенный на таком принципе, носит бикритериальный характер - то, будет ли особь из репродукционной группы заноситься в популяцию нового поколения, определяется не только величиной ее приспособленности, но и тем, есть ли уже в формируемой популяции следующего поколения особь с аналогичным хромосомным набором. Из всех особей с одинаковыми генотипами предпочтение сначала, конечно же, отдается тем, чья приспособленность выше. Таким образом, достигаются две цели: во-первых, не теряются лучшие найденные решения, обладающие различными хромосомными наборами, а во-вторых, в популяции постоянно поддерживается достаточное генетическое разнообразие [2];

- Только потомки (детерминизм) - метод основан на построении новой популяции только из популяции потомков;

- Случайным образом (стохастика) - когда особи, которые составят новую популяцию, выбираются случайным образом из репродукционной группы, объединяющей в себе родителей и их потомков.

1.5 Вывод наилучшей особи

Если условие остановки алгоритма выполнено, то следует вывести результат работы, т.е. представить искомое решение задачи. Лучшим решением считается особь с наибольшим значением функции приспособленности.

Используя генетические операторы, схема генетического алгоритма будет выглядеть следующим образом [2]:

Рисунок 1.5.1 - Расширенная схема генетического алгоритма



2. Проектная часть

2.1 Применение генетического алгоритма для решения задачи коммивояжера

2.1.1 Постановка задачи безусловной оптимизации

Практически всегда оптимизируемая функция обладает каким-либо свойством (свойствами): алгоритмическое задание, сложная конфигурация допустимой области, наличие нескольких типов переменных. Это приводит к необходимости применения специализированных методов, к которым и относятся эволюционные и генетические алгоритмы, хорошо зарекомендовавшие себя в ситуациях, когда применение стандартных методов оптимизации крайне затруднено.

2.2 Ограничения при реализации генетических алгоритмов

Суть использования генетических алгоритмов держится на трех принципах:

кодирование, оценивание и воспроизводство, но с практической точки зрения имеют смысл иные качества, которые, однако, нисколько не отменяют основные параллели с эволюционными механизмами.

Под кодированием понимается способ представления данных в генетическом виде.

Здесь важно, чтобы была возможность получить решение в хромосоме, а также, чтобы в генотипе мог быть записан любой корректный вариант, более или менее претендующий на то, чтобы оказаться ответом на поставленную задачу. В большинстве случаев проблем с этим не возникает, однако для одной и той же задачи может существовать несколько способов генетического представления параметров, которые могут существенно влиять на скорость генетического поиска и качество решения.

Оценивание является еще одним важным принципом. Смысл оценивания заключается в том, чтобы различать особей в зависимости от того, насколько "успешны" соответствующие им закодированные решения. При этом не должно возникать коллизий, когда две практически равноценные особи имеют существенно различные значения приспособленностей, и, наоборот, когда качественно разные особи оцениваются одинаково.

Основная цель воспроизводства - получение новых вариантов решений-кандидатов из уже существующих. Здесь очень желательно, чтобы при скрещивании родительских особей получались корректные в рамках поставленной задачи потомки.

В ряде случаев это условие требует использования "нестандартных" генетических операторов и/или специфичного кодирования. К примеру при решении задачи коммивояжера в маршруте не должна два раза и чаще встречаться одна и та же вершина, что часто получается в результате применения традиционно используемых операторов одно- и двухточечного и однородного кроссинговера. Поэтому для данной проблемы разработаны специальные операторы скрещивания и мутации.

Так же важным параметром генетических алгоритмов является размер популяции.

При практической реализации возможны две крайности:

- слишком малый размер популяции (<10). Данный выбор в большинстве случаев годится только для очень простых задач. В противном случае будет наблюдаться быстрое вырождение популяции;

- слишком большой размер популяции (>1000). Как и полагается, решение скорее всего, будет найдено за меньшее число поколений, однако часто ценой лишних вычислительных затрат. В некоторых случаях, когда просто надо найти решение, это не критично. Однако бывает так, что необходимо продемонстрировать преимущества (если есть) генетического подхода для решения выбранной проблемы перед уже методами и алгоритмами.

