Статистическое исследование взаимосвязи объема выпуска продукции и средней дневной производительностью рабочих на приборостроительных предприятиях

Размещено на http://www.allbest.ru/

22

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Контрольная работа

Вариант №2

«Статистическое исследование взаимосвязи объема выпуска продукции и средней дневной производительностью рабочих на приборостроительных предприятиях»



Провести статистическое исследование: выполнить равноинтервальные группировки по каждому признаку, построить гистограммы, кумуляты, найти арифметические средние, модальные и медиальные значения. Полагая, что в задании приведены выборочные данные, с указанной вероятностью найти предельные ошибки определения средних арифметических и доли (ошибки репрезентативности). Установить наличие взаимосвязи между приведенными признаками, выделив факторный и результативный и построив корреляционную таблицу. Определить степень тесноты связи с помощью линейного коэффициента корреляции и эмпирического корреляционного отношения и объяснить смысл показателей тесноты связи. Установить вид уравнения регрессии и найти его параметры. Построить график уравнения регрессии и дать прогнозное заключение.

Все расчеты сопроводить необходимыми пояснениями. Сделать общие выводы по результатам статистического исследования.

Таблица 1 Исходные данные (15-ти % выборка, вероятность 0,997)

Статистическая сводка и группировка первичных данных

По данным статистического наблюдения видно, что вариация признаков появляется в сравнительно узких границах и распределение носит равномерный характер. В этом случае строят группировку с равными интервалами. Количество групп зависит в первую очередь от степени колеблемости признака: чем больше колеблемость признака (размах вариации), тем больше можно образовать групп.

Для определения числа групп воспользуемся формулой:

Величина интервала h по формуле:

; (1.2)

Полученную по формуле (1.2) величину, которая будет являться шагом интервала, округляют (округление не должно отличаться от исходного значения более, чем на 10-15%). При этом для первого интервала нижней границей будет являться , а верхней - (+ h) и т.д. Таким образом, нижняя граница i-го интервала равна верхней границе (i-1) - го интервала.

Результаты группировки заносятся в таблицу.

Далее определяются величины показателей, характеризующих группы, и разносятся по каждой группе. В этом случае речь идет о рядах распределения, т.е. об упорядоченном распределении единиц совокупности по определенному признаку.

Определение средней арифметической и структурных средних

Для характеристики среднего значения признака в вариационном ряду применяются: средняя арифметическая (взвешенная), мода, медиана.

Расчет средней арифметической производится по сгруппированным данным, т.к. некоторые значения признака повторяются.

Средняя арифметическая взвешенная определяется по формуле:

= ; (1.3)

Мода - наиболее часто встречающееся значение признака.

В интервальном ряду определяется модальный интервал, т.е. интервал с наибольшим количеством повторений признака.

Значение моды определяется по формуле:

= + h * ; (1.4)

Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда.

Положение медианы определяется ее номером. Медианным является первый интервал, в котором сумма накопленных частот превысит половину общего числа наблюдений.

Численное значение медианы определяется по формуле:

= + h * ; (1.5)

Гистограмма и кумулята

Анализ рядов распределения можно наглядно проводить на основе их графического представления.

Гистограмма применяется для изображения интервального вариационного ряда. При построении на оси X откладываются величины интервалов, а частоты изображаются прямоугольниками, построенных на соответствующих интервалах. В результате мы получаем столбиковую диаграмму. При помощи кумуляты изображается ряд накопленных частот. При построении на оси X откладываются варианты ряда, а по оси Y - накопленные частоты.

Средняя и предельная ошибка выборки

Предельные ошибки определения средних арифметических и доли (ошибки репрезентативности).

