Медіана (Ме) - значення варіанти, що є серединою впорядкованого варіаційного ряду розподілу, тобто ділить його на дві однакові частини: одна частина має значення варіювальної ознаки менше ніж середнє, а друга - більше. У тому випадку, коли сума частот - парне число, медіана знаходиться як середнє арифметичне двох центральних варіант.

Знайти моду і медіану в дискретному ряді розподілу не становить труднощів, оскільки варіанти відповідають конкретним числовим значенням ознаки. Якщо сума частот парне число і номер медіани відповідно дробове число, то медіана лежить у середині сусідніх варіант. Для інтервальних варіаційних рядів для обчислення моди необхідно спочатку визначити модальний інтервал як такий, якому відповідає найбільша частота, а у випадку медіани - знайти медіанний інтервал.

Послідовність виконання роботи

1. Для рядів розподілу, отриманих в лабораторній роботі 1.9 (дискретного та інтервального), обчислити структурні характеристики (моду та медіану) та коефіцієнти варіації:

- безпосередньо за формулами;

- використовуючи вбудовані статистичні функції Excel.

2. Показати моду та медіану на гістограмі та полігоні частот рядів розподілу.

3. Оцінити вибірки А і В за однорідністю.

Опрацювання результатів

1. Для розрахунку моди для дискретного варіаційного ряду використати вбудовану функцію Excel під назвою МОДА (діапазон даних вибарки А). Для інтервального варіаційного ряду використати формулу:

де - початок модального інтервалу; h - довжина модального інтервалу; - частоти передмодального, модального і післямодального інтервалів відповідно.

2. Для знаходження медіани для дискретного варіаційного ряду використати вбудовану функцію Excel під назвою МЕДИАНА (діапазон даних вибірки А), у випадку інтервального варіаційного ряду необхідно визначити медіанний інтервал як такий, що включає середнє значення варіант, а потім скористатися формулою:



де - початок медіанного інтервалу, h - його довжина, - нагромаджена частота для предмедіанного інтервалу, - відносна частота медіанного інтервалу.

3. Розрахувати варіаційні характеристики досліджуваних вибірок.

Варіацією в статистиці називають кількісні зміни величини досліджуваної ознаки в межах однорідної сукупності, які зумовлені впливом різних факторів. Коливання окремих значень ознаки характеризують показники варіації.

Для вимірювання та оцінювання варіації використовуються абсолютні і відносні характеристики.

До абсолютних характеристик належать:

- розмах варіації, що характеризує межі, в яких змінюється значення ознаки, і обчислюється як різниця між максимальним і мінімальним значеннями ознаки;

- середнє лінійне відхилення;

- середнє квадратичне відхилення;

- дисперсія (середній квадрат відхилень).

Формули для розрахунків цих характеристик у випадку незгрупованих та згрупованих даних наведено в табл. 1.21.

Відносні характеристики варіації аиражаються такими коефіцієнтами:

- лінійним коефіцієнтом варіації;

- квадратичним коефіцієнтом варіації;

- коефіцієнтом осциляції.

Формули для їх розрахунку подано у табл. 1.22.

Таблиця 1.21. Абсолютні характеристики варіації

Назва показників варіації	Для незгрупованих даних	Для згрупованих даних
Середнє лінійне відхилення
Дисперсія (середній квадрат відхилень)
Середнє квадратичне відхилення

Коефіцієнти варіації дозволяють порівнювати варіацію різних ознак або варіацію однієї ознаки в різних сукупностях. Для порівняння варіацій найчастіше використовують квадратичний коефіцієнт варіації. Цей показник вживається для оцінювання однорідності сукупності, тобто надійності і типовості середньої величини.

Розрізняють такі значення відносних коливань:

- незначне коливання;

V = 10-30% середнє коливання;

- велике коливання.

Таблиця 1.22. Відносні коефіцієнти варіації

Коефіцієнт варіації	Формула
Лінійний
Квадратичний
Осциляції

По закінченні роботи оформити звіт.

Аналіз отриманих результатів

1. Проаналізувати відхилення модальних і медіанних значень від мінімальних та максимальних для досліджуваних вибірок.

2. Оцінити різницю між модою та медіаною для варіаційних рядів розподілу.

3. Визначити, на скільки досліджувані вибірки є однорідними за результатами розрахунків коефіцієнтів варіації.

Лабораторна робота 1.12

Визначення форми розподілу статистичної сукупності

Мета та основні завдання роботи: навчитися на практиці розраховувати числові характеристики форми розподілу статистичної сукупності засобами MS Excel та аналізувати на відповідність найпоширенішим законам розподілу.

Основні теоретичні відомості

Формою розподілу статистичної сукупності називають криву співвідношення частот і значень варіювальної ознаки. За своєю формою розподіли поділяють на одно-, дво- і багатовершинні. Наявність двох і більше вершин свідчить про неоднорідність сукупності, про поєднання у ній груп з різними рівнями ознаки. Розподіли якісно однорідних сукупностей, як правило, одновершинні. Серед одновершинних розподілів розрізняють симетричні та асиметричні (скошені), гостро- і плосковершинні.

