Модели классической молекулярной динамики

На более низких подуровнях расположены полуэмпирические модели с Stillinger-Weber- потенциалом [65], Tersoff- потенциалом [66], Brenner потенциалом [67] и, наконец, с двухчастичными потенциалами, например широко используемым Lennard-Jones потенциалом. С их помощью рассчитываются движения в наноустройствах, прочность и устойчивость наноконструкций. Так, например, в работе [68] исследовалось взаимодействие двух зацепляющихся наношестерней. Валами шестерней являлись нанотрубки (14, 0) диаметром 1.1 нм. Зубьями служили молекулы бензола. Расчеты показали, что система может стабильно функционировать без “поломок” при частотах вращения порядка десятков гигагерц. Первое моделирование молекулярного нанодвигателя, использующего взаимодействие лазерного излучения с парой электрических зарядов, расположенных на валу, выполнено в работе [69]. Дальнейшее развитие эти исследования получили в [70].

Для решения современных задач молекулярной динамики требуются мощные вычислительные комплексы. В качестве примера приведем вычислительную систему Intel Paragon в Окриджской национальной лаборатории. Производительность этого компьютера, содержащего 1024 узла, каждый из которых имеет два RISK процессора с частотой 375 мегагерц, достигает 154 гигафлоп. Машинное время, затрачиваемое на расчет 20 тысяч временных шагов в системе, содержащей около 10 миллионов атомов, составляет двое суток [71]. Эффективность параллельных вычислений зависит от числа атомов в системе и превышает 90% в тех случаях, когда на один узел системы приходится приблизительно 1000 атомов. Учитывая, что характерный временной шаг в нанотехнологических задачах может составлять фемтосекунды, нетрудно оценить затраты на моделирование эволюции системы в наносекундном временном интервале. Дальнейшие расчеты, как правило, нецелесообразны из-за наличия положительных показателей Ляпунова [72]. За такие отрезки времени можно набрать статистику и использовать ее результаты в моделях другого уровня подробности описания. Еще большие возможности моделирования открываются на компьютере ASCI White, насчитывающем более 6000 процессоров, и достигающем производительности в 30 терафлоп.

Решеточные модели и алгоритмы вероятностных асинхронных клеточных автоматов

Для исследования эволюции систем в больших временных масштабах используется класс моделей неидеального решеточного газа [73], в рамках которого эволюция неидеальной системы реализуется с помощью вероятностных асинхронных клеточных автоматов [74-77] или кинетических уравнений. При таком моделировании исследуется эволюция лишь пространственной конфигурации неидеальной системы на решетке определенного типа. Модели этого уровня нашли применение при исследовании фазовых переходов типа порядок-беспорядок и фазовых переходов типа расслоения на фазы [77]. С помощью простейших клеточных автоматов исследуется молекулярно-лучевая эпитаксия и гетерогенные каталитические реакции [78-83].

Синтез моделей молекулярной динамики с алгоритмами решеточного неидеального газа и нелинейного анализа является перспективным направлением. Нелинейный анализ моделей молекулярной динамики и численные расчеты по этим моделям могут снабдить алгоритмы, основанные на клеточных автоматах, информацией о множестве “элементарных” событий и величинами предэкспонент и энергий активации для каждого “элементарного” события. В этом случае правила перехода в методе клеточных автоматов устанавливаются не априори, как в широко распространенных алгоритмах, а апостериори, после решения ряда задач для моделей молекулярной динамики. Такой подход позволяет согласовать модели различных уровней и исследовать нетривиальную динамику систем.

Модели типа реакция-диффузия

Этот класс моделей основан на системах квазилинейных уравнений параболического типа с нелинейными источниками. Они широко используются в течение последних 30 лет для описания эволюции неидеальных открытых систем, начиная с микронного пространственного масштаба. Значительную роль эти модели сыграли при исследовании явлений пространственно-временной самоорганизации в различных физических, химических и биологических системах [47, 48, 84-92], начиная с пионерской работы А. Тьюринга [93]. В случаях, когда модели снабжены “правильными” нелинейными зависимостями [92], то есть согласованы с моделями более высоких уровней подробности описания, они обладают значительной предсказательной силой и могут быть использованы (с определенной осторожностью) для моделирования систем в нанометровой шкале пространственных размеров.

