Статистическая обработка результатов измерений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

на тему: "Статистическая обработка результатов измерений"

Выполнила: Иванова Ивана Ивановна

Санкт-Петербург - 2009 г.

Содержание

Введение

1. Вычисление основной выборной характеристики по заданной выборке

2. Результаты ранжирования выборных данных и вычисление моды и медианы

3. Результаты вычислений интервальных оценок для математического ожидания и дисперсий

4. Параметрическая оценка функции плотности распределения

5. Расчёт теоретических частот с помощью функции Лапласа

6. Проверка гипотезы о нормальности распределения случайной величины по критерию Пирсона

Введение

Математическая статистика позволяет получать обоснованные выводы о параметрах или виде закона распределения случайных величин по совокупности наблюдения за ними.

Перед нами ставится задача - изучить случайную величину Х, закон распределения которой неизвестен или для которой закон распределения известен, но неизвестны параметры этого закона.

1. Вычисление основной выборной характеристики по заданной выборке

Выборка	Ранжированный ряд
1	7,73	1	6,09
2	7,67	2	6,21
3	8,27	3	6,25
4	7,22	4	6,28
5	7,89	5	6,49
6	9,75	6	6,5
7	9,66	7	6,55
8	8,02	8	6,64
9	8,31	9	6,9
10	7,4	10	6,95
11	8,83	11	6,96
12	9,34	12	7,06
13	8,45	13	7,12
14	7,12	14	7,16
15	7,63	15	7,22
16	8,83	16	7,29
17	9,29	17	7,32
18	6,5	18	7,4
19	7,58	19	7,51
20	6,95	20	7,58
21	8,25	21	7,63
22	9,25	22	7,67
23	8,46	23	7,7
24	9,52	24	7,73
25	9,63	25	7,84
26	7,29	26	7,89
27	8,9	27	8,02
28	9,78	28	8,07
29	8,6	29	8,25
30	8,8	30	8,26
31	6,96	31	8,27
32	6,64	32	8,27
33	8,46	33	8,3
34	8,89	34	8,31
35	9,03	35	8,39
36	7,84	36	8,45
37	6,28	37	8,45
38	7,32	38	8,46
39	8,39	39	8,46
40	8,27	40	8,6
41	6,49	41	8,66
42	8,71	42	8,71
43	9,02	43	8,8
44	7,7	44	8,83
45	9,64	45	8,83
46	8,07	46	8,89
47	6,25	47	8,9
48	6,21	48	9,02
49	6,9	49	9,03
50	6,09	50	9,08
51	9,36	51	9,25
52	8,45	52	9,29
53	7,51	53	9,34
54	8,3	54	9,36
55	8,26	55	9,52
56	8,66	56	9,63
57	6,55	57	9,64
58	7,16	58	9,66
59	9,08	59	9,75
60	7,06	60	9,78

Для определения оптимальной длины частичного интервала h, т.е. такого, при котором построенный интервальный вариационный ряд не был бы слишком громоздким и в то же время позволял бы надёжно выявить закономерности изменения случайной величины X по выборке, воспользуемся формулой Стерджеса:

h = (Xmax - Xmin)/(1 + 3,322lgN),

где Xmax и Xmin - соответственно максимальное и минимальное значение выборки. Если h оказалось дробным числом, его округляют для удобства и простоты вычислений:

h = 0,534239 округляем до h = 0,5.

За начало первого интервала принимается величина:

X₀ = Xmin - h/2.

Начало второго интервала совпадет с концом первого и равно:

X₁ = X₀ - h/2.

Начало третьего интервала совпадет с концом второго и равно:

X₂ = X₁ - h/2.

Построение интервалов продолжается до тех пор, пока начало следующего по порядку интервала не будет больше Xmax.

X₀ = 5,84 округляем до X₀ = 6.

Вычислим границы всех интервалов:

X₀ = 6.

X₁ = 6,5.

X₂ = 7.

X₃ = 7,5.

X₄ = 8.

X₅ = 8,5.

X₆ = 9.

X₇ = 9,5.

X₈ =10.

В результате получаем последовательность прилегающих полуинтервалов: выборка распределение лаплас пирсон

[6; 6,5), [6,5; 7), [7; 7,5), [7,5; 8), [8; 8,5), [8,5; 9), [9; 9,5), [9,5; 10).

