Размещено на http://www.allbest.ru/

Теория катастроф

Содержание

• Введение
• 1. Теория катастроф
• 1.1 Семь элементарных катастроф по Тому
• 2. Потенциальные функции с одной активной переменной
• 2.1 Катастрофа типа "Складка"
• 2.2 Катастрофа типа "Сборка"
• 2.3 Катастрофа типа "Ласточкин хвост"
• 2.4 Катастрофа типа "Бабочка"
• 3. Потенциальные функции с двумя активными переменным
• Заключение
• Список литературы

Введение

Теория катастроф -- раздел прикладной математики, ветвь теории бифуркаций, важный инструмент для исследования динамических систем; также -- специальный раздел более общей теории сингулярностей в геометрии.

Термины "катастрофа" и "теория катастроф" были введены в физическую математику, а точнее - в математическое моделирование, Рене Томом (RenйThom) и Кристофером Зиманом (ChristopherZeeman) в конце 1960-х - начале 1970-х годов ("катастрофа" в данном контексте означает резкое качественное изменение объекта при плавном количественном изменении параметров, от которых он зависит). Одной из главных задач теории катастроф является получение так называемой нормальной формы исследуемого объекта (дифференциального уравнения или отображения) в окрестности "точки катастрофы" и построенная на этой основе классификация объектов.

Математическая теория катастроф нашла многочисленные применения в различных областях прикладной математики, физики, а также в экономике. Часто эту теорию называют без прилагательного "математическая": теория кактастроф, следует, однако, заметить, что при этом создается ситуация омонимии, когда одним термином обозначают различные предметы. Существует более ранее, чем математическая теория катастроф, теория катастроф в природе (палеонтологии и геофизике), разработанная классиком естествознания Жоржем Кювье два столетия назад.

1. Теория катастроф

1.1 Элементарные катастрофы

Теория катастроф анализирует критические точки (репетиции) потенциальной функции, то есть точки, где не только первая производная функции равна нулю, но и равны нулю же производные более высокого порядка. Динамика развития таких точек может быть изучена при помощи разложения потенциальной функции в рядах Тейлора посредством малых изменений входных параметров.

Если точки роста складываются не просто в случайный узор, но формируют структурированную область стабильности, эти точки существуют как организующие центры для особых геометрических структур с низким уровнем катастрофичности, с высоким уровнем катастрофичности в окружающих их областях фазового пространства. Если потенциальная функция зависит от трёх или меньшего числа активных переменных, и пяти или менее активных параметров, то в этом случае существует всего семь обобщённых структур описанных геометрий бифуркаций, которым можно приписать стандартные формы разложений в ряды Тейлора, в которые можно разложить репетиции при помощи диффеоморфизма (гладкой трансформации, обращение которой также гладко). Сегодня эти семь фундаментальных типов известны под именами, которые им дал Рене Том.

1.2 Семь элементарных катастроф по Тому

Теория катастроф анализирует критические точки (репетиции) потенциальной функции, то есть точки, где не только первая производная функции равна нулю, но и равны нулю же производные более высокого порядка. Динамика развития таких точек может быть изучена при помощи разложения потенциальной функции в рядах Тейлора посредством малых изменений входных параметров. Если точки роста складываются не просто в случайный узор, но формируют структурированную область стабильности, эти точки существуют как организующие центры для особых геометрических структур с низким уровнем катастрофичности, с высоким уровнем катастрофичности в окружающих их областях фазового пространства. Если потенциальная функция зависит от трёх или меньшего числа активных переменных, и пяти или менее активных параметров, то в этом случае существует всего семь обобщённых структур описанных геометрий бифуркаций, которым можно приписать стандартные формы разложений в ряды Тейлора, в которые можно разложить репетиции при помощи диффеоморфизма (гладкой трансформации, обращение которой также гладко). Сегодня эти семь фундаментальных типов катастроф известны под именами, которые им дал Рене Том.

2. Потенциальные функции с одной активной переменной

2.1 Катастрофа типа "Складка"

V=x3+ax

Стабильная и нестабильная части экстремума, исчезающего при бифуркации типа "складка".