Исходя из данных рекомендаций, оптимальным размером популяции является 20-30 особей, однако в некоторых задачах требуется 50-100 особей. Исследования показывают, что размер популяции во многом зависит от размера хромосом. Так, для алгоритма с 32-битовыми хромосомами размер популяции будет больше, чем для алгоритма с 16-битовыми. [7]

Так как у генетических алгоритмов есть не оцениваемая численно характеристика, описывающая их поисковые способности, они зависят от всего, но в большей степени от стратегий селекции и генетических операторов. Отсюда:

- использование более агрессивных вариантов отбора вкупе с достаточно большой вероятностью мутации во многих случаях позволяет добиться более хороших результатов, по сравнению с каноническим генетическим алгоритмом. Агрессивными стратегиями отбора можно считать отбор усечением с достаточно большим порогом (т.е. когда к воспроизводству допускается меньшее количество особей), а также турнирный отбор с размером турнира 4 и больше;

- популяция большего размера работает стабильнее и зачастую лучше. Если же необходимо уложиться в некоторое количество вычислений целевой функции, то лучше поискать оптимальный размер, при котором и решение может быть найдено, и вычислительные затраты вполне приемлемые;

- двухточечный и однородный операторы кроссинговера, как правило, работают лучше, чем одноточечный;

- планомерное выслеживание и ликвидация диверсионных элементов в лице дубликатов в популяции повышают качество результатов и полезно против преждевременной сходимости;

- применение стратегии элитарности - позволяет гарантированно оставить в популяции наилучших особей;

- большая вероятность мутации в некоторых случаях способна улучшить работу алгоритма (особенно для малых популяций), но нежелательна, в силу внесения большой хаотичности в эволюционный процесс, что может отрицательно сказаться на стабильности работы алгоритма. [3]

2.3 Решение задачи коммивояжера с помощью генетического алгоритма

На практике применяются различные модификации более эффективных методов: метод ветвей и границ и метод генетических алгоритмов, а также алгоритм муравьиной колонии¹.

Для того чтобы задачу можно было решить с помощью генетических алгоритмов, нужно выяснить, что именно является решением этой задачи, закодировать решение в виде хромосомы и составить функцию приспособленности для таких хромосом. Только после этого можно решать эту задачу средствами генетических алгоритмов.

Выясним, что можно считать решением задачи коммивояжера. Очевидно, что каким-либо решением будет любой маршрут между городами, удовлетворяющий следующим условиям: он пересекает все без исключений города и не один не пересекает больше одного раза. Закодировать такой маршрут можно в виде последовательности номеров городов, начиная с самого первого, в конце последовательности номер

Алгоритм муравьиной колонии - один из эффективных полиномиальных алгоритмов для нахождения приближенных решений задачи коммивояжера, а также аналогичных задач поиска маршрутов на графах. Суть подхода заключается в анализе и использовании модели поведения муравьев, ищущих пути от колонии к источнику питания и представляет собой мета эвристическую оптимизацию предпоследнего города, так как маршрут замкнут и последним будет город, с которого он начинался. Очевидно, что в этой последовательности не будет повторяющихся значений.

Пусть для простоты примера количество городов N = 8, тогда одной из возможных последовательностей городов будет путь, изображенный на рис. 2.3.1.

Рисунок 2.3.1. - Пример маршрута коммивояжера при обходе 8 городов

Закодируем города числами от 1 до 8. Тогда тот же самый путь примет вид:

Теперь нам нужно представить решение в виде хромосомы. Выше мы уже закодировали решение в виде последовательности номеров городов, теперь осталось перекодировать ее хромосому. Для определенности будем считать, что мы кодируем в хромосому в виде битового вектора. Очевидно, что длина гена в битах в хромосоме будет равна: а= log_2.