После того, как частичные интервалы выбраны, определяют частоты - количество элементов n_i, элементов выборки, попавших в i-й интервал:

X_i-1 ? X_i* < X_i,

X_i-1 и X_i - границы i-того интервала

X_i* - значение вариационного ряда

Результат вычислений запишем в таблицу:

Таблица 1

h	[6; 6,5)	[6,5; 7)	[7; 7,5)	[7,5; 8)	[8; 8,5)	[8,5; 9)	[9; 9,5)	[9,5; 10)
Xiср = (Xi-1 + Xi)/2	6,25	6,75	7,25	7,75	8,25	8,75	9,25	9,75
ni	5	6	7	8	13	8	7	6
Wi = ni / N	1/12	1/10	7/60	2/15	13/60	2/15	7/60	1/10
Ф(Xiср)=Wi / h	0,1667	0,2000	0,2333	0,2667	0,4333	0,2667	0,2333	0,2000

Основные выборочные характеристики:

Среднее арифметическое случайной величины X:

Хср = ?X_i/N.

Хср = 8,0745.

Среднее линейное отклонение:

d = ? |Xi - Xср|/ N.

d = 0,868533.

Дисперсия случайной величины X:

D [X]= у^2= ? ((X_i - X_ср)²)/N.

D [X]= 1,045465.

Несмещённая оценка дисперсии:

~D [X]= ~у^2= ? ((Xi - Xср)²)/(N-1).

~D [X]= 1,063184.

Среднее квадратическое отклонение:

у = v? ((Xi - Xср)²)/N = vD [X].

у= 1,031108.

Несмещённая выборочная оценка для среднего квадратического отклонения:

~у = v? ((Xi - Xср)²)/ (N-1) = v~D [X].

~у= 1,031

Коэффициент вариации:

V = ~у/ Xср *100 %.

V = 12,77 %.

Коэффициент ассиметрии случайной величины Х:

As = ? ((Xi - Xср)³)/N * ~у³.

As = -0,185636.

Коэффициент эксцесса случайной величины Х:

Ex = ? ((Xi - Xср)⁴)/ (N - 3) * ~у^4.

Ex = -1,02867.

Вариационный размах:

R = Xmax - Xmin.

R = 3,690.

2. Результаты ранжирования выборных данных и вычисление моды и медианы

Оценкой медианы ~Me называют число, которое делит вариационный ряд на две части, содержащее равное число элементов. Если объём выборки N - нечётное число (т.е. N = 2k+1), то ~Me = Х_k+1 т.е. является элементом вариационного ряда со средним номером. Если же N = 2k, т.е. число элементов выборки чётное, то:

~Me = Ѕ(Х_k + Х_k+1).

N=2k, k=N/2.

k =60/2=30.

Х 30 = 8,260.

Х 31 = 8,260.

~Me = Ѕ(Х_k + Х_k+1).

~Me = Ѕ (8,260+8,260) = 8,265.

Сравнение оценок медианы ~Me = 8,265 и математического ожидания Хср = 8,0745 показывает, что они отличаются на десятые доли процента.

Оценкой моды вариационного ряда является элемент выборки X_i = ~Mo, встречающийся с наибольшей частотой:

Таблица 2

h	[6; 6,5)	[6,5; 7)	[7; 7,5)	[7,5; 8)	[8; 8,5)	[8,5; 9)	[9; 9,5)	[9,5; 10)
Xiср = (Xi-1 + Xi)/2	6,25	6,75	7,25	7,75	8,25	8,75	9,25	9,75
ni	5	6	7	8	13	8	7	6

По результатам вычислений, представленных в таблице, можно сделать вывод, что мода имеет единственное значение - локальный максимум в точке X = 8,25 с частотой n = 13.

3. Результаты вычислений интервальных оценок для математического ожидания и дисперсий

Интервальная оценка математического ожидания:

Xср - t_{N-1; p} * ~у/vN < а < Xср + t_{N-1; p} * ~у/vN.

Хср = 8,0745.

~у= 1,031.

Зададимся доверительной вероятностью:

Р ₁ = 0,95, Р ₂ =0,99, Р ₃ = 0,999.

Для каждого значения по таблице "Значения t_pv критерия Стьюдента" находим значения t_{59; pi} и вычисляем три варианта интервальных оценок для математического ожидания:

Р ₁ = 0,95 t _{59; 0,95} = 2,000995.

