Корреляционно-регрессионный анализ

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Корреляционно-регрессионный анализ

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Список литературы



1. Корреляционно-регрессионный анализ

Для исследования интенсивности, вида и формы зависимостей применяется корреляционно-регрессионный анализ, который является методическим инструментарием при решении задач прогнозирования.

Изучение взаимосвязи - одна из важнейших задач курса общей теории статистики. Исследование объективно существующих связей между явлениями имеет большое значение в социально-экономической статистике.

В основе первого этапа статистического исследования связей лежит качественный анализизучаемого явления, связанный с анализом сущности социального или экономического явления методами политической экономии, социологии, конкретной экономики и т.д. Второй этап - построение модели, которая базируется на методах математической и общей теории статистики: законов распределения, группировок, средних величин, показателей вариации и т.д. Последний этап - интерпретация результатов - вновь связан с качественными особенностями изучаемого явления.

Статистика разработала множество методов изучения связей. Выбор метода изучения связей зависит от цели исследования, от поставленной задачи. В социально-экономической статистике не всегда требуются количественные оценки связи, очень часто необходимо лишь определить направления и характер связи, выявить воздействие одних факторов на другие.

Связи между явлениями и признаками ввиду большого их разнообразия классифицируются в статистике по ряду оснований. Признаки по характеру их роли во взаимосвязи подразделяются на два больших класса. Признаки, обусловливающие изменение других, связанных с ними признаков, называют факторными, или признаками-факторами. Признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков, называют результативными (иногда - признаки-результаты). Например, классификация рабочего (фактор) и производительность его труда (результат).

Связи между явлениями, их признаками подразделяют прежде всего по степени тесноты связи, затем по направлению и аналитическому выражению. В первом случае говорят о полной, или функциональной, связи и связи неполной, корреляционной или статистической. Функциональными называют такие связи, в которых определенному значению факторного признака (признаков) соответствует строго определенное значение результативного признака. В статистической же связи такого соответствия между изменением факторного признака и результативного нет - одному и тому же значению признака-фактора могут соответствовать разные значения результативного признака (при одном и том же уровне квалификации рабочих производительность их труда может иметь самые различные значения).

По направлению выделяют связь прямую и обратную. Прямая - это такая связь, при которой оба вида признаков (факторный и результативный) изменяются в одном и том же направлении - по мере увеличения или уменьшения значения факторного признака значения результативного соответственно увеличиваются или уменьшаются. В случае же обратной связи значения результативного признака изменяются под действием факторного, но в противоположном направлении по сравнению с изменением факторного признака. Так, по мере роста производительности труда себестоимость единицы продукции уменьшается.

По аналитическому выражению, обычно в наиболее общей классификации выделяют связи прямолинейные(или просто линейные) и нелинейные. Если статистическая связь явлений может быть приближенно выражена математическим уравнением прямой линии, то ее называют линейной связью, если же она может быть выражена уравнением какой-либо кривой линии (параболы, гиперболы и т.п.), то криволинейной.

Для выявления корреляционной связи, ее характера, направленияв статистике используются методы приведения параллельных данных, аналитических группировок, графический.

Суть метода приведения параллельных данных состоит в следующем: приводятся два ряда данных о двух явлениях или двух признаках, связь между которыми желают выявить, и по характеру изменений делают заключения о наличии (если изменение величин одного ряда следует за изменениями величин другого ряда) или об отсутствии (если никакого твердого, устойчивого соответствия в их изменениях нет) связи.

Для выявления связи используют также графический метод. Если исходные данные (значения X и Y) нанести на график в виде точек в прямоугольной системе координат, то получим поле корреляции. Если бы зависимость X и Y была функциональной, то все точки расположились бы на одной линии.

Корреляционно-регрессионный анализ позволяет не только оценить тесноту связи, но и выразить эту связь в виде уравнения регрессии (корреляционной связи), выражающего зависимость явления от определяющих факторов:

Y = f (x,y,z,t ...q).

Связь между факторами может быть выражена различными уравнениями, например:

Прямой Yx=a0+a1x;

Параболы второго порядка Yx=a0+a1x+a2x2;

ГиперболыYx=a0+a1/x;

При линейной зависимости параметр а0 показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов. Параметр а1 (коэффициент регрессии показывает, на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу.