У симетричному розподілі рівновіддалені від центру значення ознаки мають однакові частоти, а в асиметричному - вершина зміщена. Напрямок асиметрії протилежний напрямку зміщення вершини, тобто, якщо вершина зміщена вліво, то це правостороння асиметрія, і навпаки.

Для характеристики крутості кривої форми розподілу використовують ексцес.

Ексцес - це статистична безрозмірна величина, яка характеризує форму кривої розподілу і дорівнює різниці стандартизованого моменту четвертого порядку статистичної сукупності та стандартизованого моменту четвертого порядку нормального розподілу.

Послідовність виконання роботи

1. Для рядів розподілу, отриманих у лабораторній роботі 1.1 (дискретного та інтервального), визначити характеристики форми розподілу, використовуючи вбудовані функції Excel.

2. Порівняти результати застосування двох методів для визначення асиметрії та сформувати відповідні висновки.

3. Сформувати висновки про форми вершини кривої розподілу для вибірок А і В.

Опрацювання результатів

1. Розрахувати асиметрію для вибірок А та В з аикористанням вбудованих функцій Excel.

Найпростішою мірою асиметрії форми розподілу є відхилення моди від середнього арифметичного або відхилення медіани від середнього арифметичного значення ознаки. Для правосторонньої асиметрії виконується умова , а для лівосторонньої -

У симетричному розподілі характеристики центра (мода, медіана, середнє арифметичне) мають однакові значення.

Загальновживаними є два методи оцінювання асиметрії.

Перший метод полягає в оцінюванні асиметрії за допомогою статистичних характеристик положення. Асиметрія визначається як безрозмірна статистична характеристика, що дорівнює відношенню різниці середнього значення і медіани чи моди і середнього квадратичного відхилення:

або .

Ці статистичні характеристики при симетричному розподілі дорівнюють нулю. У разі правосторонньої асиметрії виконується умова

У разі лівосторонньої асиметрії маємо співвідношення

Другий метод полягає в оцінюванні коефіцієнта асиметрії, який дорівнює стандартизованому моменту третього порядку:

Із використанням цієї характеристики в разі симетричного розподілу A₃ = 0; за правосторонньої асиметрії A₃ > 0, а лівосторонньої - A₃ < 0.

2. Розрахувати коефіцієнт ексцесу для вибірок А та В з використанням убудованих функцій Excel. Для нормального розподілу стандартизований момент четвертого порядку дорівнює трьом. Отже, ексцес обчислюється за такими формулами:

Для нормального розподілу ексцес дорівнює нулю. Якщо Е > 0, то вершина кривої розподілу розташована вище від вершини кривої нормального розподілу і форма розподілу називається гостровершинною, і навпаки, якщо E < 0, то вершина кривої розподілу розташована нижче від кривої розподілу нормального закону і форма розподілу називається плосковершинною.

По закінченні роботи оформити звіт.

Аналіз отриманих результатів

1. Проаналізувати зміщення вершини кривої розподілу вліво/вправо порівняно із серединними значеннями; сформувати висновки про право-/лівосторонність асиметрії кривих розподілу.

2. Оцінити гостровершинність/плосковершинність кривих розподілу.

Лабораторна робота 1.13

Перевірка гіпотези про закон розподілу вибірки. обчислення ч2-критерію згоди ознаки статистичної сукупності, розподіленої за нормальним законом

Мета та основні завдання роботи: навчитися на практиці використовувати критерій згоди ч² для перевірки гіпотези про нормальний закон розподілу статистичної сукупності, використовуючи засоби MS Excel.

Основні теоретичні відомості

Наступним етапом оброблення після зведення та групування статистичних даних - це визначення закону розподілу досліджуваної ознаки статистичної сукупності.

У статистичній науці пропонуються критерії згоди, що дозволяють оцінити різницю між спостережуваними даними та обраною статистичною моделлю.

Найбільш поширеним є критерій згоди Пірсона (або ч²-критерій).

Нехай після статистичного спостереження та групування ознака статистичної сукупності характеризується варіаційним рядом (табл. 1.23).

Таблиця 1.23. Варіаційний ряд статистичної ознаки

Варіанта	Частота
x1	f1
x2	f2
….	….
xn	fn
	У = N



Уводиться нульова гіпотеза H₀: «спостережувана ознака статистичної сукупності розподілена відповідно до закону F(x)».

Критерій згоди Пірсона використовується для перевірки справедливості нульової гіпотези з обраним рівнем надійності.

Послідовність виконання роботи

Перевірити гіпотезу про нормальний розподіл вибірок A і B з лабораторної роботи 1.1 за допомогою критерію Пірсона. Для цього виконати такі кроки:

1. Розрахувати теоретичні частоти відповідно до нормального розподілу із середнім арифметичним та середньоквадратичним відхиленням вибірок А і В.

