Функции нескольких переменных в экономических задачах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Функции нескольких переменных в экономических задачах

Введение

Использование функций нескольких переменных - широко применяемый для экономического анализа математический метод. Базовой задачей экономического анализа является изучение экономических величин, записываемых в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления.

В экономике очень часто требуется найти оптимальное значение того или иного показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т.д. Каждый показатель представляет собой функцию одного или нескольких аргументов. Например, выпуск можно рассматривать как функцию затрат труда и капитала (как это делается в производственных функциях). Поскольку экономические показатели обычно зависят от многих факторов, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума (максимума или минимума) функции одной или нескольких переменных.

Такие задачи хорошо изучены теорией функций нескольких переменных, использующей методы дифференциального исчисления. Многие задачи включают не только максимизируемую (минимизируемую) функцию, но и ограничения (например, бюджетное ограничение в задаче потребительского выбора).

1. Теоретическая часть

Рассмотрим некоторые приложения функций нескольких переменных в экономической теории.

Производственной функцией называется зависимость результата производственной деятельности - выпуска продукции и от обусловивших его факторов - затрат ресурсов , , …, . Производственная функция может быть задана как в натуральных, так и в денежных единицах. В последнем случае она представляет собой доход oт использования ресурсов. Производственная функция представляет собой математическую модель, характеризующую зависимость объема выпускаемой продукции от объема трудовых и материальных затрат. Модель может быть построена как для отдельной фирмы и отрасли, так и для всей национальной экономики.

Производственная функция называется функцией Ко6ба-Дугласа. Параметры и представляют собой частные эластичности выпуска продукции по отношению к затратам труда и капитала .

Функция полезности U(, , …, ) задает полезность для потребителя от приобретения единиц 1-го блага, единиц 2-го блага и т.д.

Функция полезности - экономическая модель для определения предпочтений экономических субъектов. Основополагающим условием концепта функции полезности является рациональное поведение потребителя, выражающееся в выборе из многочисленных альтернатив именно тех, которые выводят его на более высокий уровень полезности. В микроэкономике концепт функции полезности служит для объяснения поведения потребителей и производителей, в то время как в макроэкономике им пользуются для изображения предпочтений государственных интересов. Первая производная функции полезности по количеству определённого блага называется предельной полезностью этого блага. Предельная полезность выражает, сколько дополнительной полезности приносит дополнительная единица блага. Предельная полезность, равная 0, означает достижение насыщенности.

Большинство функций полезности, рассматриваемых в экономике, имеют отрицательную вторую производную - закон убывающей предельной полезности.

Функция полезности может быть использована для определения спроса потребителя через решение задачи о максимизации полезности. Полученное решение носит название маршалловского спроса.

Функция издержек определяет затраты, необходимые для производства единиц данного продукта. Прибыль , где ) - доход от производства единиц продукта.

Издержки - затраты факторов в стоимостном (денежном) выражении.

В экономической литературе известны несколько типов классификации издержек (при этом следует иметь в виду, что в этом вопросе встречаются разночтения):

1. Издержки производства и издержки обращения. Первые возникают с сфере производства, вторые, соответственно, - в сфере обращения.

2. Бухгалтерские и экономические издержки. Под бухгалтерскими (явными) издержками принято понимать фактические затраты производства, которые имели место за отчетный период. Именно эти издержки находят отображение в бухгалтерской отчетности фирмы. Помимо явных, существуют также неявные (альтернативные, вмененные) издержки - стоимость альтернативного варианта использования факторов. Сущность неявных издержек проще объяснить на примере. У любого предпринимателя (вообще, у любого экономического субъекта, но в данном случае мы ведем речь о предпринимателе) всегда существует один или несколько альтернативных вариантов использования имеющихся у него ресурсов. Так, он может организовать процесс производства - арендовать здание, приобрести основной и оборотный капитал, нанять работников и начать производство - в этом случае он будет нести явные издержки производства. Кроме того, он может на все имеющиеся у него деньги открыть депозитный счет в банке и получать доход в виде процента по вкладу. Если предприниматель выберет первый вариант использования ресурсов, то тот банковский процент, который он не получит, будет составлять сумму его неявных издержек. Таким образом, неявные издержки представляют собой упущенную выгоду при выборе одного из двух альтернативных вариантов использования ресурсов. Сумма явных и неявных издержек составляет экономические издержки.

