Об эстетике фракталов и фрактальности искусства

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кыргызско-Российский Славянский университет

Естественно-технический факультет

Кафедра «Физические процессы горного производства»

Реферат

по дисциплине «Естествознание»

Об эстетике фракталов и фрактальности искусства

Выполнила Гордиенко В.С.

Руководитель Калинина Н.М.

Бишкек 2019

Содержание

Введение

1. Понятие «фрактал»

2. Применение фракталов

2.1 Компьютерные системы

2.2 Механика жидкостей

2.3 Телекоммуникации

2.4 Физика поверхностей

2.5 Биология

3. Теория хаоса

4. Броуновское движение

5. Виды фракталов

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Разветвления трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, река, бурлящая и изгибающаяся - это все фракталы. От представителей древних цивилизаций до настоящего времени, ученые, математики и артисты, как и все остальные обитатели этой планеты, были зачарованы фракталами и применяли их в своей работе.

Программисты и специалисты в области компьютерной техники так же без ума от фракталов, так как фракталы бесконечной сложности и красоты могут быть сгенерированы простыми формулами на простых домашних компьютерах. Открытие фракталов было открытием новой эстетики искусства, науки и математики, а так же революцией в человеческом восприятии мира.

Целью данной работы является узнать, что такое фрактал, историю его исследования и какие есть виды.

1. Понятие «фрактал»

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского «fractus» и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика.

2. Применение фракталов

2.1 Компьютерные системы

Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами (такими как jpeg или gif). Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения размеров точек до размеров, искажающих изображение). При фрактальном же сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.

2.2 Механика жидкостей

Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать. И здесь помогает переход к их фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных потоков.

Пористые материалы хорошо представляются в фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Это используется в нефтяной науке.

2.3 Телекоммуникации

Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.

2.4 Физика поверхностей

Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.

2.5 Биология

Моделирование хаотических процессов, в частности при описании моделей популяций.

3. Теория хаоса

Теория хаоса - это учение о сложных нелинейных динамических системах или это учение о постоянно изменяющихся сложных системах, основанное на математических концепциях рекурсии, в форме или рекурсивного процесса или набора дифференциальных уравнений, моделирующих физическую систему.

Наиболее часто встречающееся несоответствие состоит в том, что люди полагают, что теория хаоса - это теория о беспорядке. Ничто не могло бы быть так далеко от истины! Это не опровержение детерминизма и не утверждение о том, что упорядоченные системы невозможны; это не отрицание экспериментальных подтверждений и не заявление о бесполезности сложных систем. Хаос в теории хаоса и есть порядок - и даже не просто порядок, а сущность порядка.

Это правда, что теория хаоса утверждает, что небольшие изменения могут породить огромные последствия. Но одной из центральных концепций в теории является невозможность точного предсказания состояния системы. В общем, задача моделирования общего поведения системы вполне выполнима, даже проста. Таким образом, теория хаоса сосредотачивает усилия не на беспорядке системы - наследственной непредсказуемости системы - а на унаследованном ей порядке - общем в поведении похожих систем.

Таким образом, было бы неправильным сказать, что теория хаоса о беспорядке. Чтобы пояснить это на примере, возьмем аттрактор Лоренца. Он основан на трех дифференциальных уравнениях, трех константах и трех начальных условиях.

Аттрактор представляет поведение газа в любое заданное время, и его состояние в определенный момент зависит от его состояния в моменты времени, предшествовавшие данному. Если исходные данные изменить даже на очень маленькие величины, скажем, эти величины малы настолько, что соизмеримы с вкладом отдельных атомов в число Авогадро (что является очень маленьким числом по сравнению со значениями порядка 1024), проверка состояния аттрактора покажет абсолютно другие числа. Это происходит потому, что маленькие различия увеличиваются в результате рекурсии.

Рисунок 1 - Аттрактор Лоренца

Теория хаоса говорит, что сложные нелинейные системы являются наследственно непредсказуемыми, но, в то же время, теория хаоса утверждает, что способ выражения таких непредсказуемых систем оказывается верным не в точных равенствах, а в представлениях поведения системы - в графиках странных аттракторов или во фракталах. Таким образом, теория хаоса, о которой многие думают как о непредсказуемости, оказывается, в то же время, наукой о предсказуемости даже в наиболее нестабильных системах.

Теория хаоса является очень хорошим средством взглянуть на события, происходящие в мире отлично от более традиционного четко детерминистического взгляда, который доминировал в науке со времен Ньютона. Техники теории хаоса использовались для моделирования биологических систем, которые, бесспорно, являются одними из наиболее хаотических систем из всех что можно себе представить. Системы динамических равенств использовались для моделирования всего - от роста популяций и эпидемий до аритмических сердцебиений.

Фракталы находятся везде, наиболее заметны в графических программах как, например, очень успешная серия продуктов Fractal Design Painter. Техники фрактального сжатия данных все еще разрабатываются, но обещают удивительные результаты как например коэффициента сжатия 600.

Индустрия специальных эффектов в кино, имела бы горазда менее реалистичные элементы ландшафта (облака, скалы и тени) без технологии фрактальной графики.

И, конечно, теория хаоса дает людям удивительно интересный способ того, как приобрести интерес к математике, одной из наиболее мало-популярной области познания на сегодняшний день.

4. Броуновское движение

Броуновское движение - это, например, случайное и хаотическое движение частичек пыли, взвешенных в воде. Этот тип движения, возможно, является аспектом фрактальной геометрии, имеющий с наибольшее практическое использование. Случайное Броуновское движение производит частотную диаграмму, которая может быть использована для предсказания вещей, включающих большие количества данных и статистики. Хорошим примером являются цены на шерсть, которые Мандельброт предсказал при помощи Броуновского движения.

