Группировка предприятий. Показатель динамики. Дисперсия заработной платы. Сглаживание ряда

Размещено на http://www.allbest.ru/

Статистика

Контрольная работа

Вариант 3

Задача 1

По промышленным предприятиям города имеются следующие данные за отчетный год:

Таблица 1 Исходные данные

№ предприятия	Объем продукции, млн.руб.	Среднегодовая стоимость основных средств, млн.руб.	Среднесписочное число работников, чел.	Прибыль, млн.руб.
1	197,7	10,0	900	13,5
2	592,0	22,8	1500	136,2
3	465,5	18,4	1412	97,6
4	296,2	12,6	1200	44,4
5	584,1	22,0	1485	146,0
6	480,0	19,0	1420	110,4
7	578,5	21,6	1390	138,7
8	204,7	9,4	817	30,6
9	466,8	19,4	1375	111,8
10	292,2	13,6	1200	49,6
11	423,1	17,6	1365	105,8
12	192,6	8,8	850	30,7
13	360,5	14,0	1290	64,8
14	208,3	10,2	900	33,3

Требуется выполнить группировку предприятий по объему выпущенной продукции, приняв следующие интервалы:

1) до 300 млн.руб.2) от 300 до 500 млн.руб.;3) более 500 млн.руб.

По каждой группе и в целом по всем предприятиям определить: число предприятий, число продукции, среднесписочное число работников, среднюю выработку продукции на одного работника. Результаты группировки представить в виде статистической таблицы.

Решение

Построим сначала расчетную вспомогательную таблицу (таблица 2).

Выработка находится как частное от деления выпуска продукции на численность работников.

Таблица 2 Расчетная таблица

№ группы	Группы предприятий по объему выпущенной продукции	№ предприятия	Объем продукции, млн.руб.	Среднесписочное число работников, чел.	Выработка продукции на одного работника, млн. руб.
1	до 300	12	192,6	850	0,227
		1	197,7	900	0,22
		8	204,7	817	0,251
		14	208,3	900	0,231
		10	292,2	1200	0,244
		4	296,2	1200	0,247
Итого		6	1391,7	5867	0,237
2	300-500	13	360,5	1290	0,279
		11	423,1	1365	0,31
		3	465,5	1412	0,33
		9	466,8	1375	0,339
		6	480	1420	0,338
Итого		5	2195,9	6862	0,320
3	Более 500	7	578,5	1390	0,416
		5	584,1	1485	0,393
		2	592	1500	0,395
Итого		3	1754,6	4375	0,401
ВСЕГО		14	5342,2	17104	0,312

Итоговые данные рабочей таблицы переносим в аналитическую таблицу 3.

Таблица 3 Аналитическая таблица - Группировка предприятий по объему выпущенной продукции

№ группы	Группы предприятий по объему выпущенной продукции	Число и доля предприятий	Выработка на одного работника, млн. руб.	Объем продукции, млн. руб.	Число работников, чел.
				Всего	На один регион	Всего	На один регион
А	Б	1	2	3	4 (3/1)	5	6 (5/1)
1	До 300	6 (42,9%)	0,237	1391,7	231,95	5867	977,8
2	300-500	5 (35,7%)	0,320	2195,9	439,18	6862	1372,4
3	Более 500	3 (21,4%)	0,401	1754,6	584,9	4375	1458,3
ИТОГО	14 (100%)	0,312	5342,2	381,6	17104	1221,7

Наибольший удельный вес приходится на предприятия с объемом продукции до 300 млн. руб. Однако, в этих предприятиях минимальная средняя выработка - 0,237 млн. руб. на работника.

Наименьший удельный вес у предприятий с выпуском продукции от 500 млн. руб. - всего 3 предприятия или 21,4% от общего их числа. При этом выработка на этих предприятиях максимальная - 0,401 млн. руб. на 1 работника.

Задача 2

По каждому из трех предприятий фирмы (-порядковый номер предприятия) имеются соответствующие данные о фактическом объеме реализованной в 2000 г. продукции (, млн.руб.), о плановом задании по росту реализованной продукции на 2001г. (,%), а также о фактическом объеме реализованной в 2001г. продукции (, млн.руб.). статистические данные приведены в таблице 4.

Таблица 4 Исходные данные - 2.3

№ п/п	Фактический объем реализованной в 2000 г. продукции, млн. руб.	Плановое задание по росту реализованной продукции на 2001г., %	Фактический объем реализованной в 2001 г. продукции, млн. руб.
1	28,0	104,0	30,6
2	46,5	106,0	50,7
3	58,0	102,5	61,0

Требуется определить в целом по фирме:

1) размер планового задания по росту объема реализованной продукции в 2001г.;

2) процент выполнения плана по объему реализованной продукции в 2001г.;

3) показатель динамики реализованной продукции.