3. Внешние и внутренние издержки. Внешние издержки - плата за привлекаемый извне ресурс (заработная плата наемных работников, арендная плата, плата поставщикам за сырье, топливо, транспортные и иные услуги и т.д.). Внутренние издержки - плата за собственный и самостоятельно используемый ресурс. Например, если предприниматель сам непосредственно принимает участие в производстве или организации производства своим личным трудом, то доход, получаемый им, будет считаться внутренними издержками.

4. Бухгалтерские (явные) издержки производства делятся на постоянные и переменные.

Постоянные издержки - издержки, величина которых не меняется в зависимости от изменений объемов производства, т.е. фирма всегда, вне зависимости от того, прибыльна ее деятельность или убыточна, должна покрывать их - FC (fixed costs). Сюда относятся арендная плата, амортизационные отчисления, страховые взносы, некоторые виды налогов, дивидендов и пр. Переменные издержки - издержки, величина которых меняется в зависимости от объемов производства - VC (variable costs). Это такие издержки как расходы на сырье, материалы, электроэнергию, транспортные и другие услуги и пр.

Сумма постоянных и переменных издержек составляет валовые (общие, совокупные) издержки TC (total costs): ТС = FC + VC.

Функция валовых издержек для модели Кобба-Дугласа выглядит следующим образом: ТС = РКК + РLL, где К, L - количество единиц капитала и труда;

Оптимальным значением выпуска для производителя является то значение единиц продукта, при котором прибыль оказывается наибольшей.

Значительная часть экономических механизмов иллюстрируется на рисунках, изображающих линии уровня функции двух переменных Например, линии уровня производственной функции называются изоквантами.

Изокванта - кривая, демонстрирующая различные варианты комбинаций факторов производства, которые могут быть использованы для выпуска данного объема продукта. Изокванты иначе называют кривыми равных продуктов, или линиями равного выпуска.

изокванта экономический переменная

Положительный наклон изокванты означает, что увеличение применения одного фактора потребует увеличения применения другого фактора, чтобы не сократить выпуск продукции. Отрицательный наклон изокванты показывает, что сокращение одного фактора (при определенном объеме производства) всегда будет вызывать увеличение другого фактора

Изокванты выпуклы в направлении начала координат, поскольку хотя факторы могут быть заменяемы один другим, однако они не являются абсолютными заменителями.

Кривизна изокванты иллюстрирует эластичность замещения факторов при выпуске заданного объема продукта и отражает то, насколько легко один фактор может быть заменен другим. В том случае, когда изокванта похожа на прямой угол, вероятность замещения одного фактора другим крайне невелика. Если же изокванта имеет вид прямой линии с наклоном вниз, то вероятность замены одного фактора другим значительна.

Изокванты схожи с кривыми безразличия с той лишь разницей, что кривые безразличия выражают положение в сфере потребления, а изокванты - в сфере производства. Другими словами, кривые безразличия характеризуют замену одного блага другим (MRS), а изокванты - замену одного фактора другим (MRTS).

Наклон изокванты выражает зависимость одного фактора от другого в производственном процессе. При этом увеличение одного фактора и уменьшение другого не вызывает изменений в объеме выпускаемой продукции.

Пусть и - два различных фактора производства, а функция характеризует выпуск продукции, который позволяют значения факторов и . На рис. 1 линии уровня изображены сплошными линиями, а штриховкой выделена так называемая экономическая область, которая характеризуется тем, что высекаемые ею части изоквант представляют собой графики убывающих функций, т.е. увеличение количества одного фактора позволяет уменьшить количество другого, не меняя размера выпуска. Иными словами, экономическая область - это множество значений факторов, допускающих замещение одного из них другим. Очевидно, что все «разумные» значения и принадлежат экономической области.

