Прогнозирование показателей с помощью уравнений линейной регрессии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Факультет: финансово-кредитный

Контрольная работа

по предмету «Эконометрика»

Работа выполнена: Изосимовой И.Г.

3 курс, группа №2

Преподаватель: Прокофьев О.В.

Пенза 2011 г.



Задача

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (, млн. руб.) от объема капиталовложений (, млн. руб.)

Требуется:

Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

Проверить выполнение предпосылок МНК.

Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

Составить уравнения нелинейной регрессии:

· гиперболической;

· степенной;

· показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Х	72	52	73	74	76	79	54	68	73	64
Y	121	84	119	117	129	128	102	111	112	98

Решение

1. Найдем параметры уравнения линейной регрессии, дадим экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

Значения параметров а и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1.1.

1,404

112,1-(1,40398768,5) = 15,93

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

=15,93+1,404*x.

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции увеличиться в среднем на 1,404 млн. руб. Это свидетельствует об эффективности работы предприятия.

2. Вычислим остатки; найдем остаточную сумму квадратов; оценим дисперсию остатков ; построим график остатков.

Остатки см табл 1.1 столбец

Остаточная сумма квадратов

= 297,59

Дисперсия остатков

37,1985

График остатков

3. Проверим выполнение предпосылок МНК

Проверка выполнения предпосылок МНК выполняется на основе анализа остаточной компоненты.

· случайный характер остатков

· нулевая средняя величина остатков, не зависящая от от x_i

· гомоскедастичность - дисперсия каждого отклонения e_i одинакова для всех значений x

· отсутствие автокорреляции остатков

· остатки подчиняются нормальному распределению

· случайный характер остатков

Для простейшей визуальной проверки строится график зависимости остатков e_i от теоретических значений результативного признака y

Остатки расположены внутри симметричной огибаемой горизонтальной полосы.

На графике остатки расположены случайным образом, значит остатки e_i представляют собой случайные величины и МНК оправдан.

Для проверки с помощью критерия поворотных точек строится график е(х) (используются отсортированные значения Х в порядке возрастания).

Найдём колличество поворотных точек

Для этого отсортируем в порядке возрастания величины х.

Данные для нахождения поворотных точек

x		поворотные точки
52	-4,94
54	10,25	1
64	-7,79	1
68	-0,4	0
72	3,98	1
73	0,58	0
73	-6,42	1
74	-2,83	0
76	6,37	1
79	1,15

Количество поворотных точек р=5.

Критическое число при n=10 равно 2.

Р>2, предпосылка о случайном характере остатков выполняется.

· нулевая средняя величина остатков, не зависящая от от x_i

Для простейшей визуальной проверки используется ранее построенный график е(х) зависимости остатков e_i от факторов, включенных в регрессию x_i.

Остатки на графике расположены случайным образом внутри симметричной горизонтальной полосы, значит их математическое ожидание не зависит от x_i.

Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки соответствующей нулевой гипотезы H_0: . С этой целью строится t-статистика

, где _.

t= 0 26228139 (б = 0,05; н=n-1=9) гипотеза принимается.

t-статистика		-0,92
t крит 0,05		2,228
t	ei=yi-yi^	(ei-ei cp)^2
1	3,986047	15,88857
2	-4,93422	24,34652
3	0,58206	0,338794
4	-2,82193	7,963271
5	6,3701	40,57817
6	1,15814	1,341287
7	10,25781	105,2226
8	-0,39801	0,158409
9	-6,41794	41,18996
10	-7,78206	60,56045
Сумма	5,68*10-14	297,588
Среднее	5,68*10-15

· гомоскедастичность - дисперсия каждого отклонения e_i одинакова для всех значений x

Коэфф. Спирмена

где

r(x) - ранг х (порядковый номер х по возрастанию)

r(e) - порядковый номер остатка по возрастанию.

Связь ниже среднего (по коэффициенту Спирмена -0,35152).

t-статистика



это меньше t Крит, следовательно гипотеза об отсутствии гетероскедастичности при пятипроцентном уровне значимости принимается.

К проверке предпосылки МНК №3 по тесту Спирмена:

r(x)	r(e)	r(x)-r(e)	(r(x)-r(e))^2
5	5	0	0
1	6	-5	25
6	2	4	16
8	4	4	16
9	7	2	4
10	3	7	49
2	10	-8	64
4	1	3	9
6	8	-2	4
3	9	-6	36
Сумма			223
Коэфф. Спирмена	-0,35152
t-статистика	-1,06201
t крит 0,05	2,306004

Гомоскедастичность присутствует

Независимость остатков проверяется с помощью критерия Дарбина - Уотсона.

dw==1,571623

Верхние (d₂=1,36) и нижние (d₁=1,08) критические значения, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции, зависят от количества уровней динамического ряда и числа независимых переменных модели.

Если 0<d<d1, то уровни автокоррелированы, то есть зависимы, модель неадекватна.

Если d1<d<d2, то критерий Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков. В таком случае необходимо воспользоваться другими критериями (например, проверить независимость уровней по первому коэффициенту автокорреляции).

Если d2<d<2 , то уровни ряда остатков являются независимыми.

В нашем случае 1,36<1,57<2 уровни ряда остатков являются независимыми.

Проверка нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими уровнями (2,67; 3,685);

Рассчитаем значение RS: RS = (E_max - E_min)/ S,

где E_min - максимальное значение уровней ряда остатков E(t);

E_max - минимальное значение уровней ряда остатков E(t)

S - среднее квадратическое отклонение.

