Методы статистики

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

В современном обществе статистика стала одним из важнейших инструментов управления национальной экономики. Понятие любого управленческого решения требует предварительного анализа имеющейся ситуации, основывается на просчете вариантов развития, сравнении этих вариантов, оценке точности прогнозов, вероятности ошибок. Методическую базу для решения этих вопросов представляет статистика. Главной ее задачей является исчисление и анализ статистических показателей, благодаря чему управляющие органы получают всестороннюю характеристику объекта, будь то вся национальная экономика или отдельные ее отрасли, предприятия и их подразделения.

Полная и достоверная статистическая информация является тем необходимым основанием, на котором базируется процесс управления экономикой. Вся информация, имеющая народнохозяйственную значимость, в конечном счете, обрабатывается и анализируется с помощью статистики.

Именно статистические данные позволяют определить объемы валового внутреннего продукта и национального дохода, выявить основные тенденции развития отраслей экономики, оценить уровень инфляции, проанализировать состояние финансовых и товарных рынков, исследовать уровень жизни населения и другие социально-экономические явления и процессы.

Овладение статистической методологией - одно из условий познания конъюнктуры рынка, изучения тенденций и прогнозирования, принятия оптимальных решений на всех уровнях деятельности.

Сложной, трудоемкой и ответственной является заключительная, аналитическая стадия исследования. На этой стадии рассчитываются средние показатели и показатели распределения, анализируется структура совокупности, исследуется динамика и взаимосвязь между изучаемыми явлениями и процессами. На всех стадиях исследования статистика использует различные методы. Методы статистики - это особые приемы и способы изучения массовых общественных явлений.



1. Основные понятия о рядах динамики

Ряды динамики - статистические данные, отображающие развитие во времени изучаемого явления . Их также называют динамическими рядами , временными рядами .

В каждом ряду динамики имеется два основных элемента :

1) показатель времени t ;

2) соответствующие им уровни развития изучаемого явления y;

В качестве показаний времени в рядах динамики выступают либо определенные даты (моменты), либо отдельные периоды (годы , кварталы, месяцы, сутки).

Уровни рядов динамики отображают количественную оценку (меру) развития во времени изучаемого явления . Они могут выражаться абсолютными , относительными или средними величинами .

Ряды динамики различаются по следующим признакам :

1) По времени . В зависимости от характера изучаемого явления уровни рядов динамики могут относиться или к определенным датам (моментам) времени, или к отдельным периодам . В соответствии с этим ряды динамики подразделяются на моментные и интервальные .

Моментные ряды динамики отображают состояние изучаемых явлений на определенные даты (моменты) времени.

Особенностью моментного ряда динамики является то , что в его уровни могут входить одни и те же единицы изучаемой совокупности . Хотя и в моментном ряду есть интервалы - промежутки между соседними в ряду датами , -- величина того или иного конкретного уровня не зависит от продолжительности периода между двумя датами . Так , основная часть персонала магазина , составляющая списочную численность на 1.01.1991 , продолжающая работать в течение данного года , отображена в уровнях последующих периодов . Поэтому при суммировании уровней моментного ряда может возникнуть повторный счет .

Посредством моментных рядов динамики в торговле изучаются товарные запасы, состояние кадров, количество оборудования и других показателей, отображающих состояние изучаемых явлений на отдельные даты (моменты) времени.

Интервальные ряды динамики отражают итоги развития (функционирования) изучаемых явлений за отдельные периоды (интервалы) времени .

Каждый уровень интервального ряда уже представляет собой сумму уровней за более короткие промежутки времени . При этом единица совокупности , входящая в состав одного уровня , не входит в состав других уровней .

Особенностью интервального ряда динамики является то , что каждый его уровень складывается из данных за более короткие интервалы (субпериоды) времени . Например , суммируя товарооборот за первые три месяца года , получают его объем за I квартал , а суммируя товарооборот за четыре квартала , получают его величину за год , и т. д. При прочих равных условиях уровень интервального ряда тем больше , чем больше длина интервала , к которому этот уровень относится .

Свойство суммирования уровней за последовательные интервалы времени позволяет получить ряды динамики более укрупненных периодов.

Посредством интервальных рядов динамики в торговле изучают изменения во времени поступления и реализации товаров , суммы издержек обращения и других показателей , отображающих итоги функционирования изучаемого явления за отдельные периоды .

2. Структура ряда динамики

Всякий ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих:

1) тренд - основная тенденция развития динамического ряда ( к увеличению или снижению его уровней) ;

2) циклические (периодические колебания , в том числе сезонные);

3) случайные колебания.

