Оценка статистических характеристик производственного процесса

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1

Технолог вызывает мастера по внутрисистемной рации. Вероятность того, что мастер примет вызов равна 0,2, второй - 0,4 и третий - 0,8. Условия приема таковы, что событие, состоящее в том, что i- ый по счету вызов услышан, независимы, i= 1, 2, 3. Найти вероятность того, что мастер вообще услышит технолога.

Решение

Вероятностью события Х (в классическом смысле) называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех элементарных исходов. Благоприятствующими данному событию Х называют элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает. Итак, если m - число благоприятствующих данному событию Х элементарных исходов, а n - общее число всех равновозможных несовместных элементарных исходов испытания, то вероятность события Х принято обозначать:

Р = Р(А) = .

Из определения следует, что вероятность достоверного события равна единице.

Рассмотрим возможные события: А - мастер примет первый вызов, В - мастер примет второй вызов, С - мастер примет третий вызов. Событие, состоящее в том, что мастер вообще услышит технолога, произойдет, если наступит либо событие А, либо событие В, либо событие С, т е. объединение событий А + В + С. События А, В и С попарно несовместны. Поэтому применим теорему сложения вероятностей.

Теорема сложения для несовместных событий заключается в том, что вероятность появления одного из трех несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С), если А и В, С несовместны.

Отсюда получим: Р(Х) = 1/ Р (А+В+С) = 1/(0,2+0,4+0,8) = 1/1,4 = 0,71.

Вероятность того, что мастер вообще услышит технолога, составляет 0,71.

Задание 2

Контролер ОТК проверяет однотипный вид продукции, поступающий из трех цехов, производительности которых относятся как 1:2:3. Брак составляет в среднем: для первого цеха - 2%, для второго 1,5%, для третьего 2,5%. Взятая наудачу деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она поступила из третьего цеха.

Решение

Если известно, что событие А может произойти только с одним из событий Н₁, Н₂, Н_{3, …} Н_n, образующих полную группу, то А можно представить как сумму событий АН₁, АН₂, АН_{3, …} АН_n, т.е.

А = АН₁ + АН₂ + АН₃ +_… + АН_n или

Р(А) = Р(АН₁ + АН₂ + АН₃ +_… + АН_n) = .

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Пусть событие А - деталь, взятая наудачу, оказалась бракованной. Гипотезы: Н₁ - деталь поступила из первого цеха;

Н₂ -деталь поступила из второго цеха;

Н₃ -деталь поступила из третьего цеха.

Р(Н₁) = 1/6; Р(Н₂) = 2/6 = 1/3; Р(Н₃) = 3/6 = 1/2.

Р(А / Н₁) = 0,02; Р(А / Н₂ ) = 0,015; Р(А / Н₃) = 0,025.

Р(А) = 0,02 1/6 + 0,015 1/3 + 0,025 1/2 = 0,021.

Р(Н₃ / А) = Р(Н₃) Р(А/Н₃) / Р(А) = 0,025 1/2 : 0,021 = 0,595

Вероятность того, что взятая наудачу бракованная деталь поступила из третьего цеха, составляет 0,595.

Задание 3

Гормолзавод снабжает молочной продукцией 21 магазин. Вероятность того, что в течении дня поступит заявка на товар, равна 0,7 для каждого магазина. Найти вероятность того, что в течении дня: а) поступит 12 заявок; б) не менее 10 и не более 15 заявок; в) поступит хотя бы одна заявка. Каково наивероятнейшее число поступающих в течении дня заявок и чему равна соответствующая ему вероятность?

Решение

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<p<1), событие наступит ровно k раз ( безразлично в какой последовательности) равна:

Р_n(k) = С_n^k · р^k· q ^n-k = · р^k· q ^n-k,

где q = 1 - р.

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит не менее k раз и не более m раз, находят соответственно по формуле:

Р_n(k) + Р_n(k+1) + Р_n(k+2) + … + Р_n(m), предполагается, что m>k

а) Р (12) =

б) Р = Р(10) + Р(11) + Р(12) + Р(13) + Р(14) + Р(15) = в) Р =

Число k₀ (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р) называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k₀ раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний.

Наивероятнейшее число k₀ определяется из двойного неравенства:

np - q < k₀ np + p,

причем:

а) если число np - q - дробное, то существует одно наивероятнейшее число k₀;

б) если число np - q - целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: k₀ и k₀ +1;

в) если число np - целое, то k₀ = np.

Найдем наивероятнейшее число годных к продаже образцов товаров из двойного неравенства:

21*0,7-0,3 < k0 <21*0,7+0,7;

14,4 < k0 < 15,4

Так как np - q - дробное число, то наивероятнейшее число одно: k0 = 15

Найдем вероятность наивероятнейшего числа попаданий по формуле Бернулли:

Р(15) = .

