Изучение социально-экономических показателей

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Задача 1

По территориям Южного федерального округа приводятся статистические данные за 2000 год:

Таблица 1

1. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.

2. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.

3. Рассчитайте параметры a₁ и а₀ парной линейной функции у_х = а₀ + a₁х и линейно-логарифмической функции у_{ln x} = а₀ + a₁lnх

4. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (r_yx и з_ylnx) и детерминации (r²_yx и з²_ylnx), проанализируйте их значения.

5. Надёжность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости б = 0,05.

6. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.

7. По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата (y), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - е'_ср., оцените ее величину.

8. Рассчитайте прогнозное) составит 1,040 от значение результата ?, если прогнозное значение фактора (х среднего уровня (х?).

9. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для б = 0,05), определите доверительный интервал прогноза (г_max; г_min), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала (D_г), оцените точность выполненного прогноза.

Решение

1. Построим график: расположим территории по возрастанию значений фактора X_i. См. таблицу 2. Если график строится в табличном процессоре ЕХСЕL, то в исходной таблице фактор должен находиться на первом месте, а результат - на втором. Из графика может быть сделан вывод о возможной форме связи инвестиций (Y) с основными фондами (X). В этом случае для описания зависимости следует построить несколько моделей разного вида и на основе оценочных характеристик выбрать оптимальную форму модели.

Таблица 2

2. Как правило, моделирование начинается с построения уравнения прямой:

Y = а₀ +а₁*Х,

отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.

3. Рассчитаем неизвестные параметры уравнения методом наименьших квадратов (МНК), построим систему нормальных уравнений и решим её, относительно неизвестных а₀ и а₁. Для расчёта используем значения определителей второго порядка ?, ?а₀ и ?а₁. Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X², Х*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X.

Расчётная таблица 3

4. Согласно данной формуле выполним расчёт определителя системы:

? = n * ?(X²) - ?Х * ?Х = 12*318732,7 - 1433,2*1433,2 = 1770729,68;

Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:

?а₀ = ?Y * ?(X²) - ?(Y*X) * ?Х = 204,01*318732,7 - 49450,6*1433,2 = - 5847904,09.

Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:

?а₁ =n * ?(Y*X) - ?Y * ?Х = 12*49450,6 - 204,01*1433,2 = 301019,68.

5. Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:

а₀ = ?а₀ /? = - 5847904,09/1770729,68 = - 3,3;

а₁ = ?а₁ /? = 301019,68/1770729,68 = 0,17.

В конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:

Y_х= - 3,3 + 0,17 * X

В уравнении коэффициент регрессии а₁ = 0,17 означает, что при увеличении среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости) на 1% (от своей средней) оборот розничной торговли возрастет на 0,17 млрд. руб. (от своей средней).

Свободный член уравнения а₀ = - 3,3 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на оборот розничной торговли.

6. Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности:

Э_YX = f ' (X) * X/Y

В нашем случае, когда рассматривается линейная зависимость, расчётная формула преобразуется к виду:

Э_YX = а₁ * X/Y = 0,17 * 119,43/17,0008 = 1,194

Это означает, что при изменении общей суммы среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости) на 1% от своей средней оборот розничной торговли увеличиваются на 1,194 процента от своей средней.

7. Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

r_YX = а₁ * у_X/у_Y = 0,17 * 110,89/19,89 = 0,948 r_YX ² = 0,899.

Коэффициент корреляции, равный 0,948, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между общей суммой среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости) и оборотом розничной торговли. Коэффициент детерминации, равный 0,899, устанавливает, что вариация оборота розничной торговли на 89,9% из 100% предопределена вариацией общей суммы среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости); роль прочих факторов, влияющих на оборот розничной торговли, определяется в 10,1%, что является сравнительно небольшой величиной.

8. Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера - F_факт и сравним его с табличным значением - F_табл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе Н₀: а₀ = а₁ = r_YX = 0, то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости б = 0,05).

В нашем случае,

F_факт = r_YX ² /1 - r_YX ^2: k - 1/n - k = 0,899/0,101: (2 - 1)/(12 - 2) = 8,9: 0,1 = 89,0.

Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата почти в 89 раз больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости) и оборота розничной торговли. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: F_та6л = 4,96 при степенях свободы df₁= k - 1 = 1 и df₂ = n - k = 12 - 2 = 10 и уровне значимости б = 0,05.