Тесного связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции, который можно определить по формулам:

При линейной и нелинейной зависимости между признаками теснота связи между результативным и факторным признаками определяется с помощью эмпирического корреляционного отношения, которое рассчитывается по формуле:

,

Где ??2Yx - вариация результативного признака под влиянием фактора «Х» (межгрупповая дисперсия);

??2Y - вариация результативного признака под влиянием всех факторов (общая дисперсия).

Исходя из правила сложения дисперсии:

??2общая=??2J+??2

Эмпирическое корреляционное отношение можно рассчитать двумя способами:

,

Где ? - расчетные значения результативного признака;

?х- средняя из расчетных значений результативного признака;

Y- эмпирические (заданные) значения результативного признака;

? - средняя из эмпирических значений результативного признака.

Чем ближе корреляционное отношение к 1, тем связь между признаками теснее, тем точнее полученная модель (уравнение регрессии) описывает эмпирические данные.

Подкоренное выражение в теоретическом корреляционном отношении называется коэффициентом детерминации:

.

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака Y под влиянием признака фактора Х.

Для получения выводов о практической значимости показаниям тесноты связи дается качественная оценка на основе шкалы Чеддока:

Таблица 1 Характеристика связи

Показания тесноты связи	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	высокая	Весьма высокая

Определим уравнение связи и тесноту связи по данным о размере финансовой помощи в социальную сферу района и вводе в действие жилой площади области. Для этого значения признаков по районам представим в виде параллельных рядов с возрастанием ряда значений факторного признака - размере финансовой помощи в социальную сферу.



Таблица 2 Размер финансовой помощи в социальную сферу и ввод в действие жилой площади

Район №	Размер финансовой помощи в социальную сферу млн.руб. Х	Ввод в действие жилой площади, тыс.м2 Y	Расчетные данные
			Х2	Y2	XY	Yx
1 2 3 4 5 6 7 8 всего	10 15 20 25 27 35 40 45 217	20 25 31 31 40 56 52 60 315	100 225 400 625 729 1225 1600 2025 6929	400 625 961 961 1600 3136 2704 3600 13987	200 375 620 775 1080 1960 2080 2700 9790	18,9 24,87 30,85 36,83 39,23 48,79 54,77 60,75 315,00

Для нахождения параметров а0 и а1 используем метод наименьших квадратов. Составляем систему нормальных уравнений для парной линейной регрессии.

a0=6,9362; а1=1,1959; Yх=6,9362+1,1959Х

С увеличением размера финансовой помощи в социальную сферу на 1 млн. руб. ввод в действие жилой площади увеличивается в среднем на 1,196 тыс.м2.

Линейный коэффициент корреляции r составит 0,9692, следовательно, связь между исследуемыми показателями прямая, тесная.

Зависимость между тремя и более факторами называется множественной или многофакторной корреляционной зависимостью.

Особое внимание учеными-экономистами уделяется проблеме отбора факторов. Отбор признаков для включения их в корреляционную модель должен основываться, прежде всего, на теоретических основах и практическом опыте анализа изучаемого общественного явления. Серьезную помощь при этом могут оказать такие статистические методы, как сопоставление параллельных рядов признаков, статистические группировки как по результативному признаку с анализом взаимосвязанных с ним факторов, так и по факторному признаку (или комбинации факторных признаков) с анализом их влияния на результативный показатель.

При отборе факторов необходимо иметь в виду следующее:

при достаточной информации необходимо, чтобы корреляционная модель содержала факторы, непосредственно влияющие на результативные признаки;

неправомерно включение в корреляционную модель факторных признаков, функционально связанных с результатом (цена - выручка, выход валовой продукции - фондоемкость и т.д.). Статистический анализ связи таких признаков осуществляется на основе других методов;

нежелательно включение в одну модель общих и частных факторов. Корреляционно-регрессионная модель должна включать факторные признаки одного уровня. В этой связи все факторы, определяющие результативные показатели сельскохозяйственного производства, можно подразделить по трем уровням:

технологический(сроки и качество проведения агротехнических работ, структура и качество рациона кормления и т.д.);