Методы сглаживания и выравнивания динамических рядов.

Исключение случайных колебаний значений уровней ряда осуществляется с помощью нахождения «усредненных» значений. Способы устранения случайных факторов делятся на две больше группы:

1. Способы «механического» сглаживания колебаний путем усреднения значений ряда относительно других, расположенных рядом, уровней ряда.

2. Способы «аналитического» выравнивания, т. е. определения сначала функционального выражения тенденции ряда, а затем новых, расчетных значений ряда. ряд динамика сглаживание выравнивание

3. Методы «механического» сглаживания

Сюда относятся:

а. Метод усреднения по двум половинам ряда, когда ряд делится на две части. Затем, рассчитываются два значения средних уровней ряда, по которым графически определяется тенденция ряда. Очевидно, что такой тренд не достаточно полно отражает основную закономерность развития явления.

б. Метод укрупнения интервалов, при котором производится увеличение протяженности временных промежутков, и рассчитываются новые значения уровней ряда.

в. Метод скользящей средней. Данный метод применяется для характеристики тенденции развития исследуемой статистической совокупности и основан на расчете средних уровней ряда за определенный период. Последовательность определения скользящей средней:

- устанавливается интервал сглаживания или число входящих в него уровней. Если при расчете средней учитываются три уровня, скользящая средняя называется трехчленной, пять уровней - пятичленной и т.д. Если сглаживаются мелкие, беспорядочные колебания уровней в ряду динамики, то интервал (число скользящей средней) увеличивают. Если волны следует сохранить, число членов уменьшают.

- Исчисляют первый средний уровень по арифметической простой:

y1 = Sy1/m, где

y1 - I-ый уровень ряда;

m - членность скользящей средней.

- первый уровень отбрасывают, а в исчисление средней включают уровень, следующий за последним уровнем, участвующем в первом расчете. Процесс продолжается до тех пор, пока в расчет y будет включен последний уровень исследуемого ряда динамики yn.

- по ряду динамики, построенному из средних уровней, выявляют общую тенденцию развития явления.

Отрицательной стороной использования метода скользящей средней является образование сдвигов в колебаниях уровней ряда, обусловленных «скольжением» интервалов укрупнения. Сглаживание с помощью скользящей средней может привести к появлению «обратных» колебаний, когда выпуклая «волна» заменяется на вогнутую.

В последнее время стала рассчитываться адаптивная скользящая средняя. Ее отличие состоит в том, что среднее значение признака, рассчитываемое также как описано выше, относится не к середине ряда, а к последнему промежутку времени в интервале укрупнения. Причем предполагается, что адаптивная средняя зависит от предыдущего уровня в меньшей степени, чем от текущего. То есть., чем больше промежутков времени между уровнем ряда и средним значением, тем меньшее влияние оказывает значение этого уровня ряда на величину средней.

г. Метод экспоненциальной средней. Экспоненциальная средняя - это адаптивная скользящая средняя, рассчитанная с применением весов, зависящих от степени «удаленности» отдельных уровней ряда от среднего значения. Величина веса убывает по мере удаления уровня по хронологической прямой от среднего значения в соответствии с экспоненциальной функцией, поэтому такая средняя называется экспоненциальной. На практике применяется многократное экспоненциальное сглаживания ряда динамики, которое используется для прогнозирования развития явления.

Вывод: способы, включенные в первую группу, ввиду применяемых методик расчета предоставляют исследователю очень упрощенное, неточное, представление о тенденции в ряду динамики. Однако корректное применение этих способов требует от исследователя глубины знаний о динамике различных социально - экономических явлений.

4. Методы «аналитического» выравнивания

Более точным способом отображения тенденции динамического ряда является аналитическое выравнивание, т. е. выравнивание с помощью аналитических формул. В этом случае динамический ряд выражается в виде функции у (t), в которой в качестве основного фактора принимается время t, и изменения аргумента функции определяют расчетные значения уt.

Фактическими (или эмпирическими) уровнями ряда динамики называют исходные данные об изменении явления, т. е. данные, полученные опытным путем, посредством наблюдения. Они обозначаются уi. Расчетными (или теоретическими) уровнями ряда называют значения, полученные в результате подстановки в уравнение тренда значений t, и обозначают их.

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости f(t) . На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t) , а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом , чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса .

Чаще всего при выравнивании используются следующий зависимости :

1. линейная;

2. параболическая;

3. экспоненциальная

1)Линейная зависимость выбирается в тех случаях , когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные и цепные приросты , не проявляющие тенденции ни к увеличению , ни к снижению.

2)Параболическая зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют .

3)Экспоненциальные зависимости применяются , если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста , темпов прироста , коэффициентов роста) , либо , при отсутствии такого постоянства , -- устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста , цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т.д.)

Таким образом, целью аналитического выравнивания является:

- определение вида функционального уравнения;

- нахождения параметров уравнения;

- расчет «теоретических», выровненных уровней, отображающих основную тенденцию ряда динамики.

Графическое отображение изменения уровней ряда играет большую роль в применении данного вида выравнивания. Оно позволяет ускорить процедуру анализа и увеличить степень наглядности полученных результатов.

Сезонность - изменения динамических рядов, имеющих внутригодичную цикличность, зависящие от календарного периода года, явлениями природы, праздниками и др. Например, объем продаж продукции меховой фабрики вырастет в октябре, в ноябре достигнет максимума, снизится к марту, и затем до сентября - октября будет держаться на очень низком уровне. В качестве примера, интересно сравнить сезонные изменения уровня цен в России и странах Западной Европы. В России уровень цен в предпраздничные дни (например, рождество, Новый год, 9 мая, 1 сентября и т. д.) заметно растет. Тогда как в Западной Европе, как правило, в предпраздничные дни проводятся распродажи, т. е. в большинстве своем цены падают.

Явления, подверженные сезонным изменениям, необходимо исследовать на предмет наличия основной тенденции развития. Для этого необходимо распределить объем изменения явления между сезонной составляющей и основной тенденцией.

Изучение и измерение сезонности ряда динамики осуществляется с помощью специального показателя - индекса сезонности. Существует несколько вариантов анализа динамики с помощью индекса сезонности.

Индексы сезонности показывают , во сколько раз фактический уровень ряда в момент или интервал времени t больше среднего уровня либо уровня , вычисляемого по уравнению тенденции f(t) . При анализе сезонности уровни временного ряда показывают развитие явления по месяцам (кварталам) одного или нескольких лет . Для каждого месяца (квартала) получают обобщенный индекс сезонности как среднюю арифметическую из одноименных индексов каждого года . Индексы сезонности - это , по либо уровень существу , относительные величины координации , когда за базу сравнения принят либо средний уровень ряда , либо уровень тенденции . Важное место в статистике занимает описание изменений показателей во времени или динамике. Ряд динамики образуется в результате сводки и обработки показателей периодического статистического наблюдения.

Таким образом, прежде чем анализировать динамические ряды, следует убедиться в сопоставимости их уровней. В том случае, если сопоставимость отсутствует, необходимо добиться ее дополнительными расчетами, когда это возможно.

5. Расчетная часть

По показателю Х и выходному показателю Y:

1) определить годовые (по отношению к предшествующему году) и общие (по отношению к первому году (принять за базу) показатели анализа ряда динамики;

2) рассчитать значения средних уровней динамических рядов, используя, в зависимости от характера ряда (моментный или интервальный), формулы средней арифметической или средней хронологической).

3) рассчитать значения среднегодовых темпов роста и темпов прироста показателей;

4) исходя из предположения о неизменности среднегодовых темпов роста, найти прогнозные значения показателей (период упреждения зависит от варианта);

5) сгладить динамические ряды методом скользящей средней, задав для сравнения несколько значений периода сглаживания (3, 5, 7 лет);

6) для каждого из сглаженных по трех-, пяти-, семилетней скользящей средней динамических рядов построить соответствующие уравнения тренда (аналитическим выравниванием), воспроизводящие динамику показателей во времени t;

7)по данным приложения Н (по показателю фондоотдачи Y и показателю Х) провести аналитическое выравнивание по прямой;

8) на основе построенных уравнений тренда (п.8 и п.7) спрогнозировать значения показателей на условно заданную перспективу (в зависимости от варианта);

Задание варианта № 7

Год	У	Доля промышленности в валовом общественном продукте (в процентах)
1	3,14	63.3
2	3,18	63.0
3	3,37	64.0
4	3,26	64.7
5	3,18	65.0
6	3,20	63.6
7	3,13	63.4
8	3,02	63.9

1) определить годовые (по отношению к предшествующему году) и общие (по отношению к первому году (принять за базу) показатели анализа ряда динамики;

Уровни динамического ряда имеют свойство изменяться с различной скоростью и интенсивностью. Для характеристики развития во времени применяются специальные статистические показатели.

