Моделирование плотности упаковки простейшей гексагональной решетки

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Моделирование плотности упаковки простейшей гексагональной решетки

Аннотация

В статье описываются процессы синтеза брэгговских аналогов кубических и гексагональной плотноупакованной пространственных решеток. Приводятся описания брэгговских моделей элементарных ячеек исследуемых структур. Выполняется оценка корректности полученных моделей методом стереометрического моделирования.

Ключевые слова: пространственная решетка, кристаллическая решетка, кубическая решетка, гексагональная решетка, коэффициент компактности, плотность упаковки, шаровая упаковка, кубическая упаковка, модель Брэгга.

Введение

Задачи, связанные с пространственными упаковками сфер, находят применение в разных областях науки и техники, включая математическую теорию групп, кристаллографию, кодирование информации, теорию телекоммуникации, физику конденсированного состояния физику плазмы и ряд других [1-29]. При этом большое значение имеет рассмотрение пространственных упаковок равновеликих неперекрывающихся сфер, а также задачи поиска наиболее плотной упаковки шаров в пространстве и оценки плотности упаковки [16, 17].

В первой части статьи были рассмотрены классические и альтернативные элементарные ячейки кубических и гексагональной плотноупакованной пространственных решеток, а также рассмотрены способы оценки плотности пространственной упаковки и расстояния между частицами в кристаллах [30]. При этом было дано описание кубической модели укладки (КУМ) равновеликих непересекающихся сфер и произведена оценка ее эффективности по сравнению с классической шаровой укладкой (ШУМ) на основе практических расчетов.

Брэгговские аналоги ПК и ОЦК

Прежде чем переходить к разработке новой математической модели гексагональных пространственных решеток, имеет смысл выполнить синтез брэгговских аналогов более простых структур. В частности, построить модели примитивной, объемоцентрированной и гранецентрированной кубических решеток. Рассмотрим технологию построения брэгговского аналога элементарной ячейки примитивной кубической решетки на примере соединения NaCl. Для удобства дальнейшего рассмотрения на первом шаге совершим переход от классической элементарной ячейки ПК к ее расширенной версии (рис. 1а). При этом расширенная элементарная ячейка получается путем простой трансляции классической.

Рис. 1. Шаги построения модели Брэгга для примитивной кубической решетки (структурный тип NaCl)

На следующем шаге отметим геометрическое расположение связей между частицами (рис. 1б). Согласно подходу Брэгга - Зуева, каждая связь образуется парой частиц. При этом каждая частица участвует в образовании лишь одной связи [31-35]. Предположим, что все связи в решетке ориентированы одинаково (например, вертикально). Тогда каждой сфере будет соответствовать ровно половина связи, направленная вверх или вниз от ее центра в зависимости от места расположения сферы в ячейке.

На третьем шаге уберем сферы и оставим только связи (рис. 1в). Получившийся чертеж позволяет сделать следующие наблюдения: во-первых, все фрагменты связей, находящиеся внутри расширенной элементарной ячейки, соединились друг с другом, образовав полные связи; во-вторых, существуют фрагменты связей, расположенные за пределами расширенной ячейки, при этом они точно соответствуют фрагментам, образовавшим полные связи (рис. 2).

Рис. 2. Однотипность конфигурации оснований расширенной элементарной ячейки ПК

Следовательно, представление расширенной элементарной ячейки ПК в виде организованных, одинаково ориентированных в пространстве связей позволяет описать примитивную кубическую решетку. При этом данный способ эквивалентен представлению ячейки в виде плотной упаковки шаров.

На следующем шаге уберем все фрагменты связей, расположенные за пределами рассматриваемой ячейки, а также все связи, которые дублируют друг друга и могут быть восстановлены путем трансляции (рис. 1г). На пятом шаге впишем оставшиеся четыре связи в кубы так, что, во-первых, каждая связь соединяет центры противоположных граней своего куба, во- вторых, все кубы ориентированы в пространстве так же, как расширенная элементарная ячейка (рис. 1д). Это и будут искомые кубы Брэгга. На последнем, шестом шаге остается сместить границы ячейки так, чтобы ее вершины совпали с вершинами кубов (рис. 1е).

