Модели и моделирование в системном анализе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

Тема: Модели и моделирование в системном анализе

1. Значение моделей и моделирования

В 1870 г. английское Адмиралтейство спустило на воду новый броненосец “Кэптен”. Корабль вышел в море и совершенно неожиданно для всех перевернулся. Погибло 523 человека. Неожиданно для всех, кроме одного человека - английского ученого-кораблестроителя В. Рид. Этот ученый построил игрушку-модель и, проведя несложные опыты, установил, что корабль обязательно опрокинется даже при небольшом волнении. Кораблестроителю не поверили.

Мы знакомимся с понятием «модели» с первых наших игр - с игрушек (машинки, куклы), с первых игр (строительство из кубиков дома, игра в «Дочки-матери»). Если говорить в целом о человечестве, то и оно познакомилось и активно использует «игрущки» с давних пор. Об этом можно судить, например, по наскальным рисункам наших предков (моделирование успешной охоты).

При проведении системного анализа, научных исследований одной из проблем является проблема эксперимента. На реальных объектах подчас проводить опыты не возможно по моральным, этическим проблемам или проблемам безопасности. Часто это сложно с организационной и экономических сторон. Опыт человечества показывает, что лучше эксперименты проводить на моделях, а не на реальном объекте и ли моделируя процесс.

Что же такое «модель» и моделирование?

Определений множество. Если обобщить их, то получится что модель - это образ, заместитель реального объекта, а моделирование - процесс создания моделей или процесса и экспериментирование с моделями.

2. Классификация моделей

моделирование монте карло статистический

Признаки, по которым классифицируются модели:

1. Область использования.

2. Учет фактора времени и области использования.

3. По способу представления.

4. Отрасль знаний (биологические, исторические, социологические и т. д.).

Рассмотрим более подробно три первые классификации моделей в соответствии с их классификационными признаками.

1 классификация. По признаку « Область использования»

1.1. Учебные: наглядные пособия, обучающие программы, различные тренажеры;

1.2. Опытные: модель корабля испытывается в бассейне для определения устойчивости судна при качке;

1.3. Научно-технические: ускоритель электронов, прибор, имитирующий разряд молнии, стенд для проверки телевизора;

1.4. Игровые: военные, экономические, спортивные, деловые игры;

1.5. Имитационные: эксперимент либо многократно повторяется, чтобы изучить и оценить последствия каких либо действий на реальную обстановку, либо проводится одновременно со многими другими похожими объектами, но поставленными в разных условиях).

2 класификация. По признаку «Учет фактора времени и области использования»

2.1. Статистическая модель - это как бы одномоментный срез по объекту.

Пример: Вы пришли в стоматологическую поликлинику для осмотра полости рта. Врач осмотрел и всю информацию записал в карточку. Записи в карточке, которые дают картину о состоянии ротовой полости на данный момент времени (число молочных, постоянных, пломбированных, удаленных зубов) и будет являться статистической моделью.

2.2. Динамическая модель позволяет увидеть изменения объекта во времени.

Пример, та же самая карточка школьника, которая отражает изменения, происходящие с его зубами за определенный момент времени.

3 классификация. По признаку «По способу представления»

Первые две большие группы: материальные и информационные. Названия этих групп как бы показывают, из чего сделаны модели.

Материальные модели иначе можно назвать предметными, физическими. Они воспроизводят геометрические и физические свойства оригинала и всегда имеют реальное воплощение.

Примеры: Детские игрушки. Школьные пособия, физические и химические опыты, географические карты, схемы солнечной системы и звездного неба и многое другое.

Материальные модели реализуют материальный (потрогать, понюхать, увидеть, услышать) подход к изучению объекта, явления или процесса.

Информационные модели нельзя потрогать или увидеть воочию, они не имеют материального воплощения, потому что они строятся только на информации. В основе этого метода моделирования лежит информационный подход к изучению окружающей действительности.

Информационные модели - совокупность информации, характеризующая свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также взаимосвязь с внешним миром.

Информация, характеризующая объект или процесс, может иметь разный объем и форму представления, выражаться различными средствами. Это многообразие настолько безгранично, насколько велики возможности каждого человека и его фантазии. К информационным моделям можно отнести знаковые и вербальные.