7,808136 < а < 8,340864.

Р ₂ =0,99 t _{59; 0,99}= 2,661759.

7,720179 < а < 8,428821.

Р ₃ = 0,999 t _{59; 0,999}= 3,46321.

7,613493 < а < 8,535507.

Интервальная оценка дисперсии:

(N-1) * ~у^{2 /} X²_{(N-1); (1-P) / 2} <у²? (N-1) * ~у² / X²_{(N-1); (1+P) / 2}

Зададимся доверительной вероятностью:

Р ₁ = 0,95, Р ₂ =0,99, Р ₃ = 0,999.

Для каждого значения P_i вычисляем значения (1-P)/2 и (1-P)/2. Используя эти два значения и степень свободы v = N-1, по таблице "Пределы X² в зависимости от числа v" находим:

Р ₁ = 0,95 Х ² _{59; 0,25} = 82,11741.

Х ² _{59; 0,975} = 39,66186.

0,874003 < у < 1,257604.

Р ₂ = 0,99 Х ² _{59; 0,005} = 90,71529.

Х ² _{59; 0,995} = 34,77043.

0,831553 < у < 1,343152.

Р ₃ = 0,999 Х ² _{59; 0,0005} = 101,3937.

Х ² _{59; 0,999} = 29,64037.

0,786547 < у < 1,45475.

4. Параметрическая оценка функции плотности распределения

Представим вычисление теоретических вероятностей и частот по заданному интервальному вариационному ряду, для которого вычислены Xср и у, в виде таблицы.

Таблица 3

Xi-1	Xi	Xiср= (Xi-1+Xi)/2	ni	Zi	ц(xi)	Piтеор	niтеор	?niтеор
6	6,5	6,25	5	-1,76946	0,080858	0,040429	2,42574530	2
6,5	7	6,75	6	-1,28454	0,169552	0,084776	5,0865661	5
7	7,5	7,25	7	-0,79962	0,281036	0,140518	8,43107670	8
7,5	8	7,75	8	-0,31471	0,368213	0,184106	11,0463866	11
8	8,5	8,25	13	0,170205	0,381342	0,190671	11,4402704	11
8,5	9	8,75	8	0,65512	0,312183	0,156092	9,36550486	9
9	9,5	9,25	7	1,140035	0,202015	0,101008	6,0604510	6
9,5	10	9,75	6	1,62495	0,103332	0,051666	3,09997047	3
0,949266	56,9559715

По результатам вычислений можно заметить, что сумма всех значений вероятностей в интервале [6; 10] равна ?p_i = 0,949266. Это указывает на то, что необходимо вычислить дополнительные значения вероятностей слева и справа от заданного интервала [6; 10]. Находим интервал, в котором должна находиться плотность вероятности для того, чтобы выполнить условие ?p_i = 1, для этого выбираем значение Z = 3,29, соответствующее p=0,999:

(Xср - у * 3,29; Xср + у * 3,29) = (8,0745-1,031108 * 3,29; 8,0745 + 1,031108 * 3,29) = (4,682153; 11,46685).

Таблица 4

Xi-1	Xi	Xiср=(Xi-1+Xi)/2	ni	Zi	ц(xi)	Piтеор	niтеор	?niтеор
4,5	5	4,75		-3,2242	0,00213	0,00107	0,06417706	0
5	5,5	5,25		-2,73929	0,00908	0,00454	0,27247255	0
5,5	6	5,75		-2,25437	0,03048	0,01524	0,91441756	1
6	6,5	6,25	5	-1,76946	0,08085	0,04042	2,42574530	2
6,5	7	6,75	6	-1,28454	0,16955	0,08477	5,08656612	5
7	7,5	7,25	7	-0,79962	0,28103	0,14051	8,43107670	8
7,5	8	7,75	8	-0,31471	0,36821	0,18410	11,0463866	11
8	8,5	8,25	13	0,17020	0,38134	0,19067	11,4402704	11
8,5	9	8,75	8	0,65512	0,31218	0,15609	9,36550486	9
9	9,5	9,25	7	1,14003	0,20201	0,10100	6,06045107	6
9,5	10	9,75	6	1,62495	0,10333	0,05166	3,09997047	3
10	10,5	10,25		2,10986	0,04178	0,02089	1,25339805	1
10,5	11	10,75		2,59478	0,01335	0,00667	0,40058928	0
11	11,5	11,25		3,07969	0,00337	0,00168	0,10120186	0
0,99937	59,9622279

Сумма вероятностей всех частичных интервалов [X_i-1; X_i), лежащих в интервале (4,5; 11,5), равна ?p_i = 0,9994, а сумма всех частот в этом же интервале равна ?n^T_i = 59,9622. Это указывает на то, что все вычисления выполнены обоснованно и с достаточной точностью.