Для нашего примера а= log₂ 8 = 3, то есть для кодирования одного гена понадобиться 3 бита. Кодируем последовательность с помощью двоичного кодирования (табл. 2.3.1):



Таблица 2.3.1 - Кодирование последовательности городов с помощью двоичного кодирования.

000	101	001	100	011	111	010	110
1	6	2	5	4	8	3	7

Однако представив решение таким образом, мы не учли несколько существенных факторов:

1. при случайной генерации начальной популяции может возникнуть хромосома, в которой будут повторяющиеся значения генов:

000 000 010 011 100 101 110 010.

2. хромосомы с повторяющимися генами может дать кроссинговер или мутация.

Есть несколько способов решения этого недостатка кодирования, но все они ведут к излишнему потреблению вычислительных ресурсов, т.к. надо дополнительно проверять хромосомы. Один из способов - проверять на повторяющиеся значения внутри функции приспособленности, и, встретив такие, заменять их на те значения, которых нет в хромосоме. Второй способ - ничего не проверять, а присвоить таким хромосомам очень низкое значение функции приспособленности, но в этом случае генетический алгоритм начинает крайне неэффективно работать.

Вообще говоря, для генетических алгоритмов очень важен вопрос кодирования решений в последовательность генов. От того, насколько оно удачно, зависит качество работы алгоритма. Самое главное, и обязательное, требование к кодированию - хромосома должна однозначно представлять некоторое решение, чтобы не было возможности трактовать одну и ту же хромосому по-разному. Желательно, чтобы хромосомы занимали как можно меньше бит, были короче. Так же важным условием является простота кодирования. От этого зависит скорость работы.

После кодирования запускается генетический алгоритм с желаемыми параметрами.

2.4 Реализация генетического алгоритма для решения задачи коммивояжера с использованием пакета MATLAB 7.5

Пакет MALAB 7.5 предоставляет встроенную панель инструментов Genethic Algorithm and Direct Search Toolbox™, которая предназначена для расширенияфункциональных возможностей пакета генетическими алгоритмами. Работать с данной панелью инструментов можно двумя способами: с консоли или вызвав панель Genethic Algorithm Tool с помощью команды gatool. По сути, оба способа являются идентичными с той разницей, что используя панель Genethic Algorithm Tool, любые параметры генетического алгоритма настраиваются с использованием графической оболочки.

Рассмотрим встроенные функции для работы с генетическими алгоритмами [9]:

[x fval reason output population scores] =ga(@fitnessfun, nvars, options) - функция для нахождения минимума целевой функции;

Входные параметры:

@fitnessfun - указатель функции в М-файле, по которой производится расчет функции приспособленности;

nvars - число независимых переменных для функции приспособленности;

options - настраиваемые параметры генетического алгоритма; Выходные параметры: x - конечная точка расчета;

fval - значение функции приспособленности в точке x; o reason - причина остановки алгоритма;

output - структура с информацией о эффективности работы алгоритма для каждого выполненного поколения;

population - состояние последнего семейства; o scores - конечное состояние;

val = gaoptimget(options, 'Name') - возвращает параметры используемого генетического алгоритма; Входные параметры:

options - структура с параметрами генетического алгоритма;

o 'Name'- имя параметра, значение которого нужно извлечь;

Выходные параметры:

val - значение запрашиваемого параметра;

options = gaoptimset('param1', value1, 'param2',

value2, ...) - устанавливает параметры генетического алгоритма;

Входные параметры:

'param1' - имя параметра;

value1 - устанавливаемое значение;

Выходные параметры:

options - структура с параметрами генетического алгоритма.

Для решения задачи коммивояжера будем генерировать города случайным образом в отрезке [0, 1], при этом расстояния между городами подчиняются правилу треугольника.