2. Зобразити експериментальні та теоретичні частоти у формі гістограми.

3. Розрахувати значення критерію Пірсона для вибірок А і В і порівняти з критичним значенням критерію Пірсона для наперед обраного рівня надійності (наприклад, 95%). Взяти до уваги, що нормальний розподіл визначається двома параметрами - середнім значенням та середньоквадратичним відхиленням.

4. Сформувати висновки про закон розподілу статистичної ознаки для вибірок А і В. Підготувати звіт про роботу.

Опрацювання результатів

Застосування критерію здійснюється такими кроками:

1. Розрахунок теоретичних частот f_iґ за обраною статистичною моделлю: , де - імовірність події , що визначається обраним законом та числовими характеристиками заданого ряду розподілу.

Розрахункове значення критерію Пірсона визначають за формулою:



Фактичне (розрахункове) значення порівнюється з критичним (табличним) значенням критерію. Критичне значення ч² може бути визначене за спеціальними таблицями. Воно визначається ймовірністю P та степенем вільності l=n-r-1, де n - кількість груп; r - кількість параметрів, що визначають обраний закон розподілу. Якщо розраховане значення менше за критичне: ч_c² < ч²(l, P), то з обраним рівнем надійності можна стверджувати, шо статистична ознака розподілена відповідно до обраного закону розподілу. Або, інакше кажучи, нульова гіпотеза приймається.

Якщо розрахункове значення більше за критичне: то нульова гіпотеза відхиляється. Розрахунки виконуються в середовищі Excel з використанням спеціальних вбудованих функцій. Зокрема, теоретичні частоти Р_і можна розрахувати за допомогою функції НОРМРАСП, що має чотири аргументи:

x - значення варіанти,

среднее - середнє арифметичне статистичних даних,

стандартное_откл - середньоквадратичне відхилення статистичних даних,

интегральный - логічний параметр, що визначає тип функції (1 для інтегральної функції розподілу, 0 для функції щільності розподілу).

Розрахунки зручно подати у вигляді табл. 1.24. Для розрахунку критичного значення критерію Пірсона можна використати вбудовану статистичну функцію ХИ2ОБР, що визначається двома аргументами: імовірністю, що визначає рівень надійності, та степенем вільності l= n - r - 1 = n - 3.



Таблиця 1.24. Емпіричні і теоретичні частоти для розподілу статистичної ознаки

Варіанта	Частота fi		Теоретична частота fiґ	(fi - fiґ)2/ fiґ
x1	f1	=НОРМРАСП(x1, xaver,у, 1)	=N*P1
x2	f2	=НОРМРАСП(x2, xaver,у, 1)	=N*P2
….	….	….	….
xn	fn	=НОРМРАСП(xn, xaver,у, 1)	=N*P3
	У = N			У = ч2с

По закінченні роботи оформити звіт.

Аналіз отриманих результатів

1. Проаналізувати розподіл емпіричних частот та визначити їх максимальні значення.

2. Оцінити вірогідність критерію Пірсона.

3. Визначити розбіжності між емпіричними і теоретичними частотами для досліджуваних вибірок, зіставити отримані дані з результатми оцінювання критерію Пірсона.

Лабораторна робота 1.14

Ряди динаміки. Розрахунок числових характеристик динаміки показників біотехнологічного процесу

Мета та основні завдання роботи: навчитися на практиці розраховувати числові характеристики динаміки показників біотехнологічних процесів засобами MS Excel та аналізувати структурні зрушення.

Основні теоретичні відомості

Побудова рядів динаміки (або часових рядів) в біотехнології відкриває широкі можливості для того, щоб шляхом їх аналізу встановити та охарактеризувати закономірності, які виявляються на різних етапах розвитку процесу.

Під час вивчення закономірностей динамічних рядів на статистику пакладено такі завдання:

- характеристика інтенсивності окремих змін у рівнях ряду від періоду до періоду або від дати до дати;

- визначення середніх показників динамічного ряду за певний період;

- виявлення основних закономірностей динаміки досліджуваного явища на окремих етапах або за весь період, що вивчається;

- виявлення факторів, що зумовили зміни досліджуваного об'єкта у часі;

- прогнозування розвитку явища.

Для оцінювання цих властивостей динаміки використовуються взаємопов'язані характеристики: абсолютний приріст (АП_n), темп зростання (ТЗ_n), темп приросту (ТП_n), абсолютне значення 1% приросту (АЗ_n).

Послідовність виконання роботи

Як початкові дані для лабораторної роботи пропонуються дані про динаміку чисельності мікроорганізмів у лабораторному зразку (додаток В). Для часового ряду відповідно до варіанта:

1. У середовищі Excel розрахувати ланцюгові та базисні показники динаміки статистичного ряду. Порівняти їх і сформувати висновки щодо характеру зміни динамічного ряду.