Решение

Для того, чтобы определить взаимосвязь показателей, дадим основные определения.

Относительные показатели плана и реализации плана используются для целей планирования и сравнения реально достигнутых результатов с ранее намеченными.

ОПП , (1)

где ОПП - относительный показатель плана;

- уровень, планируемый на i+1 период;

xi - уровень, достигнутый в i-м периоде.

ОПРП , (2)

где ОПРП - относительный показатель реализации плана;

xi - уровень, достигнутый в (i+1)-м периоде.

ОПП характеризует напряженность плана, т.е. во сколько раз намечаемый объем производства превысит достигнутый уровень или сколько процентов от этого уровня составит. ОПРП отражает фактический объем производства в процентах или коэффициентах по сравнению с плановым уровнем.

Относительный показатель динамики (ОПД) представляет собой отношение уровня исследуемого процесса или явления за данный период времени (по состоянию на данный момент времени) к уровню этого же процесса или явления в прошлом:

ОПД илиОПД . (3)

1) определим в целом по фирме размер планового задания по росту объема реализованной продукции в 2001г.

Для этого найдем сначала плановое задание на 2001г. По каждому предприятию (упл i ) и в целом по фирме (упл ф).

Фактический объем по фирме в 2000 году составил:

У0 = 28+46,5+58 = 132,5 млн. руб.

Плановое задание равно:

Уплан = 28*1,04+46,5*1,06+58*1,025 = 137,86 млн. руб.

Найдем относительный показатель плана по формуле (1)

ОПП = 137,86/132,5 = 1,04 или 104%.

Размер планового задания по росту объема реализованной продукции в 2001г. по всей фирме составлял 104%.

2. Найдем процент выполнения плана по объему реализованной продукции в 2001г. В целом по фирме (ОПРП). Для этого найдем фактический уровень, достигнутый в 2001г. (у1)

У1 = 30,6+50,7+61,0 = 142,3 млн. руб.

Относительный показатель реализации плана найдем по формуле (2).

ОПРП = 142,3/137,86 = 1,032 или 103,2%.

Процент выполнения плана по объему реализованной продукции в 2001г. составил 103,2%.

3. Найдем относительный показатель динамики реализованной продукции в целом по фирме (ОПД) по формуле (3).

ОПД = 142,3/132,5 = 1,074 или 107,4%

Выручка от реализации продукции выросла в 2001 г. по сравнению с 2000 г. на 7,4%.

Также относительный показатель динамики можно найти по формуле:

ОПД = ОПП*ОПРП. (4)

ОПД = 1,04*1,03 = 1,074.

Ответ

1) Размер планового задания по росту объема реализованной продукции в 2001г. по всей фирме составлял 104%.

2) Процент выполнения плана по объему реализованной продукции в 2001г. составил 103,2%.

3) Выручка от реализации продукции выросла в 2001 г. по сравнению с 2000 г. на 7,4%.

Задача 3

По каждой из трех основных рабочих профессий цеха (-порядковый номер профессии: 1-токари; 2-фрезеровщики; 3-слесари) имеются соответствующие данные о числе рабочих профессии (, чел.), о средней заработной плате (, руб.), а также о внутригрупповой дисперсии заработной платы (, руб.2). Статистические данные за месяц приведены в таблице 5.

Таблица 5 Исходные данные - 3.3

Профессия	Число рабочих, чел.	Средняя заработная плата, руб.	Внутригрупповая дисперсия заработной платы
Токари	50	2650	2500
Ферезеровщики	20	2800	3025
Слесари	45	2500	900

Требуется:

1) определить общую дисперсию заработной платы рабочих цеха;

2) оценить однородность совокупности рабочих цеха по уровню месячной заработной платы;

3) определить, на сколько процентов дисперсия в размере заработной платы обусловлена различиями в профессии рабочих и влиянием других причин.

Решение

Для характеристики величины вариации (колеблемости) признака статистической совокупности используются абсолютные и относительные показатели. В качестве абсолютных показателей чаще всего рассматривают дисперсию и среднеквадратическое отклонение

.

(5)

где хi - наблюденные значения признака (варианты),

n - общее число вариант (объем выработки).