Emax = 10,257

Emin = -7,79

Emax-Emin = 18,047

S = 5,750

RS = 3,139

Так как 2,67<3,139<3,685, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Таким образом, предпосылки МНК выполняются.

4. Осуществим проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t-критерия (t-статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:

= 1,037473 < 2,306004

= =6,314711 >2,306004

Затем расчетные значения сравниваются с табличными t_табл= 2,306004. Табличное значение критерия определяется при (n-2) степенях свободы (n - число наблюдений) и соответствующем уровне значимости (0,05)

Если расчетное значение t-критерия с (n - 2) степенями свободы превосходит его табличное значение при заданном уровне значимости, коэффициент регрессии считается значимым.

В нашем случае коэффициент a регрессии незначим, коэффициент b регрессии значим.

5. Вычислим коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Определим линейный коэффициент парной корреляции по формуле

==0,912634

Рассчитаем коэффициент детерминации:

0,83

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83 % объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений). Качество модели в целом высокое.

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:

39,0588

F>F_табл.=5,318 для б=0,05; k₁=m=1; k₂=n-m-1=10-1-1=8

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к. F > F_табл.

Определим среднюю относительную ошибку:

4,2

В среднем расчетные значения у для линейной модели отличаются от фактических значений на 4,2%

Точность модели высокая. Качество модели в целом высокое.

6. Осуществим прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80 % от его максимального значения.

Прогнозное значение показателя, если прогнозное значение фактора составит 80 % от его максимального значения =0,8 * 79 = 63,2 составит

= 15,93 + 1,404 * 63,2 = 104,66

Интервальный прогноз:

= 6,099

для 10 - 2 =8 степеней свободы и уровня значимости 0,1 равно 1,859. линейный регрессия прогнозный аппроксимация

Тогда



7. Представим графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

8. Составим уравнения нелинейной регрессии:

· гиперболической;

· степенной;

· показательной.

Приведем графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найдем коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравним модели по этим характеристикам и сделаем вывод.

Построение степенной модели парной регрессии

Уравнение степенной модели имеет вид:.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg = lg a + b lg x

	Факт Y(t)	lg(Y)	Переменная X(t)	lg(X)
1	121	2,082785	72	1,857332
2	84	1,924279	52	1,716003
3	119	2,075547	73	1,863323
4	117	2,068186	74	1,869232
5	129	2,11059	76	1,880814
6	128	2,10721	79	1,897627
7	102	2,0086	54	1,732394
8	111	2,045323	68	1,832509
9	112	2,049218	73	1,863323
10	98	1,991226	64	1,80618
итого	1121	20,46296	685	18,31874
сред знач	112,1	2,046296	68,5	1,831874

Обозначим . Тогда уравнение примет вид: Y=А + b X -- линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.2.

0,841304

2,046296-0,841304* 1,831874 = 0,505134

Уравнение регрессии будет иметь вид:

Y=0,505134+0,841304X.

Перейдем к исходным переменным ли у, выполнив потенцирование данного уравнения.

Получим уравнение степенной модели регрессии:



Определим индекс корреляции:

Связь между показателем у и фактором х достаточно сильная.

Коэффициент детерминации равен 0,83

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83,% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Средняя относительная ошибка

4,25 %

Точность модели высокая, тк. 4,2 > 5

В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 4,25.

Построение показательной функции

Уравнение показательной кривой: у =ab^x . Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:

lg = lg a + х lg b

Обозначим: Y = lg , В = lg b, A = lg a. Получим линейное уравнение регрессии: Y = А + В х. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.3

0,005745

2,046296-(0,005745 1,652788

Уравнение будет иметь вид: Y=1,652788+0,005745*X Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения:

44,978*1,014^x

Определим индекс корреляции:

0,91733

Связь между показателем у и фактором x: сильная.

Коэффициент детерминации: R² = 0,84

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 84% объясняется вариацией фактора X(объемом капиталовложений). Качество модели в целом высокое.

Рассчитаем F-критерий Фишера:

F >F _табл Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое,

Средняя относительная ошибка

4.090042

Точная модель

В среднем расчетные значения для показательной модели отличаются от фактических значений на 4,09%.

Построение гиперболической функции

Уравнение гиперболической функции: у = а + b/х. Произведем линеаризацию модели путем замены Х= 1/х. В результате получим линейное уравнение у = а + b X. Рассчитаем его параметры

-5558

112,10+(5558*0,0149)= 194,74

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

194,74-5558/x

Определим индекс корреляции:

=0,8961

Связь между показателем у и фактором х сильная.

Коэффициент детерминации равен 0,80

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 80% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерий Фишера:

=32

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. Fтабл.> Fрасч.

Качество модели высокое.

4,64%

Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов.

Таблица

Параметры Модель	Коэффициент детерминации R2	Средняя относительная ошибка Eотн
Линейная	0,8329	4,20
Степенная	0,830805	4,252276
Показательная	0,841494	4,090042
Гиперболическая	0,80	4,64

Все модели имеют примерно одинаковые характеристики, но большее значение коэффициента детерминации R² и меньшее значение относительной ошибка E_отн имеет показательная модель. Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза

Приведем данные по средней эластичности для различных моделей (для значений )



	=0,857922
	68,5*ln1,013315 = 0,906087
	=0,841304

Там, где Э больше, то показательная модель наиболее чувствительна к изменению фактора в середине диапазона значений. Т.о., результирующий признак у изменяется на 0,9 %при изменении x на 1%

Размещено на Allbest.ru

...