Полученная расширенная кубическая ячейка, содержащая четыре заполненных и четыре пустых куба, и есть модель упаковки кубов Брэгга - Зуева для решетки NaCl. Аналогичным образом рассмотрим технологию построения брэгговского аналога элементарной ячейки объемоцентрированной кубической решетки на примере соединения CsCl (рис. 3).

Рис. 3. Шаги построения модели Брэгга для объемоцентрированной кубической решетки (структурный тип CsCl).

Для удобства рассмотрения на первом шаге перейдем от классической элементарной ячейки ОЦК к ее расширенной версии (рис. 3а). На следующем шаге отметим геометрическое расположение связей между частицами (рис. 3б). Предположим, что все связи в решетке ориентированы одинаково, параллельно главной диагонали расширенной ячейки. Тогда каждой сфере будет соответствовать ровно половина связи, направленная параллельно главной диагонали ячейки вверх или вниз от ее центра в зависимости от места расположения частицы.

На третьем шаге уберем сферы и оставим только связи (рис. 3в). Получившийся чертеж позволяет сделать следующие наблюдения: во-первых, все фрагменты связей, находящиеся внутри расширенной элементарной ячейки, соединились друг с другом, образовав полные связи; во-вторых, существуют фрагменты связей, расположенные за пределами расширенной ячейки, при этом они идеально соответствуют фрагментам, образовавшим полные связи. Следовательно, представление расширенной элементарной ячейки ОЦК в виде организованных, одинаково ориентированных в пространстве связей позволяет описать объемоцентрированную кубическую решетку. При этом данный способ эквивалентен представлению расширенной ячейки в виде плотной упаковки шаров. На следующем шаге уберем все фрагменты связей, расположенные за пределами рассматриваемой ячейки, а также все связи, которые дублируют друг друга и могут быть восстановлены трансляцией ячейки (рис. 3г).

Повернем получившийся куб на 35° вокруг оси Rot₁, параллельной проекции главной диагонали примитивной ячейки на плоскость основания и проходящей через центр ячейки. В результате получим куб, основания которого параллельны основаниям ячейки (рис. 4 б, в).

Рис. 4. Шаги формирования куба Брэгга для объемоцентрированной кубической решетки

Повернем получившийся куб на 45° вокруг оси Rot₂, перпендикулярной плоскости основания элементарной ячейки и проходящей через ее центр. Получим куб, ориентированный в пространстве так же, как примитивная ячейка (рис. 4 в,г). Полученный куб и будет кубом Брэгга, соответствующим рассматриваемой связи. Впишем все связи расширенной элементарной ячейки объемоцентрированной кубической решетки в кубы данного типа (рис. 5).

Рис. 5. Расширенная элементарная ячейка ОЦК. Представление с помощью связей и кубов Брэгга: а) вид сверху; б) вид под углом

На последнем, шестом шаге остается перейти от рассмотрения структуры ячейки, представленной связями, к структуре ячейки, представленной кубами (рис. 3). Полученная расширенная кубическая ячейка, содержащая восемь заполненных кубов, и есть модель упаковки кубов для решетки типа CsCl.

Брэгговские аналоги ГЦК и ГПУ

Рассмотрим технологию построения брэгговского аналога элементарной ячейки гранецентрированной кубической решетки на примере соединения Си. Для удобства дальнейшего рассмотрения перейдем от классической элементарной ячейки ГЦК к ее расширенной версии (рис. 6а).

На следующем шаге отметим геометрическое расположение связей между частицами (рис. 6б). Предположим, что каждая классическая элементарная ячейка ГЦК содержит две связи. Одна из них образована частицами, находящимися в центрах соседних вертикальных граней, другая - частицами, расположенными в центре и вершине верхнего основания ячейки (рис. 7а). Тогда каждой сфере будет соответствовать ровно половина связи, направленная соответственно расположению частицы в классической элементарной ячейке.