При отрицательных значениях параметра a, потенциальная функция имеет два экстремума -- один стабильный (устойчивое равновесие) и один нестабильный (неустойчивое равновесие). Если параметр a медленно изменяется, система может находиться в точке стабильного минимума. Но если a = 0, стабильные и нестабильный экстремумы встречаются и аннигилируют. Это -- точка бифуркации. При a > 0 не существует стабильного решения.

Если физическая система проходит через точку бифуркации типа «свёртка», и поэтому параметр a достигает значения 0, стабильность решения при a < 0 внезапно теряется, и система может осуществить внезапный переход в новое, весьма отличное от предыдущего состояние. Это бифуркационное значение параметра a иногда называется «точкой фиксации».

2.2 Катастрофа типа "Сборка"

V = x4 + ax2 + bx

Диаграмма катастрофы «сборка» с точкой возврата, на которой показаны кривые (коричневые, красные) по переменной x, удовлетворяющие выражению для параметров (a, b), кривые показаны для непрерывно изменяющегося параметра b при различных значениях параметра a. Вне геометрического места точек возврата (синяя область) для каждой точки (a, b) в фазовом пространстве существует только одно экстремальное значение переменной x. Внутри точек возврата существует два различных значения x, которые дают локальные минимумы функции V(x) для каждой пары (a, b). При этом указанные значения разделены локальным максимумом.

Бифуркация типа «вилка» при a = 0 на пространстве b = 0. Форма точек возврата в фазовом пространстве (a, b) около точки катастрофы, показывающая геометрическое место бифуркаций типа «свёртка», которое разделяет область с двумя стабильными решениями и область с одним решением. Геометрия точек возврата весьма обычна, когда производится изучение того, что происходит с бифуркациями типа «свёртка» при добавлении в управляющее пространство нового параметра b. Изменяя параметры, можно найти, что имеется кривая (синяя) точек в пространстве (a, b), на которой теряется стабильность, то есть на этой кривой стабильное решение может внезапно «перепрыгнуть» на альтернативное значение (также стабильное).

Но в геометрии точек возврата кривая бифуркаций заворачивает назад, создавая вторую ветвь, на которой уже это второе решение теряет стабильность, а потому может совершить «прыжок» назад на исходное множество решений. При повторном увеличении значения параметра b и последующем уменьшении его, можно наблюдать гистерезис в поведении петель, поскольку система следует по одному решению, «перепрыгивает» на другое, следует по нему и «перепрыгивает» назад на исходное.

Однако это возможно только в области в параметрическом пространстве при a <0. Если значение параметра a увеличивается, петли гистерезиса становятся меньше и меньше, пока значение a не достигнет 0. В этой точке петли исчезают (катастрофа с точкой возврата), и появляется только одно стабильное решение.

Также можно рассмотреть процесс изменения параметра a при неизменном значении b. В симметричном случае при b = 0 можно наблюдать бифуркацию типа «вилы» при уменьшающемся значении параметра a одно стабильное решение внезапно разделяется на два стабильных решения и одно нестабильное. В это время физическая система проходит в область a<0 через точку возврата (a = 0,b = 0) (это -- пример спонтанного нарушения симметрии). Вдали от точки возврата не существует внезапных изменений в физической системе, поскольку при прохождении по кривой бифуркации свёртки происходит только то, что становится доступным второе альтернативное решение.

Одно из наиболее интересных предложений по использованию катастрофы с точкой возврата заключается в том, что этот тип катастрофы можно использовать для моделирования поведения собаки, которая в ответ на внешнее воздействие может испугаться или обозлиться. Предложение заключается в том, что при умеренном воздействии (a > 0) собака будет проявлять плавное изменение отклика с испуга на злость в зависимости от того, как было проведено воздействие. Но более высокий уровень воздействия -- это стресс, соответствующий переходу в область a < 0. В этом случае если собака изначально испугалась, она останется испуганной при увеличении уровня воздействия на неё, пока в конечном итоге она не достигнет точки возврата, где произойдёт спонтанный переход в режим злобы. При переходе в этот режим собака будет оставаться озлобленной даже в случае постепенного снижения воздействия на неё.

Оставшиеся простые геометрии катастроф являются более специализированными по сравнению с только что рассмотренной, а потому проявляются только в некоторых отдельных случаях.