3.2.1. Знаковая модель - информационная модель, выраженная специальными знаками, т. е. средствами любого формального языка. Это рисунки, тексты, графики и схемы.

По способу реализации знаковые модели можно разделить на

-- компьютерные и

-- некомпьютерные

3.2.2. Вербальная (от лат «verbalis» - устный) модель - информационная модель в мысленной или разговорной форме.

Это модели, полученные в результате раздумий, умозаключений. Они могут так и остаться мысленными или быть выражены словесно. Примером такой модели может стать наше поведение при переходе улицы. Человек анализирует ситуацию на дороге (что показывает светофор, с какой скоростью и на каком расстоянии движутся автомобили и т. п.) и вырабатывает свою модель поведения. Если ситуация смоделирована удачно, то переход будет безопасным, если нет, то может произойти авария. К таким моделям можно отнести идею, возникшую в голове изобретателя, музыкальную тему, промелькнувшую в голове композитора, рифму, прозвучавшую пока в голове поэта.

Знаковые и вербальные модели, как правило, взаимосвязаны. Мысленный образ, родившийся в мозгу человека, может быть облечен в знаковую форму. И, наоборот, знаковая модель - помогает сформировать в сознании верный мысленный образ.

3. Моделирование

Наряду с понятием «модели» используется и термин «моделирование». Виды моделирования:

3.а) Материальное (физическое) - реальный объект заменяется его увеличенной или уменьшенной копией, допускающая исследование. Примеры: в астрономии - планетарий, в архитектуре - макеты зданий, в самолетостроении - модели летательных аппаратов и т.п.

3.б) Идеальное моделирование - основано не на материальной аналогии объекта и модели, а на аналогии идеальной, мыслимой.

3.в) Знаковое моделирование - это моделирование, использующее в качестве моделей знаковые преобразования какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, формулы, наборы символов.

3.г) Математическое моделирование - это моделирование, при котором исследование объекта осуществляется посредством модели, сформулированной на языке математики: описание и исследование законов механики Ньютона средствами математических формул.

Основной задачей процесса моделирования является выбор наиболее адекватной к оригиналу модели и перенос результатов исследования на оригинал. Существуют достаточно общие методы и способы моделирования.

4. Оценка соответствия модели реальности (адекватность). Метод статистических испытаний (Монте Карло).

При выполнении системного анализа важно оценивать, насколько соответствует используемая модель реальному объекту или процессу, ее адекватность. Это может быть оценено на логическом или экспериментальном уровнях. Но существует и объективная невозможность оценить адекватность модели на логическом уровне. Это касается, прежде всего, сложных систем - человек не может логически осмыслить взаимодействие десятков, сотен элементов. Поэтому такие модели стремятся упрощать, строить минимально достаточными - простыми без потери смысла и реальности процессов. Построить логически адекватную модель элемента (подсистемы) сложной системы реальнее, чем модель всей сложной системы в целом. Так как, система это не просто сумма свойств ее элементов, надо признать возможность ошибочных выводов, полученных при анализе части системы при переносе оценки на всю систему в целом. Кроме того, следует иметь ввиду и сложность учета влияния на систему в целом факторов внешней среды.

Здесь приходит на помощь особый способ моделирования -- метод статистических испытаний (Монте Карло). Суть этого метода проста -- имитируется достаточно долгая “жизнь” модели, несколько сотен семестров для нашего примера. При этом моделируются и регистрируются случайно меняющиеся внешние (входные) воздействия на систему. Для каждой из ситуации по уравнениям модели просчитываются выходные (системные) показатели. Затем производится обратный расчет -- по заданным выходным показателям производится расчет входных. Конечно, никаких совпадений мы не должны ожидать -- каждый элемент системы при входе “Да” вовсе не обязательно будет “Да” на выходе. Но существующие современные методы математической статистики позволяют ответить на вопрос -- а можно ли и, с каким доверием, использовать данные моделирования. Если эти показатели доверия для нас достаточны, мы можем использовать модель для ответа на поставленные выше вопросы.

5. Моделирование при исследовании социально-экономических систем

В социальных и экономических системах прибегают к количественным, качественным и логическим характеристикам. Здесь, конечно, системный анализ требует и специальных знаний. Например, в области экономики и психологии. На основе этого строятся соответствующие модели: модель роста, планирования экономики, межотраслевого баланса, прогностического равновесия, бизнес процесса (бизнес-модель) и т.д.