Суммирование в этой формуле производится по всем вариантам; - среднее значение признака, - среднее значение квадрата признака

(6)

Изучая только общую дисперсию интересующего исследователя признака, нельзя оценить влияние отдельных факторов, как качественных, так и количественных, на величину признака. Это можно сделать при помощи метода группировки, когда варианты хi подразделяются на непересекающиеся группы по признаку - фактору. При этом, кроме общей средней по всей выборке, рассматриваются средние по отдельным группам и следующие показатели дисперсии:

1) Общая дисперсия .

2) Межгрупповая дисперсия .

3) Внутригрупповые дисперсии .

4) Средняя внутригрупповая дисперсия .

Кратко характеризуем эти дисперсии

Общая дисперсия учитывает влияние всех факторов, от которых зависит величина изучаемого признака Х

, (7)

где - общая средняя по всей выборке.

Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки.

Эта дисперсия определяется по формуле:

(8)

где - внутригрупповые средние,

ni - число вариант в i - ой группе,

k - число групп, суммирование производится по различным группам.

Внутригрупповые дисперсии

(9)

отражает рассеяние значений xj признака, относящихся к одному уровню группировочного фактора, поэтому она определяется не этим фактором, а другими причинами.

Средняя внутригрупповая дисперсия , а так же как и , характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других, неучтенных факторов, и не зависит от условия, положенного в основу группировки. Эта дисперсия определяется по формуле:

Можно доказать, что имеет место правило сложения дисперсий

Отношение

показывает, какую долю общей дисперсии составляет дисперсия, возникающая под влиянием группировочного фактора, т.е. позволяет оценить влияние этого фактора на величину изучаемого признака Х. При сравнение колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или при сравнении колеблемости одного и того признака в разных совокупностях используются относительные показатели вариации. Наиболее распространенным среди относительных показателей вариации является коэффициент вариации

 (10)

Его применяют также и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному).

Решение:

1. Определим общую дисперсию заработной платы рабочих цеха

Найдем среднюю из внутригрупповых дисперсий

= (2500*50+3025*20+900*45)/(50+20+45) = 1965,2 руб2

Определим среднюю зарплату по цеху для основных рабочих профессий (общую среднюю):

= (2650*50+2800*20+2500*45)/(50+20+45) = 2617,4 руб.

Находим межгрупповую дисперсию:

= ((2650-2617,4)2*50+(2800-2617,4)2*20+(2500-2617,4)2*45)/(50+20+45) = 11654,1 руб.2

Используя правило сложения дисперсий, найдем общую дисперсию заработной платы:

= 11654,1+1965,2 = 13619,3 руб.2

2. Оценим однородность совокупности рабочих цеха по уровню месячной заработной платы с помощью коэффициента вариации:

= = 4,46%

Так как V < 33%, то совокупность считается однородной.

3. Общая дисперсия заработной платы рабочих цеха обусловлена различиями в профессии на

/*100% = 11654,1/13619,3 = 85,57%.

Эта же дисперсия обусловлена влиянием других причин на

/ *100% = 1965,2/13619,3 = 14,43%.

Ответ:

1) Общая дисперсия заработной платы равна 13619,3 руб.2

2) Так как V = 4,46% < 33%, то совокупность считается однородной.

3) Общая дисперсия заработной платы рабочих цеха обусловлена различиями в профессии на 85,57% и влиянием других причин на 14,43%.

Задача 4

По 14-ти предприятиям городского хозяйства (-порядковый номер предприятия) имеются соответствующие данные об объеме продукции (услуг) за месяц (млн.руб.) и уровне механизации труда (,%). Статистические данные приведены в таблице 6.

Таблица 6 Исходные данные - 4.3

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Объем услуг, млн. руб. (у)	98	89	109	110	91	90	65	99	105	101	91	90	77	90
Уровень механизации труда, % (х)	98	94	97	99	89	84	69	95	99	98	63	92	63	94

Для выявления наличия корреляционный связи между объемом продукции и уровнем механизации труда требуется:

1) построить аналитическую таблицу и дать графическое изображение линии связи.

2) измерить тесноту связи между признаками с помощью коэффициента корреляции рангов; проверить его достоверность.

Решение

1) Для обеспечения наглядности при построении графического изображения линии связи между объемом продукции и механизации труда необходимо построить аналитическую таблицу данных, в которой изучаемые предприятия расположить в порядке возрастания признака х - уровня механизации труда, % (таблица 7).

Изобразим связь между признаками графически, расположив по оси х значения уровня механизации труда, а по оси у - сведения об объеме выпущенной продукции по изучаемым предприятиям (рис. 1).

Из данных, представленных в таблице 7 и на рис. 1 видно что связь между уровнем механизации и объемом услуг существует: чем выше уровень механизации, тем больше объем услуг. Однако связь не является строго детерминированной. На объем услуг влияют и другие факторы.