2.3 Катастрофа типа "Ласточкин хвост"

V = x5 + ax3 + bx2 + cx

Управляющее пространство в данном типе катастроф является трёхмерным. Каскад бифуркаций в фазовом пространстве состоит из трёх поверхностей бифуркаций типа «свёртки», которые встречаются на двух кривых бифуркаций с точками возврата, которые в конечном итоге встречаются в одной точке, представляющей собой бифуркацию типа "ласточкин хвост"».

По мере прохождения значений параметров по поверхностям областей бифуркаций типа "свёртка" пропадает один минимум и один максимум потенциальной функции. В области бифуркаций с точкой возврата два минимума и один максимум замещаются одним минимумом; за ними бифуркации типа «свёртка» исчезают. В точке ласточкиного хвоста два минимума и два максимума встречаются в одном значении переменной x. Для значений a > 0 за ласточкиным хвостом существует либо одна пара (минимум, максимум), либо не существует вообще никаких бифуркаций. Это зависит от значений параметров b и c. Две поверхности бифуркаций типа "свёртка"» и две линии бифуркаций с точками возврата встречаются при a < 0, а потому исчезают в самой точке ласточкиного хвоста, заменяясь одной поверхностью бифуркаций типа "свёртка". Последняя картина Сальвадора Дали под названием "Ласточкин хвост" создана под влиянием этого типа катастроф .

2.4 Катастрофа типа "Бабочка"

V = x6 + ax4 + bx3 + cx2 + dx

В зависимости от значений параметров потенциальная функция может иметь три, два или один локальный минимум, причём все минимумы разделены областями с бифуркациями типа "свёртка". В точке с поэтичным наименованием "бабочка" встречаются три различные пространства (трёхмерных плоскости) таких бифуркаций типа "свёртка", две поверхности бифуркаций с точками возврата и скривая бифуркаций типа "ласточкин хвост". Все эти бифуркации пропадают в одной точке и преобразуются в простую структуру с точкой возврата тогда, когда значение параметра a становится положительным.

3. Потенциальные функции с двумя активными переменными

Омбилические катастрофы являются примерами катастроф второго порядка. Они, к примеру, могут наблюдаться в оптике при отражении света от трёхмерных поверхностей. Сами по себе такие катастрофы тесно связаны с геометрией почти сферических поверхностей. Рене Том предложил рассматривать гиперболическую омбилическую катастрофу как разрушение волны, а эллиптическую омбилическую катастрофу Ї как процесс создания структур, похожих на волосяной покров.

Зонтик Уитни - Кэли

Зонтиком эта поверхность называется потому, что уравнению, задающему поверхность, удовлетворяет и отрицательная часть оси Z - своего рода «ручка» зонтика.

Траектория нелинейной динамической системы в многомерном фазовом пространстве ведет себя необычным образом. При определенных условиях существует область, которая притягивает к себе все траектории из окрестных областей. Она была названа "странным аттрактором" Лоренца. Попадая в нее, сколь угодно близкие траектории расходятся и имеют очень сложную и запутанную структуру. В странном аттракторе Лоренца выбранное наугад решение будет блуждать и со временем пройдет достаточно близко к любой точке аттрактора. По топологии странный аттрактор представляет собой, так называемое, фрактальное множество, характеризующееся дробной размерностью. Быстрое расхождение двух близких в начальный момент времени траекторий означает очень большую чувствительность решений к малому изменению начальных условий. Этим обусловлена большая трудность или даже невозможность долгосрочного прогноза поведения нелинейных динамических систем.

Теория катастроф определяет область существования различных структур, границы их устойчивости. Для изучения же динамики систем необходимо знать, каким именно образом новые решения уравнений "ответвляются" от известного решения. Ответ на такие вопросы дает теория бифуркаций (разветвлений), то есть возникновения нового решения при критическом значении параметра. Момент перехода (катастрофический скачок) зависит от свойств системы и уровня флуктуаций.

В реальных условиях при углублении неравновесности в открытой системе возникает определенная последовательность бифуркаций, сопровождающаяся сменой структур. Типичным примером такого сценария является развитие турбулентности с чередующимися типами все более усложняющихся движений. Состояние системы в момент бифуркации является неустойчивым и бесконечно малое воздействие может привести к выбору дальнейшего пути. Финальным состоянием эволюционирующих физических систем является состояние динамического хаоса.

