Ряды распределения и динамики. Пределы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вариант 38

48	53	20	19	24	23	36	21	32	34
29	16	41	35	47	30	49	33	16	36
22	32	13	35	24	32	29	20	49	18
46	43	15	28	25	41	36	10	42	31
42	23	40	19	40	16	23	22	20	47

Задание 1

На основании исходных данных, выданных преподавателем, необходимо:

1. Построить интервальный ряд распределения, определив величину интервала с помощью формулы Стерджесса.

2. Определить показатели центра распределения.

3. Вычислить показатели вариации.

4. Рассчитать показатели формы распределения.

5. Проверить соответствие эмпирического распределения нормальному закону распределения с помощью критерия согласия Пирсона (или Романовского)

интервальный ряд арифметический пирсон

1. Построение интервального вариационного ряда распределения

Ряд распределения представляет собой таблицу, которая состоит из двух основных колонок. В первой указываются значения, которые принимает признак в изучаемой совокупности, а во второй - количество, того или иного значения, т.е. частота. Для признака, имеющего непрерывное изменение, строится интервальный ряд распределения. При его построении отдельные значения признака указываются в первой колонке в виде интервалов «от - до».

Для построения интервального ряда вначале определяем размер интервала:

,

где x_max - максимальное значение признака в совокупности =53

x_min - минимальное значение признака в совокупности =10

m - число интервалов =50

Количество интервалов определим с помощью формулы Стерджесса:

,

где n - объем совокупности (количество исходных значений). В нашем случае n=50.

Количество интервалов обязательно должно быть целым числом. Поскольку формула Стерджесса дает лишь приблизительную оценку количества интервалов, то можно принять либо m=6, либо m=7. Тогда размер интервала будет равен:

Для удобства дальнейших вычислений примем m=7.

Определяем границы интервалов. Нижняя граница первого интервала равна минимальному значению признака в совокупности, т.е. в нашем случае равна 10. Верхняя граница первого интервала равна нижней границе плюс размер интервала, т.е. 10+7=17. Нижняя граница второго интервала равна верхней границе первого, т.е. 17. Верхняя граница второго интервала равна нижней границе второго интервала плюс размер интервала, т.е. 10+7=17 и т.д. В итоге получаем границы для семи интервалов. Заносим границы интервалов в таблицу (табл. 1, колонка 2).

Далее подсчитываем количество значений признака из заданной совокупности, попавших в тот или иной интервал и заносим это число в колонку «Частота». Если значение попадает на границу между k-ым и (k+1)-ым интервалами, то его относят в (k+1)-ый интервал. Сумма всех частот обязательно должна совпадать с объемом совокупности (в нашем случае со значением 50).

Вычисляем частности, т.е. частоты, выраженные в процентах к общему объему совокупности:

;

; ;

; ;

; ;

Таблица 1. Интервальный ряд распределения

№ Инт.	Значение признака (х) от - до	Частота (f)	Частость (w), %	Накопленная частота (S)	Плотность распределения (с)
1	10 - 17	6	12	6	0.857
2	17 - 24	12	24	18	1.714
3	24 - 31	7	14	25	1
4	31 - 38	11	22	36	1.571
5	38 - 45	7	14	43	1
6	45 - 52	6	12	49	0.857
7	52 - 59	1	2	50	0.143
итого:	50	100	-	-

Накопленная частота вычисляется по формуле:

;

;

;

; ;;

Последнее значение накопленной частоты должно быть равно объему совокупности.

Плотность распределения показывает сколько единиц совокупности приходятся на единицу длины интервала:

.

;

;

; ;

Строим графические изображения ряда распределения.

Рис. 1. Структурная диаграмма

Рис. 2. Полигон распределения



Рис. 3. Гистограмма распределения

Рис 4. Кумулятивная кривая

2. Определение показателей центра распределения

К показателям центра распределения относятся: средняя арифметическая, мода и медиана.