Таблица 7 Аналитическая таблица

Уровень механизации труда, % (х)	Объем услуг, млн. руб. (у)	№ п/п
63	91	11
63	77	13
69	65	7
84	90	6
89	91	5
92	90	12
94	89	2
94	90	14
95	99	8
97	109	3
98	98	1
98	101	10
99	110	4
99	105	9



Рис. 1 - Зависимость объем услуг от уровня механизации

2) Измерим тесноту связи между признаками с помощью коэффициента корреляции рангов; проверим его достоверность.

Для нахождения коэффициента корреляции рангов Спирмэна проделаем следующие действия:

1) Проведем ранжирование значений А (объем услуг) и В (уровень механизации). Минимальное значение объема услуг - 65 млн. руб. - ранг 1 и т.д. Минимальное значение уровня механизации - 63% - ранг 1 и т.д. Их ранги занесем в колонки "Ранг А" и "Ранг В" в таблице.

2) Произведем подсчет разности между рангами А и В (колонка d таблицы);

3) Произведем возведение каждой разности d в квадрат (колонка d2 таблицы);

4) Подсчитаем сумму квадратов, сложив значение столбца d2;

Таблица 8

Номер	Объем услуг, млн. руб.(А)	Ранг А	Уровень механизации, %. (В)	Ранг В	d (ранг А - ранг В)	d2
1	98	9	98	11	-2	4
2	89	3	94	7	-4	16
3	109	13	97	10	3	9
4	110	14	99	13	1	1
5	91	7	89	5	2	4
6	90	4	84	4	0	0
7	65	1	69	3	-2	4
8	99	10	95	9	1	1
9	105	12	99	14	-2	4
10	101	11	98	12	-1	1
11	91	8	63	1	7	49
12	90	5	92	6	-1	1
13	77	2	63	2	0	0
14	90	6	94	8	-2	4
Суммы		105		105	0	98

5) Произведем расчет коэффициента ранговой корреляции rs по формуле:

rs = 1-6*. (11)

rs = 1-6*= 0,785.

При использовании коэффициента ранговой корреляции условно оценивают тесноту связи между признаками, считая значения коэффициента равные 0,3 и менее, показателями слабой тесноты связи; значения более 0,4, но менее 0,7 - показателями умеренной тесноты связи, а значения 0,7 и более - показателями высокой тесноты связи.

На основе рассчитанного коэффициента, равного 0,785, можно сделать вывод, что теснота связи между объемом услуг и уровнем механизации высокая, прямая: чем выше уровень механизации, тем выше объем услуг.

Чтобы оценить достоверность полученного коэффициента корреляции рангов, воспользуемся таблицей критических значений коэффициентов корреляции рангов Спирмена (таблица 9).

Таблица 9 Критические значения коэффициентов корреляции рангов Спирмена

n	p
	0.05	0.025	0.01	0.005
5	0.9
6	0.829	0.886	0.943
7	0.714	0.786	0.893
8	0.643	0.738	0.833	0.881
9	0.6	0.683	0.783	0.833
10	0.564	0.648	0.745	0.794
11	0.523	0.623	0.736	0.818
12	0.497	0.591	0.703	0.78
13	0.475	0.566	0.673	0.745
14	0.457	0.545	0.646	0.716
15	0.441	0.525	0.623	0.689
16	0.425	0.507	0.601	0.666
17	0.412	0.49	0.582	0.645
18	0.399	0.476	0.564	0.625
19	0.388	0.462	0.549	0.608
20	0.377	0.45	0.534	0.591
21	0.368	0.438	0.521	0.576
22	0.359	0.428	0.508	0.562
23	0.351	0.418	0.496	0.549
24	0.343	0.409	0.485	0.537
25	0.336	0.4	0.475	0.526
26	0.329	0.392	0.465	0.515
27	0.323	0.385	0.456	0.505
28	0.317	0.377	0.448	0.496
29	0.311	0.37	0.44	0.487
30	0.305	0.364	0.432	0.478

Для n=14 критическое значение 0,457 при уровне значимости 0,05. Поскольку полученное значение выше табличного, можно говорить о достоверности результата. Иными словами, корреляция статистически значима.

Задача 5

Динамика удельного расхода условного топлива на производство теплоэнергии (, кг/Гкал) на ТЭЦ по городам представлена в таблице 10.

