Имитационное моделирование задач массового обслуживания и уравнения А.Н. Колмогорова

Размещено на http://allbest.ru

1. Имитационное моделирование задач массового обслуживания и уравнения А.Н. Колмогорова

1.1 Основные понятия. Классификация СМО

При исследовании операций часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для многоразового использования при решении однотипных задач. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы -- систем массового обслуживания (СМО).

Примерами таких систем являются телефонные системы, ремонтные мастерские, вычислительные комплексы, билетные кассы, магазины, парикмахерские и т.п.

Каждая СМО состоит из определенного числа обслуживающих единиц (приборов, устройств, пунктов, станций), которые будем называть каналами обслуживания. Каналами могут быть линии связи, рабочие точки, вычислительные машины, продавцы и др. По числу каналов СМО подразделяют на одноканалъные и многоканальные.

Заявки поступают в СМО обычно не регулярно, а случайно, образуя так называемый случайный поток заявок (требований). Обслуживание заявок, вообще говоря, также продолжается какое-то случайное время.

Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что СМО оказывается загруженной неравномерно: в какие-то периоды времени скапливается очень большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО необслуженными), в другие же периоды СМО работает с недогрузкой или простаивает.

Предметом теории массового обслуживания является построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, характер потока заявок и т.п.) с показателями эффективности СМО, описывающими ее способность справляться с потоком заявок.

В качестве показателей эффективности СМО используются: среднее число заявок (здесь и в дальнейшем средние величины понимаются как математические ожидания соответствующих случайных величин), обслуживаемых в единицу времени; среднее число заявок в очереди; среднее время ожидания обслуживания; вероятность отказа в обслуживании без ожидания; вероятность того, что число заявок в очереди превысит определенное значение и т.п.

СМО делят на два основных типа (класса): СМО с отказами и СМО с ожиданием (очередью). В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует (например, заявка на телефонный разговор в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает СМО необслуженной).

В СМО с ожиданием заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь на обслуживание.

СМО с ожиданием подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь: с ограниченной или неограниченной длиной очереди, с ограниченным временем ожидания и т.п.

Для классификации СМО важное значение имеет дисциплина обслуживания, определяющая порядок выбора заявок из числа поступивших и порядок распределения их между свободными каналами.

По этому признаку обслуживание заявки может быть организовано по принципу "первая пришла -- первая обслужена", "последняя пришла -- первая обслужена" (такой порядок может применяться, например, при извлечении для обслуживания изделий со склада, ибо последние из них оказываются часто более доступными) или обслуживание с приоритетом (когда в первую очередь обслуживаются наиболее важные заявки).

Приоритет может быть как абсолютным, когда более важная заявка "вытесняет" из-под обслуживания обычную заявку (например, в случае аварийной ситуации плановые работы ремонтных бригад прерываются до ликвидации аварии), так и относительным, когда более важная заявка получает лишь "лучшее" место в очереди.

4.2 Понятие марковского случайного процесса

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс.

Под случайным (вероятностным или стохастическим) процессом понимается процесс изменения во времени состояния какой-либо системы в соответствии с вероятностными закономерностями.

Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния S₁, S₂, S₃, ... можно заранее перечислить, а переход системы из состояния в состояние происходит мгновенно (скачком). Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов системы из состояния в состояние не фиксированы заранее, а случайны.

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Это означает, что, состояние СМО меняется скачком в случайные моменты появления каких-то событий (например, прихода новой заявки, окончания обслуживания и т.п.).

Математический анализ работы СМО существенно упрощается, если процесс этой работы -- марковский.

Случайный процесс: называется марковским или случайным процессом без последствия, если для любого момента времени t₀ вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в. это состояние.

Пример марковского процесса: система S -- счетчик в такси. Состояние системы в момент t характеризуется числом километров (десятых долей километров), пройденных автомобилем до данного момента. Пусть в момент t₀ счетчик показывает S₀.

Вероятность того, что в момент t>t₀ счетчик покажет то или иное число километров (точнее, соответствующее число рублей) S₁ зависит от S₀, но не зависит от того, в какие моменты времени изменялись показания счетчика до момента t₀.

Многие процессы можно приближенно считать марковскими. Например, процесс игры в шахматы; система S -- группа шахматных фигур. Состояние системы характеризуется числом фигур противника, сохранившихся на доске в момент t₀.

Вероятность того, что в момент t>t₀ материальный перевес будет на стороне одного из противников, зависит в первую очередь от того, в каком состоянии находится система в данный момент t₀, а не от того, когда и в какой последовательности исчезли фигуры с доски до момента t₀.

В ряде случаев предысторией рассматриваемых процессов можно просто пренебречь и применять для их изучения марковские модели.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой -- так называемым графом состояний. Обычно состояния системы изображаются прямоугольниками (кружками), а возможные переходы из состояния в состояние -- стрелками (ориентированными дугами), соединяющими состояния.

