Определение базисных индексов товарооборота, цен и физического объема

Размещено на http://www.allbest.ru/

Институт экономики, управления и права

Экономический факультет

Контрольная работа

по общей теории статистики



Имеются данные о деятельности 10% предприятий (механическая выборка) отрасли за период с 2000 по 2010 гг. (таблица 1). Провести группировку предприятий отрасли по объему товарооборота за 2008 г. в ценах 2000 года.

1. На основании проведенной группировки определить:

1.1 показатели центра распределения (среднюю арифметическую взвешенную, моду и медиану);

1.2 показатели вариации (размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации).

2. На основании проведенной группировки построить графики: полигон, гистограмму и кумуляту. На графиках указать моду и медиану.

3. С вероятностью 0,950 определить предельные значения среднего товарооборота и доверительный интервал для среднего товарооборота в генеральной совокупности предприятий.

4. Для предприятий, входящих в 6-ю группу, определить:

4.1 средний товарооборот (в ценах текущего и базисного периода) за каждый год в периоде с 2000 по 2010 гг.;

4.2 по средним товарооборотам в ценах 2000 г. определить:

4.2.1 показатели динамики (базисные и цепные: абсолютный прирост, темп роста и прироста, абсолютное значение одного процента прироста);

4.2.2 по вычисленным в п. 4.2.1 средним показателям динамики провести точечный прогноз товарооборота на 2011 г.;

4.2.3 определить тренд методом скользящей средней;

4.2.4 методом аналитического выравнивания построить трендовую модель и произвести интервальный прогноз величины среднего товарооборота на 2011 г. для соответствующей группы с вероятностью 0,950.

5. По средним товарооборотам определить базисные индексы товарооборота, цен и физического объема.

Сделать выводы

Решение

Определить оптимальное количество групп с равными интервалами можно по формуле Стерджесса:

n = 1 + 3,322lgN,

где N - численность единиц совокупности.

N = 30

Получаем следующее n:

n = 1 + 3,322lg30 = 5,906997 6

Определим длину интервала по формуле:

l = (х_max - x_min) /n,

где n - число выделенных интервалов.

n = 6

х_max =6865,77

x_min =3078,13

l = (6865,77-3078,13)/6 = 631,24

Группы:

1)	3078,31	3709,55
2)	3709,55	4340,80
3)	4340,79	4972,04
4)	4972,04	5603,28
5)	5603,28	6234,53
6)	6234,57	6865,77

Распределим предприятия по группам и разместим их в статистической таблице:

№ группы	Группа предприятий по объему товарооборота в ценах 2000 г.	Предприятие	Товарооборот, млн. руб.	Количество предприятий в группе
1)	3078,31	-	3709,55	19	3078,31
				14	3180,1
				30	3356,49
				8	3408,29
				20	3583,35
				24	3650,22
2)	3709,55	-	4340,80	24	3816,84
				23	4079,51
				10	4130,49
				22	4194,25
				13	4278,5
				4	4282,7
				16	4337,86	7
3)	4340,8	-	4972,04	25	4465,24
				2	4511,37
				7	4538,55
				11	4626
				29	4812,68
				15	4823,19
4)	4972,04	-	5603,28	3	5314,61
				12	5391,88
				26	5436,57
				21	5532,65
				18	5573,92
				27	5583,66	6
5)	5603,28	-	6324,53	28	5747,49
				9	5808,4
				6	5843,33
				1	6117,44
6)	6324,53	-	6865,77	5	6565,77	1

1.1 Показатели центра распределения

Средняя арифметическая взвешенная:

Для того чтобы рассчитать среднюю арифметическую интервального ряда, надо сначала определить среднюю для каждого интервала, а затем - среднюю для всего ряда.

Средняя арифметическая для каждого интервала определяется как полусумма верхней и нижней границ, т.е. по формуле средней арифметической простой.

Средняя для всего ряда вычисляется по формуле:

,

где - это средние интервалов, - частота соответствующих средних (в данном случае, количество предприятий в группе, n - количество групп.