Таблица 10 Исходные данные - 5.3

	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001
Уд. расход условного топлива, кг/Гкал (у)	166,1	164,3	165,9	166,5	166,0	165,7	165,0	165,0	164,9

Требуется:

1) произвести сглаживание ряда методом трехлетней скользящей средней;

2) выровнять ряд по прямой;

3) методом экстраполяции определить прогноз экономического показателя на 2002 и 2003 г.г.;

4) начертить графики первичного и выровненного рядов.

Решение

1) Выявление основной тенденции может осуществляться методом скользящей средней. Суть метода состоит в нахождении средней арифметической суммы, например, трех соседних периодов. При этом теряются крайние члены ряда, т.е. полного выравнивания не достигается.

Таблица 11 Расчет скользящих средних

Год	Уд. расход условного топлива, кг/Гкал (исходный ряд)	Скользящие суммы за 3 периода	Скользящие средние
1993	166,1
1994	164,3	496,3	165,4
1995	165,9	496,7	165,6
1996	166,5	498,4	166,1
1997	166,0	498,2	166,1
1998	165,7	496,7	165,6
1999	165,0	495,7	165,2
2000	165,0	494,9	165,0
2001	164,9

Расчет скользящих средних также не помог выявить тенденция расхода топлива: удельный расход топлива в течение всего периода колеблется.

2) Выравнивание ряда по прямой.

Для того чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой.

Составим вспомогательную таблицу 12.

Таблица 12 Вспомогательная таблица

Год	Уд. расход условного топлива, кг/Гкал, У	Расчетные значения
		t
1993	166,1	-4	16	-664,4	165,9
1994	164,3	-3	9	-492,9	165,8
1995	165,9	-2	4	-331,8	165,7
1996	166,5	-1	1	-166,5	165,6
1997	166,0	0	0	0	165,5
1998	165,7	1	1	165,7	165,4
1999	165,0	2	4	330	165,3
2000	165,0	3	9	495	165,2
2001	164,9	4	16	659,6	165,1
Итого	1489,4	0	60	-5,3	1489,4

Для выравнивания ряда используем линейную трендовую модель - уравнение прямой:

Параметры искомого уравнения прямой определяем из следующей системы нормальных уравнений:



откуда

Уравнение прямой будет иметь вид:

Подставляя в данной уравнение последовательно значения t, равные --4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 находим выровненные уровни .

Если

,

в нашем примере эти суммы равны между собой и равны 1489,4 млн. руб., следовательно, значения уровней выровненного ряда найдены верно.

Полученное уравнение показывает, что, несмотря на значительные колебания в отдельные годы, наблюдается тенденция снижения удельного расхода топлива в среднем на кг/Гкал.

3) методом экстраполяции определим прогноз экономического показателя на 2002 и 2003 гг.

Сущность методов прогнозной экстраполяции заключается в изучении динамики изменения экономического явления в предпрогнозном периоде и перенесения найденной закономерности на некоторый период будущего. Обязательным условием применения экстраполяционного подхода в прогнозировании следует считать познание и объективное понимание природы исследуемого процесса, а также наличие устойчивых тенденций в механизме развития.

Используя уравнение

,

рассчитаем прогнозные показатели удельного расхода условного топлива на производство теплоэнергии (yt, кг/Гкал) на ТЭЦ на 2002 и 2003 годы.

Для этого 2002 году присвоим значение t=5, а 2003 году - 6.

у2002 = 165,5-0,088*5 = 165,06 кг/Гкал.

у2003 = 165,5-0,088*6 = 164,972 кг/Гкал.

4) Начертим графики первичного и выровненного рядов на рис. 2.

Рис. 2 - Графики первичного и выровненных рядов

Список литературы

показатель динамика дисперсия заработная плата

Елисеева И.И. Общая теория статистики: учебник для вузов. - М.: Финансы и статистика, 2009. - 656 с.

Ефимова М.Р. Практикум по общей теории статистики: учебное пособие для вузов. - М.: Финансы и статистика, 2010. - 368 с.

Мелкумов Я.С. Социально-экономическая статистика: учебно-методическое пособие. - М.: ИМПЭ-ПАБЛИШ, 2007. - 200 с.

Салин В.Н. Курс теории статистики для подготовки специалистов финансово-экономического профиля: учебник. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 480 с.

Статистика: учебник / И.И. Елисеева и др. - М.: Высшее образование, 2008. - 566 с.

Статистика: учебное пособие / А.В. Багат и др. - М.: Финансы и статистика, 2011. - 368 с.

Теория статистики: учебник для вузов / Р.А. Шмойлова и др. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 656 с.

Шмойлова Р.А. Практикум по теории статистики: учебное пособие для вузов. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 416 с.

Размещено на Allbest.ru

...