Таблица 5

Xi-1	Xi	Xiср=(Xi-1 + Xi)/2	ni	Piтеор	niтеор	(ni-niтеор)^2/niтеор
5	6,5	5,75	5	0,06128	3,676812	0,476180167
6,5	7	6,75	6	0,084776	5,086566	0,164032362
7	7,5	7,25	7	0,140518	8,431077	0,242908541
7,5	8	7,75	8	0,184106	11,04639	0,840136395
8	8,5	8,25	13	0,190671	11,44027	0,212648501
8,5	9	8,75	8	0,156092	9,365505	0,199092687
9	9,5	9,25	7	0,101008	6,060451	0,145657837
9,5	11	10,25	6	0,080919	4,85516	0,269951856
			60	0,99937	59,962231	2,550608345

График 1. Теоретическая и экспериментальная плотности вероятности

Из результатов, приведённых в таблице 4следует, что количество теоретических частот в некоторых интервалах меньше пяти. Поэтому для дальнейшего анализа результатов экспериментальных наблюдений, в соответствии с теоретическими выводами, необходимо те частичные интервалы, где n^T_i < 5, объединить с соседними так, чтобы для каждого частичного интервала выполнялось условие n^T_i ? 5. Результаты объединения интервалов и теоретических частот, выполненного по данным таблицы 4, приведены ниже.

5. Расчёт теоретических частот с помощью функции Лапласа

Таблица 6

Xi-1	Xi	ni	Zi-1= (Xi-1 -Xср)/~у	Zi=(Xi -Xср)/~у	Ф Zi -1	Ф Zi	Pi	niT= Pi *N
6	6,5	5	-2,012	-1,527	-0,5	-0,437	0,063381	3,8028484
6,5	7	6	-1,527	-1,042	-0,437	-0,351	0,085306	5,1183545
7	7,5	7	-1,042	-0,557	-0,351	-0,211	0,14002	8,4011884
7,5	8	8	-0,557	-0,072	-0,211	-0,029	0,182494	10,949641
8	8,5	13	-0,072	0,413	-0,029	0,160	0,188873	11,332355
8,5	9	8	0,413	0,898	0,160	0,315	0,155222	9,3132918
9	9,5	7	0,898	1,382	0,315	0,417	0,101295	6,0777078
9,5	10	6	1,382	1,867	0,417	0,5	0,08341	5,0046124
							1	60

6. Проверка гипотезы о нормальности распределения случайной величины по критерию Пирсона

Критерием X² - Пирсона определяется мера расхождения имеющихся в нашем распоряжении выборочных данных с высказанной и проверяемой гипотезой о распределении случайной величины X.

Таблица 7

Xi-1	Xi	ni	Piтеор	niтеор	(ni-niтеор)^2/niтеор
-?	6,5	5	0,06128	3,676812	0,476180167
6,5	7	6	0,084776	5,086566	0,164032362
7	7,5	7	0,140518	8,431077	0,242908541
7,5	8	8	0,184106	11,04639	0,840136395
8	8,5	13	0,190671	11,44027	0,212648501
8,5	9	8	0,156092	9,365505	0,199092687
9	9,5	7	0,101008	6,060451	0,145657837
9,5	+?	6	0,080919	4,85516	0,269951856
		60	0,99937	59,96223	2,550608345

Результаты вычислений статистики X² приведены в шестом столбце таблицы 7.

При выбранном уровне значимости б = 0,100 и числе групп k=8 число степеней свободы v=5. По таблице "Пределы X² в зависимости от числа v" находим X²_кр= 9,24.

В результате получаем:

для X²_наб= 2,55, которое мы нашли по результатам вычислений, приведённых в таблице 7, X²_наб= 2,55 < X²_кр= 9,24.

Нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении случайной величины.

Размещено на Allbest.ru

...