Основы эконометрии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

По территориям региона приводятся данные за 2013 год.

Номер региона,	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб.,	Среднедневная заработная плата, руб.,
1	83	137
2	88	142
3	75	128
4	89	140
5	85	133
6	79	153
7	81	142
8	97	154
9	79	132
10	90	150
11	84	132
12	112	166

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии от .

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью -критерия Фишера и -критерия Стьюдента.

4. Выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума , составляющем 107% от среднего уровня.

5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

6. На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

7. Проверить вычисления в MS Excel.

Решение

1. Задача линейного регрессионного анализа состоит в том, чтобы по имеющимся статистическим данным (x_i, y_i), i=1,2,…, n, для переменных X и Y получить наилучшие оценки неизвестных параметров , т.е. построить так называемое эмпирическое уравнение регрессии

,

где оценка условного математического ожидания М (Y/ X=x_i); оценки неизвестных параметров , называемые эмпирическими коэффициентами регрессии. В каждом конкретном случае можно записать

, i=1,2,…, n,

где отклонения е_i - ошибки (остатки) модели, которые являются оценками теоретического случайного отклонения е_i.

Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). В методе наименьших квадратов оценки параметров модели строятся так, чтобы минимизировать сумму квадратов ошибок модели по всем наблюдениям. Используя формулы, полученные этим методом получаем:

где выборочные средние значения переменных Х и Y.

Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу.

№	y	x	ух	x2	y2
1	137,0	83,0	11371,0	6889,0	17689,0	139,0	-2,0	3,9	1,4
2	142,0	88,0	12496,0	6724,0	21904,0	143,5	-1,5	2,2	1,0
3	128,0	75,0	9600,0	7569,0	17956,0	131,8	-3,8	14,1	2,9
4	140,0	89,0	12460,0	6241,0	23716,0	144,4	-4,4	19,1	3,1
5	133,0	85,0	11305,0	7921,0	26244,0	140,8	-7,8	60,3	5,8
6	153,0	79,0	12087,0	11236,0	38025,0	135,4	17,6	311,1	11,5
7	142,0	81,0	11502,0	4489,0	19321,0	137,2	4,8	23,4	3,4
8	154,0	97,0	14938,0	7744,0	24964,0	151,6	2,4	5,9	1,6
9	132,0	79,0	10428,0	5329,0	23104,0	135,4	-3,4	11,3	2,5
10	150,0	90,0	13500,0	7569,0	26244,0	145,3	4,7	22,4	3,2
11	132,0	84,0	11088,0	5776,0	25281,0	139,9	-7,9	61,9	6,0
12	166,0	112,0	18592,0	13225,0	29929,0	165,1	0,9	0,8	0,6
Итого	1709	1042	149367	90712	294377	1709	2,842E-14	536,31	43,08
Среднее значение	142,42	86,83	12447,25	7559,33	24531,42	142,42	2,368E-15	44,69	3,59
	128,08	97,79
	11,32	9,89

;

Получено уравнение регрессии: . С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,9 руб.

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

, где

где ,

Это означает, что 62% вариации заработной платы (у) объясняется вариацией фактора х - среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как А не превышает 8 - 10%.

3. Рассчитаем F - критерий.

, .

-гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии отклоняется.

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу H₀ о статистически незначимом отличии показателей от нуля:

t_табл для числа степеней свободы и составит 2,23.

Определим фактические значения -критерия Стьюдента

Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

Тогда

Фактические значения t-статистики превосходят табличные значения:

Поэтому гипотеза H₀ для а, b и отклоняется, т.е. а, b и не случайно отличаются от нуля, и статистически значимы.

Рассчитаем доверительный интервал для b. Для этого определим предельную ошибку для этого показателя:

Доверительные интервалы:

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры a и b, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит: тыс. руб. тогда прогнозное значение среднедневной заработной платы составит:

тыс. руб.

5. Ошибка прогноза составит:

 тыс. руб.

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

Доверительный интервал прогноза:

руб.;

руб.

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является надежным () и находится в пределах от 130,65 руб. до 165,13 руб.

6. Построим на одном графике исходные данные и теоретическую прямую:

7. При выполнении лабораторной работы можно использовать программу Excel (Сервис, Анализ данных, Регрессия).

Задача 2

По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%)).

Номер предприятия				Номер предприятия
1	7	3,5	9	11	10	6,3	22
2	7	3,6	10	12	10	6,5	22
3	7	3,9	12	13	11	7,2	24
4	7	4,1	17	14	12	7,5	25
5	8	4,2	18	15	12	7,9	27
6	8	4,5	19	16	13	8,2	30
7	9	5,3	19	17	13	8,4	31
8	9	5,5	20	18	14	8,6	33
9	10	5,6	21	19	14	9,5	35
10	10	6,1	21	20	15	9,6	36

Требуется:

1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.

2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.

3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

4. С помощью -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .

5. С помощью t - критерия Стьюдента оценить статистическую значимость параметров чистой регрессии.

6. С помощью частных -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .

7. Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

8. Проверить вычисления в MS Excel.

Решение

1. Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :

либо воспользоваться готовыми формулами:

корреляция регрессия статистический аппроксимация

;

;

.