2. Обчислити середні характеристики динаміки. Порівняти їх для ланцюгових та базисних показників

3. Сформувати загальні висновки за лабораторною роботою. Оформити звіт.

Опрацювання результатів

Розрахунок характеристик динаміки ґрунтується на зіставленні рівнів ряду. Позначатимемо рівні динамічного ряду так:

Базою для порівняння може бути або попередній рівень у_п-1, або початковий рівень у₁. Показники динаміки, обчислені зіставленням зі змінною базою порівняння, називаються ланцюговими, а з постійною базою порівняння - базисними.

Формули для розрахунку характеристик динаміки часових рядів наведено в табл. 1.25.

Таблиця 1.25. Числові характеристики часових рядів

Назва характеристики	Ланцюгові характеристики	Базисні характеристики
Абсолютний приріст
Темп зростання
Темп приросту
Абсолютне значення 1% приросту

Для характеристики динамічного ряду в цілому використовують середні значення динаміки:

- середні значення часового ряду, що розраховується за такими формулами:



Середній абсолютний приріст розраховується як середнє арифметичне з абсолютних приростів за кожен інтервал спостереження:

.

Середній темп приросту вже розглядався в лабораторній роботі 1.10 як приклад застосування середнього геометричного:

По закінченні роботи оформити звіт.

Аналіз отриманих результатів

1. Проаналізувати розподіл емпіричних частот та визначити їх максимальні значення.

2. Оцінити вірогідність критерію Пірсона.

3. Визначити розбіжності між емпіричними та теоретичними частотами для досліджуваних вибірок, зіставити отримані дані з результатми оцінювання критерію Пірсона.

Лабораторна робота 1.15

Визначення тенденції ряду динаміки біотехнологічного процесу шляхом вирівнювання даних. Побудова тренда біотехнологічного процесу та перевірка його адекватності

Мета та основні завдання роботи: навчитися на практиці визначати тенденції рядів динаміки біотехнологічних процесів за допомогою вирівнювання даних та лінії тренда засобами MS Excel, обґрунтовувати адекватність лінії тренда та прогнозувати розвиток аналізованого процесу.

Основні теоретичні відомості

Одним із завдань статистики в процесі аналізу рядів динаміки є виявлення закономірностей зміни рівнів ряду, тобто визначення загальної тенденції розвитку процесу. Рівні ряду динаміки формуються під сукупним впливом різноманітних факторів як тривалої дії, так і короткочасно діючих факторів, серед яких різного роду випадкові обставини. Виявлення основної закономірності зміни рівнів ряду передбачає її кількісну оцінку, деякою мірою пзбавлену випадкового впливу.

Для встановлення загальних закономірностей розвитку екологічних явищ за даними динамічних рядів їх обробляють за допомогою методів, які можна поділити на механічні та аналітичні.

Механічне вирівнювання рідів динаміки здійснюють за допомогою таких прийомів: збільшення періодів і обчислення за ними середніх показників з наступним їх аналізом; переведення абсолютних показників динамічних рядів у відносні, за рахунок чого досягається порівнянність багатовимірних динамічних рядів.

Послідовність виконання роботи

Для часового ряду з табл. 1.26 провести згладжування з трьома та п'ятьма точками.

Порівняти результати та сформувати висновки про загальну тенденцію динамічного ряду, виконуючи такі дії:

1. Для згладженого ряду динаміки побудувати лінійний тренд та визначити його адекватність за допомогою параметра достовірності апроксимації.

2. На підставі отриманого трендового рівняння спрогнозувати розвитк явища на два інтервали вперед.

3. Сформувати загальні висновки. Оформити звіт.

Опрацювання результатів

Одним зі способів виявлення загальної тенденції розвитку явища є згладжування рівнів шляхом усереднення за збільшеними інтервалами часу.

Згладжування - це мінімізація випадкових відхилень точок ряду від деякої гладкої кривої загальної тенденції досліджуваного процесу.

Метод згладжування полягає у заміні початкового ряду даних на такий ряд, у якого зменшено рівень коливань значень.

1. Виконати згладжування за трьома точками. Нехай початкові дані подано рядом:

Елементи згладженого за трьома точками ряду розраховуються за такими формулами:

2. Виконати згладжування за пятьма точками. Елементи згладженого за пятьма точками ряду розраховуються за такими формулами:

3. Побудувати таблицю 1.27 у середовищі Excel, заповнити її початковими даними значень відповідно до варіанта (див. табл. 1.26) та побудувати відповідні графіки для згладжених даних за трьома та п'ятьма точками.