технико-экономический (удельный вес активной части основных фондов, доза внесенных удобрений, энерговооруженность, себестоимость, трудоемкость и др.);

общеэкономический (обеспеченность основными средствами и рабочей силой, объем валовой продукции, размер прибыли и др.);

специфика общественных явлений состоит в том, что здесь достаточно часто проявляется эффект взаимодействия факторов. В соответствии свыявленным на основе предварительного анализа такого рода эффектов в корреляционную модель должен быть включен дополнительный фактор, отражающий этот эффект;

при отборе факторов в модель необходимо критически подходить к такому приему, как проверка гипотезы о существенности их влияния на основе критериев t-Стьюдента или Т-нормального распределения. Такой подход принципиально неверен, прежде всего, с позиции общей теории проверки статистических гипотез. Проверка статистической гипотезы (принятие или отказ от нее) позволяет констатировать факт: согласуются анализируемые данные с гипотезой или не согласуются, но недостаточна для общих заключений о содержании анализируемых данных. Несущественность фактора, полученная при проверке гипотезы, может быть только основанием для изучения и установления обстоятельств, почему фактор, имеющий причинную связь с зависимой переменной, оказывается недостоверным; при небольшой численности совокупности всегда требуется ограничение числа факторов, включаемых в корреляционную модель связи.

Эмпирически установлено, что для обеспечения устойчивости параметров, уравнения связи соотношения числа наблюдений и количества факторных признаков должно быть не менее чем 8:1 - 10:1.

Наиболее простое уравнение многофакторной модели - линейное с двумя неизвестными переменными:

корреляция регрессия вариация

Yxz=a0+a1X+a2Z.

Теснота связи между тремя признаками измеряется с помощью множественного (совокупного) коэффициента корреляции.

,

где r-линейные коэффициенты (парные) корреляции, а подстрочные индексы показывают, между какими признаками они исчисляются.

Совокупный коэффициент множественной корреляции измеряет одновременное влияние факторных признаков на результативный, имеет значения от 0 до 1. Чем связь интенсивней, тем Rближе к 1.

Имеются данные, полученные на основании деятельности предприятия Технический узел магистральных связей телевидения №6, обслуживающего Удмуртскую Республику. Выведена модель зависимости себестоимости в расчете на 1 руб. дохода (стоимости услуг) от факторов:

х1-производительность труда ( тыс. руб. на 1 чел.);

х2-фондоотдача (руб. дохода на руб. стоимости основных фондов);

х3- коэффициент задействования кабеля (фактическая протяженность канало-часов на протяженность 1 канало-км)

Yx=0,936-0,003x1-0,013x2-1,118x3

Коэффициенты чистой регрессии показывают возможное изменение себестоимости:

уменьшение на 0,003 руб. на руб. доходов при увеличении производительности труда на 1 тыс. руб. на работника;

уменьшение на 0,013 руб. на руб. дохода при увеличении фондоотдачи на 1 руб. дохода в расчете на 1 руб. основных фондов;

уменьшение на 1,118 руб. на руб. дохода при увеличении коэффициента задействования на 1 канало-час в расчете на 1 канало-км.

Таким образом, важнейшим фактором снижения себестоимости на данном предприятии выступает увеличение коэффициента задействования, что говорит о необходимости увеличения нагрузки линий связи.

Согласно значению коэффициента множественной корреляции, равному 0,94, данной модели можно доверять, так как его значение близко к 1. Коэффициент детерминации, равный 0,883 или 88,3%, констатирует, что вариация себестоимости на 88,3% зависит от вариации совокупного влияния рассмотренных факторов. На долю 11,7% приходиться влияние других факторов, так как корреляционные зависимости считаются неполными.

Непараметрические методы используются в том случае, если не проводится вычисление основных параметров распределения (средних величин, частостей, среднего квадратического отклонения и т.д.).

Пример. По данным МВД, в N-ской области выявлено лиц, совершивших преступления, в тыс. чел.

Таблица 3 Распределение лиц, совершивших преступления, по возрасту и месту проживания, (тыс.чел.)