№ группы	Группа предприятий	Средний товарооборот по группе, млн. руб.	Количество предприятий в группе	(Средний товарооборот) х (Количество предприятий в группе)
1)	3 078,31	-	3709,55	3393,93	6,00	20363,59
2)	3 709,55	-	4340,80	4025,18	7,00	28176,23
3)	4 340,80	-	4972,04	4656,42	6,00	27938,51
4)	4 972,04	-	5603,28	5287,66	6,00	31725,97
5)	5 603,28	-	6234,53	5918,91	4,00	23675,62
6)	6 234,53	-	6865,77	6550,15	1,00	6550,15
				Всего предприятий:	30	138430,06
Средняя арифметическая взвешенная:	4614,34

Мода:

Мода - это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. Она соответствует определенному значению признака.

Величина моды определяется по формуле:



где х_Мо - начало модального интервала;

h - величина интервала;

f_Мо - частота, соответствующая модальному интервалу;

f_(-1) - предмодальная частота;

f₍₊₁₎ - послемодальная частота.

Сначала определяется модальный интервал как интервал с наибольшей частотой, в данном случае, с наибольшим количеством предприятий в группе. Это 3-я группа.

х_Мо = 3709,55,9

f_Мо = 7

f_(-1) = 6

f₍₊₁₎ = 6

h = 631,24

Медиана:

Медиана лежит в середине ранжированного ряда и делит его пополам.

При нахождении медианы интервального вариационного ряда вначале определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана (интервал, в котором заканчивается одна половина частот f и начинается другая половина), а затем - приближенное значение медианы по формуле:

где х_Ме - нижняя граница медианного интервала;

h - величина интервала;

S_(-1) - накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

f_Ме - частота медианного интервала;

- сумма частот или число членов ряда.

Медианный интервал в нашей задаче - 3-й, поскольку в этом интервале накопленная частота (накопленное количество предприятий в группе) равняется 19, что больше половины всего количества предприятий. Следовательно, в этой группе и находится медиана.

х_Ме = 4340,8

h = 631,24

S_(-1) = 13

f_Ме = 6

= 30

1.2 Показатели вариации

Размах вариации:

Размах вариации - это разность между максимальным и минимальным значениями x из имеющихся в изучаемой статистической совокупности:

R=x_max - x_min = 6865,77 - 3078,31 =3787,46

Размах вариации показывает лишь то, насколько велик диапазон изменения значений в совокупности. В данном случае размах вариации показывает, что между минимальным товарооборотом и максимальным товарооборотом разница в 3787,46 млн. руб.

Среднее линейное отклонение:

Cреднее линейное отклонение - это средний модуль отклонений значений x от среднего арифметического значения.

Если исходные данные x сгруппированы, то расчет среднего линейного отклонения выполняется по формуле средней арифметической взвешенной - получим среднее линейное отклонение взвешенное:

Составим вспомогательную таблицу:

№ группы	Интервал	Кол-во пр-й в группе (fi)	Середина интервала (xi)	ABS(xi-xср)	ABS(xi-xср)*fi
1)	3078,31	-	3709,55	6	3393,93	7322,42	7322,42
2)	3709,55	-	4340,80	7	4025,18	4124,12	4124,12
3)	4340,80	-	4972,04	6	4656,42	252,50	252,50
4)	4972,04	-	5603,28	6	5287,66	4039,96	4039,96
5)	5603,28	-	6234,53	4	5918,91	5218,28	5218,28
6)	6234,53	-	6865,77	1	6550,15	1935,81	1935,81
Всего предприятий	30		Сумма:	22893,09

Этот показатель показывает, насколько в среднем каждое значение отклоняется от среднего.