Таблиця 1.26. Початкові дані для розрахунків

Варіант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Рік
2002	37	48	50	43	32	59	46	38	78	30
2003	37	48	47	40	32	59	43	35	78	27
2004	42	53	46	39	37	64	42	34	83	26
2005	38	49	49	42	33	60	45	37	79	29
2006	42	53	46	39	37	64	42	34	83	26
2007	48	59	41	34	43	70	37	29	89	21
2008	41	52	48	41	36	63	44	36	82	28
2009	46	57	42	35	41	68	38	30	87	22
2010	49	60	38	31	44	71	34	26	90	18
2011	46	57	42	35	41	68	38	30	87	22
2012	47	58	37	30	42	69	33	25	88	17
2013	50	61	37	30	45	72	33	25	91	17

Таблиця 1.27. Згладжування даних за 3-ма та 5-ма точками

y
			У	У

4. Побудувати лінію тренда для початкових даних. Визначення основної тенденції розвитку методом згладжування є прийомом попереднього аналізу. Для того щоб мати кількісну модель, яка виражає загальну тенденцію зміни рівнів динамічного ряду в часі, використовується аналітичне вирівнювання ряду динаміки.

Для аналітичного вирівнювання динамічного ряду фактичні значення замінюються обчисленими на основі певної функції, яку називають трендовим рівнянням. У разі, коли адекватність трендової моделі доведено, її можна використовувати для прогнозування розвитку процесу чи явища.

Вибір форми трендового рівняння залежить від інтенсивності динаміки явища.

Параметри трендових рівнянь визначають методом найменших квадратів, суть якого полягає у знаходженні такої прямої або кривої, ординати точок якої були б найближчі до значень фактичного динамічного ряду.

Для лінійної функції:

Метод найменших квадратів приводить до такої системи для знаходження параметрів лінійного тренда:

5. Оцінити адекватність лінії тренда. Адекватність лінії тренду характеризує коефіцієнт детермінації R² (в Excel - параметр достовірності апроксимації:

де - рівні ряду відповідно до рівняння лінії тренда.

Чим ближчий параметр R² до 1, тим адекватніше лінія тренда описує характер зміни величини Y.

Якщо R² близьке до 0, то не можна розглядати обраний тренд як модель залежності.

У випадку, коли жоден з типів трендів не дає задовільного результату, то можна висувати гіпотезу про відсутність тенденції зміни величини Y. Якщо ж параметр R² близький до 1, то за деяких припущень (з певним рівнем достовірності) можна розглядати побудований тренд як модель зміни величини Y.

По закінченні роботи оформити звіт.

Аналіз отриманих результатів

1. Проаналізувати криві згладжування і на підставі побудованих графіків пояснити, який з методів згладжування є більш точним - за трьома чи за п'ятьма точками. Чому?

2. Оцінити достовірність тренда на основі коефіцієнта апроксимації.

Лабораторна робота 1.16

Реалізація інтерполяційного методу Лагранжа засобами Excel

Мета та основні завдання роботи: навчитися будувати інтерполяційний багаточлен Лагранжа для множини біотехнологічних даних та застосовувати його для визначення наближених значень у заданих точках.

Основні теоретичні відомості

Нехай функцію f(x) задано на відрізку [a, b] своїми точними значеннями в інтерполяційних вузлах x₀, x₁, …, x_n:

.

Задача поліноміальної інтерполяції полягає у знаходженні многочлена L_n(x) степені n або меншої за n, такого, що його значення в інтерполяційних вузлах x₀, x₁, …, x_n збігаються із заданими значеннями y₀, x₁, …, x_n. Багаточлен Лагранжа вигляду:



.

задовольняє ці вимоги.

Послідовність виконання роботи

1. Вибрати початкові дані (інтерполяційні вузли та значення функції ) з табл. 1.28 відповідно до свого варіанта.

2. Визначити степінь інтерполяційного багаточлена Лагранжа.

3. Побудувати систему лінійних рівнянь зі с. 77 для невідомих . Розахувати визначник системи і зробити висновок про існування та єдність розв'язку. У випадку невиродженої системи знайти розв'язок системи засобами EXCEL.

4. Виписати багаточлен Лагранжа у явному вигляді.

5. Розахувати наближені значення функції на відрізку з кроком (відповідно до варіанта), використовуючи знайдений багаточлен Лагранжа.

6. Зобразити розрахунки у вигляді графіка.

7. Сформувати висновки.

Таблиця 1.28. Початкові дані

Варіант	x0	x1	x2	x3	x4	y0	y1	y2	y3	y4	Д
1	1	2	3	5	-	1	5	17	89	-	0,5
2	1	3	4	7	8	138	101	99	24	12	1
3	2	2,5	4	5	-	1	7	17	177	-	0,5
4	2	3	4	6	8	11	15	27	109	150	0,5
5	3	4	7	9	10	56	79	179	204	300	1
6	1	2	3	5	-	88	27	5	1	-	0,5
7	1	3	4	7	8	12	24	98	112	157	1
8	2	2,5	4	5	-	1	9	27	230	-	0,5
9	2	3	4	6	8	9	17	37	148	177	0,5
10	3	4	7	9	10	357	248	34	16	10	1



Опрацювання результатів

Подамо багаточлен Лагранжа у загальному вигляді багаточлена n-го ступеня з невідомими коефіцієнтами :

Знаходження невідомих коефіцієнтів зводиться до розв'язування системи лінійних рівнянь (1.9):

(1.9)

Для розв'язання системи необхідно пересвідчитись, що відповідний детермінант не дорівнює нулю та знайти розв'язок одним з відомих методів (наприклад, методом оберненої матриці).