Местность проживания	Возраст	итого
	До 30 лет	30 лет и старше
Городская Сельская итого	65,4 12,5 77,9	35,8 22,5 58,3	101,2 35,0 136,2

Коэффициент ассоциации применим для определения связи двух признаков, вариации которых носят альтернативный характер .

Коэффициент ассоциации определяется по формуле:

.

На основе таблицы 3 определим а=65,4; b=35,8; с=12,5; d=22,5.

Теснота связи между местом проживания лиц, совершивших преступления, и их возрастом заметная.



Задача 1

Условие: имеются следующие данные о реализации продукции предприятия:

Показатель	2007г.	2008г.	2009г.	2010г.	2011г.	2012г.
Реализовано продукции, млн. руб.	16,8	20,1	19,3	17,5	16,6	17,1

Определить: 1) показатели изменения уровней ряда динамики:

а)абсолютные приросты

б)темпы роста и прироста

в)темпы наращивания

г)абсолютное значение 1% прироста

2)среднегодовой темп роста, темп прироста и средний абсолютный прирост

Решение:

1 часть:

А) Абсолютный прирост:

?уб=Уi-У0 - базисный ?уб1=20,1-16,8=3,3 ?уб2=19,3-16,8=2,5 ?уб3=17,5-16,8=0,7 ?уб4=16,6-16,8=-0,2 ?уб5=17,1-16,8=0,3	?уц=Уi-Уi-1- цепной ?уц1=20,1-16,8=3,3 ?уц2=19,3-20,1=-0,8 ?уц3=17,5-19,3=-1,8 ?уц4=16,6-17,5=-0,9 ?уц5=17,1-16,6=0,5

Б) Темпы роста и прироста:

Коэффициент роста:

Крб=Уi/У0 Крб1=20,1/16,8=1,2 Крб2=19,3/16,8=1,15 Крб3=17,5/16,8=1,04 Крб4=16,6/16,8=0,99 Крб5=17,1/16,8=1,02	Крц= Уi/Уi-1 Крц1=20,1/16,8=1,2 Крц2=19,3/20,1=0,96 Крц3=17,5/19,3=0,91 Крц4=16,6/17,5=0,95 Крц5=17,1/16,6=1,03

Темп роста:

Трб=Крб*100% Трб1=120% Трб2=115% Трб3=104% Трб4=99% Трб5=102%	Трц=Крц*100% Трц1=120% Трц2=96% Трц3=91% Трц4=95% Трц5=103%

Темп прироста:

Тпрб= Трб-100% Тпрб1=120%-100%=20% Тпрб2=115%-100%=15% Тпрб3=104%-100%=4% Тпрб4=99%-100%=-1% Тпрб5=102%-100%=2%	Тпрц= Трц-100% Тпрц1=120%-100%=20% Тпрц2=96%-100%=-4% Тпрц3=91%-100%=-9% Тпрц4=95%-100%=-5% Тпрц5=103%-100%=3%
В) Темпы наращивания: Тн=?уц/ У0 Тн1=3,3/16,8=0,2 Тн2=-0,8/16,8=-0,05 Тн3=-1,8/16,8=-0,11 Тн4=-0,9/16,8=-0,54 Тн5=0,5/16,8=0,03	Г) Абсолютное значение на 1% прироста: А=?уц/Тпрц А1=3,3/20=0,165 А2=-0,8/-4=0,02 А3=-1,8/-9=0,02 А4=-0,09/-5=0,18 А5=0,5/3=0,167

2 часть: Среднее значение коэффициента роста:

=1,004

==1,0043

Среднее значение темпа роста: Трб=Крб*100% Трб=1,004*100%=100,4% Трц=Крц*100% Трц=1,0043*100%=100,43%	Среднее значение темпа прироста: Тпрб= Трб-100% Тпрб=0,4% Тпрц= Трц-100% Тпрц=0,43%

Среднее значение

Аср=?А/n.

Аср=(0,165+0,2+0,2+0,18+0,167)/6=0,912/6=0,152

Вывод: За время 2007 по 2012 год реализация продукции увеличилась в среднем на 1%, что составило 0,152 млн.руб. Самый удачный период для предприятия в реализации продукции с 2007 г. По 2208 г., где абсолютный прирост составил 3,3, что соответствует 20%.