Привлекательность моделей этого уровня подробности описания заключается в наличии мощных средств их качественного анализа. К таким средствам относятся методы группового анализа [94-96] и методы теории ветвления решений нелинейных уравнений [97-100]. Эти средства позволяют получать информацию о качественно различных установившихся неравновесных состояниях и условиях их существования в терминах управляющих параметров до выполнения дорогостоящих расчетов эволюции систем.

Минимальные математические модели

Наряду с достаточно полными моделями, согласованно описывающими явления на своем уровне подробности описания, значительный интерес представляют минимальные модели. Под минимальными моделями понимаются такие упрощенные модели, которые, с одной стороны, сохраняют основные черты явления и, с другой стороны, позволяют найти точные решения ключевых задач и условия существования этих решений в элементарных функциях [101, 102]. Минимальные модели позволяют “предварительно” проанализировать задачу, ввести новые понятия, поставить новые математические задачи, обосновать новые вычислительные алгоритмы решения. Точные решения могут быть использованы при тестировании вычислительных алгоритмов, предназначенных для моделей более полного описания.

8. Проблемно-ориентированное математическое обеспечение

Разумеется, эффективное математическое моделирование на любом уровне иерархической системы возможно лишь с помощью проблемно-ориентированных комплексов программ с удобным интерфейсом и развитыми средствами визуализации результатов вычислений. С их помощью подавляющее большинство стандартных математических задач должно решаться автоматически. Вмешательство исследователя допустимо в случаях, не поддающихся формализации, и на этапе анализа результатов. В особых ситуациях существенную роль играет диалог “исследователь-компьютер”, в частности, средства визуализации и “распознавания образов”. Разработка эффективных алгоритмов визуализации и алгоритмов анализа сложных компьютерных изображений представляет самостоятельный интерес и является делом, сопоставимым по сложности с разработкой основных вычислительных алгоритмов.

Следует подчеркнуть, что комплексы компьютерных программ можно использовать не только для проведения научных исследований, но и в качестве тренажеров для обучения молодых специалистов, для развития исследовательской интуиции в новой перспективной области.

В настоящее время существуют мощные комплексы программ для решения задач на всех перечисленных выше уровнях иерархической системы моделей для однопроцессорных и многопроцессорных компьютеров, например, комплекс AL_CMD, созданный в Ames Laboratory [103]. Как правило, эти программные продукты не является отечественными. Существует опасность, что пассивность в разработке математического инструментария для решения классов задач нанотехнологии может привести в недалеком будущем к непониманию событий в окружающем нас мире. Не зря еще Аристотель отмечал: ”Мы знаем только то, что сами можем сделать”.

В настоящее время в Московском государственном университете, на факультете вычислительной математики и кибернетики созданы версии программных комплексов

PROMETHEUS - для моделирования неидеальных решеточных систем типа реакция диффузия [104, 105],

PATH - для продолжения по параметру решений систем нелинейных уравнений и анализа ветвления их решений [106].

9. Классификация качественно различных неравновесных состояний и возможных эволюционных переходов между ними

Большинство программных комплексов предназначено для моделирования эволюции неидеальных систем при заданных внутренних параметрах, режимах изменения управляющих параметров во времени, граничных и начальных условиях. Опыт показывает, что наиболее интересные неравновесные состояния систем и наиболее интересные эволюционные переходы между этими состояниями, например многовариантное поведение [107], существуют на подмножествах значений управляющих параметров достаточно малой меры. Не имея априорной информации о расположении этих подмножеств на множестве допустимых значений управляющих параметров, трудно обнаружить нетривиальные явления в расчетах эволюции системы при наугад выбранных параметрах.

Представляет интерес разработка алгоритмов предварительного математического анализа моделей с целью определения их потенциальных возможностей (качественно различные состояния и возможные эволюционные переходы между этими состояниями). Для конструктивной постановки таких задач следует определить понятие качественного различия и эволюционного перехода.