Используявстроенные функции MATLAB, реализуем генетический алгоритм со следующими характеристиками и ограничениями:

1. Хромосома представлена в виде бинарного вектора;

2. Размер популяции - 50 особей;

3. Для расчета функции приспособленности используется стандартная функция travelling_salesman_fitness, принимающая в качестве аргумента хромосому (то есть одна из возможных перестановок городов) и возвращающая значение функции приспособленности для нее;

4. Кроссинговер: применяемая стратегия - генерация перестановок (используется стандартная функция crossover_permuation), вероятность кроссинговера- 0.8;

5. Мутации: стратегия - так же применяется стандартная функция mutate_permutation, которая с определенной вероятностью генерирует перестановки в векторе пути, вероятность мутации - 0.2. Величина мутации такая большая, так как используется относительно небольшая популяция и велика вероятность попадания в локальный минимум;

6. Применяется стратегия элитарности; из каждой предыдущей популяции остается 2 наилучшие особи;

7. Критерием остановки выполнения алгоритма является сохранение значений функции приспособленности на протяжении 50 поколений (для количества городов >100), 1000 поколений (для 100 - 400 городов), 7500 поколений (>400 городов);

Сравним эффективность решения задачи коммивояжера с помощью генетического алгоритма с эффективными методами решения на одинаковых наборах данных. Для решения задачи коммивояжера с помощью минимального остова без(с) оптимизацией была использована программа, написанная на С++. В качестве алгоритма построения минимального остова был использован алгоритм Прима. Далее к решению, полученному с помощью минимального остова, применялась оптимизация: для участка пути длинной 2 + 1, где k - шаг оптимизации, генерировались всевозможные перестановки, то есть вокруг города i генерировались перестановки в участке пути, в который входят города ? … … + . Количество перестановок тогда будет равно 2 ? 1 !.

Таблица 2.4.1 - Сравнение точности решения задачи коммивояжера с помощью генетических алгоритмов с эффективными методами решения на одинаковых наборах данных.

Количество городов	Точное решение	Генетический алгоритм	Решение с помощью минимального остова	Оптимизация решения с помощью минимального остова (k = 3)	Оптимизация решения с помощью минимального остова (k = 5)
5	1,4274	1,4274	1,4608	1,4608	-
10	3,1710	3,1710	3,5153	3,1710	3,1710
15	3,2265	3,2266	3,3323	3,2265	3,2265
20	-	3,9634	5,5095	4,7750	4,7750
50	-	5,8946	7,9498	6,6888	6,2239
100	-	8,7381	10,790	10,051	9,3428
200	-	11,9872	15,1465	13,7863	12,8208
400	-	16,3385	20,6697	18,8074	17,4822
800	-	23,4532	29,5846	27,0346	25,5666
1600	-	33,2398	41,2549	37,8895	35,2624
3200	-	-	58,0455	53,1781	49,6798
6400	-	-	81,5697	75,82	72,8593
10000	-	-	101,539	93,6233	89,4984

Таблица 2.4.2 - Сравнение времени решения задачи коммивояжера с помощью генетических алгоритмов с эффективными методами решения на одинак

Количество городов	Точное решение	Генетический алгоритм	Решение с помощью минимального остова	Оптимизация решения с помощью минимального остова (k = 3)	Оптимизация решения с помощью минимального остова (k = 5)
1	2	3	4	5	6
5	0	82	0	0	-
10	15	1061	0	0	50
15	12750	1532	0	0	421
20	-	2593	0	0	968

Таблица 2.4.3 - Сравнение времени решения задачи коммивояжера с помощью генетических алгоритмов с эффективными методами решения на одинаковых наборах данных (время в мс, продолжение.

1	2	3	4	5	6
50	-	3812	0	15	1921
100	-	6734	0	15	6890
200	-	25719	0	46	13761
400	-	145414	31	93	21906
800	-	480854	78	156	49218
1600	-	1465773	343	617	93233
3200	-	-	1343	2089	189639
6400	-	-	6343	7456	386234
10000	-	-	26781	30421	586580

Анализируя табл. 2.4.2 и табл. 2.4.3, очевидно, что генетический алгоритм находит более точное решение по сравнению с решением задачи с помощью минимального остова даже с оптимизацией. Однако при решении задачи коммивояжера с помощью генетического алгоритма возникает ряд проблем - нужно менять условие остановки алгоритма в зависимости от числа городов, поскольку генетические алгоритмы имеют относительно плохую сходимость при большой длине хромосомы; так же генетические алгоритмы имеют не очень хорошие показатели по времени (рис. 2.4.1.).

