Биомеханическое моделирование поведения губчатой костной ткани при изменении нагрузки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Биомеханическое моделирование поведения губчатой костной ткани при изменении нагрузки

А.А. Киченко

Пермский национальный исследовательский

политехнический университет

Аннотация

Губчатая костная ткань является пористым анизотропным материалом, структурные особенности которого можно описать при помощи тензора структуры. Показан вывод соотношений, позволяющих описать напряжённо-деформированное состояние губчатой кости с учётом её структуры и адаптационные процессы в ней. Осуществлена постановка начально-краевой задачи о перестройке губчатой костной ткани, разработан алгоритм её решения и на классическом примере осуществлена его верификация. Рассмотрен ряд задач, результаты показывают различный характер влияния изменения нагрузки на процесс формирования структуры и соответствуют закону Вольфа.

Введение

На развитие и функционирование костной системы человека оказывают влияние постоянно изменяющиеся нагрузки, имеющие как физиологическую, так и патологическую природу, в том числе вследствие врачебного вмешательства. Известно, что подобные изменения нагрузки имеют отдаленные во времени последствия и в первую очередь отражаются на организации структуры костной ткани. Костная ткань живого человека является динамической структурой, в которой непрерывно происходят различные адаптационные процессы. Губчатая (трабекулярная) костная ткань является неоднородным пористым анизотропным материалом, механические свойства которой в значительной мере определяются её внутренней архитектурой и подчиняются тем же принципам, что и несущие конструкции. В настоящее время не существует методов, позволяющих определить изменения губчатой микроструктуры in vivo инструментально. В работе предложена модель перестройки губчатой костной ткани с учётом взаимовлияния напряжённо-деформированного состояния и структурных изменений, позволяющая спрогнозировать долговременный отклик структуры на внешнее вмешательство методами биомеханического моделирования.

губчатая костная ткань нагрузка

Материалы и методы

Известно, что адаптационные процессы, протекающие в организме человека, подчиняются закону Вольфа (Wolff's law), который применительно к живой костной ткани формулируется следующим образом: кость приспосабливает свою внешнюю форму и внутреннюю структуру к тем механическим силам, которые она должна выдержать [1, 2]. Частный закон Вольфа для костной ткани [3, 4] говорит о том, трабекулярная архитектура губчатой кости в локальной области структурно приспосабливается к местному напряженному состоянию. При этом структурная адаптация в живой губчатой кости носит направленный характер и трабекулы располагаются закономерно, в соответствии с тем, какие внешние нагрузки испытывает данная кость [1, 4]. Установлено [1], что ориентация трабекул в рассматриваемой области губчатой кости совпадает с главными направлениями тензора напряжений в этой же области. Для конкретизации закона Вольфа необходимо ввести характеристику, способную количественно описать структурные особенности костной ткани. Показано [1, 2], что подобной величиной может быть симметричный положительно определенный тензор второго ранга - тензор структуры H (fabric tensor). Данный тензор позволяет сформулировать соотношения, способные описать свойства материала с учётом его строения и адаптационные изменения костной микроструктуры.

В частном случае перестройка трабекулярной архитектуры губчатой кости может происходить при однократном достаточном изменении нагрузки. Данная ситуация может возникнуть, например, при вживлении в губчатую кость имплантата. Начальная губчатая микроструктура, находящаяся в состоянии физиологического равновесия (гомеостаза), может быть описана тензором структуры , а соответствующее этой структуре начальное напряжённо-деформированное состояние - тензорами и . Затем происходит однократное изменение условий нагружения, достаточное для того, чтобы запустить процессы перестройки в губчатой кости, стремящиеся привести трабекулярную архитектуру к новому состоянию физиологического равновесия с новой характерной структурой и соответствующим напряжённо-деформированным состоянием ().

Описанный адаптационный процесс схематично показан на рис. 1, где тензоры напряжений, деформации и структуры представлены в виде эллипсов [1, 5]. Рис. 1, а отражает положение, существовавшее при t < 0 и соответствующее начальному состоянию гомеостаза. Видно, что три эллипса, представляющих начальные напряжение , деформацию и структуру соосны, то есть главные направления тензоров , и совпадают. Рис. 1, б отражает ситуацию начала перестройки костной ткани в момент времени t = 0, когда произошло изменение условий нагружения, соответственно, имеет место новое напряжённое состояние костной ткани . Напряжённому состоянию соответствует новое деформированное состояние , при этом эллипсы и не соосны. В то же время эллипс структуры сохранил своё первоначальное направление , поскольку адаптационные процессы не происходят мгновенно. Рис. 1, в отражает процесс перестройки костной ткани при t > 0. Видно, что эллипсы , и не соосны, при этом главные направления тензоров и изменяются таким образом, чтобы стать соосными главным направлениям нового напряжённого состояния . Рис. 1, г отражает новое состояние физиологического равновесия, которое было достигнуто по прошествии достаточного промежутка времени. Новое гомеостатическое состояние может быть описано тензорами напряжений , деформации и структуры , причём представляющие их эллипсы вновь соосны. Таким образом, произошла адаптация трабекулярной костной ткани к новым условиям нагружения.