Предельная ошибка выборки определяется по формуле:

; (1.6)

где t - коэффициент, который определяется по таблицам в соответствии с доверительной вероятностью

Выборка предприятий - случайная и бесповоротная. При случайной бесповоротной выборке величина средней квадратической ошибки рассчитывается по формуле:

; (1.7)

; (1.8)

Интервальная оценка генеральной средней будет равна:

; (1.9)

Доля (ошибка репрезентативности) вычисляется по формуле:

; (1.10)



Доверительный интервал для генеральной доли:

; (1.11)

Средняя производительность рабочих на предприятии

Построим вариационный ряд.

Таблица 2 Средняя производительность рабочих

№ завода	Производительность, руб./чел.	Объем продукции, млн. руб
35	47,3	7,6
33	50	8,5
28	51,4	6,4
21	55,3	7,1
1	56,7	4,2
31	56,9	9,1
34	57	10,7
9	57,9	5,6
29	60,6	8,8
11	61,5	1,9
22	63,4	6,9
36	64	6,9
15	65,6	3,6
20	66,4	6,2
6	66,9	11,9
17	67	3,5
16	67,3	7,9
24	67,3	4,8
7	67,4	9,4
10	67,7	12,6
32	70,3	10,3
3	71,6	5,2
2	72,9	6,4
4	73,4	1,5
8	73,6	4,4
12	74,6	5,8
5	77,6	2,5
13	79,5	3,5
30	80,4	6,4
18	80,5	3,9
19	81,2	2,4
23	83,4	5,6
37	86	4,3
26	88	4,3
25	88,3	5,1
14	89	8,9
27	96,1	5,7

По формулам (1.1) и (1.2) определяем:

k = 6

R = 48,8 h = 8,2

Результаты группировки приведены в табл. 3. При этом накопленные частоты определяются путем последовательного суммирования частот по группам.

Таблица 3 Группировка предприятий по производительности

№ п/п	Интервал	Середина интервала	Частота интервала	Частость	Накопленная частота
1	[47,3; 55,5]	51,4	4	0,108	4
2	[55,5; 63,7]	59,6	7	0,189	11
3	[63,7; 71,9]	67,8	11	0,297	22
4	[71,9; 80,1]	76	6	0,162	28
5	[80,1; 88,3]	84,2	6	0,162	34
6	[88,3; 96,5]	92,4	3	0,081	37
Сумма			37

По формулам (1.3), (1.4) и (1,5) рассчитываем среднюю численность в целом по 37 предприятиям:



Модальный интервал (см. табл.3) - третий [63,7; 71,9), т.к. он имеет наибольшую частоту (11).

Медианный интервал - третий [63,7; 71,9), т.к. накопленная частота 19.

Построим гистограмму (рис.1), на которой отразим распределение предприятий по признаку x. Выделим на ней модальный интервал.

Рисунок 1. Приборостроительных предприятий по численности

Анализируя диаграмму на рис.1, видно, что в рассматриваемой совокупности приборостроительных предприятий наиболее часто встречаются предприятия с численностью 63,7. Величина медианы свидетельствует о том, что средняя дневная производительность 50% предприятий 77,64.

Построим график кумуляты по данным табл.3.



Рисунок 2. Кумулята распределения предприятий по численности

Рассчитаем предельную ошибку средней арифметической и ошибку репрезентативности по формулам (1.6 - 1.11). при вероятности Р=0,997 t=3 (определена с помощью таблицы нормального распределения):

Интервальная оценка генеральной средней равна:

Таким образом с вероятностью 0,997 можно утверждать, что средняя дневная производительность по 37 предприятиям находится в интервале от 65,11 до 75,81.

Решим задачу определения доли предприятий, дневная производительность которых находится в интервале [63,2; 71,7). Согласно таблице 3 численность таких предприятий составляет m=11, а относительная частота :

Тогда ошибка репрезентативности, согласно (1.10) равна:

Найдем доверительный интервал для данного показателя: , , т.е. с вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля предприятий, дневная производительность которых лежит в пределах от 65,11 до 75,81, находится в пределах от 11% до 49%.

Объем выпуска продукции

Построим вариационный ряд.