6. Этапы системного анализа методом моделирования

Основные этапы:

Содержательная постановка задачи

Построение модели изучаемой системы

Отыскание решения задачи с помощью модели

Проверка решения с помощью модели

Подстройка решения под внешние условия

Осуществление решения

7. Построение модели изучаемой системы в общем случае

Модель изучаемой системы в самом лаконичном виде можно представить в виде зависимости

E = f(X,Y)

где: E -- некоторый количественный показатель эффективности системы в плане достижения цели ее существования T, будем называть его -- критерий эффективности.

X -- управляемые переменные системы -- те, на которые мы можем воздействовать или управляющие воздействия;

Y -- неуправляемые, внешние по отношению к системе воздействия; их иногда называют состояниями природы.

Заметим, прежде всего, что возможны ситуации, в которых нет никакой необходимости учитывать состояния природы. Так, например, решается стандартная задача размещения запасов нескольких видов продукции и при этом можем найти E вполне однозначно, если известны значения Xi и, кроме того, некоторая информация о свойствах анализируемой системы.

В таком случае принято говорить о принятии управляющих решений или о стратегии управления в условиях определенности.

Если же с воздействиями окружающей среды, с состояниями природы мы вынуждены считаться, то приходится управлять системой в условиях неопределенности или, еще хуже -- при наличии противодействия. Рассмотрим первую, на непросвещенный взгляд -- самую простую, ситуацию.

8. Моделирование в условиях определенности. Метод линейного программирования

Классическим примером простейшей задачи системного анализа в условиях определенности может служить задача производства и поставок товара. Пусть некоторая фирма должна производить и поставлять продукцию клиентам равномерными партиями в количестве N =24000 единиц в год. Срыв поставок недопустим, так как штраф за это можно считать бесконечно большим.

Запускать в производство приходится сразу всю партию, таковы условия технологии. Стоимость хранения единицы продукции Cx=10 копеек в месяц, а стоимость запуска одной партии в производство (независимо от ее объема) составляет Cp =400 руб.

Таким образом, запускать в год много партий явно невыгодно, но невыгодно и выпустить всего 2 партии в год -- слишком велики затраты на хранение! Где же “золотая середина”, сколько партий в год лучше всего выпускать?

Будем строить модель такой системы. Обозначим через n размер партии и найдем количество партий за год --

p = N / n 24000 / n.

Получается, что интервал времени между партиями составляет t = 12 / p (месяцев), а средний запас изделий на складе -- n/2 штук.

Сколько же нам будет стоить выпуск партии в n штук за один раз?

Сосчитать нетрудно -- 0.1 12 n / 2 руб. на складские расходы в год и 400p руб. за запуск партий по n штук изделий в каждой.

В общем виде годовые затраты составляют

E = Tn / 2 + N / n {3 - 2}

где T = 12 -- полное время наблюдения в месяцах.

Перед нами типичная вариационная задача: найти такое n0, при котором сумма E достигает минимума.

Решение этой задачи найти совсем просто -- надо взять производную по n и приравнять эту производную нулю. Это дает что для нашего примера составляет 4000 единиц в одной партии и соответствует интервалу выпуска партий величиной в 2 месяца.

n0 = , {3 - 3}

Затраты при этом минимальны и определяются как

E0 = , {3 - 4}

что для нашего примера составляет 4800 руб. в год.

Сопоставим эту сумму с затратами при выпуске 2000 изделий в партии или выпуске партии один раз в месяц (в духе недобрых традиций социалистического планового хозяйства):

Существует целый класс задач системного анализа и соответствующих им моделей систем, где речь идет о необходимости минимизировать одну функции многих переменных следующего типа:

E = a1X1 + a2X2 + ..... anXn {3 - 5}

где Xi -- искомые переменные, ai -- соответствующие им коэффициенты или “веса переменных” и при этом имеют место ограничения как на переменные, так и на их веса.

Задачи такого класса достаточно хорошо исследованы в специальном разделе прикладной математики -- линейном программировании. Еще в докомпьютерные времена были разработаны алгоритмы поиска экстремумов таких функций E = f(a,X), которые так и назвали -- целевыми. Эти алгоритмы или приемы используются и сейчас -- служат основой для разработки прикладных компьютерных программ системного анализа.