Показатели анализа ряда динамики могут рассчитываться на постоянной и переменной базах сравнения. При этом принято называть сравниваемый уровень отчетным, а уровень, с которым производится сравнение,- базисным.

Для расчета показателей на постоянной базе каждый уровень сравнивается с одним и тем же базисным уровнем. Рассчитанные при этом показатели называются базисными. Для расчета показателей на переменной базе каждый последующий уровень сравнивается с предыдущим, а показатели называются цепными.

1. Абсолютный прирост (абсолютное изменение) определяется как разность между двумя уровнями динамического ряда и показывает, на сколько единиц данный уровень ряда превышает уровень другого периода. Один и тот же по величине абсолютный прирост может означать разную интенсивность изменения.

а) базисный:

(1.1)

б) цепной:

, (1.2)

где - уровень сравниваемого ряда; - уровень предшествующего периода; - уровень базисного периода.

Цепные и базисные абсолютные приросты связаны между собой определенным правилом: сумма последовательных цепных абсолютных приростов равна последнему базисному:

.(1.3)

По знаку абсолютного прироста можно сделать вывод о характере развития явления: - рост, - спад, - стабильность.

Анализ: Рост процента доли промышленности в валовом общественном продукте наблюдается на третьем и шестом году.

2) рассчитать значения средних уровней динамических рядов, используя, в зависимости от характера ряда (моментный или интервальный), формулы средней арифметической или средней хронологической).

Интервальные ряды динамики.

Уровни интервального ряда характеризуют результат изучаемого процесса за период времени: производство или реализация продукции ( за год, квартал, месяц и др. периоды), число принятых на работу, число родившихся и т.п. Уровни интервального ряда можно суммировать. При этом получаем такой же показатель за более длительные интервалы времени.

Средние уровни ряда зависят от вида временного ряда:

а) по интервальному динамическому ряду из абсолютных величин с равными интервалами средний уровень определяется по средней арифметической простой из уровней ряда:

(2.1)

Моментные ряды динамики.

Уровни моментных рядов динамики характеризуют состояние изучаемого явления на определенные моменты времени.

в) для моментного равно отстающего ряда используется формула средней хронологической:

(2.2)

3) рассчитать значения среднегодовых темпов роста и темпов прироста показателей;

2.Темп роста определяется как отношение двух сравниваемых уровней и показывает, во сколько раз данный уровень превышает уровень превышает уровень базисного периода.

а) базисный:

; (3.1)

б) цепной:

(3.2)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Темпы роста, выраженные в коэффициентах, принято называть коэффициентами роста:

(3.3)

базисный коффициент роста	цепной коффициент роста
0,96	1,01
	1,06
	0,97
	0,98
	1,01
	0,98
	0,96
	0,96

Темп роста представляет всегда положительное число.

3. Темп прироста или темп сокращения (темп изменения уровней) показывает, на сколько процентов уровень данного периода больше или меньше определенного уровня, характеризует относительную скорость изменения уровня ряда в единицу времени.

Можно рассчитать двумя способами:

1) как отношение абсолютного прироста к уровню:

а) базисный:

(3,4)

б) цепной:

(3.5)

2) Как разность между темпом роста и 100%:

(2.8)

темп прироста базисный	темп прироста цепной
-3,82	1,27
	5,97
	-3,26
	-2,45
	0,63
	-2,19
	-3,51

Между цепными и базисными показателями изменения уровней ряда существует следующая взаимосвязь:

1) сумма цепных абсолютных приростов равна базисному приросту;

2) произведение цепных коэффициентов роста равно базисному;

3) деление рядом стоящих базисных коэффициентов роста друг на друга равно цепным коэффициентам роста.

4. Абсолютное значение 1% прироста определяется как отношение абсолютного прироста к темпу прироста, выраженного в процентах:

(3.6)

1 год

2 год

3 год

4 год

5 год

6 год

7 год

5. Среднее значение 1% прироста:

(3.7)

4) исходя из предположения о неизменности среднегодовых темпов роста, найти прогнозные значения показателей (период упреждения зависит от варианта);

Прогноз на 9 год.

