Зависимость между уровня потребления от дохода

Размещено на http://www.allbest.ru/

Российская Федерация

Министерство образования и науки

«Тюменский государственный университет»

Институт дистанционного образования

Специальность «Экономика»

Контрольная работа

По дисциплине: Эконометрика

Вариант № 1

Выполнила: Базуева М.В.

Когалым 2013



Задача 1

линейный интервал доход детерминация

Имеется информация за 10 лет относительно среднего дохода и среднего потребления (млн.руб.):

Таблица 1

Годы	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99
X	10.5	11.6	12.3	13.7	14.5	16.1	17.3	18.7	20.1	21.8
Y	8.12	10	8.41	12.1	12.4	11.4	12.8	13.9	17.3	17.5

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии по методу наименьших квадратов.

2. Проверьте статистическую значимость оценок теоретических коэффициентов при уровне значимости .

3. Рассчитайте 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

4. Спрогнозируйте потребление при доходе и рассчитайте 95% доверительный интервал для условного математического ожидания

5. Рассчитайте границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных объемов потребления при доходе .

6. На сколько изменится потребление, доход вырастет на 3 млн.руб.

7. Рассчитайте коэффициент детерминации .

8. Рассчитайте - статистику для коэффициента детерминации и оцените его статистическую значимость.

Решение

1) Оценим коэффициенты линейной регрессии Y = ₀ +₁Х + по методу наименьших квадратов. Согласно методу наименьших квадратов система нормальных уравнений имеет вид:

Расчет необходимых сумм сведем в таблицу (см. табл.2)

Таблица 2

Год	х	у	yx	х2	у2
1990	10,5	8,115	85,208	110,25	65,853
1991	11,6	10,03	116,348	134,56	100,601
1992	12,3	8,409	103,431	151,29	70,711
1993	13,7	12,07	165,359	187,69	145,685
1994	14,5	12,44	180,380	210,25	154,754
1995	16,1	11,35	182,735	259,21	128,823
1996	17,3	12,76	220,748	299,29	162,818
1997	18,7	13,92	260,304	349,69	193,766
1998	20,1	17,28	347,328	404,01	298,598
1999	21,8	17,49	381,282	475,24	305,9
Сумма	156,6	123,864	2043,122	2581,48	1627,509
Среднее	15,66	12,386	204,312	258,148	162,751

Система нормальных уравнений примет вид:

Решим её по формулам Крамера (методом определителей):

Итак, уравнение линейной регрессии будет иметь вид:

2) Проверим статистическую значимость оценок b₀,b₁ теоретических коэффициентов ₀,₁ при уровне значимости = 0,05 при помощи t-статистики Стьюдента.

Выдвигаем гипотезу Н₀ о статистически незначимом отличии показателей от нуля:

t_табл для числа степеней свободы

df=n-2=10-2=8

= 0,05 составит 2,31.

Определим случайные ошибки и по формулам:



Расчет необходимых сумм сведем в таблицу (табл.3)

Таблица 3

N	х	у		2			2
1990	10,5	8,115	-5,16	26,63	8,26	0,14	0,02
1991	11,6	10,03	-4,06	16,48	9,14	-0,89	0,80
1992	12,3	8,409	-3,36	11,29	9,70	1,29	1,66
1993	13,7	12,07	-1,96	3,84	10,82	-1,25	1,57
1994	14,5	12,44	-1,16	1,35	11,46	-0,98	0,96
1995	16,1	11,35	0,44	0,19	12,74	1,39	1,94
1996	17,3	12,76	1,64	2,69	13,70	0,94	0,89
1997	18,7	13,92	3,04	9,24	14,82	0,90	0,82
1998	20,1	17,28	4,44	19,71	15,95	-1,33	1,78
1999	21,8	17,49	6,14	37,70	17,31	-0,18	0,03
Сумма	156,6	123,864	х	129,12	123,89	х	10,46
Среднее	15,66	12,3864	х	12,91	12,39	х	1,05

Находим фактические значения t-критерия:

< t_табл=2.31,

> t_табл=2.31,

3) Рассчитаем 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

Определяем предельные ошибки для каждого показателя:

Доверительные интервалы:

С вероятностью p=1- = 0,95 параметры и , находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. существенно отличны от нуля.

4) Спрогнозируем среднее потребление Y при среднем доходе Х =23.

=18,268 ден. ед.

Полученное значение является выборочной оценкой условного математического ожидания .

Построим 95% доверительный интервал.

Искомый доверительный интервал составит:

Итак, среднее потребление для дохода Х=23 млн.руб. с надежностью 0,95 находится в пределах от 16,3738 млн.руб. до 20,1622 млн.руб.

5) Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных значений себестоимости при X =23.

Доверительный интервал находится по формуле:

Искомый доверительный интервал:

Итак, при Х=23 не менее 95% возможных значений потребления будет находится в пределах от 15,034 млн.руб. до 21,502 млн. руб.

6) Оценим на сколько изменится потребление, если доход вырастет на 3 млн.руб.

Судя по уравнению регрессии

При увеличении дохода на 3 млн. руб., потребление в среднем увеличится на 0,801*3=2,403 млн.руб.

