Статистические методы анализа корреляционных связей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Статистические методы анализа корреляционных связей

1. Виды связи между признаками явлений

Все социально-экономические явления взаимосвязанные и взаимообусловленные и связь между ними носит причинно-следственный характер. Суть причинной связи заключается в том, что при необходимых условиях одно явление предопределяет другое и в результате такого взаимодействия возникает следствие.

Изучение механизма рыночных связей, взаимодействия спроса и предложения, влияние объема и состава предложения товаров на объем и структуру товарообороту, формирование товарных запасов, прибыли и других качественных показателей имеет первостепенное значение для прогнозирования конъюнктуры рынка и решение многих вопросов успешного ведения бизнеса.

Изучая закономерности связи, причины и условия, которые их характеризуют, объединяют у понятие фактора. Тогда признаки, которые есть причинами и условиями связи, называются факторными х, а те, что изменяются под влиянием факторных признаков - результативными у.

Между признаками х и у существуют разные за природой и характером виды связи: функциональные и стохастические.

При функциональной связи между факторным и результативным признаками каждому значению признака х отвечает одно четко определенное значение признака у. Такие связи чаще всего изучаются в математическом анализе и используются для установления количественных соотношений в точных и прикладных науках Функциональные связи между признаками изучаются в экономике с помощью индексного метода.

При стохастической связи каждому отдельному значению факторного признака х отвечает определенное множество значений результативного признака у. Такая связь предполагает условное распределение признаков, которые варьирует. Связи такого вида называют еще статистическими, вероятными.

Подвидом стохастической связи является корреляционная зависимость, которая предопределяет корреляционная связь между признаками. При такой зависимости с изменением факторного признака х изменяются групповые средние результативного признака у и вместо условных распределений множеств значений признака у выступают средние значения этих распределений . Таким образом, между признаками х и у существует корреляционная зависимость, когда средняя величина одной из них изменяется в зависимости от значения другой.

Корреляционная связь между признаками х и у записывается в виде уравнения корреляционной связи, или уравнение регрессии:

Y=f(x), (1)

где f(x) - определенный вид функции корреляционной связи, которая описывает линию регрессии.

Определение корреляционной связи между признаками (1) занимает значительное место в исследованиях социально-экономических явлений в экономике и управлении. Содержание такой связи определяет теория корреляции.

В основе теории корреляции лежит корреляционно-регрессионный анализ (КРА), суть которого состоит в выборе вида уравнения регрессии (1), исчислении его параметров и установлении адекватности (соответствия) теоретической зависимости (1) фактическим данным. Наличие такой теоретической зависимости значительно облегчает анализ экономических явлений, дает возможность установления прогноза на будущее.

Подробно вопрос применения КРА, границ его использования и характеристика других методов исследования связи между признаками экономических явлений будут рассмотрены в дисциплине «Эконометрия».

2. Регрессионный анализ

Изучение корреляционной связи между признаками начинается из регрессионного анализа, который решает проблему установления формы связи, или вида уравнения регрессии, и определение параметров уравнения регрессии.

В регрессионном анализе различают уравнение парной (простой) и множественной (многофакторной) регрессии. Когда связь с результативным признаком у осуществляется с одним видом факторного признака х, то уравнение регрессии (1) имеет название уравнения парной регрессии. Если результативный признак у связан с несколькими видами факторных признаков х_j (j=1, 2, …, m), то такая зависимость имеет название уравнения множественной регрессии. Ограничимся рассмотрением уравнений парной регрессии, как наиболее простого случая связи между признаками, который достаточно широко используется в статистической практике исследования экономических явлений.

Наиболее часто для характеристики корреляционной связи между признаками используют такие виды уравнений парной регрессии, или корреляционных уравнений:

а) линейное Y = a₀ + a₁x; (2)

б) параболическое Y = a₀ + a₁x²; (3)

в) гиперболический Y = a₀ + a₁; (4)

г) степенное Y = a₀, (5)

где а_о, а₁ - параметры уравнений регрессии, которые подлежат определению.

Уравнение (2) є линейным относительно факторного признака х и линия регрессии, которая отвечает функции такого вида, будет прямой; уравнение (3) - (5) - нелинейные и линии регрессии будут параболой (3), гиперболой (4), степенная линии (5). Соответствующим преобразованием нелинейные уравнения можно свести к линейной форме, так как классическая теория корреляции есть по своей сути линейной.

Параметры a_j (j= 1-т) в уравнениях регрессии определяются методом наименьших квадратов.

В случае линейного вида уравнения регрессии (2), который отвечает линейной зависимости между признаками, система нормальных уравнений записывается в виде:

(6)

где п - количество единиц совокупности (т.е. заданных пар значений х і у).