Системный подход к решению практических задач управления экономикой, особенно для задач со многими десятками сотен или даже тысячами переменных привел к появлению специализированных, типовых направлений как в области теории анализа, так и в практике.

Наиболее “старыми” и, следовательно, наиболее обкатанными являются методы решения специфичных задач, которые давно уже можно называть классическими.

Специалистам в области делового администрирования надо знать эти задачи хотя бы на уровне постановки и, главное, в плане моделирования соответствующих систем.

Задачи управления запасами

Первые задачи управления запасами были рассмотрены еще в 1915 году -- задолго не только до появления компьютеров, но и до употребления термина “кибернетика”. Был обоснован метод решения простейшей задачи -- минимизация затрат на заказ и хранение запасов при заданном спросе на данную продукцию и фиксированном уровне цен. Решение -- размер оптимальной партии обеспечивало наименьшие суммарные затраты за заданный период времени.

Несколько позже были построены алгоритмы решения задачи управления запасами при более сложных условиях -- изменении уровня цен (наличие “скидок за качество” и / или “скидок за количество”); необходимости учета линейных ограничений на складские мощности и т. п.

Задачи распределения ресурсов

В этих задачах объектом анализа являются системы, в которых приходится выполнять несколько операций с продукцией (при наличии нескольких способов выполнения этих операций) и, кроме того, не хватает ресурсов или оборудования для выполнения всех этих операций.

Цель системного анализа -- найти способ наиболее эффективного выполнения операций с учетом ограничений на ресурсы.

Объединяет все такие задачи метод их решения -- метод математического программирования, в частности, -- линейного программирования. В самом общем виде задача линейного программирования формулируется так: требуется обеспечить минимум выражения (целевой функции)

E(X) = C1X1 + C2X2 + ......+ CiXi + ... CnXn

при следующих условиях:

все Xi положительны и, кроме того, на все Xi налагаются m ограничений (m < n)

A11X1 + A12X2 + ......+ AijXj + ... A1nXn = B1;

....................................................................................

Ai1X1 + Ai2X2 + ......+ AijXj + ... AinXn = Bi;

.....................................................................................

Am1X1 + Am2X2 + .....+ AmjXj+ ... AmnXn = Bm .

Начала теоретического обоснования и разработки практических методов решения задач линейного программирования были положены Д. Данцигом (по другой версии -- Л.В. Канторовичем).

Для большинства конкретных приложений универсальным считается т. н. симплекс-метод поиска цели, для него и смежных методов разработаны специальные пакеты прикладных программ (ППП) для компьютеров.

9. Оценка сложных систем в неопределенных условиях по нескольким критериям

В настоящее время нет универсального критерия по выбору решения для задач неопределенных статически. Разработаны лишь общие требования к критериям и процедурам оценки и выбора оптимальных систем.

Обычно задачи записываются в матрице вида:

а \ n	n1	…	n k	K (aj)
a1 . . . a m	k 11	…	K mk

a = (а1…аm) - вектор управляемых параметров, определяющий свойства систем

n = (n1...nk) - вектор неуправляемых параметров, определяющий состояние обстановки.

Кij - значение эффективности системы аi для состояния обстановки nj

Наиболее часто в неопределенной ситуации используются критерии:

Среднего выигрыша

Достаточного основания (критерий Лапласа)

Осторожного наблюдателя (критерий Вальда)

Пессимизма-оптимизма (критерий Гурвица)

Минимального риска (критерий Севиджа)

Пример

Необходимо оценить один из трех программных продуктов аi для борьбы с одним из четырех программных воздействий kj. Матрица эффективности выглядит следующим образом:

а\к	к1	к2	к3	к4
а1	0,1	0,5	0,1	0,2
а2	0,2	0,3	0,2	0,4
а3	0,1	0,4	0,4	0,3

Критерий среднего выигрыша

Предполагает задание вероятностей состояния обстановки Рi. Эффективность систем оценивается как среднее ожидание (мат. ожидание) оценок эффективности по всем состояниям обстановки. Оптимальной системе будет соответствовать максимальная оценка.