Значения F_та6л представлены в таблице «Значения F-критерия Фишера для уровня значимости 0,05 (или 0,01)».

В силу того, что F_факт = 89,0 > F_та6л = 4,96, нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.

9. Определим теоретические значения результата Y_теор. Для этого в полученное уравнение последовательно подставим фактические значения фактора X и выполним расчет.

Например, Y₁ = - 3,3 + 0,17 * 4,2 = - 2,59. По парам значений Y_теор и Х_факт строится теоретическая линия регрессии, которая пересечётся с эмпирической регрессией в нескольких точках.

10. Оценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:

еґ = 1/n * ?| Y_факт - Y/Y| * 100% = 60,87%.

В нашем случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 60,87%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели. Которое не позволяет использовать ее для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения X).

Если предположить, что прогнозное значение фактора Х составит 1,07 от уровня его средней, то есть Х_прогн.= 1,07 * 4,2 = 4,494, тогда прогнозное значение результата сформируется на уровне: Y_прогн.= 0,336 + 0,512 * 4,494 = 2,637 млрд. руб.

2. Задача 2

Производится изучение социально-экономических показателей по территориям Сибирского федерального округа РФ за 2000 год.

Y - Валовой региональный продукт, млрд. руб.,

X₁ - Инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;

Х₂ - Среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;

X₃ - Инвестиции 1999 года в основной капитал, млрд. руб.

Требуется изучить влияние указанных факторов на стоимость валового регионального продукта.

Предварительный анализ исходных данных по 12 территориям не выявил территорий с аномальными значениями признаков. Поэтому значения приводимых показателей рассчитаны по полному перечню территорий федерального округа.

При обработке исходных данных получены следующие значения:

а) - линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений у: N=12.

б) - коэффициентов частной корреляции

Задание

1. По значениям линейных коэффициентов парной и частной корреляции r выберите неколлинеарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. Произведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную модель.

2. Выполните расчёт бета коэффициентов (в) и постройте с их помощью уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Проанализируйте с помощью бета коэффициентов (в) силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.

3. По значениям в-коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме (то есть а₁, а₂ и а₀). Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих (средних) коэффициентов эластичности - Э_ух.

4. Оцените тесноту множественной связи с помощью R и R², а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи через F-критерий Фишера (для уровня значимости б = 0,05).

5. Рассчитайте прогнозное значение результата ?_xj, предполагая, что прогнозные значения факторов (х_j) составят 107,7 процента от их среднего уровня.

6. Основные выводы оформите аналитической запиской.

Решение

1. Представленные в условии задачи значения линейных коэффициентов парной корреляции позволяют установить, что валовой региональный продукт - Y более тесно связан со среднегодовой стоимостью основных фондов в экономике - Х₂ (r_yx2 = 0,9541) и с инвестициями 2000 года в основной капитал - X₁ (r_yx1 = 0,9493); наименее тесно результат Y связан с инвестициями 1999 года в основной капитал - X₃. Поэтому, в силу небольшой информативности фактора Х₃, предполагаем, что его можно исключить из дальнейшего анализа, оставляя для рассмотрения только Х₁ и Х₂. Проверим наши предположения с помощью анализа матрицы коэффициентов частной корреляции. Очевидно, что наиболее тесная связь результата Y со среднегодовой стоимостью основных фондов в экономике (r_yx2*х1х3 = 0,8217) и примерно одинаково тесно связан результат с инвестициями 2000 года в основной капитал (r_yx1**х2х3 = 0,7990). Поэтому для уточнения окончательного вывода выполним расчет серии коэффициентов частной корреляции Y с двумя возможными комбинациями факторных признаков: для Y с X₁ и с Х₂

2. Расчёты частных коэффициентов корреляции выполним по следующим формулам:

r_yx1*х2 = r_yx1 - r_yx2 * r_x1х2/vЇ(1 - r²_yx2)*(1 - r² _x1x2) = 0,9493 - 0,9541*0,9152/vЇ(1 - 0,9541²)*(1 - 0, 9152²) = 0,643

r_yx2*х1 = r_yx2 - r_yx1 * r_x1х2/vЇ(1 - r²_yx1)*(1 - r² _x1x2) = 0,9541 - 0,9493*0,9152/vЇ(1 - 0,9493²)*(1 - 0,9152²) = 0,672

r_x1х2*y = r_x1x2 - r_yx1 * r_yх2/vЇ(1 - r²_yx1)*(1 - r²_yx2) = 0,9152 - 0,9493*0,9541/vЇ(1 - 0,9493²)*(1 - 0,9541²) = 0,101

Как видим, факторы Х₁ и Х₂, действительно, тесно связаны с результатом, а между собой взаимодействуют, но слабее, чем каждый из них - с результатом. Эти обстоятельства позволяют использовать Х₁ и Х₂ в качестве факторов уравнения множественной регрессии.