7) Найдем коэффициент детерминации

Необходимые расчеты представлены в табл.3

Таблица 3

N	у		-	(-)2	у-	(у-)2
1990	8,115	8,256	-4,13	17,06	-4,27	18,24
1991	10,03	9,137	-3,25	10,56	-2,36	5,55
1992	8,409	9,697	-2,69	7,23	-3,98	15,82
1993	12,07	10,819	-1,57	2,46	-0,32	0,10
1994	12,44	11,460	-0,93	0,86	0,05	0,00
1995	11,35	12,741	0,36	0,13	-1,04	1,07
1996	12,76	13,702	1,32	1,73	0,37	0,14
1997	13,92	14,824	2,44	5,94	1,53	2,35
1998	17,28	15,945	3,56	12,67	4,89	23,95
1999	17,49	17,307	4,92	24,21	5,10	26,05
Сумма	123,86	123,89	x	82,85	x	93,28

Т.е. 88,82% вариации потребления объяснено вариацией доходов.

8) Рассчитаем F - статистику для коэффициента детерминации и оценим его статистическую значимость.

Табличное значение F-критерия на уровне значимости 0,05 составляет .

Т.к. F_факт=63,56 > , то коэффициент детерминации существенно отличен от нуля, т.е. является статистически значимым.

Задача 2

Имеется следующая модель кейнсианского типа:

где

Переменные являются эндогенными.

Определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели. Напишите приведенную форму модели.

Решение

Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Модель включает в себя 4 эндогенные переменные C_t, I_t, T_t, Y_t и две предопределенные переменные: экзогенную G_t и лаговую Y_t-1.

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

I уравнение (функция потребления).

Это уравнение включает в себя 3 эндогенные переменные C_t, T_t, Y_t и ни одной предопределенной. Т.е., число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, равно 2. Тогда:

2+1=3, т.е. уравнение идентифицируемо.

I I уравнение (функция инвестиций).

Содержит 1 эндогенную и 1 предопределенную переменные. Т.е., число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, равно 1. Тогда:

1+1=2 > 1, т.е. уравнение сверхидентифицируемо.

I I I уравнение (функция налогов).

Содержит 2 эндогенные и ни одной предопределенной. Т.е.:

2+1=3 > 2, т.е. уравнение сверхидентифицируемо.

IV уравнение (тождество доходов) представляет собой тождество, параметры которого известны.

Необходимости в его идентификации нет.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели (табл. 4)

Таблица 4

	Ct	Yt	Tt	It	Yt-1	Gt
I уравнение	-1	b11	b12	0	0	0
II уравнение	0	0	0	-1	b21	0
III уравнение	0	b31	-1	0	0	0
Тождество	1	-1	0	1	0	1

В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть не менее числа эндогенных переменных модели минус 1, т.е. 4-1=3.

I уравнение

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

-1	b21	0
0	0	0
1	0	1

Определитель этой матрицы равен нулю, т.е. достаточное условие не выполняется.

I уравнение

Ее ранг равен трем, т.к. определитель квадратной подматрицы этой матрицы не равен нулю:

	-1	b11	b12
DetА*=	0	b31	-1	?0
	1	-1	0

Итак, достаточное условие идентификации для этого уравнения выполняется.

I I I уравнение

	-1	0	0	0
А=	0	-1	b21	0
	1	1	0	1

Ее ранг равен трем, т.к. определитель квадратной подматрицы этой матрицы не равен нулю:

	-1	0	0
DetА*=	0	-1	0	?0
	1	1	1

Итак, достаточное условие идентификации для этого уравнения выполняется.

Итак, только для первого уравнения не выполняется достаточное условие идентификации.

Остальные уравнения сверхидентифицированы.

Запишем приведенную форму модели:

,

где V₁,V₂,V₃,V₄ - случайные ошибки.

Задача 3

Для оценки коэффициентов уравнения регрессии вычисления проведены в матричной форме.

Определите эмпирические коэффициенты регрессии.

Решение

Находим обратную матрицу А^-1=(Х^ТХ)^-1 по формуле

,

где - матрица, присоединенная к матрице Х^ТХ.



	10	55	74
	55	385	376	= 61670
	74	376	634

Далее находим алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы (Х^ТХ)^Т и составляем из них присоединенную матрицу .

Затем находим обратную матрицу по формуле.

Получим:

	1,666	-0,114	-0,127
А-1=(ХТХ)-1=	-0,114	0,014	0,005
	-0,127	0,005	0,013

Теперь получим вектор оценок по формуле : b=(Х^ТХ)^-1Х^ТY

	1,666	-0,114	-0,127	268		28,16
b=	-0,114	0,014	0,005	1766	=	2,71
	-0,127	0,005	0,013	1709		-2,20

Получили: b₀=28.16, b₁=2.71, b₂=-2.2.

Итак, уравнение регрессии будет иметь вид:

.

Задача 4

Коэффициент детерминации между переменными и равен 0,64. Каким будет коэффициент корреляции в случае линейной модели регрессии?

Решение

Коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции. Т.е., если R²=0.64, то коэффициент корреляции составит:

Что говорит о достаточно тесной, прямой связи между переменными.



Список использованной литературы

1. Кремер Н.Ш., Путко Б.Л. Эконометрика: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2002. - 569 с.

2. Практикум по эконометрике: Учебн. пособие. / Под ред. И.И. Елисеева и др. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 485 с.

3. Эконометрика: Учебник. / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2005. - 609 с.

Размещено на Allbest.ru

...