Симметрия системы и симметрия состояний. В самом общем случае можно считать, что качественные различия состояний системы либо связаны с понятием симметрии, либо определяются системами неравенств. Кратко рассмотрим первый случай. Симметрия системы - это, как известно, ее свойство совпадать по признакам {P} после изменений {T}, а симметрия состояния - это его свойство совпадать по признакам {p} после изменений {t}. В случае моделей, основанных на дифференциальных уравнениях в частных производных, идея симметрии приводит к качественно различным инвариантным решениям (стационарные решения, автоволновые решения типа бегущей волны, пространственно-однородные автоколебания и т.п.), которые описывают качественно различные установившиеся состояния. В случае решеточных моделей инвариантные решения определяют пространственный порядок в так называемых сверхструктурах, наблюдаемых в эксперименте с помощью дифракции медленных электронов и сканирующей туннельной микроскопии. Вот почему для решения проблем, связанных с формированием структуры наноматериалов и наносистем, следует привлекать методы теории групп (групповая классификация и групповой анализ моделей [94]). Вспомним еще раз о высокой степени симметрии молекулы C60 (множество {T} содержит 120 элементов), о зависимости электрических свойств бездефектных углеродных нанотрубок (полупроводник, полуметалл, металл) от их хиральности (ориентация сторон правильного шестиугольника относительно оси трубки) [54, 55].

Эволюционный переход - изменение симметрии состояния системы (знака неравенства) при непрерывном изменении во времени управляющего параметра. К таким переходам относятся, в частности, фазовые переходы типа порядок-беспорядок и фазовые переходы типа расслоения на фазы в микрометровой шкале пространственных размеров. В наномеровой шкале размеров классическое понятие фазы не работает. Тем не менее, существуют изменения симметрии кластеров и их фрактальной размерности. Существование эволюционных переходов между качественно различными состояниями может быть определено методами теории ветвления решений нелинейных уравнений. Сочетание методов группового анализа и методов теории ветвления решений нелинейных уравнений позволяет создать базу данных о качественно различных состояниях, присущих системе, и эволюционных переходах между этими состояниями. Эти знания необходимы для определения путей эффективного, “ненасильственного” управления системами в духе метода акупунктуры [107].

Пример использования бифуркационного анализа для определения состояния неидеальной системы. Метод дифракции медленных электронов и расчеты динамическим методом Монте-Карло показывают, что в неидеальном монослое адсорбата на квадратной решетке могут существовать пространственно-однородное состояние (1х1), сверхструктура С(2х2) и сверхструктура Р(2х1). Пространственный порядок в С(2х2) напоминает шахматную доску - адсорбированные частицы расположены на черных клетках, а белые клетки остаются вакантными. Такой порядок вызван отталкиванием ближайших соседей на решетке. В случае Р(2х1) адсорбированные частицы образуют плотные вертикальные ряды, заполняющие каждый второй узел решетки в горизонтальном направлении. Сформулируем простейшую, но нетривиальную, задачу, которая решена в работах [108-110]. Для решения задачи использовался специально разработанный программный комплекс АРИАДНА [111].

Запишем нелинейные уравнения равновесного состояния монослоя, учитывая взаимодействия между первыми и вторыми соседями на квадратной решетке в квазихимическом приближении, ограничиваясь минимальным числом подрешеток l = 2 и плотностей их заполнения ₁ и ₂ (0 ₁, ₂ 1), необходимых для описания сверхструктур.

F₁ (₁, ₂, A, e₁, e₂) = 0,

F₂ (₁, ₂, A, e₁, e₂) = 0.

Конкретный вид нелинейных функций F_i (x, y, p, q₁, q₂), i = 1,2 для С(2х2) и Р(2х1) содержится в [108]. Система уравнений содержит два неизвестных ₁ и ₂ и три безразмерных параметра А, e₁, e₂. Параметр A пропорционален химическому потенциалу неидеального слоя адсорбата, параметры e₁ и e₂ соответственно пропорциональны эффективным энергиям латерального взаимодействия между первыми и вторыми соседями на квадратной решетке. нанотехнология молекулярный бифуркационный