Изокванты позволяют геометрически иллюстрировать решение задачи об оптимальном распределении ресурсов. Пусть - функция издержек, характеризующая затраты, необходимые для обеспечения значений ресурсов x и у (часто можно считать, что функция издержек линейная: , где и - «цены» факторов и ). Линии уровня этой функции также изображены на рис. 1 Комбинации линий уровня функции и позволяют делать выводы о предпочтительности того или иного значения факторов и . Очевидно, например, что пара значений более предпочтительна, чем пара , так как обеспечивает тот же выпуск, но с меньшими затратами. Оптимальными же значениями факторов будут значения - координаты точки касания линии уровня функции выпуска и функции издержек.

Линии уровня функции полезности (они называются кривыми безразличия (см. рис. 2)) также позволяют рассматривать вопросы замещения одного товара другим и иллюстрировать решение задачи об оптимальном потреблении (потребительского выбора).

Кривые безразличия - представляют собой совокупность точек на координатной плоскости, каждая из которых является потребительским набором, обеспечивающим потребителю одинаковый уровень удовлетворения его потребностей (или если пользоваться терминологией кардиналистского направления, одинаковую полезность).

Форма кривой безразличия отдельного потребителя определяется исключительно его вкусами и предпочтениями и не зависит от доходов или цен на потребляемые товары. Совокупность кривых безразличия, описывающих поведение одного потребителя, составляет его карту безразличия.

Свойства кривых безразличия:

· Кривая безразличия является непрерывной функцией, а не набором дискретных точек.

· Для любого заданного уровня полезности может быть проведена своя кривая безразличия, отражающая различные комбинации двух товаров, обеспечивающих потребителю одинаковый уровень удовлетворения.

· Кривые безразличия описывающие поведение одного потребителя никогда не пересекаются.

Форма кривых безразличия и их наклон в данной точке определяется исключительно потребительскими предпочтениями.

Для отдельных товаров в силу их специфических характеристик кривые безразличия могут иметь вид, отличный от стандартного.

Теоретически можно представить ситуацию, при которой существует идеальный потребительский набор, максимально удовлетворяющий потребности потребителя, то есть находящийся в точке насыщения (например: доза лекарства, которую необходимо принять за день).

Уменьшение данной дозы не даст улучшения. Чем ближе потребитель находится к точке насыщения, тем выше полезность его потребительского набора. Графически кривые безразличия этого потребителя будут иметь вид эллипсов.

2. Практическая часть

Задача 1.

Найти значения величин используемых ресурсов , при которых фирма-производитель получит максимальную прибыль, если заданы производственная функция и цены и на единицу первого и второго ресурсов:

; .

Решение:

Производственная функция в денежном выражении равна доходу от использования ресурсов. Так как функция . Таким образом, функция прибыли равна

():

Требуется найти значения величин используемых ресурсов , при которых фирма-производитель получит максимальную прибыль, т.е. надо исследовать функцию на экстремум. Сначала определим стационарные точки функции. Для этого найдем частные производные функции и приравняем их к 0 (по необходимому условию существования экстремума):

Так как ;

;

(; ) - стационарная точка.

По достаточному условию существования экстремума чтобы определить существует ли экстремум, надо составить определитель второго порядка:

,

где ;

;

.

Составим определитель:

>0 экстремум есть.

Так как

Таким образом, найденная критическая точка - есть точка максимума (по достаточному условию экстремума функции двух переменных).

Ответ:;

Задача 2.

Заданы производственная функция, цены на единицу первого и второго ресурсов, а также ограничения I в сумме, которая может быть потрачена на приобретение ресурсов (сумма ? I). Найти значения величин используемых ресурсов (х, у), при которых фирма-производитель получит наибольшую прибыль:

.

Решение:

Следует максимизировать функцию (, но при условии, что

Итак, имеем задачу максимизации функции , т.е. надо найти глобальный экстремум в области, ограниченной прямой , или , осью ОХ и осью ОУ (так как x>0, y>0).

а) Найдем стационарные точки внутри области (найдем и и приравняем к 0):



стационарных точек нет.

б) Найдем стационарные точки на границах области:

- стационарная точка обл. и

· =0 (ось ) стационарных точек нет

· (ось )стационарных точек нет

Найдена одна стационарная точка (3,6; 1,2), которая показывает сочетания величин х и у (используемых ресурсов), при которых фирма получит наибольшую прибыль. При этом фирма потратит всю выделенную на это сумму - 12.