Задача 2

Условие: трудовые затраты и производительность труда на мебельном предприятии характеризуется следующими данными.

Виды мебели	Общие затраты времени, тыс. чел./ч	Индивидуальные индексы производительности труда
	Май	Июнь
Мягкая	19,2	19,0	1,02
Корпусная	9,5	9,5	1,01
Кухонная	14,3	13,9	1,04

Рассчитайте индексы производительности труда и физического объёма продукции.

Решение:

Индивидуальный индекс затрат времени:

It=ti/t0

It1=19,0/19,2=0,99

It2=9,5/9,5=1

It3=13,9/14,3=0,97

Общий индекс производительности труда:

Iпр.тр=?q1*t1/? (q1*t1/iпр)

Т1= q1*t1=? Iпр.тр=?Т1 /? (Т1/iпр)

Iпр.тр=(19,0+9,5+13,9)/(19,0/1,02+9,5/1,01+13,9/1,04)=42,4/41,4=1,024

Общий индекс физического объема продукции:

Iq=?q1*t0/? q0*t0

Iпр=t0/t1=? t0=t1*iпр =? Iq=?(q1* t1*iпр)/? q0*t0=?(Т1*iпр)/ ?T0

Iq=(19,0*1,02+9,5*1,01+13,9*1,04)/(19,2+9,5+14,3)=43,431 /43=1,01

Вывод: Общий индекс производительности труда составил 1,024. Это значит, что производительность труда в июне увеличилась на 2,4% по сравнению с маем, так же произошло увеличение физического объема продукции на 1%.



Задача 3

Условие: по группе предприятий с 15 по 25 определите: а) средний размер посевной площади; б) среднюю урожайность картофеля. в) среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации урожайности картофеля. Сделайте выводы.

п/п	Удельный вес сортовых посевов картофеля, %	Посевная площадь под картофель, fi	Урожайность ц. с 1 га. Xi
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25	94 77 49 78 100 70 68 86 80 78 65	110 170 140 70 116 98 150 100 100 120 110	20 42 25 38 46 32 18 18 28 35 22
Всего: 11		1284	324

Решение:

А) Средний размер посевной площади: 1284/11=116,7 га

Б) средняя урожайность картофеля:

Х=?Хi*fi/?fi=(20*110+42*170+25*140+38*70+46*116+32*98+18*150+18*100+28*100+35*120+22*110)/1284=28 ц с 1 га

В) Среднее квадратичное отклонение и коэффициент вариации урожайности картофеля.



??2=?(Х1-Х)2*fi/?fi=((20-28)2*110+(42-28)2*170+(25-28)2*140+(38-28)2*70+(46-28)2*116+(32-28)2*98+(18-28)2*150+(18-28)2*100+(28-28)2*100+(35-28)2*120+(22-28)2*110)/1284=122612/1284=95,49

??2=95,49

=9,8

V=9,8/28*100%=0,35*100%=35%

Вывод: Средняя посевная площадь 11 предприятий составила 116,7 га. Средняя урожайность 11 предприятий- 28 ц с 1 га. Коэффициент вариации составил 35%, что больше порога в 33%, это означает значительный разброс вариационного ряда, что говорит о неоднородности информации и необходимости исключения самых больших и самых маленьких значений.



Список литературы

1. Гусаров, В.М. Статистика: Учеб. пособи для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003г. - 463с.;

2. Елисеева, И.И. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. чл.-корр. РАН И.И. Елисеевой. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 1999. - 480с.: ил.;

3. Салин, В.Н. Статистика: учебное пособие / В.Н. Салин, Э.Ю. Чурилова, Е.П. Шпаковская. - 2-е изд., стер. - М.: КНОРУС, 2008. - 296с. - (Средне профессиональное образование);

4. Общая теория статистики / Н.М.Виноградова, В.Т.Евдокимов, Е.М. Хитарова и др. - М.: Статистика, 1998.

5. Экономическая статистика. 2-е изд., доп.: Учебник/ Под ред. Ю.Н.Иванова.- М.:ИНФРА- М, 2004.- 480 с.-(Высшее образование).

Размещено на Allbest.ru

...