Симметрия. Особенность уравнений заключается в их инвариантности относительно группы преобразований G, являющейся подгруппой группы перестановок. Подгруппы этой группы порождают нетривиальные инвариантные решения ({₁,₂}_C(2x2), {₁,₂}_P(2x1), _{1 2}), описывающие равновесные заполнения узлов подрешеток в сверхструктурах. Тривиальное решение _(1х1) ( = ₁ = ₂) инвариантно относительно группы G и существует при любых допустимых значениях параметров A, e₁, e₂. Однако, не для всех значений параметров оно устойчиво. Нетривиальные решения {₁,₂}_C(2x2), {₁,₂}_P(2x1) существуют не для всех значений параметров. Так, если e_i , i = 1, 2 достаточно малы, то нетривиальные решения не существуют. Решения уравнений, в частности, определяют изотерму неидеального монослоя = (A), = 0.5(₁ + ₂). Вид изотермы зависит от параметров латеральных взаимодействий. На рис. 12a показаны зависимости плотности слоя , ₁, ₂ от параметра А. Линия 1 соответствует состоянию типа двухмерного газа (решение _(1х1)), а ответвляющаяся от нее линия 2 (3) соответствует состояниям типа двумерного кристалла с сверхструктурами типа C(2x2) (Р(2х1)). Само ветвление и его расположение зависят от параметров взаимодействия. Зададим следующий вопрос. Какие качественно различные изотермы существуют в случае нашей задачи? Более точно - в каких областях плоскости параметров (e₁, e₂) существуют качественно различные изотермы? Конструктивный ответ на этот вопрос определяет структуру плоскости (e₁, e₂). Эта задача полностью решена методами теории ветвления решений нелинейных уравнений. Для определения границ искомых областей необходимо найти поверхности многочисленных бифуркаций, складки их листов и линии пересечения их листов. В итоге этой работы найдено 29 областей качественно различных последовательностей фазовых переходов и 46 областей существования качественно различных изотерм. На рис. 12b показана структура плоскости параметров латерального взаимодействия. В некоторых областях, выделенных светлыми кружками, плоскость имеет достаточно тонкую структуру. Эти структуры показаны на врезках. Знание областей существования состояний с различной пространственной организацией слоя позволяет целенаправленно исследовать динамику формирования слоя. Рассмотрим ряд примеров формирования пространственного порядка в первоначально неупорядоченном слое [92].

На рис. 13 представлена последовательность кадров компьютерного фильма о динамике фазового перехода типа расслоения на фазы, если параметры взаимодействия принадлежат области с номером 15 в плоскости параметров латерального взаимодействия (Рис. 12b). Вы видите, как в первоначально неупорядоченном слое возникают зародыши капель двухмерной жидкости, затем часть из них испаряется, отдавая свои атомы более крупным соседям. После продолжительной эволюции слоя в нем остается лишь одна капля, собравшая все атомы.

Если параметры взаимодействия принадлежат области 2 (Рис. 12b), то в этом случае из первоначально неупорядоченного состояния возникают зародыши кристалла со сверхструктурой С(2х2) (Рис. 14). Зародыши растут, и в результате столкновения доменов сверхструктуры образуются междоменные стенки. После исчезновения междоменных стенок образуется состояние со сверхструктурой С(2х2).

Если параметры принадлежат области 16 (Рис. 12b), то можно увидеть картину образования доменов сверхструктур Р(2х1) и Р(1х2) (Рис. 15). В конце концов в данном случае “побеждает” структура с горизонтальными полосами.

При других значениях параметров взаимодействия образуются различные двухфазные состояния. Так, например, могут возникать капли жидкости в двухмерном кристалле или пузыри газа в кристалле. Важно, что все эти состояния можно предсказать заранее на основе результатов группового и бифуркационного анализа.

Аналогичную задачу можно поставить для неравновесных состояний в случае гетерогенных каталитических реакций. Ее решение позволяет определить, какие неравновесные состояния существуют при тех или иных значениях параметров управления. В работах [47, 48] приведены изотермическая и изобарическая диаграммы неравновесных состояний для реакций окисления монооксида углерода на гранях (210) и (111) монокристалла платины. В достаточно узкой области управляющих параметров существует многообразие качественно различных автоволновых структур.

Поскольку описанные выше математические методы дают богатую предварительную информацию, представляет интерес развивать идеи симметрии и теории катастроф при исследовании моделей нанообъектов.

10. Некоторые фундаментальные проблемы

Многие проблемы разной степени значимости упоминались ранее. Еще раз вспомним о трех из них.

Создание математических моделей систем “нанообъект - измерительный прибор”.

Разработка теории и моделей самосборки наноматериалов и наноустройств.

Исследование пространственно-временной самоорганизации на основе первых принципов.

Результаты работы над первой проблемой дадут, по крайней мере, ясное представление о том, что визуализируется в лабораторных экспериментах. Фундаментальные основы второй проблемы, заложенные Дж. фон Нейманом около пятидесяти лет назад [109], как показывают современные исследования [22, 110], получат дальнейшее развитие. На их основе представляется возможным создать промышленное производство сверхпрочных материалов. Что касается третьей проблемы, то результаты работ [111, 112] указывают на необходимость ее развития. Решение ключевых задач в этом направлении поднимет теорию пространственно-временной самоорганизации на новый уровень.