Ответ: .

Задача 3.

Потребитель имеет возможность потратить сумму 1000 ден. ед. на приобретение х единиц первого товара и у единиц второго товара. Заданы функция полезности и цены за единицу соответственно первого и второго товаров. Найти значения , при которых полезность для потребителя будет наибольшей:

Решение:

Рассмотрим линии уровня функции полезности , т.е. (С=const). Используя свойства логарифмов, имеем:

, т.е. ,

где .

Таким образом, линии уровня представляют собой график функции

 (кривая безразличия)

Легко видеть, что максимальное значение A, а следовательно, и уровня С достигается в том случае, если соответствующая кривая безразличия касается прямой (линии уровня затрат) . Так как градиент в каждой точке перпендикулярен линии уровня, то из этого следует, что условие максимальности прибыли может быть сформулировано следующим образом:

Так как Угловой коэффициент прямой, проходящей через gradU равен .

Из условия перпендикулярности прямых имеем т.е. . Следовательно, оптимальное распределение потребления товаров находится как решение системы:

Ответ: - значения, при которых полезность для потребителя будет наибольшей.

Задача 4.

Прибыль P автомобильного завода от производства одного автомобиля определяется формулой , где - затраты на материалы, млн. руб., - затраты на оплату рабочей силы, млн. руб., (), 2 млн. руб. - постоянные затраты.

Значения и , при которых прибыль завода максимальна, а суммарные затраты на один автомобиль не превышают 27 млн. руб. равны.

Решение.

Известно, что . Так как , но при этом С?27 млн. руб. Следует максимизировать функцию , но при условии, что .

Итак, имеем задачу максимизации функции, т.е. надо найти глобальный экстремум для в области, ограниченной прямой , осью и (так как ).

а) Найдем стационарные точки внутри области D. Для этого найдем и и приравняем к 0:

(4; 4) - стационарная точка

б) Найдем стационарные точки на границах:

(12,5; 12,5) - стационарная точка обл. D и

· (ось )

стационарных точек нет

· (ось )

стационарных точек нет

- минимальное значение функции

- максимальное значение функции, при котором прибыль фирмы будет максимальна, и затраты на 1 автомобиль будут составлять27 млн. руб.

Ответ:

Задача 5.

Издержки предприятия на изготовление единицы некоторого вида продукции определяются формулой ; где - затраты капитала, тыс. руб., (), - расходы на оплату рабочей силы, тыс. руб., (). При каких значениях и издержки производства будут минимальными, если затраты на единицу продукции составляют 3 тыс. руб.?

Решение.

Известно, что . Имеем задачу минимизации функции при или ,

Исследуем функцию на монотонность:

Ответ:

Заключение

Базовой задачей экономического анализа является изучение экономических величин, записываемых в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию?

В экономике очень часто требуется найти наилучшее, или оптимальное значение того или иного показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т.д. Каждый показатель представляет собой функцию одного или нескольких аргументов. Например, выпуск можно рассматривать как функцию затрат труда и капитала (как это делается в производственных функциях. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума (максимума или минимума) функции одной или нескольких переменных.

Немаловажным для экономиста является решение задач на экстремум функции нескольких переменных, поскольку экономические задачи обычно зависят от многих факторов. Такие задачи хорошо изучены теорией функции нескольких переменных, использующей методы дифференциального исчисления. Многие задачи включают не только максимизируемую (минимизируемую) функцию, но и ограничения, к примеру, бюджетное ограничение в задаче потребительского выбора. Это задачи математического программирования, для решения которых разработаны специальные методы, также опирающиеся на дифференциальное исчисление.

Список используемой литературы

1. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Череленых Ю.Н. Математические методы в экономике. - Москва: МГУ, 1997.

2. Красс М.С., Чупырков Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М: Дело, 2001.

3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ, 2003. - 471 с.

4. Кремер Н.Ш. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебное пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 423 с.

5. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, - 1989, 656 с.

6. Нуреев Р.М. Курс микроэкономики: Учебник для вузов - М: Норма, 2010-560 с.

7. Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели. - М: ЮНИТИ-ДАМА, 2005.

8. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, - 1996, 479с

Размещено на Allbest.ru

...