На третьем шаге уберем сферы и оставим только связи (рис. 6в). Получившийся чертеж позволяет сделать следующие наблюдения: во-первых, все фрагменты связей, находящиеся внутри расширенной элементарной ячейки, соединились друг с другом, образовав полные связи; во-вторых, существуют фрагменты связей, расположенные за пределами расширенной ячейки, при этом они идеально соответствуют фрагментам, образовавшим полные связи.

Рис. 6. Шаги построения модели Брэгга для гранецентрированной кубической решетки (структурный тип Си)

Следовательно, представление расширенной элементарной ячейки ГЦК в виде организованных, одинаково ориентированных в пространстве связей позволяет описать гранецентрированную кубическую решетку. При этом данный способ эквивалентен представлению расширенной ячейки в виде плотной шаровой упаковки.

На следующем шаге уберем все фрагменты связей, расположенные за пределами рассматриваемой ячейки, а также все связи, которые дублируют друг друга и могут быть восстановлены трансляцией ячейки (рис. 6г).

На пятом шаге впишем оставшиеся связи в кубы. Для этого возьмем примитивную элементарную ячейку, содержащую две связи (рис. 7 а). Затем впишем каждую связь в отдельный куб так, чтобы она соединяла центры противоположных граней, а основания новых кубов были параллельны основаниям самой элементарной ячейки (рис. 7б). Полученные кубы и будут кубами Брэгга, соответствующими рассматриваемым связям.

Рис. 7. Шаги формирования кубов Брэгга для гранецентрированной кубической решетки

Впишем все связи расширенной элементарной ячейки ГЦК в кубы данных типов (рис. 6д, 8). При этом кубы Брэгга расположатся Х-образными звеньями, смещенными относительно друг друга по вертикали и горизонтали так, что куб одного звена оказывается в промежутке между кубами соседнего звена.

Рис. 8. Расширенная элементарная ячейка ГЦК. Представление с помощью связей и кубов Брэгга: а) вид сверху; б) вид под углом.

На последнем, шестом шаге остается перейти от рассмотрения структуры ячейки, представленной связями, к структуре ячейки, представленной кубами (рис. 6е). Полученная расширенная кубическая ячейка, содержащая шестнадцать заполненных кубов, и есть модель упаковки кубов для решетки типа Си.

Как отмечалось в первой части статьи, гранецентрированная кубическая решетка может быть описана эквивалентной кубической, а также альтернативной гексагональной элементарными ячейками. При этом их тоже можно описать с помощью кубов Брэгга.

Для этого рассмотрим расширенную эквивалентную ячейку ГЦК. Построим вписанную в нее альтернативную гексагональную элементарную ячейку (рис. 9а) и удалим все частицы, не принадлежащие пространству шестиугольной призмы (рис. 9б). Очевидно, что получившаяся призма идеально стыкуется основаниями с такими же призмами. Поэтому, из всех частиц, принадлежащих альтернативной гексагональной ячейке ГЦК, для дальнейшего рассмотрения можно исключить частицы, расположенные в нижнем основании (рис. 9в).

Рис. 9. Шаги выделения альтернативной гексагональной элементарной ячейки гранецентрированной кубической решетки (структурный тип Си)

брэгговский кубический гексагональный пространственный решетка

Тогда, чтобы описать гексагональную элементарную ячейку ГЦК с помощью кубов Брэгга, остается выделить в ней связи частиц и соответствующие им кубы. Для этого можно использовать модель эквивалентной кубической элементарной ячейки ГЦК (рис. 10).

Рис. 10. Шаги формирования кубов Брэгга для эквивалентной кубической элементарной ячейки ГЦК

Однако названные модели используют разные базовые элементы. Так, для гранецентрированной кубической решетки модель связей в отличие от ШУМ предполагает наличие двух типов элементов, что задает более жесткие условия для выявления характеристического фрагмента решетки. Например, при рассмотрении фрагмента ГЦК, построенного с помощью альтернативной гексагональной ячейки и модели связей (рис. 11а), становится очевидно, что при переходе от модели ШУМ к модели связей для построения пространственной решетки приходится использовать четыре разных типа гексагональных призм (рис. 11б). Таким образом, альтернативная гексагональная ячейка ГЦК теряет свои свойства элементарной ячейки при переходе к модели связей, что делает ее непригодной для формирования кубической модели гранецентрированной кубической решетки.