Рис. 1. Схема перестройки губчатой костной ткани [1, 4]

Считается, что костный матрикс в губчатой кости (пористом упругом теле) изотропен [1, 4] и вся неоднородность губчатой кости связана со строением анизотропной микроструктуры губчатой костной ткани. В этом случае анизотропия губчатой кости может быть описана посредством тензора структуры, при этом упругие свойства материала будут зависеть от пористости губчатой кости и от ориентации трабекул. Таким образом, на основе существующих подходов [1, 3, 4], можно получить определяющее соотношение, позволяющее описать напряжённо-деформированное состояние губчатой кости с учётом её структуры:

(1)

где K - девиатор тензора структуры H, нормированного таким образом, что , e - изменение доли твёрдого объёма кости, описывающее её пористость, g₁-g₆ - константы, имеющие размерность [ГПа].

Аналогично могут быть получены эволюционные соотношения, описывающие адаптационные процессы в губчатой костной ткани, и представляющие закон Вольфа. При этом считается, что ориентация трабекул и пористость в костной микроструктуре непосредственно не влияют друг на друга [3], то есть скорость изменения структуры зависит только от самой структуры и девиатора тензора деформации, а скорость изменения доли твёрдого объёма - только от объёмной плотности и объёмной деформации:

(2)

(3)

Здесь h₁, h₂, f₁ и f₂ - константы, имеющие размерность [сут^-1] и определяемые так, чтобы перестройка костной ткани происходила за 160 дней [1, 3, 4].

Для соотношений (1)-(3) осуществлена постановка начально-краевой задачи о перестройке трабекулярной костной ткани [4], разработан алгоритм её решения и на ряде примеров показана эволюция трабекулярной костной ткани при изменении напряжённо-деформированного состояния.

Результаты

Для верификации разработанного алгоритма рассмотрена классическая задача [3], подробно разобранная в работе [5]. Рассматривается локальный, сжатый со всех сторон объем губчатой костной ткани. Результаты, полученные по истечении 160 суток [3, 5] адаптации, показаны на рис. 2. Видно, что в результате адаптационных процессов новому напрядено-деформированному состоянию соответствует новая костная микроструктура, причем трабекулы выстроились вдоль линий главных напряжений. При этом время и характер сходимости, полученное из решения, совпадают с известными [3] результатами. Серия примеров [5], не представленная в данной работе, также показывает хорошую работоспособность модели.

Рис. 2. Адаптация костной микроструктуры к новому напряжённому состоянию

Заключение

На основе определяющих и эволюционных соотношений (1)-(3) рассмотрена серия примеров. Результаты показывают различный характер влияния изменения нагрузки на процесс формирования структуры и соответствуют закону Вольфа. В дальнейшем планируется описать напряженно-деформированного состояния в зубочелюстной системе человека с учетом структурных особенностей [6], имеющихся в нижней челюсти человека. Решение подобной задачи необходимо для разработки индивидуального лечения различных стоматологических патологий, дефектов и прогнозирования отдаленные последствия такого врачебного вмешательства.

Литература

1. Cowin S.C. Bone Mechanics Handbook // New York, CRC Press, 2001, 1136 p.

2. Киченко А.А., Тверье В.М., Няшин Ю.И., Заборских А.А. Экспериментальное определение тензора структуры трабекулярной костной ткани // Российский журнал биомеханики, 2011, Т. 15, № 4, С. 78-93.

3. Cowin S.C. An evolutionary Wolff's law for trabecular architecture // J. Biomech. Eng, 1992, V. 114, P. 129-136.

4. Киченко А.А., Тверье В.М., Няшин Ю.И., Осипенко М.А., Лохов В.А. Постановка начально-краевой задачи о перестройке трабекулярной костной ткани // Российский журнал биомеханики, 2012, Т. 16, № 4, С. 36-52.

5. Киченко А.А., Тверье В.М., Няшин Ю.И., Осипенко М.А., Лохов В.А. О приложении теории перестройки трабекулярной костной ткани // Российский журнал биомеханики, 2012, Т. 16, № 4, С. 53-72.

6. Тверье В.М., Симановская Е.Ю., Еловикова А.Н., Няшин Ю.И., Киченко А.А. Биомеханическое описание структуры костных тканей зубочелюстной системы человека // Российский журнал биомеханики, 2007, Т. 11, № 1, С. 9-24.

Размещено на Allbest.ru