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:

№
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	7	3,5	9	24,5	63	31,5	12,25	81	49
2	7	3,6	10	25,2	70	36	12,96	100	49
3	7	3,9	12	27,3	84	46,8	15,21	144	49
4	7	4,1	17	28,7	119	69,7	16,81	289	49
5	8	4,2	18	33,6	144	75,6	17,64	324	64
6	8	4,5	19	36	152	85,5	20,25	361	64
7	9	5,3	19	47,7	171	100,7	28,09	361	81
8	9	5,5	20	49,5	180	110	30,25	400	81
9	10	5,6	21	56	210	117,6	31,36	441	100
10	10	6,1	21	61	210	128,1	37,21	441	100
11	10	6,3	22	63	220	138,6	39,69	484	100
12	10	6,5	22	65	220	143	42,25	484	100
13	11	7,2	24	79,2	264	172,8	51,84	576	121
14	12	7,5	25	90	300	187,5	56,25	625	144
15	12	7,9	27	94,8	324	213,3	62,41	729	144
16	13	8,2	30	106,6	390	246	67,24	900	169
17	13	8,4	31	109,2	403	260,4	70,56	961	169
18	14	8,6	33	120,4	462	283,8	73,96	1089	196
19	14	9,5	35	133	490	332,5	90,25	1225	196
20	15	9,6	36	144	540	345,6	92,16	1296	225
Сумма	206	126	451	1394,7	5016	3125	868,64	11311	2250
Ср. знач.	10,3	6,3	22,55	69,735	250,8	156,25	43,432	565,55	112,5

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:



Находим

Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:

Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:

Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:

Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации. Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:

. Вычисляем:

Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,67% или 0,11% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .

2. Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к. ) При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

, Где - определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

- определитель матрицы межфакторной корреляции.

Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.

3. Нескорректированный коэффициент множественной детерминации оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами - на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации

=0,99

определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более 96%) детерминированность результата в модели факторами и .

4. Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает -критерий Фишера:

.

В нашем случае фактическое значение -критерия Фишера:

Получили, что (при ), т.е. вероятность случайно получить такое значение -критерия не превышает допустимый уровень значимости . Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

5. Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии по -критерию Стьюдента может быть проведена и без расчета частных -критериев. В этом случае, как и в парной регрессии, для каждого фактора используется формула:

,

где - коэффициент чистой регрессии при факторе ,

- средняя квадратическая (стандартная) ошибка коэффициента регрессии .

Для уравнения множественной регрессии средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии может быть определена по следующей формуле:

,

где - среднее квадратическое отклонение для признака ,

- среднее квадратическое отклонение для признака ,

- коэффициент детерминации для уравнения множественной регрессии,

Определим фактические значения -критерия Стьюдента

Табличное значение критерия при уровне значимости б= 0,05 и числе степеней свободы k =17 составит t _табл (б = 0,05; k =17)= 2,11.

Таким образом, признается статистическая значимость параметра b₁, т.к. , и случайная природа формирования параметра b₂, т.к. .

6. С помощью частных -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после при помощи формул:

;.

Получили, что . Следовательно, включение в модель фактора после того, как в модель включен фактор статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака оказывается незначительным, несущественным; фактор включать в уравнение после фактора не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения после , то результат расчета частного -критерия для будет иным. , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного -критерия для дополнительно включенного фактора не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .

7. Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами и с содержит неинформативный фактор. Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:

Литература

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для вузов. ? М.: ЮНИТИ, 1998. ? 1022 с.

2. Бородич С.А. Эконометрика: Учеб. пособие. - Минск: Новое знание,

3. 2001. - 408 с.

4. Грубер Й. Економетрія: Вступ до множинної регресії та економетрії: У 2 т. ? К.: Нічлава, 1998-1999.

5. Джонстон Дж. Эконометрические методы. ? М.: Статистика, 1980. ?

6. 444 с.

7. Єлейко В. Основи економетрії. ? Львів: «Марка Лтд», 1995. ? 191 с.

8. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические

9. методы в экономике: Учебник / Под общ. ред. А.В. Сидоровича. -

10. 3-е изд., перераб. ? М.: Дело и Сервис, 2001. ? 368 с. - (Сер. «Учебники МГУ им. М.В. Ломоносова»).

11. Корольов О.А. Економетрія: Навч. посіб. ? К.: Європейський ун-т,

12. 2002. ? 660 с.

13. Лещинський О.Л., Рязанцева В.В., Юнькова О.О. Економетрія: Навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. - Л.: МАУП, 2003. - 208 с.

14. Лук'яненко І. Г., Краснікова Л. І. Економетрика: Підручник. ? К.: Т-во «Знання», КОО, 1998. ? 494 с.

15. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: Навч. курс. ? М.: Дело, 1997. ? 248 с.

16. Наконечний С. І., Терещенко Т.О., Романюк Т.П. Економетрія: Навч.посіб. ? К.: КНЕУ, 1997. ? 352 с.

17. Толбатов Ю.А. Економетрика: Підруч. для студ. екон. спец. вищ. навч. закл. ? К.: Четверта хвиля, 1997. ? 320 с.

Размещено на Allbest.ru

...