Моделирование систем со смешанной валентностью методом Монте-Карло

Размещено на http://www.allbest.ru/

Уральский Федеральный Университет им. первого президента России Б.Н. Ельцина

Моделирование систем со смешанной валентностью методом Монте-Карло

Чиков А.А.

Научные руководители:

д-р физ.-мат. наук, проф. Москвин А.С.

асс. Аввакумов И.Л.

Для описания спиновых систем -- традиционного объекта внимания физики магнитных явлений -- был разработан ряд эффективных методов, которые можно распространить на объекты, имеющие принципиально иную природу, путем использования псевдоспинового формализма, который состоит в введении псевдоспина -- величины, описывающей несколько состояний элемента системы и эффективного гамильтониана, описывающего взаимодействие между этими элементами. В некоторых случаях это удается сделать так, что получившаяся псевдоспиновая система, если и не имеет точного аналога среди истинно спиновых систем, то может быть описана или смоделирована с помощью уже известных методов. В качестве дополнительного преимущества этого подхода нужно отметить тот факт, что при численном моделировании исследователь может начать работу с уже изученной спиновой системы и, получив известный результат и убедившись в отсутствии ошибок в коде, достаточно быстро модернизировать алгоритм под интересующую его псевдоспиновую систему. Такой подход может сократить процесс отладки и служит дополнительным критерием истинности полученных результатов.

В данной работе псевдоспиновый формализм применен к описанию сильнокоррелированной системы со смешанной валентностью -- плоскостей , которые, согласно результатам ряда исследований отвечают за сверхпроводимость в соединениях типа (рис. 1).

Рисунок 1. Кристаллическая структура исследуемого соединения

В рамках предложенного подхода 3 валентных состояний кластера () формально связываем с триплетом состояний псевдоспина . Эффективный гамильтониан системы со смешанной валентностью представим в виде:

,

где под суммой по следует понимать суммирование по ближайшим соседям. Два первых слагаемых описывают эффекты затравочного псевдоспинового расщепления. При этом второе слагаемое, описывающее электрон-дырочную асимметрию, может быть сопоставлено с псевдомагнитным полем (в частности с реальным электрическим полем). Третье и четвертое слагаемые описывают эффекты коротко- и дальнодействующих межионных взаимодействий, таких как экранированное кулоновское и ковалентное. Мы пренебрегаем эффектами переноса заряда, так что задача фактически сводится к классической. При использовании этого гамильтониана для описания систем со смешанной валентностью нас будет интересовать главным образом основная характеристика модельной системы: корреляционная функция типа «плотность-плотность» и ее Фурье-образ -- структурный фактор. В ходе работы методом Монте-Карло исследовались зависимости структурного фактора в точке (р,р) от соотношения между величиной эффективной одноионной анизотропии и допирования системы . Исходная система имела половинное заполнение, допирование вводилось следующим образом: выбирался квадратный кластер, центр которого соответствовал допированному иону . На одном из узлов кластера увеличивалось значение проекции псевдоспина на 1, значение одноионной анизотропии, обмена и псевдомагнитного поля изменялись на всем кластере. Согласно экспериментальным данным были выбраны следующие значения констант:

, ,

при допировании они изменяются на , и соответственно.

Для тестирования метода обратимся к системе со спином и гамильтонианом:

.

Это модель Изинга, при мы имеем антиферромагнитный случай. Для плоской квадратной решетки (которая нас и интересует) известно точное значение температуры фазового перехода антиферромагнетик - разупорядоченная парамагнитная фаза (Неелевский переход) который характеризуется скачкообразным изменением структурного фактора в точке (р,р) с единицы (в случае половинного заполнения) до нуля. Точное значение температуры фазового перехода , где - значение обменного интеграла - этот результат будет нами получен в качестве тестового перед переходом к моделированию системы со спином .

Наша задача сводится к вычислению квантовомеханического температурного среднего от некоторого оператора

,

где в - обратная температура, а - статистическая сумма. Метод Монте-Карло - общее название группы численных методов, в которых так ли иначе задействованы генераторы случайных чисел. Применительно к нашей задаче метод сводится к усреднению интересующих параметров по некоторой выборке в фазовом пространстве системы. Производить простую выборку (случайным образом забрасывать систему в некоторую точку фазового пространства) не рационально, поэтому обратимся к алгоритму Метрополиса, который состоит в усреднении по Марковской цепи, построенной с соблюдением принципа детального равновесия. Марковская цепь - это последовательность вероятностных событий, такая, что каждое следующее зависит только от предыдущего, в нашем случае это цепочка преобразований системы, которая имитирует ее температурную эволюцию. Вероятность принятия новой конфигурации (результата единичного преобразования) должна удовлетворять принципу детального равновесия:, что обеспечит выполнение гипотезы эргодичности, т.е. эквивалентность термодинамического и статистического усреднения. Так как гамильтониан нашей системы диагонален в выбранном представлении мы можем вычислить изменение энергии при изменении конфигурации и ввести вероятность принятия перехода следующим образом:

,

где . Это не единственный, но наиболее логичный способ ввести величину W. Принимать сгенерированную конфигурацию (т.е. включать ее в Марковскую цепь) мы будем в случае, если , (p-число, сгенерированное случайным образом так, что ) и отбрасывать (т.е. включать в Марковскую цепь старую конфигурацию повторно) в противном случае. Генерация новой конфигурации состоит в перевороте двух спинов в старой, переворот делается таким образом, чтобы сумма всех значений проекций спинов системы осталась неизменной. Важно отметить тот факт, что начальная точка Марковской цепи должна лежать близко к основному состоянию, иначе при достаточно низких температурах система может застрять в метастабильном состоянии, что приведет к неправильному результату. Для решения этой проблемы используют процедуру термализации или отжига, один из вариантов ее реализации- прогон системы без накопления каких либо параметров на температуре несколько превышающей расчетную, с целью поиска состояния с наименьшей энергией, с которого в основном расчете будет стартовать Марковская цепь. В ходе исследования проводились эксперименты с различным количеством шагов и разными размерами решетки, для построения фазовых диаграмм была выбрана система размером 10?10 с шагов в цикле термализации и шагов в основном цикле. Граничные условия везде периодические.

Перейдем к обсуждению полученных результатов. Зависимость структурного фактора от температуры для модели Изинга () совпала с ожидаемой - упорядоченная фаза (антиферромагнетик) при низких температурах и разупорядоченная (парамагнетик) при , точное значение . При переходе к в той же модели температура фазового перехода увеличилась, но качественно зависимость осталась прежней (Рис.2), что объясняется тем, что увеличилось максимальное значение проекции спина на ось Z и соответственно, вклад в полную энергию от каждой связи в упорядоченной фазе.

Рисунок 2. Неелевский переход в модели Изинга для S=1/2 и S=1

Цель этого этапа - убедиться в том, что модель работает правильно - достигнута.

Следующий этап - подбор оптимальных параметров расчета - размера решетки и количества шагов для исследования зависимости поведения модели от параметров системы - величины эффективной одноионной анизотропии и допирования (отклонения от половинного заполнения). Было исследовано поведение систем размером от 2ґ2 до 32ґ32 (рис. 3), для построения фазовых диаграмм была выбрана система 10ґ10, так как с дальнейшим увеличением размера поведение вблизи критической точки существенно не меняется.

Рисунок 3. Неелевский переход на рещетках различноого размера для S=1

Критерий выбора количества шагов для каждого конкретного размера системы - визуальная гладкость кривой, для системы 10ґ10 это шагов в цикле термализации и шагов в основном цикле.

Задача третьего этапа - построить фазовые диаграммы на плоскостях и , где - отношение количества допированных ионов к полному количеству узлов в системе. В системе не возникает упорядоченной фазы при значении анизотропии , но такой ситуации, когда при нулевой температуре наблюдается упорядоченная фаза, которая разрушается при незначительном увеличении температуры, не обнаружено (рис. 4), что вероятно, является следствием фиксации суммарного спина системы.

Рисунок 4. Фазовая диаграмма на плоскости (T,Delta), цветом показан структурный фактор

Более интересная с практической точки зрения диаграмма в плоскости показала относительно слабую зависимость температуры фазового перехода при отклонении от половинного заполнения (при разумных концентрациях допирования) и частичное подавление антиферромагнитного порядка при . Последний результат также является следствием фиксации суммарного спина системы, а слабая зависимость является нетривиальным свойством системы (рис. 5).

Рисунок 5. Фазовая диаграмма на плоскости (T,N_dop), цветом показан структурный фактор

Дальнейшее развитие этой работы предполагает проверку полученных результатов с помощью кластерного алгоритма Монте-Карло и анализ систем с расширенным оператором Гамильтона, в котором будут учтены такие явления как одно- и двухчастичный перенос, что позволит искать в системе фазу с псевдоспином, ориентированным в плоскости решетки, которая соответствует сверхпроводящему состоянию.

валентность псевдоспиновой расщепление

Размещено на Allbest.ru