Таблица 4 Объем выпуска продукции

№ завода	Производительность, руб./чел.	Объем продукции, млн. руб
4	73,4	1,5
11	61,5	1,9
19	81,2	2,4
5	77,6	2,5
13	79,5	3,5
17	67	3,5
15	65,6	3,6
18	80,5	3,9
1	56,7	4,2
26	88	4,3
37	86	4,3
8	73,6	4,4
24	67,3	4,8
25	88,3	5,1
3	71,6	5,2
9	57,9	5,6
23	83,4	5,6
27	96,1	5,7
12	74,6	5,8
20	66,4	6,2
2	72,9	6,4
28	51,4	6,4
30	80,4	6,4
22	63,4	6,9
36	64	6,9
21	55,3	7,1
35	47,3	7,6
16	67,3	7,9
33	50	8,5
29	60,6	8,8
14	89	8,9
31	56,9	9,1
7	67,4	9,4
32	70,3	10,3
34	57	10,7
6	66,9	11,9
10	67,7	12,6

Аналогично проведенным выше расчетам (пункт 2) произведем расчеты необходимых величин по результативному признаку. Результаты группировок оформим в виде таблицы 5. По формулам (1.1) и (1.2) определяем: k = 6

R = 11,1 h = 1,85

Результаты группировки приведены в табл. 5. При этом накопленные частоты определяются путем последовательного суммирования частот по группам.

Таблица 5 Группировка приборостроительных предприятий по объему выпуска продукции

№ п/п	Интервал	Середина интервала	Частота интервала	Частость	Накопленная частота
1	[1,50; 3,35]	2,43	4	0,108	4
2	[3,35; 5,20]	3,28	10	0,270	14
3	[5,20; 7,05]	6,13	11	0,297	25
4	[7,05; 8,90]	7,98	5	0,135	30
5	[8,90; 10,75]	9,83	5	0,135	35
6	[10,75; 12,60]	11,68	2	0,054	37
Сумма			37

По формулам (1.3), (1.4) и (1,5) рассчитываем средний объем выпуска продукции по 37 предприятиям:

Модальный интервал (см. табл.5) - третий [5,20; 7,05), т.к. он имеет наибольшую частоту (11).

Медианный интервал - третий [5,20; 7,05), т.к. накопленная частота 19.

Построим гистограмму (рис.3), на которой отразим распределение предприятий по признаку y. Выделим на ней модальный интервал.



Рисунок 3. Распределение приборостроительных предприятий по объему выпуска продукции

Анализируя диаграмму на рис.3, видно, что в рассматриваемой совокупности приборостроительных предприятий наиболее часто встречаются предприятия с объемом выпуска продукции 5,20. Величина медианы свидетельствует о том, что средняя дневная производительность 50% предприятий 6,04.

Построим график кумуляты по данным табл.5.

Рисунок 4. Кумулята распределения предприятий по объему выпуска продукции.



Рассчитаем предельную ошибку средней арифметической и ошибку репрезентативности по формулам (1.6 - 1.11). при вероятности Р=0,997 t=3 (определена с помощью таблицы нормального распределения):

Интервальная оценка генеральной средней равна:

Таким образом с вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний объем выпуска продукции по 37 предприятиям находится в интервале от 4,75 до 7,27. Решим задачу определения доли предприятий, объем выпуска продукции которых находится в интервале [5,20; 7,05). Согласно таблице 5 численность таких предприятий составляет m=11, а относительная частота :

Тогда ошибка репрезентативности, согласно (1.10) равна:



Найдем доверительный интервал для данного показателя: , , т.е. с вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля предприятий, объем выпуска продукции которых лежит в пределах от 4,75 до 7,27, находится в пределах от 9% до 51%.

Корреляционный анализ

Исследование связи между факторным и результативным признаками. Построение корреляционной таблицы

Сгруппируем предприятия по двум признакам одновременно, считая, что объем выпуска продукции является результативным признаком, а дневная производительность рабочих - факторным.