Рисунок 2 - Частотная диаграмма

Частотные диаграммы, созданные при построении графика на основе Броуновских чисел так же можно преобразовать в музыку. Конечно этот тип фрактальной музыки совсем не музыкален и может действительно утомить слушателя. Занося на график случайно Броуновские числа, можно получить Пылевой Фрактал.

Рисунок 3 - Рельеф

Кроме применения Броуновского движения для получения фракталов из фракталов, оно может использоваться и для создания ландшафтов. Во многих фантастических фильмах, как например Star Trek техника Броуновского движения была использована для создания инопланетных ландшафтов таких, как холмы и топологические картины высокогорных плато. Эти техники очень эффективны, и их можно найти в книге Мандельброта Фрактальная геометрия природы. Мандельброт использовал Броуновские линии для создания фрактальных линий побережья и карт островов с высоты птичьего полета.

фрактал хаос броуновский

5. Виды фракталов

Фракталы делятся на:

геометрические фракталы;

алгебраические фракталы;

стохастические фракталы.

Геометрические фракталы по-другому называют классическими, детерминированными или линейными. Они являются самыми наглядными, так как обладают так называемой жесткой самоподобностью, не изменяющейся при изменении масштаба. Это значит, что, независимо от того, насколько вы приближаете фрактал, вы видите всё тот же узор.

В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков данной ломаной (инициатора) заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается фрактальная кривая. Несмотря на кажущуюся сложность этой кривой, её форма определяется лишь формой генератора.

Наиболее известные геометрические фракталы: кривая Коха, кривая Минковского, кривая Леви, кривая дракона, салфетка и ковер Серпинского, пятиугольник Дюрера.

Рисунок 4 - Кривая Коха

Рисунок 5 - Кривая Минковского Рисунок 6 - Кривая дракона

Рисунок 7 - Фрактал коробка Рисунок 8 - Ковер Серпинского

Рисунок 9 - Салфетка Серпинского Рисунок 10 - Пятиугольник Дюрера

Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят на основе алгебраических формул.

Сложные (алгебраические) фракталы невозможно создать без помощи компьютера. Для получения красочных результатов этот компьютер должен обладать мощным математическим сопроцессором и монитором с высоким разрешением. Свое название они получили за то, что их строят на основе алгебраических формул. В результате математической обработки данной формулы на экран выводится точка определенного цвета. Результатом оказывается странная фигура, в которой прямые линии переходят в кривые, появляются хотя и не без деформаций, эффекты самоподобия на различных масштабных уровнях. Практически каждая точка на экране компьютера как отдельный фрактал. Наиболее известные алгебраические фракталы: множества Мандельброта и Жюлиа, бассейны Ньютона.

Алгебраические фракталы обладают приближенным самоподобием. Фактически, если вы увеличите маленькую область любого сложного фрактала, а затем проделаете то же самое с маленьким участком этой области, то эти два увеличения будут значительно отличаться друг от друга. Два изображения будут очень похожи в деталях, но они не будут полностью идентичными.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 11 - Множество Мандельброта

Рисунок 12 - Множество Жюлиа Рисунок 13 - Бассейн Ньютона

Третьей крупной разновидностью фракталов являются стохастические фракталы, которые образуются путем многократных повторений случайных изменений каких-либо параметров. В результате итерационного процесса получаются объекты очень похожие на природные фракталы - несимметричные деревья, изрезанные лагунами береговые линии островов и многое другое. Двумерные стохастические фракталы используются преимущественно при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Наиболее яркими примерами стохастических фракталов являются:

траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве. А также граница траектории броуновского движения на плоскости. Следует отметить, что в 2001 году известные математики Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Б. Мандельборта о том, что размерность границы броуновского движения на плоскости равна 4/3;

эволюции Шрамма-Лёвнера - конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики. Наглядным примером этой разновидности стохастических фракталов является модель Изинга и перколяции;

разнообразные виды рандомизированных фракталов. Это такие фракталы, которые образуются с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге вводится случайный параметр. Очень часто эту разновидность фракталов используют в компьютерной графике для изображения плазмы.

Рисунок 14 - Плазма

Не так давно в изобразительном искусстве сформировалось новое направление - фрактальная монотипия или стохатипия, целью которых является получение изображения случайного фрактала.

Существуют и другие классификации фракталов, например деление фракталов на детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).

Заключение

Цели данной работы выполнены, рассмотрели все имеющиеся виды фракталов и историю появления знаний о них. Эстетика фракталов, как я думаю, заключается в том, что с их помощью можно «писать картины». Но красота это не единственный их плюс, ведь с их помощью изображаются многие процессы из различных областей жизни.

Вся наша жизнь представлена фракталами. Не только визуальными, но ещё и структура этого изображения отражает нашу жизнь. Взять, к примеру, ДНК, это всего лишь основа, одна итерация, а при повторении появляется человек. И таких примеров много.

Нельзя не отметить широкое применение фракталов в компьютерных играх, где рельефы местности зачастую являются фрактальными изображениями на основе трёхмерных моделей комплексных множеств и броуновского движения.

Красоту изображения фракталов нельзя отрицать и радовать глаз человека она будет всегда. А доказательств строения того или иного на основе фракталов, мне кажется, будет еще больше.

Список использованной литературы

Б. Мандельброт. Фрактальная геометрия природы. Москва: Институт компьютерных исследований, 2002 год. 656 с.

Размещено на Allbest.ru