К = ? РiКij

Предположим, что вероятность применения противником программных воздействий Р1 = 0,4; Р2=0,2; Р3=0,1; Р4=0,3

К(а1)=0,4*0,1+0,2*0,5+0,1*0,1+0,3*0,2=0,21

К(а2)=0,4*0,2+0,2*0,3+0,1*0,2+0,3*0,4=0,28

К(а3)=0,4*0,1+0,2*0,4+0,1*0,4+0,3*0,3=0,25

Оптимальное решение по данному критерию - программный продукт а2.

10. Критерий Лапласа (достаточного основания)

Предполагается, что состояние обстановки равновероятно, так как нет достаточных оснований предполагать иное.

К=1/к?Кij,

для каждого i, а оптимальное значение указывает максимальную сумму К.

Р1=0,25; Р2=0,25; Р3=0,25; Р4=0,25

К(а1)=0,25*(0,1+0,5+0,1+0,2)=0,225

К(а2)=0,25*(0,2+0,3+0,2+0,4)=0,275

К(а3)=0,25*(0,1+0,4+0,4+0,3)=0,3

Оптимальное решение - программа а3

Замечание - критерий Лапласа - это частный случай критерия среднего выигрыша.

11. Критерий осторожного наблюдателя (критерий Вальда)

Это максимальный критерий (максимальные доходы, минимальные потери). Он гарантирует определенный выигрыш при худших условиях. Критерий использует то, что при неизвестной обстановке нужно поступать самым осторожным образом, ориентируясь на минимальное значение эффекта каждой системы.

Для этого в каждой строке матрицы находится минимальная из оценок систем

К(аi) min Кij.

Оптимальной считается система из строки с максимальным значением эффективности

Копт=max (minKij) для всех ij

К(а1)=min(0,1;0,5;0,1;0,2)=0,1

К(а2)=min(0,2;0,3;0,2;0,4)=0,2

К(а3)=min(0,1;0,4;0,4;0,3)=0,1

Оптимальное решение - продукт а2

В любом состоянии обстановки выбранная система покажет результат не хуже найденного максимина. Однако такая осторожность является в ряде случаев недостатком критерия.

12. Критерий пессимизма-оптимизма (критерий Гурвица)

Критерий обобщенного максимина. Согласно данному критерию при оценке и выборе систем не разумно проявлять как осторожность, так и азарт. Следует принимать во внимание самое высокое и самое низкое значение эффективности и занимать промежуточную позицию. Эффективность находится как взвешенная с помощью коэффициента б суммы максимальных и минимальных оценок.

К(ai) = б max Kij+(1- б)*min Kij

j j

0? б ?1

Копт = max { б max Kij+(1- б)*min Kij}

б =0,6

К(а1)=0,6*0,5+(1-0,6)*0,1=0,34

К(а2)=0,6*0,4+(1-0,6)*0,2=0,32

К(а3)=0,6*0,4+(1-0,6)*0,1=0,28

Оптимальное решение - продукт а1

При б = 0 критерий Гурвица сводится к критерию максимина. На практике используются значения б из интервала (0,3ч0,7).

моделирование соответствие статистический

13. Критерий минимального риска (критерий Севиджа)

Минимизирует потери эффективности при наихудших условиях. В этом случае матрица эффективности должна быть преобразована в матрицу потерь. Каждый элемент определяется как разность между максимальным и текущим значениями оценок эффективности в столбце.

? Кij = maxKij - Kij

После преобразования матрицы используется критерий минимакса, т.е. оптимального решения критерия.

K(ai)=max? Кij

j

Kопт=min (max? Кij)

i j

Таблица «Матрица потерь»

а\к	к1	к2	к3	к4	к(аi)
а1	0,1	0	0,3	0,2	0,3
а2	0	0,2	0,2	0	0,2
а3	0,1	0,1	0	0,1	0,1

Итоговые результаты выписываем в таблицу «Форма записи результатов».

Таблица «Форма записи результатов»

а\к	к1	к2	к3	к4	Ср. выигр	Лапласа	Вальда	Гурвица	Севиджа
а1	0,1	0,5	0,1	0,2	0,21	0,225	0,1	0,34	0,3
а2	0,2	0,3	0,2	0,4	0,28	0,275	0,2	0,32	0,2
а3	0,1	0,4	0,4	0,3	0,25	0,300	0,1	0,28	0,1

Тип критерия для выбора рационального варианта выбирается на аналитической стадии рассмотрения сложных систем.

Размещено на Allbest.ru

...