Дисперсия:

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины и для сгруппированных данных вычисляется как

Для вычисления дисперсии составим вспомогательную таблицу:

№ группы	Интервал	fi	xi	Abs(xi-xср)	(xi-xср)2	(xi-xср)2*fi
1)	3078,31	-	3709,55	6	3393,93	7322,42	2169452,08	8936312,28
2)	3709,55	-	4340,80	7	4025,18	4124,12	560291,17	2429770,21
3)	4340,80	-	4972,04	6	4656,42	252,50	583,03	10625,82
4)	4972,04	-	5603,28	6	5287,66	4039,96	490327,65	2720209,21
5)	5603,28	-	6234,53	4	5918,91	5218,28	2029525,05	6807606,90
6)	6234,53	-	6865,77	1	6550,15	1935,81	4618175,21	3747371,54
Всего предприятий	30			Сумма:	24651895,96

Среднее квадратическое отклонение:

Среднее квадратическое отклонение () равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической. Для сгруппированных данных среднее квадратическое отклонение вычисляется как:

или корень квадратный из дисперсии.

Среднее квадратическое отклонение является мерой надежности - чем меньше значение среднего квадратического отклонения (также как и дисперсии), тем однороднее совокупность.

Коэффициент вариации:

Коэффициент вариации является критерием однородности совокупности (в случае нормального распределения) и вычисляется как

Вариация годовых товарооборотов различных предприятий в общей совокупности не превышает 19,651%, то есть не является значительной, следовательно, совокупность товарооборотов однородная.

2. Графики

Полигон частот товарооборот совокупность доверительный интервал

Гистограмма



Кумулята

3. Предельные значения среднего товарооборота и доверительный интервал для среднего товарооборота в генеральной совокупности предприятий

Как правило, в качестве предельной ошибки рассматривают произведение коэффициента доверия на среднюю ошибку.

где - среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности (механическая выборка);

n - число наблюдений.

t - коэффициент доверия, определяется по таблицам в зависимости от вероятности.

Для вероятности 0,998 t = 3,09

Предельные значения среднего товарооборота:



Доверительный интервал:

4. Для 28 предприятий:

4.1 по товарооборотам определить

4.1.1 показатели динамики базисные и цепные: абсолютный прирост, темп роста и прироста, абсолютное значение одного процента прироста):

Годы	Период
	28
2000	в ценах текущего периода	6487,12
2001	в ценах 2000 года	6692,19
2002	в ценах 2000 года	6611,26
2003	в ценах 2000 года	6411,22
2004	в ценах 2000 года	6506,77
2005	в ценах 2000 года	6613,5
2006	в ценах 2000 года	6280,82
2007	в ценах 2000 года	5760,57
2008	в ценах 2000 года	5747,49
2009	в ценах 2000 года	5808,43
2010	в ценах 2000 года	5895,46

Показатели динамики по товарообороту 28 предприятий в ценах 2000 г. (базисные и цепные: абсолютный прирост, темп роста и прироста, абсолютное значение одного процента прироста):

Абсолютный прирост (А) определяется как разность между двумя уровнями динамического ряда и показывает, насколько данный уровень ряда превышает уровень, принятый за базу сравнения:

Абсолютный прирост базовым методом:

Абсолютный прирост цепным методом:

Коэффициент роста определяется как отношение двух сравниваемых уровней и показывает, во сколько раз данный уровень превышает уровень базисного периода.

Базовым методом:

K_i= y_i/ y₀

Цепным методом:

K_i= y_i/ y_i-1

Темп роста базовым методом рассчитывается в процентах как отношение текущего уровня к базовому уровню:

Темп роста цепным методом рассчитывается в процентах как отношение текущего уровня к предыдущему уровню:

Темп прироста вычисляется как для базового метода и для цепного метода.

Абсолютное значение одного процента прироста А_i рассчитывают как отношение абсолютного прироста к темпу прироста (в %) за тот же период времени.

Если преобразовать эту формулу, то получим следующее выражение:

А_i= 0,01 * y_i-1

Рассчитанные значения показателей динамики приведены в таблице ниже:

		Абсолютный прирост	темп роста	темп прироста
		цепной	базисный	базисный	цепной	цепной	базисный
2000	6487,12
2001	6692,19	205,07	205,07	1,0316	1,0316	0,0316	0,0316	64,87
2002	6611,26	-80,93	124,14	0,9879	1,0191	-0,0121	0,0191	66,92
2003	6411,22	-200,04	-75,9	0,9697	0,9883	-0,0303	-0,0117	66,11
2004	6506,77	95,55	19,65	1,0149	1,0030	0,0149	0,0030	64,11
2005	6613,5	106,73	126,38	1,0164	1,0195	0,0164	0,0195	65,07
2006	6280,82	-332,68	-206,3	0,9497	0,9682	-0,0503	-0,0318	66,14
2007	5760,57	-520,25	-726,55	0,9172	0,8880	-0,0828	-0,1120	62,81
2008	5747,49	-13,08	-739,63	0,9977	0,8860	-0,0023	-0,1140	57,61
2009	5808,43	60,94	-678,69	1,0106	0,8954	0,0106	-0,1046	57,47
2010	5895,46	87,03	-591,66	1,0150	0,9088	0,0150	-0,0912	58,08

4.1.2 Средние показатели динамики

Средний темп роста



Средний темп прироста равен

99-100 =-0,01%

Точечный прогноз товарооборота на 2011 г. по вычисленным средним показателям динамики. Вычислим линейную регрессию методом наименьших квадратов, чтобы построить точечный прогноз на 2011 г.

В случае линейной регрессии y(x) = ax + b можно сразу получить значения коэффициентов a и b по следующим формулам:

Составим вспомогательную таблицу для расчетов:

Годы (xi)	Товарооборот 28 предприятия, млн. руб. (yi)	xi2	xiyi
2000	6487,12	4000000	12974240
2001	6692,19	4004001	13391072,19
2002	6611,26	4008004	13235742,52
2003	6411,22	4012009	12841673,66
2004	6506,77	4016016	13039567,08
2005	6613,5	4020025	13260067,5
2006	6280,82	4024036	12599324,92
2007	5760,57	4028049	11561463,99
2008	5747,49	4032064	11540959,92
2009	5808,43	4036081	11669135,87
2010	5895,46	4040100	11849874,6
22055	68814,83	44220385	137963122,3

Таким образом, линейная функция, описывающая изменение среднего товарооборота со временем, будет выглядеть следующим образом:

y(x) = -96,47x + 199681,89

Подставим в это уравнение следующий год, чтобы получить точечный прогноз:

y(2011) = --96,472011 + 199681,89 =5677,06

Тренд методом скользящей средней

Метод скользящей средней заключается в следующем: формируются укрупненные интервалы, состоящие из одинакового числа уровней. Каждый последующий интервал получается, сдвигом от начального уровня ряда на один уровень. По укрупненным интервалам определяется средняя из уровней, входящих в каждый интервал. Для более чёткого выражения тенденции дополнительно рассчитывается сглаженная центрированием (простое среднее арифметическое двух соседних значений скользящей средней) скользящая средняя.

Составим расчетную таблицу. Для расчетов выбираем 5 уровней, так как прослеживается тенденция убывания, поэтому период лучше брать не слишком короткий.

Годы	товарооборот, млн. руб.	Сглаженная центрированием скользящая средняя
2000	6487,12	6541,712
2001	6692,19	6566,988
2002	6611,26	6484,714
2003	6411,22	6314,576
2004	6506,77	6181,83
2005	6613,5	6042,162
2006	6280,82	5898,554
2007	5760,57
2008	5747,49
2009	5808,43
2010	5895,46

6692,19 +6611,26+6411,22+6506,77+6613,5=32708,56

32708,56/5 =6541,712

Метод аналитического выравнивания

Построить трендовую модель и произвести интервальный прогноз величины среднего товарооборота на 2011 г. для соответствующей группы с вероятностью 0,950.

При исчислении этого метода фактические уровни ряда динамики заменяются теоретическими, вычисленными на основе уравнения определенной кривой, отражающей общую тенденцию развития явления.

Тенденцию развития обычно изображают кривой, параболой, гиперболой и прямой линией.

Рассмотрим в качестве линии тренда прямую.

Уравнение тренда имеет вид

y = ax + b

Найдем уравнение тренда методом наименьших квадратов.

