Основы экономической статистики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического X, среднеквадратичного отклонения Sx, и определением суммарной погрешности измерения в виде доверительного интервала - ±УДРд.

Цена деления прибора С, мм 0,010

Результаты измерений, мм

1	60,110	11	60,130	21	60,070	31	60,050	41	60,130
2	60,130	12	60,230	22	60,170	32	60,100	42	60,090
3	60,070	13	60,110	23	60,060	33	60,040	43	60,150
4	60,110	14	60,050	24	60,130	34	59,990	44	60,110
5	60,030	15	60,170	25	60,110	35	60,130	45	60,090
6	60,090	16	60,150	26	60,090	36	60,101	46	60,070
7	60,050	17	59,970	27	60,110	37	60,210	47	60,170
8	60,150	18	60,190	28	60,120	38	60,110	48	60,110
9	60,130	19	60,090	29	60,080	39	60,130	49	60,150
10	60,090	20	60,070	30	60,100	40	60,070	50	60,150

Доверительная вероятность Рд = 0,97 - показывает вероятность нахождения истинного значения в рассчитанном интервале.

Уровень значимости q = 0,05 - показывающий, что принятый закон рассеивания размеров не будет соответствовать реальному закону.

Сортируем значения по возрастанию:

1	59,97	11	60,07	21	60,1	31	60,11	41	60,15
2	59,99	12	60,07	22	60,1	32	60,12	42	60,15
3	60,03	13	60,07	23	60,1	33	60,13	43	60,15
4	60,04	14	60,07	24	60,11	34	60,13	44	60,15
5	60,05	15	60,08	25	60,11	35	60,13	45	60,17
6	60,05	16	60,09	26	60,11	36	60,13	46	60,17
7	60,05	17	60,09	27	60,11	37	60,13	47	60,17
8	60,06	18	60,09	28	60,11	38	60,13	48	60,19
9	60,07	19	60,09	29	60,11	39	60,13	49	60,21
10	60,07	20	60,09	30	60,11	40	60,15	50	60,23

1. Построение гистограммы

Определяем величину размаха R (поле рассеяния):

R = X_max - X_min=60,23-59,97=0,26

X_max = 60,23 - наибольшее из измеренных значений

X_min = 59,97 - наименьшее из измеренных значений

R = X_max - X_min = 0026 (мм).

Определяем число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями:

n ===7,07?7.

Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным.

Принимаем n = 7.

Определяем ширину интервала h:

h ===0,037

Определяем границы интервалов X_min - X_max

1 интервал: X_min1 - X_max1

X_min1 = X_min=59,97 мм

X_max1 = X_min1 + h = 59,97+0,037=60,007 ? 60,01 мм

2 интервал: X_min2 - X_max2

X_min2 = X_max1 = 63,007 ? 60,01 (мм)

X_max2 = X_min2 + h = 60,044 ? 60,04 (мм)

3 интервал: X_min3 - _Xmax3

X_min3 = X_max2 = 60,04 (мм)

X_max3 = X_min3 + h = 60,081?60,08 (мм)

4 интервал: X_min4 - X_max4

X_min4 = X_max3 = 60,08 (мм)

X_max4 = X_min4 + h = 60,118 ? 60,12 (мм)

5 интервал: X_min5 - X_max5

X_min5 = X_max4 = 60,012 (мм)

X_max5 = X_min5 + h = 60,155 ? 60,16 (мм)

6 интервал: X_min6 - X_max6

X_min6 = X_max5 = 60,16 (мм)

X_max6 = X_min6 + h = 60,0192 ? 60,192 (мм)

7 интервал: X_min7 - X_max7

X_min7 = X_max6 = 60,019 (мм)

X_max7 = X_min7 + h = 60,0229?60,023 (мм)

Определяем середины интервалов X_oi

1 интервал:

X_o1 = X_min1 + = 59,97 + = 59,981 (мм)

2 интервал:

X_o2 = X_min2 + = 60,01+ = 60,0 (мм)

3 интервал:

X_o3 = X_min3 + = 60,044+ = 60,08 (мм)

4 интервал:

X_o4 = X_min4 + = 60,08+ = 60,12 (мм)

5 интервал:

X_o5 = X_min5 + = 60,12+ = 60,16 (мм)

6 интервал:

X_o6 = X_min6 + = 60,16+ = 60,19 (мм)

7 интервал:

X_o7 = X_min7 + = 60,19+ = 60,23 (мм)

Определение количества размеров попадающих в каждый интервал m_i.

Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)

Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу

Номер интервала	Границы интервала	Середина интервала Xoi (ММ)	Число размеров в интервале, mi
	Xmin (мм)	Xmax (мм)
1	59,97	60,01	59,99	2	0,04
2	60,01	60,04	60,03	2	0,04
3	60,04	60,08	60,06	11	0,22
4	60,08	60,12	60,10	17	0,34
5	60,12	60,16	60,14	12	0,24
6	60,16	60,19	60,18	4	0,08
7	60,19	60,23	60,21	2	0,04

Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:



2. Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения

При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:

,

где N_oi - теоретическая частота попадания в интервал.

Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:

ц(z) - плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;

у_x - среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.

Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (у_x ? S_x) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:

В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:

После подстановки 63,01014? 63,0101 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО: S_x=0,04939 ? 0,05 мм.

Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал N_oi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале. Эту величину можно определить по формуле:

Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле:



Для 1 интервала:

Z_o1 = -2,115 ? (-2,12),

что соответствует величине ц(z) = 0,42166

Для 2 интервала:

Z_o2 = -1,4326 ? (-1,44),

что соответствует величине ц(z) = 0,14146

Для 3 интервала:

Z_o3 = -0,721269 ? (-0,72),

что соответствует величине ц(z) = 0,307851

Для 4 интервала:

Z_o4 = -0,01

что соответствует величине ц(z) = 0,398922

Для 5 интервала:

Z_o5 = 0,7019 ? 0,71,

что соответствует величине ц(z) = 0,310060

Для 6 интервала:

Z_o6 = 1,4135 ? 1,41,

что соответствует величине ц(z) = 0,147639

Для 7 интервала:

Z_o7 = 2,125 ? 2,13,

что соответствует величине ц(z) = 0,41280

Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала N_oi.

Для 1 интервала:

N_o1 =1,23

Для 2 интервала:

N_o2 =5,31

Для 3 интервала:

N_o3 =10,46

Для 4 интервала:

N_o4 =14,75

Для 5 интервала:

N_o5 = 10,97

Для 6 интервала:

N_o6 =4,30

Для 7 интервала:

N_o7 = 1,4

На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:

№ интервала	Фактическая чистота	Теоретическая чистота
1	0,04	0,025
2	0,04	0,106
3	0,22	0,209
4	0,34	0,295
5	0,24	0,219
6	0,08	0,086
7	0,04	0,028

Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра хи-квадрат:



№ интервала	Фактическая чистота	Теоретическая чистота
1	0,04	0,025	0,015	0,000225	0,009
2	0,04	0,106	-0,066	0,004356	0,041094
3	0,22	0,209	0,019	0,000361	0,001796
4	0,34	0,295	0,045	0,002025	0,006864
5	0,24	0,219	0,021	0,000441	0,002014
6	0,08	0,086	-0,006	3,6E-05	0,000419
7	0,04	0,028	0,012	0,000144	0,005143

Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие:

где - теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).

Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:

- уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут.

В нашем случае, в соответствии с заданием, q = 0,05;

- числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r. Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами - СКО и МО (математическим ожиданием). Число степеней свободы определяется по формуле:

Таким образом, табличное значение .

3. Определение доверительного интервала рассеивания случайных погрешностей вокруг среднего значения

В доверительном интервале, который предстоит найти с вероятностью Р_д, должно находится истинное значение измеряемой величины.

Доверительные границы случайной погрешности находятся по формуле:

где - оценка СКО среднего арифметического значения, которая определяется по формуле:

Если условие выполняется, то гипотеза о совпадении экспериментального и выбранного теоретического (нормального) распределения принимается (она не противоречит данным).

Так как по условию Рд = 0,85, то значение функции Лапласа:

F(Zp) = 0,97

Из таблицы определяем величину нормированного параметра Zp, которая соответствует данному значению функции Лапласа Zp = 2,18.

Таким образом, доверительный интервал случайной ошибки:

Перед определением суммарной погрешности определим ее постоянные неисключенные составляющие.

Постоянные неисключенные составляющие:

- погрешность снятия показаний со шкалы (принимается равной цене деления шкалы прибора):

мм,

где С = 0,010 мм - цена деления шкалы прибора;

- систематическая неисключенная погрешность округления результата:

- неисключенная погрешность прибора (условно принимается равной цене деления шкалы прибора:

Суммирование частных постоянных погрешностей измерения производится по двум формулам:

где k - поправочный коэффициент, зависящий от числа слагаемых погрешностей и доверительной вероятности. В нашем случае k = 1,2

Тогда

Для дальнейшего расчета принимаем (выбирается наибольшее значение).

В качестве общей случайной погрешности принимаем величину доверительного интервала, полученную из экспериментов по замерам параметра:

Определение суммарной погрешности измерения:

равноточный погрешность выборка отклонение

В качестве окончательного результата принимаем большее значение.

Результат в общем виде: 60,01±0,03.

Размещено на Allbest.ru

...