Задание 4

Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины, если:

Решение

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения:

f(x) = F'(x).

По определению F(x) = , причем для х<0, f(x) = 0, поэтому при отрицательных х, F(x) =0. Далее для х из отрезка [0,1/3], имеем

F(x) = = + = =

= = .

Если х>1/3, то F(x) = = 1.

f(x) =

вероятность регрессия корреляционный

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси 0х, определяется равенством:

М(Х) = ,

где f(x) - плотность распределения случайной величины Х.

Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси 0х, определяется равенством:

D(X) = ,

или равносильным равенством (чаще применяемом на практике):

D(X) = - (M(X))²

Теперь по определению имеем:

М(Х) = . = = = = 0,37.

D(X) = - (M(X))² = - (0,37)²= - 0,1369 = .

Задание 5

Заданы математическое ожидание а = 9 и среднее квадратическое отклонение у = 5 нормально распределенной случайной величины Х. Требуется найти: а) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (5, 15), б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения «Х - 9» окажется меньше 8.

Решение

а) Воспользуемся формулой:

По условию задачи = 5, = 15, а = 9, = 5, следовательно

В таблице приложения 2: Ф(1,2) = 0,3849; Ф(0,8) = 0,2881.

Искомая величина попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (5; 15) равна:

б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения «х - 9» меньше 8 равна:

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения «Х-а» окажется меньше 8 равна 0,8904.

Задание 6

вероятность случайный корреляционный

Используя данные для своего варианта из приложения 3: 1) рассчитайте уравнение регрессии, характеризующее линейную зависимость между величинами Х и У, где Х - постоянные издержки производства, У - численность рабочих; 2) постройте корреляционное поле и теоретическую линию регрессии; 3) определите тесноту связи между изучаемыми признаками.

Решение

Для определения по данным парной корреляции параметров прямолинейной регрессии у_х= а₀ + а₁х решается система уравнений:

Для упрощения вычислений составляется таблица расчета необходимых сумм, подставляются в систему и находят решение этой системы уравнений.

Для упрощения вычислений составим таблицу (Таблица 1).

Таблица 1- Расчетные данные для уравнения регрессии

№	x	y	xy	х2	у2
1	48,8	105	5124	2381,44	11025
2	32,4	57	1846,8	1049,76	3249
3	22,1	100	2210	488,41	10000
4	37,5	112	4200	1406,25	12544
5	34,8	106	3688,8	1211,04	11236
6	21,1	62	1308,2	445,21	3844
7	22,3	60	1338	497,29	3600
8	9,8	34	333,2	96,04	1156
9	39,7	109	4327,3	1576,09	11881
10	11,7	38	444,6	136,89	1444
11	40,1	115	4611,5	1608,01	13225
12	13,6	40	544	184,96	1600
13	21,6	50	1080	466,56	2500
14	9,2	30	276	84,64	900
Итого:	364,7	1018	31332,4	11632,59	88204

Тогда система уравнений примет вид:

Решая систему одним из известных способов, находим

а₀ = 13,84; а₁ = 2,26.

Уравнение регрессии примет вид: у = 13,84 + 2,26х.

Для проверки правильности нахождения уравнения, следует нанести заданные точки и построить уравнение регрессии в декартовой системе координат. Заданные точки должны расположиться вдоль полученной прямой (Рисунок 1).

Рисунок 1 - Корреляционное поле и теоретическая линия регрессии

Тесноту связи между изучаемыми признаками определим при помощи коэффициента корреляции:

,

где

тогда

Этот коэффициент показывает высокую линейную связь между изучаемыми признаками, причем, так как r>0, то эта связь прямая (большему значению одного признака соответствует большее значение другого).

Задание 7

По данным корреляционной таблицы (Таблица 2) найти условные средние Оценить тесноту линейной связи между признаками Х и У и составить уравнения линейной регрессии У по Х и Х по У, сделать чертеж, нанеся на него условные средние и найденные прямые регрессии. Оценить тесноту связи между признаками с помощью корреляционного отношения.

Таблица 2 - Корреляционные данные

У/Х	15	20	25	30	35	40	nу
32	1	5					6
42		3	5				8
52			9	40	2		51
62			4	11	6		21
72				4	7	3	14
nx	1	8	18	55	15	3	100

Решение

В таблице каждому значению Х соответствует статистическое распределение признака У. Например, для Х = 30:

У	32	42	52	62	72
nху	-	-	40	11	4

Отсюда находим среднее значение У при условии, что Х = 30, или условную среднюю:

Аналогично каждому значению У соответствует статистическое распределение Х. Например, для У = 32.