Результаты отразим в таблице 6 - наглядно представляем статистическую зависимость объема выпуска продукции от дневной производительности на предприятии (т.е. каждому отдельному значению x соответствует не одно, а несколько значений y).

Таблица 6 Взаимосвязь факторного и результативного признаков

y/х	[1,50; 3,35)	[3,35; 5,20)	[5,20; 7,05)	[7,05; 8,90)	[8,90; 10,75)	[10,75; 12,60)	fi
[47,3; 55,5]			1	3			4
[55,5; 63,7]	1	1	2	1	2		7
[63,7; 71,9]		3	3	1	2	2	11
[71,9; 80,1]	2	2	2				6
[80,1; 88,3]	1	3	2				6
[88,3; 96,5]		1	1		1		3
fj	4	10	11	5	5	2	37

Графически такая зависимость объема выпуска продукции от дневной производительности рабочих может быть представлена с помощью поля корреляции, изображенного на рис.5.



Рисунок 5. Корреляционное поле

Определение степени тесноты связи

Для установления самого факта наличия (или отсутствия) статистической значимости между объемом выпуска продукции и дневной производительностью рабочих на приборостроительном предприятии воспользуемся измерителем статистической связи - линейным коэффициентом корреляции.

Линейный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

Или в MS Excel с помощью команды «=КОРРЕЛ(диапазонx;диапазонy)

Степень тесноты связи зависти от близости к единице , чем ближе он к единице, тем теснее считается связь. Т.к. , то связь между факторным и результативным признаком обратная, и , то эта связь слабая линейная. Т.е. у предприятий с большей дневной производительностью не обязательно большой объем выпуска продукции.

Регрессионный анализ

После выявления наличия связей между x и y, оценка степени их частоты, можно перейти к математическому описанию статистической зависимости с использованием регрессионного анализа.

Построим линейную модель.

Для нахождения коэффициентов воспользуемся программой MS Excel, выбрав для этого команду «Данные>Анализ данных>Регрессия». Но сначала построим Диаграмму рассеивания рис.6.

Рисунок 6. Диаграмма рассеивания.



После выбора команды «Данные>Анализ данных>Регрессия» выводятся итоги рис.7.

Рисунок 7. Итоги регрессионного анализа.

Модель будет выглядеть так:

По итогам регрессионного анализа можно сделать выводы, о том что полученная модель всего на 10% объясняет изменения объема выпуска продукции. Так же F-критерий и коэффициент p, поэтому модель считается статистически незначимой.

Изменим вид модели.

Для проверки этой модели построим таблицу 7.

Таблица 7

	x	xІ	y		x	xІ	y
1	4,2	17,64	56,7	20	6,2	38,44	66,4
2	6,4	40,96	72,9	21	7,1	50,41	55,3
3	5,2	27,04	71,6	22	6,9	47,61	63,4
4	1,5	2,25	73,4	23	5,6	31,36	83,4
5	2,5	6,25	77,6	24	4,8	23,04	67,3
6	11,9	141,61	66,9	25	5,1	26,01	88,3
7	9,4	88,36	67,4	26	4,3	18,49	88
8	4,4	19,36	73,6	26	5,7	32,49	96,1
9	5,6	31,36	57,9	26	6,4	40,96	51,4
10	12,6	158,76	67,7	29	8,8	77,44	60,6
11	1,9	3,61	61,5	30	6,4	40,96	80,4
12	5,8	33,64	74,6	31	9,1	82,81	56,9
13	3,5	12,25	79,5	32	10,3	106,09	70,3
14	8,9	79,21	89	33	8,5	72,25	50
15	3,6	12,96	65,6	34	10,7	114,49	57
16	7,9	62,41	67,3	35	7,6	57,76	47,3
17	3,5	12,25	67	36	6,9	47,61	64
18	3,9	15,21	80,5	37	4,3	18,49	86
19	2,4	5,76	81,2

После составления таблицы 7 снова выберем функцию «Регрессия» в программе MS Excel, но теперь уже будет три коэффициента ().