За допомогою інтерполяційного багаточлена Лагранжа можна знайти наближені значення функції у будь-якій точці відрізка :

Запишемо початкові дані (вузли та відповідні значення функції) у вигляді табл. 1.29 (на листі EXCEL):

Таблиця 1.29. Початкові дані

i	0	1	2	3
xi	1	2	3	5
yi	1	5	14	81



Робимо висновок, що степінь інтерполяційного багаточлена дорівнює 3. Випишемо матрицю коефіцієнтів для знаходження невідомих (табл. 1.30):

Таблиця 1.30. Матриця коефіцієнтів

1	1	1	1
1	2	4	8
1	3	9	27
1	5	25	125

Отже, система лінійних рівнянь (1.7) має вигляд:

Використаємо вбудовану в Excel функцію МОПРЕД для знаходження визначника системи: det A = 48.

Знайдемо обернену матрицю (за допомогою функції МОБР, табл. 1.31):

Таблиця 1.31. Обернена матриця

А-1=	3,75	-5,00	2,50	-0,25
	-3,88	7,67	-4,25	0,46
	1,25	-3,00	2,00	-0,25
	-0,13	0,33	-0,25	0,04

Помножимо обернену матрицю на стовпець правої частини системи (за допомогою вбудованої функції МУМНОЖ) і знайдемо коефіцієнти (табл. 1.32):



Таблиця 1.32. Знаходження невідомих а₀-а_n

a1=	-31,50
a2=	54,58
a3=	-26,00
a4=	3,92

Таким чином, можемо виписати багаточлен Лагранжа у явному вигляді:

Розрахуємо за допомогою знайденої формули значення функції на відрізку [1, 5] з кроком 0,5 (табл. 1.33):

Таблиця 1.33. Дані для побудови полінома Лагранжа

xm	1,00	1,50	2,00	2,50	3,00	3,50	4,50
f(xm)	1,00	5,09	5,00	3,66	4,00	8,97	44,53

Будуємо відповідний графік (рис. 1.19):

Рис. 1.19. Поліном інтерполяції функції за Лагранжем



По закінченні роботи оформити звіт.

Аналіз отриманих результатів

1. Проаналізувати, у скільки разів значення функції зменшаться/збільшаться у досліджуваному діапазоні аргументів порівняно з початковими значеннями.

2. Оцінити невиродженість матриці.

Лабораторна робота 1.17

Реалізація експоненціальної та логістичної моделей динаміки біологічної популяції в середовищі MathCad

Мета та основні завдання роботи: навчитися використовувати функцію Odesolve для розв'язування диференціальних рівнянь.

Основні теоретичні відомості

Метод теорії диференціальних рівнянь є найефективнішим методом побудови математичних моделей, що описують динаміку екосистем, з урахуванням взаємодії як між окремими елементами екосистеми, так і між елементами екосистеми і зовнішніми факторами середовища, у якому функціонує кожен елемент екосистеми.

Прикладами екологічних моделей, що зображуються у вигляді диференціальних рівнянь, є моделі динаміки біологічних популяцій. Найпростішими з них є експоненціальна та логістична моделі.

Послідовність виконання роботи

Використавши функцію Odesolve, розв'язати експоненціальне та логістичне рівняння за заданих початкових умов відповідно до варіанта (табл. 1.34). Подати розв'язки у вигляді таблиць та графіків. Порівняти дві моделі динаміки популяцій. Сформувати висновки. Підготувати протокол лабораторної роботи.



Таблиця 1.34. Варіанти для розрахунків до практичних робіт 1.17 і 1.18

Варіант		r0	K
1	5	0.1	20
2	10	0.5	90
3	5	0.1	100
4	10	0.2	140
5	5	0.5	85
6	10	0.1	120
7	5	0.2	140
8	10	0.5	30
9	5	0.1	100
10	10	0.2	200

Опрацювання результатів

Експоненціальна модель. Якщо через N = N(t) позначити кількість особин у популяції в момент часу t, через r₀ коефіцієнт росту популяції, то експоненціальна модель запишеться у вигляді задачі Коші для диференціального рівняння першого порядку такого вигляду:

(1.10)

Можливі три варіанти розвитку популяції відповідно до моделі (1.10):

1) чисельність популяції експоненціально спадає (r₀ < 0);

2) чисельність популяції експоненціально зростає (r₀ > 0);

3) чисельність популяції не змінюється (r₀ = 0).