3. При построении двухфакторной регрессионной модели Y = а₀ + а₁х₁ + а₂х₂ воспользуемся для упрощения расчётов методом стандартизованных переменных. В этом случае, исходное уравнение приобретает вид: t_y = в_yx1* t_x1 + в_yx2* t_x2. Выполним расчёт в-коэффициентов, используя значения известных по условию линейных коэффициентов парной корреляции.

в_yx1 = r_yx1 - r_yx2 * r_x1х2/1 - r² _x1x2 = 0,9493 - 0,9541*0,9152/1 - 0,9152² = 0,469

в_yx2 = r_yx2 - r_yx1 * r_x1х2/1 - r² _x1x2 = 0,9541 - 0,9493*0,9152/1 - 0,9152² = 0,525

В результате получено уравнение в стандартизованном масштабе:

t_y = 0,469*t_x1 + 0,525*t_x2

Параметры данного уравнения представляют собой относительные оценки силы влияния каждого из факторов на результат. При увеличении инвестиций 2000 года в основной капитал на одну сигму - у_х1 (от своей средней) валовый региональный продукт увеличится на 0,469 своей сигмы у_у); с увеличением среднегодовой стоимости основных фондов в экономике на у_х2 результат увеличится на 0,525у_у. Сравнивая в-коэффициенты, определяем, какой из признаков влияет на результат сильнее, а какой - слабее. В данном случае, увеличение валового регионального продукта происходит, прежде всего, под влиянием увеличения среднегодовой стоимости основных фондов в экономике и в меньшей степени - в результате увеличения инвестиций 2000 года в основной капитал.

4. Используя значения в-коэффициентов, можно рассчитать параметры уравнения в естественной форме:

а₁ = в_yx1 * у_у/у_х1 = 0,469*36,03/6,642 = 2,544

а₂ = в_yx2 * у_у/у_х2 = 0,525*36,03/114,7 = 0,165

а₀ = у - а₁*х₁ - а₂*х₂ = 42,43 - 2,544*7,758 - 0,165*168,6 = - 5,125.

В конечном счёте, имеем уравнение:

Y_х1х2 = - 5,125 + 2,544 * х₁ + 0,165 * х₂.

По значениям коэффициентов регрессии можно судить о том, на какую абсолютную величину изменяется результат при изменении каждого фактора на единицу (от своей средней).

С увеличением инвестиций 2000 года в основной капитал на 1 млрд. руб. валовой региональный продукт увеличивается на 2,544 млрд. руб., с увеличением среднегодовой стоимости основных фондов в экономике на 1 млрд. руб. валовой региональный продукт возрастает на 0,165 млрд. руб.

Но так как признаки-факторы измеряются в разных единицах, сравнивать значения их коэффициентов регрессии не следует. Точную оценку силы связи факторов с результатом дают коэффициенты эластичности и в - коэффициенты.

5. Для сравнительной оценки силы связи выполним расчёт средних коэффициентов эластичности. С их помощью можно определить, на сколько процентов изменяется результат при изменении фактора на 1% (от своего среднего значения). В нашем случае, расчёт показал, что влияние среднегодовой стоимости основных фондов в экономике на валовой региональный продукт оказалось более сильным по сравнению с влиянием инвестиций 2000 года в основной капитал: с ростом среднегодовой стоимости основных фондов в экономике на 1% валовой региональный продукт увеличивается на 0,656%, а при увеличении инвестиций 2000 года в основной капитал на 1% валовой региональный продукт возрастает на 0,465%. Различия в силе влияния весьма значительны: первый фактор влияет на результат почти в полтора раза сильнее, чем второй. Поэтому регулирование величины валового регионального продукта через среднегодовую стоимость основных фондов в экономике будет более результативным, чем через рост инвестиций 2000 года в основной капитал.

Э_ух1 = а₁ * х₁/у = 2,544*7,758/42,43 = 0,465;

Э_ух2 = а₂ * х₂/у = 0,165*168,6/42,43 = 0,656.