Рисунок 8. Итоги регрессионного анализа.

По итоговым данным видно, что полученная модель на 92% объясняет изменения объема выпуска продукции, что является довольно хорошим результатом.

F-критерий все значения p , значит все они значимы.

Конечная модель будет выглядеть так:

Следующим этапом является построение таблицы значений отклонений (табл.8). Где расчетное значение y определяется по формуле:

,

а отклонение по формуле:

Таблица 8 Расчет значений отклонений

yфакт	yрасч	Отклонения	Ошибка
56,7	65,5	-8,8	0,154
72,9	78,3	-5,4	0,075
71,6	73,1	-1,5	0,021
73,4	29,5	43,9	0,598
77,6	45,4	32,2	0,415
66,9	46,2	20,7	0,309
67,4	72,2	-4,8	0,072
73,6	67,2	6,4	0,086
57,9	75,4	-17,5	0,302
67,7	35,5	32,2	0,475
61,5	36,3	25,2	0,411
74,6	76,3	-1,7	0,023
79,5	58,3	21,2	0,267
89	75,1	13,9	0,156
65,6	59,4	6,2	0,095
67,3	78,7	-11,4	0,169
67	58,3	8,7	0,130
80,5	62,6	17,9	0,223
81,2	44,0	37,2	0,459
66,4	77,8	-11,4	0,171
55,3	79,4	-24,1	0,435
63,4	79,2	-15,8	0,250
83,4	75,4	8,0	0,096
67,3	70,4	-3,1	0,047
88,3	72,5	15,8	0,179
88	66,4	21,6	0,246
96,1	75,8	20,3	0,211
51,4	78,3	-26,9	0,524
60,6	75,6	-15,0	0,248
80,4	78,3	2,1	0,026
56,9	74,1	-17,2	0,302
70,3	65,1	5,2	0,075
50	76,9	-26,9	0,539
57	61,1	-4,1	0,071
47,3	79,2	-31,9	0,674
64	79,2	-15,2	0,238
86	66,4	19,6	0,228
		Сумма	8,998
		Ошибка	24%

Так же в таблице 8 представлена ошибка аппроксимации, которая рассчитывается по формуле:

Чем меньше ошибка аппроксимации, тем лучше прогнозные качества модели. Полученная ошибка , это значит, что у данной модели неудовлетворительная точность.

На основе уравнения регрессии нежелательно прогнозировать изменение зависимости объема выпуска продукции в зависимости от дневной производительности рабочих, т.к. ввиду низкой коррелируемости этих показателей регрессионная модель плохо описывает данные.

Построим график отклонений, характеризующий качество модели (рис.9).

Рисунок 9. График отклонений.



Так как на графике (рис.9) прослеживается некая закономерность, качество модели - плохое. Следовательно, с помощью этой модели нельзя делать прогнозы относительно данных приборостроительных предприятий.

корреляционный анализ производительность персонал продукция



Заключение

По проведенному статистическому исследованию зависимости объема выпуска продукции от дневной производительности рабочих на приборостроительных предприятиях можно сделать следующие выводы.

1. Анализ средних величин показал, что дневная производительность и объем выпуска в среднем составляют 70,45 руб./чел и 6,21 млн. руб. соответственно. Наиболее часто встречаются предприятия дневная производительность которых находится в пределах от 64,84 до 76,07, а объем выпуска продукции - от 4,91 до 7,52 млн. руб.

2. Методами корреляционного анализа было установлено, что рассматриваемые признаки слабо взаимосвязаны. Расчет показателя степени тесноты связи показал, что связь между двумя признаками прямая, но слабая - увеличение объемов выпуска продукции не всегда связано с увеличение дневной производительности рабочих на приборостроительных предприятиях.

Размещено на Allbest.ru

...