Заключение

Вне нашего внимания оказалось немало интересных физико-химических свойств нанообъектов, проектов использования наноматериалов в перспективных аппаратах, устройствах и приборах, а также теоретических разработок и конкретных математических моделей. Не коснулись мы и сопутствующих нравственных проблем.

В заключение хочется подчеркнуть, что успешное решение задач в новой междисциплинарной области под силу лишь группам единомышленников, умело сочетающих творческую фантазию, методы эксперимента и теории и возможности современной вычислительной математики.

Литература

1. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир,1977.

2. Энциклопедический словарь. М.: Сов. Энциклопедия, 1987.

3. Binnig G., Rohrer H., Gerber Ch., Weibel E. //Appl. Phys. Lett. 1982, 40; Phys. Rev. Lett. 1982, 49; 1983, 50.

4. Kroto H., Heath J., O'Brien S., Curl R., Smalley R. //Nature. 1985, 318.

5. Gamow G. //Zs. F. Phys. 1928, 51; Nature. 1928, 122.

6. Avouris Ph., Cahil D. //Ultramicroscopy. 1992, 42-43.

7. Hashizume T., Tamiguchi M., Motai K., Lu H. et al. Ibid.

8. Kent A. D., Reuner Ch., Niedermann Ph. et al. Ibid.

9. Rabe J. P. Ibid.

10. Eng L. M., Fuchs H., Jandt K. D. et al. Ibid.

11. Haberle W., Horber J. K. H., Ohnesarg F. et al. Ibid.

12. Eigler D. M., Schweizer E. K. //Nature. 1990, 344.

13. Baggott J. Perfect Symmetry. The accidental discovery of Buckminsterfullerene. Oxford University Press, Oxford, 1994.

14. Kratschmer W., Lamb L., Fostiropoulos K., Huffman D. //Nature. 1990, 347.

15. Burgi H.-B., Blanc E., Schwarzenbach D. et al. //Angew. Chem., Int. Ed. Engl. 1992, 31.

16. Stephens P. W., Bortel G., Faigel G. et al. //Nature. 1994, 370.

17. http://www.mpi-stuttgart.mpg.de

18. Stephens P. W., Cox D., Lauher J. W. et al. //Nature. 1992, 355.

19. Smalley R. E. From Balls to Tubes to Ropes. American Institute of Chemical Engineers. South Texas Section. January Meeting in Huston. January 4, 1996.

20. Iijima S. //Nature. 1991, 354.

21. Iijima S., Ichihashi T. Ibid. 1993, 363.

22. Bethune D., Klang C. H., DeVries M. S. et al. Ibid. 1993, 363.

23. Colbert D. T., Zhang J., McClure S. M. et al. //Science. 1994, 266.

24. Li H., Eddaoudi M., O'Keeffe M., Yaghi O. M. //Nature. 1999, 402.

25. Gatteschi D., Ganeschi A., Pardi L., Sessoli R. //Science. 1994, 265.

26. Квантовый компьютер и квантовые вычисления. Том II. Под редакцией Садовничего В. А. Ижевск: РХД, 1999.

27. Стин Э. Квантовые вычисления. Ижевск: РХД, 2000.

28. Валиев К. А., Кокин А. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. Ижевск: РХД, 2001.

29. Mukhin A. A., Travkin V. D., Zvezdin A. K. et al. //Europhys. Lett. 1998, 44, N6.

30. Dobrovitskii V. V., Zvezdin A. K. Ibid. 39, N1.

31. Drexler K. E. Molecular Manufacturing: Perspectives on the Ultimate Limits of Fabrication. Phil. Trans. R. Soc. London A. 1995, 353.

32. Drexler K. E. Building Molecular Machine Systems. Trends in Biotechnology, 1999, 17.

33. Bauschlicher Ch., Merkle R. Diamond Memory. http:/nanozine.com.

34. Гете И. В. Фауст. М.: Художественная литература, 1983.

35. Самарский А. А. //Вестник АН СССР. 1979, N 5.