Х	15	20	25	30	35	40
nху	1	5	-	-	-	-

Отсюда находим условную среднюю:

Не выписывая далее статистических распределений, а беря их непосредственно из данной корреляционной таблицы, найдем все условные средние по формулам:



,

,

,

,

,

,

,

,

,

Напомним, что оценка тесноты линейной связи между признаками Х и У производится с помощью коэффициента линейной корреляции r:

Для нахождения r вычислим указанные общие средние: а так же средние квадратические отклонения _х и _у. Вычисления удобно поместить в таблицах (Таблица 3, 4), куда вписываем также найденные ранее условные средние.

Таблица 3 - Расчетные данные для признака Х

Х	nx	X ? nx	X2 ? nx	Ух	Х ? nх ? Ух
15	1	15	225	32	480
20	8	160	3200	35,75	5720
25	18	450	11250	51,44	22950
30	55	1650	49500	55,45	90750
35	15	525	18375	65,33	34125
40	3	120	4800	72	8640
	100	2920	87350	-	162665

Таблица 4 - Расчетные данные для признака Y

У	nу	У ? nу	У2 ? nу	Ху	У ? nу ? Ху
32	6	192	6144	19,17	3681
42	8	336	14112	23,13	7772
52	51	2652	137904	28,75	76247
62	21	1302	80724	30,48	39685
72	14	1008	72576	34,64	35280
	100	5490	311460	-	162665

Контроль: Х n_х У_х = У n_у Х_у

В рассматриваемом примере эта сумма в обеих таблицах равна 162665. Равенство может оказаться приближенным, что связано с приближенными вычислениями.

С помощью таблиц находим общие средние, средние квадратов, среднюю произведения и средние квадратические отклонения:

;

;

Отсюда находим коэффициент корреляции:

Так как r > 0, то связь прямая, то есть с ростом Х увеличивается У.

Так как r = 0,51, то по таблице определяем, что линейная связь заметная.

Находим линейное уравнение регрессии У на Х:

;

Аналогично находим линейное уравнение регрессии Х на У:



;

Данные уравнения устанавливают связь между признаками Х и У и позволяют найти среднее значение признака для каждого значения Х и аналогично среднее значение признака для каждого значения У.

Изобразим полученные результаты графически.

Нанесем на график точки , отметив их (*). Нанесем на график точки отметив их (). Построим каждое из найденных уравнений регрессии по двум точкам (Рисунок 2):

У = 1,22Х + 22,2

Х	15	40
У	40,5	71

Х = 0,23У + 16,57

Х	23,93	33,13
У	32	72

Рисунок 2 - Условные средние и найденные прямые регрессии

Замечание. Если расчеты и построения выполнены верно, то прямая регрессии У по Х должна пройти вблизи всех точек , отмеченных (*), так что эти точки расположены по обе стороны от прямой. Аналогично прямая регрессии Х по У наилучшим образом приближена к точкам .

Обе прямые регрессии пересекаются в точке . В нашей задаче это точки (29,2; 54,9). Чем больше сила связи между признаками, тем ближе расположены обе прямые друг к другу (угол между ними мал).

Если линейная связь слабая, то это не исключает наличия между признаками Х и У нелинейной (криволинейной) связи. Оценка тесноты любой связи между признаками (линейной и нелинейной) производится с помощью корреляционных отношений У к Х и Х к У:

;

Дисперсии , называемые внутригрупповыми, определены ранее. Их можно было также рассчитать по формулам:

Они характеризую разброс фактических значений от общих средних.

Величины и называются межгрупповыми дисперсиями и вычисляются по формулам:

Они характеризуют разброс условных средних от общей средней. В данной задаче:

Находим:

Тогда корреляционные отношения равны:

Замечание. Следует отметить, что корреляционноe отношение всегда принимает значение от 0 до 1, причем оно не меньше, чем коэффициент корреляции, взятый по модулю, то есть: 0 r 1

В нашем примере: 0 < 0,78 < 0,79 < 1;

0 < 0,51 < 0,78 < 1.

Ответ: Корреляционная связь между признаками высокая, ее можно описать линейными уравнениями:

Литература

1. Павский В.А. Лекции по теории вероятностей и элементам математической статистики: учебное пособие. - Кемеровский технологический институт пищевой промышленности. - Кемерово, 2004. - 184 с.

2. Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии. - М.: Высшая школа, 1985. - 327 с.

3. Боровков А.А. Теория вероятностей, - М.: Наука, 1986. - 432с.

4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Высшая школа, 2002. - 576 с.

5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2002. - 479 с.

6. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1988. - 446с.

7. Карлин С. Основы теории случайных процессов. - М, «Мир», 1971.

8. Кафаров В.В., Дорохова И.Н., Арутюнов С.Ю. Системный анализ процессов химической технологии. - М.: Наука, 1985. - 440 с.

9. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. - М.: Машиностроение, 1979. - 432 с.

Размещено на Allbest.ru

...