Годы	товарооборот, млн. руб.	Yt= at+b
2000	6487,12	6738,253
2001	6692,19	6641,781
2002	6611,26	6545,309
2003	6411,22	6448,837
2004	6506,77	6352,365
2005	6613,5	6255,894
2006	6280,82	6159,422
2007	5760,57	6062,95
2008	5747,49	5966,478
2009	5808,43	5870,006
2010	5895,46	5773,535
2011

Уравнение прямой:

y = -96,47x + 199681,89

5. Базисные индексы товарооборота, цен и физического объема

Индекс физического объема продукции:

i_q = q₁ / q₀,

где q₁, q₀ - количество произведенной продукции в отчетном и базисном периодах.

Индекс цен:

i_p = p₁ / p₀,

где p₁, p₂ - цена единицы продукции в отчетном и базисном периодах.

Индекс товарооборота

i_pq = p₁q₁/p₀q₀,

где q1 , q0 - количество произведенной продукции в отчетном и базисном периодах, p1, p2 - цена единицы продукции в отчетном и базисном периодах.

Так как нам изначально дан товарооборот, то чтобы вычислить базисные индексы товарооборота, нужно разделить товарооборот отчетного года в ценах текущего периода на товарооборот 2000 г. в ценах текущего периода.

Чтобы вычислить индекс цен, нужно поделить товарооборот отчетного периода в текущих ценах на товарооборот отчетного периода в ценах 2000 г.

Чтобы вычислить индекс физического объема, необходимо поделить товарооборот отчетного периода в ценах 2000 г. на товарооборот базисного периода (2000 г.) в базисных ценах (2000 г.).

Рассчитанные данные приведены в таблице:

	Средний товарооборот, млн. руб.	Индекс товаро-оборота	Индекс физического объема	Индекс цен
Годы	в ценах текущего периода, piqi	в ценах 2000 года, p0qi
2000	7795,47	7795,47	1,000	p0q0/p0q0=q0/q0=	1	p0q0/p0q0=p0/p0=	1,055
2001	8168,04	7614,45	1,050	p0q1/p0q0=q1/q0=	1,032	p1q1/p0q1=p1/p0=	1,074
2002	8396,34	7302,29	1,119	p0q2/p0q0=q2/q0=	1,019	p2q2/p0q2=p2/p0=	1,159
2003	8715,82	7046,19	1,178	p0q3/p0q0=q3/q0=	0,988	p3q3/p0q3=p3/p0=	1,258
2004	9265,39	6965,48	1,287	p0q4/p0q0=q4/q0=	1,003	p4q4/p0q4=p4/p0=	1,354
2005	9831,72	6851,23	1,403	p0q5/p0q0=q5/q0=	1,019	p5q5/p0q5=p5/p0=	1,452
2006	10668,74	6944,17	1,440	p0q6/p0q0=q6/q0=	0,968	p6q6/p0q6=p6/p0=	1,570
2007	10996,50	6696,35	1,424	p0q7/p0q0=q7/q0=	0,888	p7q7/p0q7=p7/p0=	1,692
2008	11147,30	6354,55	1,531	p0q8/p0q0=q8/q0=	0,886	p8q8/p0q8=p8/p0=	1,823
2009	11664,90	6190,28	1,670	p0q9/p0q0=q9/q0=	0,895	p9q9/p0q9=p9/p0=	1,968
2010	12307,15	6086,31	1,825	p0q10/p0q0=q10/q0=	0,909	p10q10/p0q10=p10/p0	2,120

Выводы

В данной выборке были выделены группы с равными интервалами, в сгруппированной совокупности были проведены исследования показателей распределения и вариации, построены полигон, гистограмма и кумулята распределения предприятий по группам по товарообороту.

Наибольшее число предприятий попало в вторую группу группу, изменения. Так как коэффициент вариации меньше 33%, совокупность можно считать однородной. Исходя из проведенного анализа выборочной совокупности, можно сделать вывод, что товарооборот с каждым годом неуклонно снижается, компонентом, влияющим на снижение товарооборота, является объём выпускаемой продукции, так как очевидна тенденция к понижению. Различные методы прогноза и построения трендовых кривых подтверждаются и расчетами базисных индексов.

Размещено на Allbest.ru

...