36. Michely T., Hohage M., Bott M., Gomsa G. //Phys. Rev. Lett. 1993, 70.

37. Roder H., Brune H., Bucher J.-P., Kern K. //Surf. Sci. 1993, 298.

38. Brune H., Romainczyk C., Roder H., Kern K. //Nature. 1994, 369.

39. Bromann K., Brune H., Roder H., Kern K. //Phys. Rev. Lett. 1995, 75.

40. Parschau M., Christmann K. //Ber. Bun. Phys. Chem. 1995, 99; Surf. Sci. 1998, 321.

41. Wang S. C., Ehrlich G. //Phys. Rev. Lett. 1997, 79, N 21.

42. Imbihl R., Ertl G. //Chem. Rev. 1995, 95, N 3.

43. Veser G., Mertens F., Mikhailov A. S., Imbihl R. //Phys. Rev. Lett. 1993, 71.

44. Mertens F., Imbihl R. //Nature, 1994, 370.

45. Mertens F., Gottschalk N., Bar M. et al. //Phys. Rev. Lett., 1995, 51.

46. Mertens F., Imbihl R. //Chem. Phys. Lett., 1995, 242.

47. Berdau M., Karpowicz A., Yelenin G. G. et al. //J. Chem. Phys., 1997, 106.

48. Berdau M., Yelenin G. G., Karpowitz A. et al. Ibid. 1999, 110.

49. Yelenin G. G. Whether Can Local Defects of a Monocrystal Surface Change Fundamentally Global Dynamics of a Surface reaction? Moscow: Dialogue-MGU, 1998.

50. Еленин Г. Г. //Российский химический журнал. 1999, XLIII, N 2.

51. Schrodinger E. //Ann. d. Phys. 1926, 79, 80, 81.

52. Никифоров А. Ф., Новиков В. Г., Уваров В. Б. Квантово-статистические модели высокотемпературной плазмы. М.: Наука, 2000.

53. Saito R., Fujita M., Dresselhaus G. et al. //Phys. Rev. B. 1992, 46.

54. Дьячков П. Н., Кирин Д. В. //Докл. РАН. 1999, 369, N 5.

55. Wildoer J. W. G., Venema L. C., Rinzler A. G. et al. //Nature. 1998, 391.

56. Yao Z., Postma H. P. Ch., Balents L., Dekker C. Ibid. 1999, 402.

57. Tans S. J., Verschueren A. R. M., Dekker C. Ibid. 1998, 393.

58. Tans S. J., Devoret M. H., Dai H. et al. Ibid. 1997, 386.

59. Дьячков П. Н. //Природа. 2000, N 11.

60. Car R., Parrinello M. //Phys. Rev. Lett. 1985, 55.

61. Daw M. S., Baskes M. I. //Phys. Rev. B. 1984, 29.

62. Jacobsen K. W., Norskov J. K., Puska M. J. Ibid., 1987, 35.

63. Ercolessi F., Parrinello M., Tosatti E. //Philos. Mag. A. 1988, 58.

64. Finnis M. W., Sinclair J. E. //Philos. Mag. A. 1984, 50.

65. Stillinger F., Weber T. A. //Phys. Rev. B. 1985, 31.

66. Tersoff J. Ibid. 1988, 37.

67. Brenner D. W. Ibid. 1990, 42.

68. Han J., Globus A., Jaffe R., Deardorff G. //Nanotechnology. 1997, 8.

69. Tuzun R. E., Noid D. W., Sumpter B. G. Ibid. 1995, 6.

70. Srivastava D. Ibid. 1997, 8.

71. http://cmp.ameslab.gov/cmp/CMP_Theory/cmd/alcmd_paragon.html

72. Метод молекулярной динамики в физической химии. М.: Наука. 1996.

73. Шулепов Ю. В., Аксененко Е. В. Решеточный газ. Киев: Наукова думка, 1981.

74. Методы Монте-Карло в статистической физике. М.: Мир, 1982.

75. Wolfram S. // Nature. 1984, 311.

76. Rujan P. //J. Stat Phys. 1987, 49, N 1/2.

77. Sadiq A., Binder K. Ibid., 1984, 35, N 5/6.

78. Evans J. W., Miesch M. S. //Phys. Rev. Lett. 1991, 66, N 6.

79. Barnet M. C., Evans J. W. //Surf. Sci. 1993, 298.

80. Kang H. C., Weinberg W. H. //J. Chem. Phys. 1990, 93.

81. Becker O. M., Ben-Nun M., Ben-Shaul A. //J. Phys. Chem. 1991, 95.

82. Еленин Г. Г., Семендяева Н. Л. //Матем. Моделирование. 1992, 4, N 12.