6. Тесноту выявленной зависимости валового регионального продукта от среднегодовой стоимости основных фондов в экономике и от инвестиций 2000 года в основной капитал оценивают множественный коэффициент корреляции и детерминации. Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и в-коэффициентов. R_yxj = vЇ?r_yxj* в_yxj. В нашем случае 2-х факторной зависимости расчёт строится следующим образом:

R_yx1х2 = vЇr_yx1* в_yx1 + r_yx2* в_yx2 = vЇ0,9493*0,469 + 0,9541*0,525 = vЇ0,946 = 0,973

R²_yx1х2 = 0,947

Как показали расчеты, установлена весьма тесная зависимость валового регионального продукта от среднегодовой стоимости основных фондов в экономике и от инвестиций 2000 года в основной капитал. Это означает, что 94,7% вариации валового регионального продукта определены вариацией данных факторов. Оставшиеся 5,3% вариации результата сформировались под влиянием прочих причин, роль которых незначительна.

7. Оценка статистической значимости или надёжности установленной формы зависимости, её параметров, оценок её силы и тесноты является важным этапом анализа результатов. Для выполнения оценки формулируется нулевая гипотеза, которая рассматривает предположение о случайной природе полученных результатов. То есть, Н₀/а₀ = а₁ = а₃ = R²_yx1х2 = 0.

Для проверки выдвинутой нулевой гипотезы используется F-критерия Фишера. Его фактическое значение определяется, исходя из соотношения факторной и остаточной дисперсий и их степеней свободы: df₁ = k и df₂ = n-k-1; где: n - число изучаемых единиц; k - число ограничений, которые накладываются на исходные данные при расчёте данного показателя. Здесь k равно числу факторов уравнения, то есть k = 2.

F_факт = R²_yxj/1 - R²_yxj: k/n-k-1

В нашем случае, когда рассматривается зависимость результата от двух факторов, расчёт выглядит следующим образом:

F_факт = R²_yx1х2/1 - R²_yx1х2: k/n-k-1 = 0,947/0,053:2/12-2-1?80,41.

Фактическое значение критерия показывает, что детерминация, сформированная под воздействием двух изучаемых факторов, почти в 80 раз больше, чем детерминация, связанная с действием прочих причин. Очевидно, что подобное соотношение случайно сформироваться не может, а является результатом влияния существенных, систематических факторов.

Для принятия обоснованного решения F_факт сравнивается с F_табл, которое формируется случайно и зависит степеней свободы факторной (df₁ = k) и остаточной (df₂ = n-k-1) дисперсий, а также от уровня значимости б = 0,05 F_табл= 4,26. В силу того, что F_факт = 80,41 > F_табл = 4,26, можно с высокой степенью надёжности отклонить нулевую гипотезу, а в качестве альтернативы - согласиться с утверждением, что проверяемые параметры множественной регрессионной модели неслучайны, что коэффициенты уравнения и показатели тесноты связи не являются случайными величинами.

8. Техническая часть прогнозных расчётов по уравнению множественной регрессии сравнительно проста. Достаточно определить прогнозные значения каждого факторного признака х_j,p, подставить их в уравнение и выполнить с ними расчёт прогнозного значения результата - ?_р. При этом следует помнить, что требования к точности и надёжности прогноза предъявляют к используемой модели повышенные требования. В нашем случае, прогнозное значение каждого из факторов, то есть х_1,1 и х_2,1, получено на основе средней величины:

корреляция прогноз экономический гипотеза

х_1,1 = х₁ * 1,077 = 7,758 * 1,077 = 8,355.

х_2,1 = х₂ * 1,077 = 168,6 * 1,077 = 181,582.

После подстановки в уравнение получаем следующий результат:

?_х1,1;х2,1 = - 5,125 + 2,544 * 8,355 + 0,165 * 181,582 = 46,09 (млрд. руб.)

Если среднегодовой стоимости основных фондов в экономике возрастет до 181,582 млрд. руб., а инвестиции 2000 года в основной капитал составят 8,355 млрд. руб., тогда следует ожидать, что валовой региональный продукт возрастёт до 46,09 млрд. руб., то есть увеличится на 8,6% от своего среднего уровня.

Литература

1. Елисеева И.И., Курышева С.В. Эконометрика. - М.: Финансы и статистика, 2001

2. Елисеева И.И., Курышева С.В. Практикум по эконометрике. - М.: Финансы и статистика, 2001

3. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. - М.: ЮНИТИ, 1998

Размещено на Allbest.ru