Средняя арифметическая

где x_i -середина i-го интервала.



Для нахождения моды по интервальному ряду распределения в начале определяем модальный интервал, т.е. интервал с максимальной частотой. В нашем случае таким интервалом будет интервал от 31 до 38 (4-й интервал). Далее величину моды вычисляем по формуле

,

где - нижняя граница модального интервала = 31

- размер модального интервала = 7

- частота модального интервала = 11

- частота интервала, предшествующего модальному =7

- частота интервала, следующего за модальным = 7

Для нахождения медианы по интервальному ряду распределения в начале определяем медианный интервал. Им будет первый сверху интервал, в котором накопленная частота больше или равна половине объема совокупности. В нашем случае половина объема совокупности n/2=50/2=25. Первый с верху интервал, в котором накопленная частота равна 25 - это интервал от 24до 31 (в нем накопленная частота равна 25), поэтому этот интервал является медианным.

Далее величина медианы вычисляется по формуле

где - нижняя граница медианного интервала = 24

- размер медианного интервала =7

- частота медианного интервала = 7

- накопленная частота интервала, предшествующего медианному =18

3. Определение показателей вариации

Для характеристики изменчивости отдельных значений признака в статистике используют абсолютные и относительные показатели вариации.

Абсолютные показатели вариации:

Размах

Среднее линейное отклонение

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Относительные показатели вариации:

Коэффициент осцилляции

Относительное линейное отклонение

Коэффициент вариации

4. Определение показателей формы распределения

Показатель асимметрии

Если As < 0, то асимметрия левосторонняя.

Если |As|>0.5, то асимметрия значительная (существенная), т.е. распределение не может быть признано симметричным.

Показатель эксцесса (островершинности)

,

где м₄ - центральный момент 4-го порядка

Поскольку Ех <0, то распределение плосковершинное.

5. Проверка соответствия эмпирического распределения нормальному закону

Теоретические частоты для нормального распределения вычисляются по формуле

Таблица 2. Вычисление теоретических частот

№ Инт.	Середина интервала
1	13.5	- 1.178	0.307	3.4
2	20.5	- 0.450	0.637	7
3	27.5	- 0.07	0.932	10.3
4	34.5	- 0.025	0.975	10.7
5	41.5	- 0.328	0.720	7.9
6	48.5	- 0.974	0.377	4.1
7	55.5	- 1.964	0.140	1.5

По результатам вычислений строим график (рис. 5).

Рис. 5. Эмпирическое и теоретическое распределения

Для проверки соответствия эмпирического и теоретического будем использовать критерий согласия Пирсона («хи-квадрат»)

.

Применение критерия Пирсона требует выполнения следующих условий:

1) число наблюдений должно быть достаточно большим (n?50). Данное условие в нашем случае выполняется;

2) теоретические частоты в интервалах должны быть больше 5. Это условие в нашем случае не выполняется для последнего интервала. Поэтому прежде чем вычислять критерий Пирсона произведем объединение интервалов - последнего и предпоследнего. Таким образом из 7 интервалов, которые у нас были в начале, останутся 6.

Таблица 3. Расчет критерия Пирсона

№ Инт.	fi
1	6	3.4	1.988
2	12	7	0.714
3	7	10.3	1.057
4	11	10.7	0.008
5	7	7.9	1
6	6 1.7	4.1 1.5	5.5	0.409
7
ч2=	4.176

Применение критерия согласия Пирсона требует использования специальных таблиц. Что бы избежать этого, вычислим на основе критерия Пирсона критерий Романовского

,

где г=m^*-l-1 - число степеней свободы;

m^* - число интервалов после объединения (в нашем случае m^* =6);

l - число параметров распределения (для нормального распределения l=2).