83. Meng B., Weinberg W. H. //J. Chem. Phys. 1994, 100.

84. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979.

85. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.

86. Жаботинский А. М. Концентрационные автоколебания. М.: Наука, 1974.

87. Васильев В. А., Романовский Ю. М., Яхно В. Г. Автоволновые процессы. М.: Наука, 1987.

88. Кернер Б. С., Осипов В. В. Автосолитоны. М.: Наука, 1991.

89. Ахромеева А. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.

90. Еленин Г. Г., Крылов В. В., Полежаев А. А., Чернавский Д. С. //ДАН СССР. 1983, 271.

91. Yelenin G. G., Makeev A. G. //Math. Mod. & Comput. Exper. 1994, 2, N 2.

92. Еленин Г. Г. //Российский химический журнал. 1996, XL, N 2.

93. Turing A. M. //Phil. Trans. Roy. Soc. 1952, B 237.

94. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

95. CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations. I. Ed. N. H. Ibragimov, N.Y., CRC Press, Inc., 1994.

96. Дородницын В. А., Еленин Г. Г. Симметрия в решениях уравнений математической физики. М.: Знание, 1984; Серия “Математика и кибернетика”, N 4.

97. Арнольд В. И. Теория катастроф. М:. Наука, 1990.

98. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: РХД, 2000.

99. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.

100. Логинов Б. В. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности. Ташкент: ФАН, 1985.

101. Еленин Г. Г. Минимальные модели бистабильной среды. М.: МАКС Пресс, 2000.

102. Еленин Г. Г. Дифференциальные уравнения. 2001, 37, N 7.

103. http://cmp.ameslab.gov/cmp/CMP_Theory/cmd/cmd.html

104. Еленин Г. Г., Надобенко Д. С. Компьютерный комплекс Прометей. Расчет эволюции открытых неидеальных решеточных систем на основе детерминистических моделей типа реакция-диффузия. M.: Макс Пресс, 2001.

105. Еленин Г. Г., Надобенко Д. С. Компьютерный комплекс Прометей. Задание новых решеточных моделей типа реакция-диффузия. M.: Макс Пресс, 2001.

106. Еленин Г. Г., Шляхов П. И. Программа PATH. Версия 1. Исследование ветвлений решений системы нелинейных уравнений. M.: Макс Пресс, 2001.

107. Еленин Г. Г. Явления пространственно-временной самоорганизации в системах с многовариантным поведением. Синергетика. Труды семинара. Ред. В. А. Садов ничий, С. П. Курдюмов, В. С. Степин, 2000, 3.

108. Еленин Г. Г., Трощиев Ю. В. Параметрический анализ задачи о равновесных сверхструктурах С(2х2) и P(2x1) решетке L(100). M.: Диалог-МГУ, 1997.

109. Еленин Г. Г., Лысак Т. М., Трощиев Ю. В. Полный бифуркационный анализ задачи о равновесных сверхструктурах С(2х2) и Р(2х1) на решетке L(100). M.: Диалог- МГУ, 1998.

110. Еленин Г. Г., Лысак Т. М., Трощиев Ю. В. Каскады фазовых переходов типа порядок-беспорядок и типа расслоения на фазы на решетке L(100). M.: Диалог- МГУ, 1998.

111. Еленин Г. Г., Трощиев Ю. В. Программа для бифуркационного анализа нелинейных задач АРИАДНА. Версия ar97. Часть 1. М.: Диалог-МГУ, 1997.

112. Neumann J. von. Theory of Self-Reproducing Automata. Urbana, London: University of Illinois Press, 1966.

113. Rinzler A. G., Hafner J. H., Nikolaev P. et al. //Science. 1995, 269.

114. Gavioli L., Kimberlin K. R., Tringides M. C. et al. //Phys. Rev. Lett. 1999, 82.

115. Budde K., Abram E., Yeh V., Tringides M. C. //Phys. Rev. Rap. Comm. 2000, B 61.

116. Blakemore J. S. Solid State Physics. Cambridge University Press, 1985.

Размещено на Allbest.ru

...