Рис. 11. Фрагмент гранецентрированной кубической решетки: а) трехмерный фрагмент, образованный альтернативными гексагональными ячейками; б) двумерный срез, содержащий частицы и связи верхнего слоя этого же фрагмента.

Нужно пояснить, что на рис. 11 б) и всех последующих двумерных срезах горизонтальные отрезки соответствуют связям между частицами одного и того же слоя, вертикальные - связям между частицами соседних слоев. Пунктиром обозначены связи с частицами слоя, находящегося ниже текущего. Сплошными линиями - связи с частицами слоя, находящегося выше текущего.

Дальнейший анализ чертежей явно показывает, что возможно построить более крупную гексагональную призму, обладающую свойствами элементарной ячейки (рис. 12). Более того, так как расширенная гексагональная ячейка получена на основе эквивалентной кубической ячейки ГЦК без внесения изменений в расположение частиц и связей, то она легко описывается кубами Брэгга (рис. 13).

Рис. 12. Расширенная альтернативная ячейка и фрагмент ГЦК: а) верхний слой частиц; б) средний слой частиц; в) нижний слой частиц; г) расширенная альтернативная ячейка

На рис. 13а-в) отображены частицы, принадлежащие данному срезу (окрашены синим) и связанные с ними частицы соседнего снизу (окрашены розовым). Очевидно, что полученная структура аналогична показанной на рис. 6 - 8. Значит полученная расширенная альтернативная гексагональная ячейка ГЦК действительно обладает свойствами элементарной ячейки для рассматриваемой решетки и в модели связей, и в модели Брэгга. Более того, она может использоваться в качестве основы формирования модели Брэгга для ГПУ.

Рис. 13. Расширенная альтернативная гексагональная ячейка ГЦК: а) верхний слой связей; б) средний слой связей; в) нижний слой связей; г) верхний слой кубов Брэгга; д) средний слой кубов Брэгга; е) нижний слой кубов Брэгга

Рис. 14. Расширенная альтернативная ячейка ГПУ: а) расширенная ячейка целиком; б) верхний слой связей; в) нижний слой связей; г) модель Брэгга расширенной ячейки; д) верхний слой кубов Брэгга; е) нижний слой кубов Брэгга

Поскольку ГПУ представляет собой двухслойную плотную упаковку шаров в трехмерном пространстве, а ГЦК - трехслойную, то для получения искомых моделей гексагональной плотной упаковки нужно исключить из модели гранецентрированной кубической решетки один из внутренних слоев. Также потребуется изменить конфигурацию связей между оставшимися частицами в ячейке. Результатом этих преобразований является расширенная альтернативная гексагональная ячейка ГПУ, представленная на рис. 14.

Послойное рассмотрение фрагмента решетки ГПУ, образованного семью расширенными гексагональными элементарными ячейками, очевидно показывает, что выделенный гексагональный фрагмент обладает свойствами элементарной ячейки (рис. 15). При этом легко заметить, что кубы в ячейке ГПУ смещены относительно связей, но они не перекрываются ни в горизонтальной, ни в вертикальной плоскости (рис. 16).

Рис. 15. Расширенная альтернативная ячейка и фрагмент ГПУ: а) верхний слой частиц; б) нижний слой частиц

Рис. 16. Послойное представление расширенной альтернативной гексагональной элементарной ячейки ГПУ: а) боковой продольный ряд; б) средний продольный ряд; в) боковой продольный ряд - вид сбоку; г) средний продольный ряд - вид сбоку

Таким образом, полученная расширенная альтернативная гексагональная ячейка ГПУ действительно обладает свойствами элементарной ячейки для рассматриваемой решетки и в модели связей, и в модели Брэгга.