Логістична модель. Логістичну модель можна розглядати як модифікацію експоненціальної, якщо замінити сталий коефіцієнт r₀ у рівнянні:

(1.11)



на змінний параметр, що змінюється зі зміною чисельності популяції, де K - ємність середовища, тобто максимально можлива чисельність популяції для певних умов навколишнього середовища.

У цих умовах чисельність популяції описується таким диференціальним рівнянням (1.11):

(1.11)

Відповідно до моделі (1.11) можливі такі варіанти розвитку популяції:

1. Чисельність популяції зростає та асимптотично наближається до ємності середовища K (за умови N₀<K). Відповідний графік називають логістичною кривою.

2. Чисельність популяції спадає та асимптотично наближається до ємності середовища K (за умови N₀>K).

3. Чисельність популяції не змінюється (N₀ = K або N₀ = 0).

Для звичайних диференціальних рівнянь і задач з початковими та граничними умовами розроблено досить багато методів, які дозволяють знайти аналітичний (у вигляді формули) розв'язок рівняння. Це лінійні та однорідні диференціальні рівняння, рівняння у повних диференціалах та ряд інших. Але, як правило, диференціальні рівняння, що описують динаміку екологічних процесів, не завжди можуть бути розв'язані аналітично.

Наприклад, параметри, що входять у такі рівняння, є результатами спостережень чи експериментів і не завжди можуть бути подані у вигляді неперервних функцій. Це призводить до необхідності застосовувати числові методи інтегрування диференціальних рівнянь.

Один зі шляхів числового інтегрування диференціальних рівнянь - використання комп'ютерних стандартних пакетів, наприклад, MathCad.

Диференціальні рівняння в MathCad можна чисельно розв'язувати за допомогою ряду функцій, зокрема, функції Odesolve. Ця функція реалізовує метод Рунге-Кутта з фіксованим кроком.

Для виклику цієї функції необхідно записати обчислювальний блок, що складається з трьох частин:

1. Ключове слово - Given.

2. Диференціальне рівняння та початкові дані для нього.

3. Функція Odesolve (x, xk, n), де x - змінна, відносно якої розв'язується рівняння, xk - кінець інтервалу інтегрування (початок інтервалу інтегрування вказано в початковій умові), n - необов'язковий внутрішній параметр, що визначає кількість кроків інтегрування, за які повинно бути знайдено розв'язок диференціального рівняння. Чим більше n, тим з більшою точністю буде розв'язане рівняння.

Для виведення значень розв'язку у вигляді таблиці необхідно задати початкове та кінцеве значення аргумента та крок. Наприклад, x = 0..30 (це робиться за допомогою математичної панелі інструментів Matrix).

Після цього можна виводити значення знайденого розв'язку (значення розв'язку будуть відповідати вказаним значенням аргументів).

Для виведення графіків необхідно скористатись математичною панеллю Graph.

Для пбудови моделей у середовищі MathCad необхідно здійснити такі кроки:

1. Вводимо вхідні параметри:

2. Записуємо блок програми MathCad розв'язування диференціального рівняння, що описує експоненціальну модель динаміки популяції:

^- експоненціальна модель;

- початкові дані.

3. Записуємо блок програми MathCad розв'язування диференціального рівняння, що описує логістичну модель динаміки популяції:

- логістична модель

- початкові дані.

4. Виведемо в середовищі MathCad таблицю значень розв'язків.

Для цього спочатку треба визначити діапазон зміни часу:

Після цього можна викликати значення функцій (рис. 1.20).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.20. Приклад виведення на екран в середовищі MathCad значення функцій



Для порівняння зміни чисельності популяції відповідно до експоненціальної та логістичної моделей виведемо значення величини:

яка вказує, на скільки відсотків відрізняється значення відповідно до експоненціальної моделі від значення чисельності популяції відповідно до логістичної моделі.

1. Графічне зображення розв'язків експоненціальної та логістичних моделей окремо показано на рис. 1.21.

а б

Рис. 1.21. Графіки розв'язків експоненціальної (а) та логістичної (б) моделей динаміки популяції

По закінченні роботи оформити звіт.

Аналіз отриманих результатів

1. Проаналізувати відмінності кривих динаміки популяції відповідно до експоненціальної та логістичної моделей.

2. Оцінити приріст чисельності популяцій відповідно до побудованих моделей.

3. Визначити, на скільки відсотків відрізняються значення чисельності популяцій експоненціальної моделі від значення чисельності популяції відповідно до логістичної моделі.

4. Виявити переваги/недоліки досліджуваних моделей на підставі виконаного аналізу.

Лабораторна робота 1.18

Дослідження станів рівноваги логістичної моделі динаміки популяції

Мета та основні завдання роботи: дослідити поведінку розв'язків логістичної моделі в околі стійкої рівноваги, використовуючи можливості програмного пакета MathCad.