г=6-2-1=3;

Задание 2

Считая первые 4 значения первой строки исходных данных уровнями интервального временного ряда, определить показатели динамики. При расчете базисных показателей в качестве базы сравнения принять первый уровень ряда. Ряд динамики (временной ряд) - значения статистического показателя расположенные в хронологическом порядке. Временной ряд состоит из двух строк (колонок). В первой указываются периоды или моменты времени, а во второй - значения показателя, приходящиеся на эти периоды или моменты. Показатели второй строки (колонки) называются уровнями ряда динамики.

Возьмем первые 4 значения из первой строки исходных данных и расположим их в хронологическом порядке, как это показано в табл. 4.

Таблица 4. Временной ряд

Период времени, t	1	2	3	4
Показатель, y	48	53	20	19

Для анализа временных рядов используются специальные показатели, которые называются показателями динамики. Существует два способа расчета таких показателей: базисный и цепной. При определении базисных показателей текущий уровень ряда динамики y_i сравнивается с базисным уровнем y₀. Если иное не указано, то в качестве базы принимается первый уровень ряда (в нашем случае это значении 11). При вычислении цепных показателей текущий уровень ряда y_i сравнивается с предыдущим y_i-1.

1. Абсолютные приросты

а) базисные

;

;

;

б) цепные



;

;

.

2. Коэффициенты роста

а) базисные

;

;

;

б) цепные

;

;

.

3. Темпы роста

а) базисные

;

;

;

б) цепные

;

;

.

4. Темпы прироста

а) базисные

;

;

;

б) цепные

;

;

.

5. Абсолютное значение одного процента прироста

;

;

;

.

6. Средний уровень интервального ряда динамики, состоящего из абсолютных величин, определяется по формуле средней арифметической

,

где k - число уровней ряда динамики.

7. Средний абсолютный прирост

.

8. Средний коэффициент роста

.

9. Средний темп роста

.

10. Средний темп прироста

.

Задание 3

Считая исходные данные 10%-ой простой случайной бесповторной выборкой определить:

1. Пределы, в которых будет находиться генеральное среднее значение признака для всей совокупности с доверительной вероятностью 0.954.

2. Пределы, в которых будет находиться генеральная доля единиц совокупности, обладающих значением признака большим или равным нижней границе 5-го интервала, с доверительной вероятностью 0.997.

3. Объем выборки, обеспечивающий получение среднего значения признака с предельной ошибкой не превышающей (у/5), и вероятностью 0.954.

1. Определение пределов, в которых находится генеральная средняя

Генеральная средняя находится в интервале от () до (). Где - выборочная средняя (берется из первого задания, в нашем случае =31.83), - предельная ошибка средней:

,

где n - объем выборки (в нашем случае n=50 - из первого задания);

- выборочная дисперсия (в нашем случае =142.6 - из первого задания); N - объем генеральной совокупности. По условию задания , откуда и N=500;

t - коэффициент доверия, он определяется по специальной таблице в зависимости от доверительной вероятности:

Доверительная вероятность	t
0.954	2
0.997	3

.

Таким образом, генеральная средняя с доверительной вероятностью 0.954 находится в интервале:

от (31.83-3.204) до (31.83+3.204)

или

от 28.62 до 35.03.

2. Определение пределов, в которых находится генеральная доля

Нижняя граница 5-го интервала равна 45 (см. 1-ое задание). Доля единиц выборочной совокупности, имеющих значение признака равное или большее 45 равна:

.

Генеральная доля находится в интервале от () до (). Где - предельная ошибка доли:

.

Таким образом, генеральная доля с вероятностью 0.997 будет находиться в интервале

от (0.14-0.047) до (0.14+0.047)

или

от 0.093 до 0.187.

3. Определение объема выборки, обеспечивающей заданную точность наблюдения

Объем простой случайной бесповторной выборки определяется по формуле

.

По условию задания предельная ошибка выборки

.

Поскольку объем выборки - величина целая, то полученное значение необходимо округлить в большую сторону. Таким образом, принимаем размер выборки равный n=84.

Размещено на Allbest.ru

...