Заключение

Сравнение методов определения плотности упаковки кристаллов показало, что данная задача решается особенно просто для решеток с кубическими элементарными ячейками. Синтез кубических аналогов гексагональных элементарных ячеек, т.е. расширение подхода Брэгга - Зуева, должен позволить упростить расчет плотности пространственной упаковки решеток некубического типа, а также оказаться достаточно полезным для решения сопутствующих задач [36-44].

Разработанные модели Брэгга - Зуева для элементарных ячеек трех типов кубических решеток позволили сформировать кубическую модель элементарной ячейки гексагональной плотнейшей упаковки, что, в свою очередь, позволяет перейти к решению задачи поиска кубического периода ГПУ.

Литература

1. Кеплер И. О шестиугольных снежинках. - М.: Наука, 1982.

2. Шаскольская М.П. Кристаллография. - М.: Высш. шк., 1984.

3. Шаскольская М.П. Очерки о свойствах кристаллов. - М.: Наука, 1978.

4. Шаскольская М.П. Кристаллы. - М.: Наука, 1978.

5. Васильев Д.М. Физическая кристаллография. - М.: Металлургия, 1972.

6. Engel P. Geometric crystallography: an axiomatic introduction to crystallography. - Dordrecht: D. Reidel pub. comp., 1986.

7. VermaA.R. Crystallography applied to solid state physics. - New Delhi: New age, 1991.

8. Giacovazzo С. et al. Fundamentals of Crystallography. - Oxford: University Press, 2011.

9. Эйхвальд А.И., Карасев В.Ю., Дзлиева Е.С., Иванов А.Ю. Упорядоченные плазменно-пылевые структуры в стратах тлеющего разряда // Вестник СПГУ. - 2008. - №1. - С. 36-47.

10. Карасев В.Ю., Эйхвальд А.И., Дзлиева Е.С., Иванов А.Ю. Об упорядоченных пылевых структурах, формируемых в тлеющем разряде // ЖЭТФ. - 2008. - Т.133, В.2. - С. 460465.

11. Дзлиева Е.С. и др. Об особенностях объемного строения плазменно-пылевых структур // Вестник Санкт-Петербургского государственного университета. - 2013. - №2. - С. 39-45.

12. Поляков Д.Н., Василяк Л.М., Шумова В.В. Синергетика пылевой плазмы и технологические аспекты применения криогенной пылевой плазмы // ЭОМ. - 2015. - №2. - С.41-49.

13. Поляков Д.Н., Шумова В.В., Василяк Л.М. Положительный столб тлеющего разряда с пылевыми частицами // ЭОМ. - 2013. - №2. - С.25-35.

14. Cavarroc M et al. Nanostructured Silicon thin Films Deposited under Dusty Plasma Conditions. // IEEE Transactions on Plasma Science. - 2008. - №36(4). - P. 1016-1017.

15. Tsytovich V.N., Morfill G.E., Vladimirov S.V., Thomas H.M. Elementary Physics of Complex Plasmas // Springer Series on Lect. Notes Phys. - Springer, 2008.

16. Слоэн Н.Дж.А. Упаковка шаров // В мире науки. -1984. - №3. - С. 72-82.

17. Conway J.H., Sloane N.J.A. Sphere Packings, Lattices and Groups. - N.-Y: Springer-Verlag, 1999.

18. Бондарева Т.П. Компьютерное моделирование структуры случайной упаковки систем сферических частиц // Научные ведомости БелГУ. - 2013. - № 1(144). - С. 78-85.

19. Бондарев В.Г., Мигаль Л.В. Имитационное моделирование структуры плотноупакованных систем твердых дисков // Научные ведомости БелГУ. - 2008. - № 9(49). - С. 248-260.

20. Дик И.Г., Дьяченко Е.Н., Миньков Л.Л. Моделирование случайной упаковки шаров // Физическая мезомеханика. - 2006. - № 4(9). - С. 63-69.

21. Верхотуров М.А и др. Упаковка сложных трехмерных объектов в прямоугольный контейнер на базе дискретно-логического представления информации // Известия Самарского научного центра РАН. - 2014. - № 4-2. - С. 378-383.