Согласно исследованиям генетические алгоритмы имеют трудоемкость в среднем

O(n^т), где n - длина хромосомы (то есть количество городов), m - отражает влияние размера популяции и вероятностей генетических операторов. Узким местом генетических алгоритмов является многократное вычисление значения функции приспособленности.

Количество вычислений равняется:

Попробуем взять в качестве исходных данных для решения задачи коммивояжера генетическим алгоритмом полученные решения с помощью минимального остова с и без оптимизации (табл. 2.4.4. и табл. 2.4.5.). При больших количествах городов также приходится менять условие остановки алгоритма.

Таблица2.4.4. Сравнение точности решения задачи коммивояжера с помощью генетических алгоритмов с эффективными методами решения.

Количество городов	Исходное полученное решение	Решение с помощью минимального остова	Оптимизация решения с помощью минимального остова (k = 3)	Оптимизация решения с помощью минимального остова (k = 5)
5	1,4274	1,4608	1,4608	-
10	3,1710	3,1710	3,1710	3,1710
15	3,2266	3,2265	3,2265	3,2265
20	3,9634	3,4328	3,4328	3,4328
50	5,8946	5,8946	5,8946	5,8946
100	8,7381	7,8422	7,5621	7,5621
200	11,9872	11,3452	10,0232	10,0232
400	16,3385	15,5464	14,6119	14,6119
800	23,4532	21,6932	19,7432	19,7432
1600	33,2398	35,0656	30,6541	30,6541
3200	-	45,8116	41,3276	41,3276
6400	-	-	65,3527	65,3527
10000	-	-	76,3488	76,3488



Таблица 2.4.5. - Сравнение времени решения задачи коммивояжера с помощью генетических алгоритмов с эффективными методами решения (время в мс). Набор данных - решение задачи, полученное с помощью эффективных способов.

Количество городов	Исходное время	Решение с помощью минимального остова	Оптимизация решения с помощью минимального остова (k = 3)	Оптимизация решения с помощью минимального остова (k = 5)
5	82	0	0	-
10	1061	0	0	0
15	1532	0	0	0
20	2593	15	15	15
50	3812	93	76	76
100	6734	532	129	114
200	25719	1630	467	321
400	145414	5907	1945	1095
800	480854	37890	37436	35340
1600	1465773	108423	96790	93827
3200	-	245906	254242	252352
6400	-	1035621	676432	650936
10000	-	-	1356214	1295308

Очевидно, что решение имеет лучшее качество, но количество шагов для оптимизации, взятых для решения задачи с помощью минимального остова, никак не влияет на него. Из этого можно сделать вывод, что генетические алгоритмы можно применять после эффективных способов решения для увеличения точности. Время выполнения так же значительно сократилось

На основе полученных результатов можно сделать следующий вывод: пусть есть задача, для которой может быть получено некоторое приближенное решение, тогда для того, чтобы улучшить полученное решение, его можно подать на вход генетическому алгоритму. Решение, полученное таким способом, будет более точным.

В силу особенностей своей реализации, генетические алгоритмы хорошо поддаются распараллеливанию, исходя из этого, исследуем их эффективность в таком случае.

2.5 Развитие генетических алгоритмов в сторону модели с несколькими взаимодействующими популяциями

2.5.1 Модель миграции генетических алгоритмов

Генетические алгоритмы применяются и при параллельных вычислениях (parallel implementations).

Первым подходом является распараллеливание отдельных шагов алгоритма: селекции и репликации, мутации, вычисление функции приспособленности.

При этом популяция разделяется на блоки, над каждым из которых работает отдельный поток.

Однако, такой подход не очень удобен в программировании.