Еще одно основополагающее направление в теории состояний, далеких от равновесия, связано с анализом качественного поведения нелинейных динамических систем при изменении описывающих их параметров. Его основой является новая область математики - теория особенностей гладких отображений, сформировавшаяся на стыке топологии и математического анализа и получившая еще одно, более образное наименование - теория катастроф. В этой теории для анализа свойств систем дифференциальных уравнений уже не требуется предварительно находить полное множество решении. Дело в том, что для сложных систем знание всех точных решений избыточно: в реальных условиях они меняются за счет флуктуаций, и мы не получаем от этого знания нужной информации.

Теория катастроф исследует динамические системы, составляющие широкий класс нелинейных систем и описываемые уравнениями вида. Задача заключается в исследовании изменений состояний равновесия потенциальной функции при изменении управляющих параметров.

Элементарная теория катастроф является в известном смысле обобщением задач на минимум и максимум в математическом анализе. Для функции одной переменной ее поведение определяется невырожденными критическими точками - максимумами и минимумами. Эти точки соответствуют равенству нулю первой производной при второй производной, отличной от нуля.

Значение элементарной теории катастроф состоит в том, что она сводит огромное многообразие ситуаций, встречающихся на практике, к небольшому числу стандартных схем, которые можно детально исследовать раз и навсегда.

Сейчас теория катастроф широко применяется в механике конструкций, метеорологии, аэродинамике, оптике, теории кооперативных явлений, квантовой динамике. Но главное заключается в том, что эта теория подводит эффективную стандартную базу под описание качественных изменений в нелинейных уравнениях, моделирующих системы, далекие от равновесия. Она является основой анализа в теории бифуркаций, в теории переходов термодинамических систем в новые структурные состояния.

Заключение

теория катастроф функция математическая

Каждый день мы узнаем из средств массовой информации о новых и новых катастрофах и это прискорбно. Теория катастроф может помочь нам в понимании этих процессов, окружающих нас повсеместно и ежечасно. Сама по себе математическая теория, какая бы она не была, к сожалению, не имеет возможности предотвращать катастрофы, или уменьшать их трагические последствия, так же как любой, пусть даже самый совершенный календарь, может лишь информировать о наступлении того или иного дня недели, месяца, года, но ни в коем случае не оказывать влияния на ход времени или происходящие события. Так же и теория катастроф может лишь выявлять общие черты закономерные для схожих явлений, характеризующихся скачкообразным изменением состояния системы. И именно благодаря этой возможности необходимо применять эту теорию, для установления причин возникновения уже состоявшихся катастроф и только зарождающихся предпосылок для возникновения катастроф в будущем, используя тем самым все предоставляемые нам наукой возможности для уменьшения последствий различного рода происшествий.

Список литературы

1. Арнольд В.И. Теория катастроф. М., Наука. 1990.

2. Ващекин Н. П. Концепции современного естествознания: Учебно-метод. комплекс (для заочной формы обучения). - М.: РАП, 2007. - 32 с.

3. Ващекин Н. П., Ващекин А. Н. Концепции современного естествознания для юристов: Учеб. пособие / Предисл. Д. А. Ловцова. - М.: РАП, 2008. - 248

4. Ващекин Н. П. Концепции современного естествознания: Учебно-метод. комплекс (для очной и очно-заочной форм обучения). - М.: РАП, 2007. - 28 Королёв В. Т., Ловцов Д. А., Радионов В. В., Квачко В. Ю. Информатика и математика для юристов: Учебник: гриф УМО по юридическому образованию РФ / Под. ред. Д. А. Ловцова. - М.: Высшая школа, 2008. - 308

5. Ловцов Д. А. Информационная теория эргасистем. Тезаурус: Монография. - М.: Наука, 2005. - 248 c.

6. Ловцов Д. А., Сергеев Н. А. Управление безопасностью эргасистем / Под ред. Д. А. Ловцова. - М.: РАУ - Университет, 2001. - 224c.

7. Томпсон Дж. М.Т. Неустойчивость и катастрофы в науке и технике.

8. Асмус В. Ф. Проблема интуиции в философии и математики. М., Мысль. 1963.

9. Бажаева И. Т. Психологические установки и кибернетика. М., Наука. 1967.

10. Веккер Л. М. Восприятие и основы его моделирования. Л., ЛГУ. 1964.

11. Агильдеев И. И. В плену у систем. М.. 1993.

Размещено на Allbest.ru