22. Чеканин В.А., Чеканин А.В. Прикладное программное обеспечение для решения задач ортогональной упаковки объектов // Объектные системы. - 2016. - №13. - С. 10-15.

23. Урусов В.С. Компьютер помогает предвидеть структуру и свойства кристаллов // Вестник РАН, 1997. - Т. 67, №2. - С. 113-117.

24. Viazovska M. The sphere packing problem in dimension 8 // Annals of Mathematics. - 2017. - №185 (3). - P. 991-1015.

25. Cohn H., Kumar A., Miller S.D., Radchenko D. The sphere packing problem in dimension 24 // Annals of mathematics. - 2017. - №185(3). - P. 1017-1033.

26. Hales T.C. A proof of the Kepler conjecture // Annals of Mathematics. - 2005. - №162(3). - P. 1065-1185.

27. Hales T.C., Ferguson S.P. A formulation of the Kepler conjecture // Discrete & Computational Geometry. - 2006. - №36(1). - P. 21-69.

28. Hales T.C. Dense Sphere Packings: A Blueprint for Formal Proofs. - Cambridge: University Press, 2012.

29. Стюарт И. Величайшие математические задачи. - М.: Альпина нон-фикшн, 2015.

30. Фомин Д.В. Моделирование плотности упаковки простейшей гексагональной решетки. I // Информатика и системы управления. - 2021. - №4(70). - С. 39-52.

31. Подольская Е.А., Кривцов А.М. Описание геометрии кристаллов с гексагональной плотноупакованной структурой на основе парных потенциалов взаимодействия // Физика твердого тела. - 2012. - Т. 54, вып. 7. - С. 1327-1334.

32. Зуев В.В., Поцелуева Л.Н., Гончаров Ю.Д. Кристаллоэнергетика как основа оценки свойств твердотельных материалов. - СПб., 2006.

33. Зуев В.В. Остовно-электронная кристаллохимия и свойства минералов. - СПб.: Наука, 2009.

34. Богданов О.С., Зуев В.В. О кристаллохимической оценке магнитных, электрических и гравитационных свойств минералов // Обогащение руд. - 1991. - № 6. - С. 12-16.

35. Брэгг У.Л., Кларингбулл Г.Ф. Кристаллическая структура минералов. - М.: Мир, 1967.

36. Еремин И.Е., Еремина В.В., Костюков Н.С. Моделирование электронно-атомной структуры конденсированных диэлектриков. - Благовещенск: АмГУ, 2006.

37. Еремин И.Е. Кибернетическая теория поляризации щелочно-галоидных кристаллов. I // Информатика и системы управления. - 2009. - №1(19). - С. 40-45.

38. Еремин И.Е. Кибернетическая теория поляризации щелочно-галоидных кристаллов. II // Информатика и системы управления. - 2009. - №2(20). - С. 50-59.

39. Еремин И.Е. Кибернетическая теория поляризации щелочно-галоидных кристаллов. III // Информатика и системы управления. - 2009. - №3(21). - С. 20-26.

40. Еремин И.Е. Кибернетическое моделирование поляризации кристаллов в слабых электромагнитных полях // Информатика и системы управления. - 2011. - №2(28). - С. 117-125.

41. Еремин И.Е., Еремина В.В., Уляхина Д.А. Метод расчета динамических параметров поляризационных процессов // Информатика и системы управления. - 2011. - №3(29). - С. 60-69.

42. Еремин И.Е., Сычев М.С. Моделирование постоянной Маделунга кристаллов кубической сингонии. I // Вестник Тихоокеанского государственного университета. - 2012. - №1(24). - С. 43-50.

43. Еремин И.Е., Сычев М.С. Моделирование постоянной Маделунга кристаллов кубической сингонии. II // Вестник Тихоокеанского государственного университета. - 2012. - №2(25). - С. 37-44.

44. Еремин И.Е., Еремина В.В., Сычев М.С., Моисеенко В.Г. Эффективные коэффициенты компактности двухкомпонентных кубических кристаллов // Доклады Академии наук. - 2015. - Т. 461, №6. - С. 650-652.

Размещено на allbest.ru