Наиболее часто применимой является модель миграции (Migration). Модель миграции представляет популяцию как множество подпопуляций. Каждая подпопуляция обрабатывается отдельным процессором. Эти подпопуляции развиваются независимо друг от друга в течение одинакового количества поколений T (время изоляции). По истечении времени изоляции происходит обмен особями между популяциями (миграция, "воровство невест"). Количество особей, подвергшихся обмену (вероятность миграции), метод отбора особей для миграции и схема миграции определяет частоту возникновения генетического многообразия в подпопуляциях и обмен информацией между подпопуляциями.

Отбор особей для миграции может проходить следующим образом:

- случайная однообразная выборка из числа особей;

- пропорциональный отбор: для миграции берутся наиболее пригодные особи.

Отдельные подпопуляции в параллельных генетических алгоритмах можно условно принять за вершины некоторого графа. В связи с этим можно рассматривать топологию графа миграционного генетического алгоритма. Наиболее распространенной топологией миграции является полный граф (рис. 2.5.1.1.), при которой особи из любой подпопуляции могут мигрировать в любую другую подпопуляцию. Для каждой подпопуляции полное число потенциальных "иммигрантов" строится на основе всех подпопуляций. Мигрирующая особь случайным образом выбирается из общего числа.

При использовании в неограниченной миграции пропорционального отбора сначала формируется массив из наиболее пригодных особей, отобранных по всем подпопуляциям. Случайным образом из этого массива выбирается особь, и ею заменяют наименее пригодную особь в подпопуляции 1. Аналогичные действия проделываем с остальными подпопуляциями. Но при таком походе возможны коллизии: что какая-то популяция получит дубликат своей "хорошей" особи.

Рисунок 2.5.1.1 - Миграция с топологией полной сети

Другая основная миграционная схема имеет топологию кольца (рис. 2.5.1.2.). Здесь особи передаются между соседними (по направлению обхода) популяциями. Таким образом, особи из одной подпопуляции могут мигрировать только в одну - соседнюю популяцию.

Рисунок 2.5.1.2. - Миграция с топологией кольца

Существует стратегия миграции, объединяющая первую и вторую модель, так же она позволяет разрешить коллизии первой модели. Как и при топологии кольца, миграция осуществляется только между ближайшими соседями, однако миграция в этой модели так же возможна между "крайними" подпопуляциями (тороидальные краевые миграции). [7]

2.5.2 Островная модель генетических алгоритмов

Островная модель является наиболее распространенной моделью параллельного генетического алгоритма. Ее суть заключается в том, что популяция, как правило, состоящая из очень большого числа особей, разбивается на одинаковые по размеру подпопуляции. каждая подпопуляция обрабатывается отбельным процессором с помощью одной из разновидностей непараллельного генетического алгоритма. Изредка, например, через каждые пять поколений, подпопуляции будут обмениваться несколькими особями.

Такие миграции позволяют подпопуляциям совместно использовать генетический материал.

Пусть выполняются 16 независимых генетических алгоритмов, используя подпопуляции из 100 особей в каждой. Если миграции нет, то происходит 16 независимых поисков решения. Все поиски ведутся на различных начальных популяциях и сходятся к определенным особям. Исследования подтверждают, что генетический дрейф склонен приводить подпопуляции к различным доминирующим особям. Это связано с тем, что, во-первых, количество островов, принимающих доминирующих "эмигрантов" с острова ограничено (2-5 островов). Во-вторых, обмен особями односторонен. Поэтому в большой популяции появляться группы островов с различными доминирующими особями. Если популяция имеет небольшой размер, то возможно быстрое мигрирование ложных доминирующих особей.

Например, истинное решение находится только на одном острове, а несколько ложных доминант - на других островах. Тогда при миграции количество ложных особей на островах возрастет (на каждый остров миграции происходят с не менее двух островов), генетическим алгоритмом верное решение будет разрушено. Тем самым в маленькой популяции при генетическом дрейфе возможно появление ошибочных доминирующих особей и схождение алгоритма к ложному оптимуму.

Введение миграции в островной модели позволяет находить различные особи-доминанты в подпопуляциях, что способствует поддержанию многоо...