Решив эту систему, находим такие значения параметров а_о и а₁.

или (7)

где - средняя из произведения факторного признака на результативную; ² - средняя из суммы квадратов факторного признака; ()² - квадрат средней из факторного признака.

Используя уравнение регрессии (1), можно найти теоретическое значение Y для любого значения факторного признака х.

В уравнении регрессии параметр а_о экономического содержания не имеет, а геометрически он отвечает значению ординаты линий регрессии Y при х=0. Параметр а₁ называется коэффициентом регрессии и показывает изменение результативного признака Y при изменении факторного признака х на единицу; геометрически параметр а₁ отвечает углу наклона (в радианах) прямой линии регрессии к горизонтальной оси.

Для оценки влияния факторного признака на результативный может рассчитываться коэффициент эластичности в среднем для всей совокупности

K_e = (8)

где - средние величины фактических данных соответственно за факторным и результативным признаками в целом для совокупности.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменится результативный признак при изменении факторного признака на 1%.

3. Корреляционный анализ

После выбора вида уравнения регрессии и нахождение его параметров начинают второй этап КРА - корреляционный анализ, в рамках которого дают оценку тесноты (плотности) и значимости (существенности) связи.

У понятие «теснота связи» вкладывается оценка влияния факторного признака на результативный и установление адекватности теоретической зависимости между признаками фактических данных. Тесноту связи между признаками оценивают с помощью таких характеристик: коэффициент детерминации; коэффициент корреляции (корреляционное отношение) и др.

Коэффициент детерминации показывает, в какой мере вариация результативного признака Y определяется вариацией факторного признака х. Он используется как при линейной, так и при нелинейной связи между признаками и в случае парной регрессии рассчитывается за формулой:

 (9)

Коэффициент детерминации принимает значение от 0 до 1. Чем ближе R² к единице, тем теснее связь между признаками; при R²=0 отсутствующая линейная связь между признаками, при R²=1 не существует корреляционной связи между признаками.

Коэффициент корреляции (корреляционное отношение) показывает, насколько значительным есть влияние признака х на Y. Коэффициент корреляции рассчитывается за формулой:

(10)

Он находится в диапазоне 0<R<1; чем ближе R к единице, тем теснее корреляционная связь между признаками.

Иногда коэффициент корреляции (корреляционное отношение) рассчитывают за формулой, которую можно подать в виде:

(11)

В случае линейной связи между Y и х показатель линейного коэффициента корреляции определяется по формуле:

(12)

Значение r лежит в диапазоне -1<r<+1. При r=0 признака не могут иметь линейной корреляционной связи. Степень тесноты их линейной зависимости возрастает при приближении к ±1. Когда r>0, то связь между признаками прямой (при росте х возрастает Y), при r<0 - обратный (при росте х уменьшается Y).

После установления тесноты связи дают оценку значимости связи между признаками. Под термином «значимость связи» понимают оценку отклонения выборочных переменных от своих значений в генеральной совокупности с помощью статистических критериев. Оценку значимости связи осуществляют с использованием F-критерия Фішера и t-критерия Стьюдента. Для парной регрессии (линейной и нелинейной) F-критерий Фишера рассчитывается за формулой:

(13)

где 1, (n-2) - число степеней вольности (свободы) числителя и знаменателя зависимости.

Под термином «степень вольности» понимают целое число, которое показывает, сколько независимых элементов информации в переменных у нужно для суммы квадратов. Это объясняет соответствующую дисперсию: общую (²), межгрупповую (²), среднюю из групповых .

Теоретическое значение F сравнивают с табличным (критическим) значением F_maб. Последнее выбирают из справочных математических таблиц F-критерия Фишера в зависимости от степеней вольности 1, (n-2) и принятого уровня значимости . Если F>F_ma6, то выборочная совокупность и связь между признаками есть значительным.

Для парной линейной регрессии при r=R расчетные значения t-критерия Стьюдента исчисляется по формуле

(14)

где (n-2) - число степеней вольности.

Критерий Ст'ьюдента за данной формулой дает оценку значимости коэффициента корреляции R и существенности связи между признаками.

Рассчитанное за формулой (14) теоретическое значение t-критерия Ст'юдента сравнивают с табличным t_ma6 для соответствующего числа степеней вольности (n-2) и принятого уровня значимости . Табличное значений критерия Ст'юдента выбирается из справочных математических таблиц. Если t> t_ma6, то линейный коэффициент корреляции определяется значимым при характеристике генеральной совокупности.

регрессия парный фишер корреляционный

Размещено на Allbest.ru