= (4.1)

= (4.2) где

Средний абсолютный прирост,

Средний коэффициент роста,

=0,99%

Y₉ = y₈ + = 3,02 + (-0,02%) = 3,00%

Y₉ = y₈ * = 3,02 * 0,99% = 3,00%

5) сгладить динамические ряды методом скользящей средней, задав для сравнения несколько значений периода сглаживания (3, 5, 7 лет);

Данный метод применяется для характеристики тенденции развития исследуемой статистической совокупности и основан на расчете средних уровней ряда за определенный период. Последовательность определения скользящей средней:

- устанавливается интервал сглаживания или число входящих в него уровней. Если при расчете средней учитываются три уровня, скользящая средняя называется трехчленной, пять уровней - пятичленной и т.д. Если сглаживаются мелкие, беспорядочные колебания уровней в ряду динамики, то интервал (число скользящей средней) увеличивают. Если волны следует сохранить, число членов уменьшают.

- Исчисляют первый средний уровень по арифметической простой:

y₁ = y₁/ m,

где y₁ - I-ый уровень ряда; (5.1)

m- численность скользящей средней.

Сглаживание методом скользящей средней можно проводить по любому числу членов m, но удобнее, если m - нечетное число, так как в этом случае скользящая средняя сразу относится к конкретной временной точке - середине (центру) интервала. Если же m - четное, то скользящая средняя относится к промежутку между временными точками: например, при сглаживании по четырем членам (m=4) средняя из первых четырех уровней будет находиться между второй и третьей временной точкой, следующая - между третьей и четвертой и т.д. Тогда, чтобы сглаженные уровни относились непосредственно к конкретным временным точкам, из каждой пары смежных промежуточных значений скользящих средних находят среднюю арифметическую, которую относят к временной точке, находящейся между смежными. Такой прием двойного расчета сглаженных уровней называется центрированием.

Недостатком метода скользящей средней является то, что сглаженный ряд укорачивается по сравнению с фактическим с двух концов: при нечетном m на (m-1)/2, а при четном m - на m/2 с каждого конца. Применяя этот метод, надо помнить, что он сглаживает (устраняет) лишь случайные колебания.

1) m=3, тогда

1 уровень - y₁ = y₁/ m=(3,14+3,18+3,37)/3=3,23

2 уровень - y₁ = y₁/ m=(3,18+3,37+3,26)/3=3,27

3 уровень - y₁ = y₁/ m=(3,37+3,26+3,18)/3=3,27

4 уровень - y₁ = y₁/ m=(3,26+3,18+3,20)/3=3,21

5 уровень - y₁ = y₁/ m=(3,18+3,20+3,13)/3=3,17

6 уровень - y₁ = y₁/ m=(3,20+3,13+3,02)/3=3,12

Среднее значение - 3,21

2) m=5, тогда

1 уровень - y₁ = y₁/ m=(3,14+3,18+3,37+3,26+3,18)/5=3,23

2 уровень - y₁ = y₁/ m=(3,18+3,37+3,26+3,18+3,20)/5=3,24

3 уровень - y₁ = y₁/ m=(3,37+3,26+3,18+3,20+3,13)/5=3,23

4 уровень - y₁ = y₁/ m=(3,26+3,18+3,20+3,13+3,02)/5=3,26

Среднее значение - 3,21

3) m=7, тогда

1 уровень - y₁ = y₁/ m=(3,14+3,18+3,37+3,26+3,18+3,20+3,13)/7=3,21

2 уровень - y₁ = y₁/ m=(3,18+3,37+3,26+3,18+3,20+3,13+3,02)/7=3,19

Среднее значение - 3,20

У	скользящая средняя по трем уровням	скользящая средняя по пяти уровням	скользящая средняя по семи уровням
3,14	-	-	-
3,18	3,23	-	-
3,37	3,27	3,23	-
3,26	3,27	3,24	3,21
3,18	3,21	3,23	3,19
3,2	3,17	3,16	-
3,13	3,12	-	-
3,02	-	-	-
Среднее значение	3,21	3,21	3,20

6) для каждого из сглаженных по трех-, пяти-, семилетней скользящей средней динамических рядов построить соответствующие уравнения тренда (аналитическим выравниванием), воспроизводящие динамику показателей во времени t;

Более точным способом отображения тенденции динамического ряда является аналитическое выравнивание, т. е. выравнивание с помощью аналитических формул. В этом случае динамический ряд выражается в виде функции у (t), в которой в качестве основного фактора принимается время t, и изменения аргумента функции определяют расчетные значения у_t.