Основні теоретичні відомості

1. Логістична модель динаміки популяції подається диференціальним рівнянням:

(1.12)

де параметр K означає верхню межу росту популяції і називається ємністю довкілля.

Стан рівноваги диференціального рівняння першого порядку визначається з умови, що права частина рівняння дорівнює нулю:

(1.13)

2. Розв'язками рівняння (1.18.2) є два значення:

3. Перший розв'язок є нестійкою рівновагою (і не є цікавим з точки зору динаміки популяції), другий розв'язок є станом стійкої рівноваги.

Це означає, що якщо початковий стан популяції N₀ < K, то чисельність популяції зростає і прямує до рівня N ? K.

Якщо N₀ > K, то чисельність популяції спадає і прямує до ємності довкілля К.

Послідовність виконання роботи

1. Вибрати початкові параметри відповідно до варіанта (табл. 1.35).

2. Розв'язати диференціальне рівняння (1.12) за заданих значень параметрів N₀₀, N₀₁, N₀₂, N₀₃, N₀₄ за допомогою функції ODESOLVE(…).

3. Проілюструвати розв'язки графічно.

4. Сформувати висновки.

Таблиця 1.35. Варіанти для розрахунків

Варіант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
N0	28	37	55	20	26	39	53	21	29	38
	22	33	45	14	23	35	43	16	25	34
	20	30	40	10	20	30	40	10	20	30
	12	20	20	5	16	22	23	7	14	24
	3	5	6	1	2	4	3	1	2	4
r0	0,1	0,05	0,1	0,2	0,15	0,1	0,2	0,05	0,15	0,2
K	20	30	40	10	20	30	40	10	20	30

Опрацювання результатів

1. У середовищі MathCad задати початкові умови:

2. Задати диференціальні рівняння для різної початкової чисельності популяції:

3. Задати часовий інтервал та побудувати графік (рис. 1.21):

Рис. 1.21. Стани рівноваги логістичної моделі динаміки популяції

По закінченні роботи оформити звіт.

Аналіз отриманих результатів

1. Проаналізувати кількісний спад/приріст чисельності популяції залежно від ємності середовища та коефіцієнта росту популяції.

2. Оцінити різницю приросту / спаду чисельності популяції за різних початкових її значень.

3. Визначити, за яких умов чисельність популяції буде максимально наближеною до ємності середовища.



Список джерел

риба біотехнологвічний дтсперсійний

1. Михалевська Т.В. Основи статистичного обліку і банки інформації в екології: навч. посіб. / Т.В. Михалевська, В.М. Ісаєнко, В.А. Гроза, В.М. Криворотько. - К.: Вид-во Нац. авіацю ун-ту «НАУ-друк», 2009. - 156 с.

2. Groza V.A. Fundamentals of statistical accounting and databanks in ecology: lecture course / V. Groza, T. Dudar, T. Mikhalevska, O. Akmaldinova. - K.: NAU, 2008. - 64 p.

3. Толбатов Ю.А. Загальна теорія статистики засобами Excel: навч. посіб. / Ю.А. Толбатов. - К.: Четверта хвиля, 1999. - 224 с.

4. Володарський Є.Т. Статистична обробка даних: навч. посіб. / Є.Т. Володарський, Л.О. Кошева. - К.: НАУ, 2008. - 308 с.

5. Лаврик В. І. Методи математичного моделювання в екології / В.І. Лаврик. - Київ: Видавничий дім «КМ Академія», 2002. - 204 с.

6. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad. Учебный курс / Е.Г. Макаров. - СПб.: Питер, 2003. - 448 с.

7. Литвин О. І. Математичне моделювання і застосування ЕОМ в біотехнології. Конспект лекцій для студентів напряму 6.051401 - «Біотехнологія» / Укладач О.І. Литвин - Днiпродзержинськ: ДДТУ, 2012. - 63 с.

8. Компьютерное моделирование биотехнологических процессов и систем: Учеб. пособие / [Д.С. Дворецкий, С.И. Дворецкий, Е.И. Муратова, А.А. Ермаков]. - Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2005. - 80 с.

9. Наконечний С. І. Математичне програмування: Навч. посіб. / С. І. Наконечний, С.С. Савіна. - К.: КНЕУ, 2003. - 452 с.

10. Попов Ю.Д. Методи оптимізації. Навчальний електронний посібник для студентів / Ю.Д. Попов, В.І. Тюптя, В.І. Шевченко. - К.: Електронне видання. Ел. бібліотека факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка, 2003. ? 215 с.

11. Гартман Т.Н. Статистическая обработка активного эксперимента: Учеб. пособие / Т.Н Гартман, В.В. Васильев, С.Д. Петрищев, Е.Н. Павличева и др. - М.: РХТУ им. Д.И. Менделеева, 2006. - 52 с.

Размещено на Allbest.ru

...