1) Для сглаженного по трехлетней скользящей средней динамических рядов:

Год	y	t	t2	yt
1	-	-	-	-
2	3,23	-3,00	9,00	-9,69	3,2749	0,0020
3	3,27	-2,00	4,00	-6,54	3,2538	0,0003
4	3,27	-1,00	1,00	-3,27	3,2327	0,0014
5	3,21	1,00	1,00	3,21	3,1906	0,0004
6	3,17	2,00	4,00	6,34	3,1695	0,0000
7	3,12	3,00	9,00	9,36	3,1485	0,0008
8	-	-	-	-	-
итого	19,27	0,00	28,00	-0,59	19,2700	0,0049

Из таблицы получаем, что: a₀ = 19,27/6 = 3,116667 и a₁ = -0,59/28 = -0,2107. Отсюда искомое уравнение тренда: =3,116667 +(-0,2107)t. В 6-м столбце таблицы приведены теоретические (трендовые) уровни, рассчитанные по этому уравнению.

Для иллюстрации построим график эмпирических и трендовых уровней. (Приложение Б).

2) Для сглаженного по пятилетней скользящей средней динамических рядов:

Год	y	t	t2	yt
1	-	-	-	-	-	-
2	-	-	-	-	-	-
3	3,23	-2,00	4,00	-6,46	2,1540	1,1577
4	3,24	-1,00	1,00	-3,24	2,1487	1,1910
5	3,23	1,00	1,00	3,23	2,1380	1,1925
6	3,16	2,00	4,00	6,32	2,1326	1,0555
7	-	-	-	-	-	-
8	-	-	-	-	-	-
итого	12,86	0,00	10,00	-0,15	8,5733	4,5967

Из таблицы получаем, что: a₀ = 12,86/4 = 2,14333 и a₁ = -0,15/10 = -0,015. Отсюда искомое уравнение тренда: =2,14333 +-0,015t. В 6-м столбце таблицы приведены теоретические (трендовые) уровни, рассчитанные по этому уравнению.

Для иллюстрации построим график эмпирических и трендовых уровней. (Приложение В).

3) Для сглаженного по пятилетней скользящей средней динамических рядов:

Год	y	t	t2	yt
1	-	-	-	-
2	-	-	-	-	-	-
3	-	-	-	-	-	-
4	3,21	-1,00	1,00	-3,21	1,0767	4,5511
5	3,19	1,00	1,00	3,19	1,0567	4,5511
6	-	-	-	-	-	-
7	-	-	-	-	-	-
8	-	-	-	-	-
итого	6,40	0,00	2,00	-0,02	2,1333	9,1022

Из таблицы получаем, что: a₀ = 6,40/2 = 1,066 и a₁ = -0,02/2 = -0,01. Отсюда искомое уравнение тренда: =1,066 +-0,01t. В 6-м столбце таблицы приведены теоретические (трендовые) уровни, рассчитанные по этому уравнению.

Для иллюстрации построим график эмпирических и трендовых уровней. (Приложение Г).

7)по данным приложения Н (по показателю фондоотдачи Y и показателю Х) провести аналитическое выравнивание по прямой;

Год	У	Доля промышленности в валовом общественном продукте (в процентах)
1	3,14	63.3
2	3,18	63.0
3	3,37	64.0
4	3,26	64.7
5	3,18	65.0
6	3,20	63.6
7	3,13	63.4
8	3,02	63.9

1.Для показателя фондоотдачи находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a₀n + a₁?t = ?y

a₀?t + a₁?t² = ?y*t

Для наших данных система уравнений имеет вид:

9a₀ + 36a₁ = 25.48

36a₀ + 204a₁ = 113.82

Из первого уравнения выражаем а₀ и подставим во второе уравнение

Получаем a₀ = 0.2, a₁ = 2.04

Уравнение тренда

y = 0.2 t + 2.04

Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Поскольку ошибка меньше 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве тренда

Средние значения

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент эластичности

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.

Коэффициент детерминации

т.е. в 25.97 % случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - низкая

t	y	t 2	y 2	t*y	y(t)	(y-y cp) 2	(y-y(t))2	(t-t p) 2	(y-y(t)) : y
1	3,14	1	9.86	3.14	2,24	0,0954	0,82	9	0.29
2	3,18	4	10.11	6.36	2,43	0,12	0,56	4	0.23
3	3,37	9	11.36	10.11	2,63	0,29	0,54	1	0.22
4	3,26	16	10.63	13.04	2,83	0,18	0,18	0	0.13
5	3,18	25	10.11	15.9	3,03	0,12	0,0226	1	0.0473
6	3,2	36	10.24	19.2	3,23	0,14	0,0007	4	0.0087
7	3,13	49	9.8	21.91	3,43	0,0893	0,0876	9	0.0946
8	3,02	64	9.12	24.16	3,62	0,0356	0,37	16	0.2
		0	0	0	2,04	8,02	4,15	16	0
36	25.48	204	81.23	113.82	25.48	9,09	6,73	60	1.22

2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.

Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда

S _a = 0.1184

Доверительные интервалы для зависимой переменной

По таблице Стьюдента находим Tтабл

T_табл (n-m-1;a) = (7;0.05) = 1.895

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 4.48

2.04 + 0.2*4.48 - 1.895*1.84 ; 2.04 + 0.2*4.48 - 1.895*1.84 (1.09;4.76)

Интервальный прогноз.

Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.

где L - период упреждения;

у_n+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени;

n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя;

T_табл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости а и для числа степеней свободы, равного n -- 2.

3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда.

1) t-статистика. Критерий Стьюдента.

Статистическая значимость коэффициента уравнения не подтверждается

Статистическая значимость коэффициента тренда подтверждается

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда.

Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95% будут следующими:

(a - t_набл S_a; a + t_набл S_a)

(0.1983 - 1.895*0.1184; 0.1983 + 1.895*0.1184)

(-0.026;0.4227)

(b - t _набл S _b; b + t _набл S _b)

(2.0378 - 1.895*0.5637; 2.0378 + 1.895*0.5637)

(0.9696;3.106)

2) F-статистика. Критерий Фишера.

Fkp = 5.32

Поскольку F < Fkp, то коэффициент детерминации статистически не значим

4. Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков для временного ряда.

y	y(x)	ei = y-y(x)	e2	(ei - ei-1)2
3.14	2.24	0.9	0.82	0
3.18	2.43	0.75	0.56	0.0251
3.37	2.63	0.74	0.54	0.0001
3.26	2.83	0.43	0.18	0.0951
3.18	3.03	0.15	0.0227	0.0775
3.2	3.23	-0.0278	0.0008	0.0318
3.13	3.43	-0.3	0.0877	0.072
3.02	3.62	-0.6	0.37	0.0951
	2.04	-2.04	4.15	2.05
0	0	0	6.73	2.45

Критические значения d₁ и d₂ определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости a, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m.

Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.

d₁ < DW и d₂ < DW < 4 - d₂.

2. Доля промышленности в валовом общественном продукте (в процентах).

Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a₀n + a₁?t = ?y

a₀?t + a₁?t² = ?y*t

Для наших данных система уравнений имеет вид:

9a₀ + 36a₁ = 510.9

36a₀ + 204a₁ = 2301.7

Из первого уравнения выражаем а₀ и подставим во второе уравнение

Получаем a₀ = 4.3, a₁ = 39.56

Уравнение тренда

y = 4.3 t + 39.56

Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Поскольку ошибка меньше 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве тренда. Средние значения

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент эластичности

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.

Коэффициент детерминации

т.е. в 30.6 % случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - средняя

t	y	t 2	y 2	t*y	y(t)	(y-y cp) 2	(y-y(t))2	(t-t p) 2	(y-y(t)) : y
1	63.3	1	4006.89	63.3	43,86	42.68	377,85	9	0.31
2	63	4	3969	126	48,16	38.85	220,13	4	0.24
3	64	9	4096	192	52,47	52.32	133.06	1	0.18
4	64.7	16	4186.09	258.8	56,77	62.94	62,94	0	0.12
5	65	25	4225	325	61,07	67.79	15,46	1	0.0605
6	63.6	36	4044.96	381.6	65,37	46.69	3,13	4	0.0278
7	63.4	49	4019.56	443.8	69,67	44	39,33	9	0.0989
8	63.9	64	4083.21	511.2	73,97	50.88	101.47	16	0.16
		0	0	0	39,56	3222.45	1564.99	16	0
36	510.9	204	32630.71	2301.7	510.9	3628.62	2518,36	60	1.19

2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.

Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда

S a = 2.2905

Доверительные интервалы для зависимой переменной

По таблице Стьюдента находим Tтабл

Tтабл (n-m-1;a) = (7;0.05) = 1.895

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 12

39.56 + 4.3*12 - 1.895*49.62 ; 39.56 + 4.3*12 - 1.895*49.62 (41.56;140.8)

Интервальный прогноз.

Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.

где L - период упреждения; уn+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя; Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости а и для числа степеней свободы, равного n -- 2.

3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда.

1) t-статистика. Критерий Стьюдента.

Статистическая значимость коэффициента уравнения не подтверждается

Статистическая значимость коэффициента тренда подтверждается

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда.

Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95% будут следующими:

(a - t_набл S_a; a + t_набл S_a)

(4.3017 - 1.895*2.2905; 4.3017 + 1.895*2.2905)

(-0.0389;8.6422)

(b - t _набл S _b; b + t _набл S _b)

(39.56 - 1.895*10.9052; 39.56 + 1.895*10.9052)

(18.8947;60.2253)

2) F-статистика. Критерий Фишера.

Fkp = 5.32

Поскольку F < Fkp, то коэффициент детерминации статистически не значим

4. Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков для временного ряда.

y	y(x)	ei = y-y(x)	e2	(ei - ei-1)2
63.3	43.86	19.44	377.85	0
63	48.16	14.84	220.13	21.18
64	52.47	11.54	133.06	10.9
64.7	56.77	7.93	62.94	12.97
65	61.07	3.93	15.46	16.01
63.6	65.37	-1.77	3.13	32.51
63.4	69.67	-6.27	39.33	20.27
63.9	73.97	-10.07	101.47	14.45
	39.56	-39.56	1564.99	869.46
0	0	0	2518.36	997.75

Критические значения d₁ и d₂ определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости a, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m.

Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.

d₁ < DW и d₂ < DW < 4 - d₂.

8) на основе построенных уравнений тренда (п.6 и п.7) спрогнозировать значения показателей на условно заданную перспективу (в зависимости от варианта);

Прогнозирование возможных в будущем значений признаков изучаемого объекта - одна и основных задач науки. В ее решении роль статистических методов очень значительна. Одним из статистических методов прогнозирования является расчет прогнозов на основе тренда и колеблемости динамического ряда до настоящего времени. Методика статистического прогноза по тренду и колеблемости основана на их экстраполяции, т.е. на предположении, что параметры тренда и колебаний сохраняются до прогнозируемого периода. Такая экстраполяция справедлива, если система развивается эволюционно в достаточно стабильных условиях. Чем крупнее система, тем более вероятно сохранение параметров ее изменения, конечно, на срок не слишком большой. Обычно рекомендуют, чтобы срок прогноза не превышал одной трети длительности базы расчета тренда.

1. Уравнение для сглаженного по трехлетней скользящей средней динамических рядов имеет вид:

=3,116667 +(-0,2107)t.(8.1)

Обычно рекомендуют, чтобы срок прогноза не превышал одной трети длительности базы расчета тренда.

=3,116667 +(-0,2107)*9=3,02

=3,116667 +(-0,2107)*10=3,00

=3,116667 +(-0,2107)*112,97

2. Уравнение для сглаженного по пятилетней скользящей средней динамических рядов имеет вид:

=2,14333 +-0,015t.(8.2)

=2,14333 +-0,0*9=1,93

=2,14333 +-0,01*10=1,90

=2,14333 +-0,015*11=1,88

3. Уравнение для сглаженного по трехлетней скользящей средней динамических рядов имеет вид:

=1,066 +-0,01t.(8.3)

=1,066 +-0,01*9=0,98

=1,066 +-0,01*10=0,97

=1,066 +-0,01*11=0,96

При составлении прогнозов уровней социально-экономических явлений обычно оперируют не точечной, а интервальной оценкой, рассчитывая так называемые доверительные интервалы прогноза. Границы интервалов определяются по формуле:

,

где - точечный прогноз, рассчитанный по модели тренда; - коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы =n-1;

- ошибка аппроксимации, определяемая по формуле :

.

Прогноз фондоотдачи на 9-ый год: 3,19±0,89

Прогноз доли промышленности в валовом общественном продукте (в процентах) на 9 год: 63,89±16,73



Заключение

Возрастающий интерес к статистике вызван современным этапом развития экономики в стране, формирования рыночных отношений. Это требует глубоких экономических знаний в области сбора, обработки и анализа экономической информации.

Статистическая грамотность является неотъемлемой составной частью профессиональной подготовки каждого экономиста, финансиста, социолога, политолога, а также любого специалиста, имеющего дело с анализом массовых явлений, будь то социально-общественные, экономические, технические, научные и другие. Работа этих групп специалистов неизбежно связана со сбором, разработкой и анализом данных статистического (массового) характера. Нередко им самим приходится проводить статистический анализ различных типов и направленности либо знакомиться с результатами статанализа, выполненного другими. В настоящее время от работника, занятого в любой области науки, техники, производства, бизнеса и прочее, связанной с изучением массовых явлений, требуется, чтобы он был, ...