Построить граф состояний следующего случайного процесса: устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время.

Решение. Возможные состояния системы: S₀ -- оба узла исправны; S₁ -- первый узел ремонтируется, второй исправен; S₂ -- второй узел ремонтируется, первый исправен; S₃ -- оба узла ремонтируются. Граф системы приведен на рис. 1.1

Рис. 1.1

Стрелка, направленная, например, из S₀ в S₁, означает переход системы в момент отказа первого узла, из S₁ в S₀ -- переход в момент окончания ремонта этого узла.

На графе отсутствуют стрелки из S₀ в S₃ и из S₁ в S₂. Это объясняется тем, что выходы узлов из строя предполагаются независимыми друг от друга и, например, вероятностью одновременного выхода из строя двух узлов (переход из S₀ в S_\3) или одновременного окончания ремонтов двух узлов (переход из S₃ в S₀) можно пренебречь.

Для математического описания марковского случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем, протекающего в СМО, познакомимся с одним из важных понятий теории вероятностей понятием потока событий.

1.3 Потоки событий

математический многоканальный колмогоров

Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени (например, поток вызовов на телефонной станции, поток отказов ЭВМ, поток покупателей и т.п.).

Поток характеризуется интенсивностью -- частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени. Например, поток изделий на конвейере сборочного цеха (с постоянной скоростью движения) является регулярным.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока есть величина постоянная: (t) = .

Например, поток автомобилей на городском проспекте не является стационарным в течение суток, но этот поток можно считать стационарным в течение суток, скажем, в часы пик. Обращаем внимание на то, что в последнем случае фактическое число проходящих автомобилей в единицу времени (например, в каждую минуту) может заметно отличаться друг от друга, но среднее их число будет постоянно и не будет зависеть от времени.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени ₁ и ₂ -- число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

Например, поток пассажиров, входящих в метро, практически не имеет последействия. А, скажем, поток покупателей, отходящих с покупками от прилавка, уже имеет последействие (хотя бы потому, что интервал времени между отдельными покупателями не может быть меньше, чем минимальное время обслуживания каждого из них).

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый (элементарный) участок времени t двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события. Другими словами, поток событий ординарен, если события появляются в нем поодиночке, а не группами. Например, поток поездов, подходящих к станции, ординарен, а поток вагонов не ординарен.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия. Название "простейший" объясняется тем, что СМО с простейшими потоками имеет наиболее простое математическое описание. Заметим, что регулярный поток не является "простейшим", так как он обладает последействием: моменты появления событий в таком потоке жестко зафиксированы.

Простейший поток в качестве предельного возникает в теории случайных процессов столь же естественно, как в теории вероятностей нормальное распределение получается в качестве предельного для суммы случайных величин: при наложении (суперпозиции) достаточно большого числа n независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивностям _i (i = 1, 2, ..., n)) получается поток, близкий к простейшему с интенсивностью , равной сумме интенсивностей входящих потоков, т.е.

.

Рассмотрим на оси времени Ot (рис. 1.2) простейший поток событий как неограниченную последовательность случайных точек.

Рис. 1.2

Можно показать [3], что для простейшего потока число событий (точек), попадающих на произвольный участок времени , распределено по закону Пуассона

, (1.1)

для которого математическое ожидание случайной величины равно ее дисперсии: а = ² = .

В частности, вероятность того, что за время не произойдет ни одного события (m=0), равна

P₀() = e^(-), (1.2)

Найдем распределение интервала времени Т между произвольными двумя соседними событиями простейшего потока.

В соответствии с (1.2) вероятность того, что на участке времени длиной t не появится ни одного из последующих событий, равна

P(T t) = e^(-t), (1.3)

а вероятность противоположного события, т.е. функция распределения случайной величины Т, есть

F(t) = P(T < t) = 1 e^(-t), (1.4)

Плотность вероятности случайной величины есть производная ее функции распределения (рис. 1.3), т.е.

(t) = F(t) = e^(-t). (1.5)

Распределение, задаваемое плотностью вероятности (1.5) или функцией распределения (1.4), называется показательным (или экспоненциальным). Таким образом, интервал времени между двумя соседними произвольными событиями имеет показательное распределение, для которого математическое ожидание равно среднеквадратическому отклонению случайной величины

a = = 1/ (1.6)

и обратно по величине интенсивности потока .

Важнейшее свойство показательного распределения (присущее только показательному распределению) состоит в следующем: если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время т, то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка (Т ): он будет таким же, как и закон распределения всего, промежутка Т.

Другими словами, для интервала времени T между двумя последовательными соседними событиями потока, имеющего показательное распределение, любые сведения о том, сколько времени протекал этот интервал, не влияют на закон распределения оставшейся части. Это свойство показательного закона представляет собой, в сущности, другую формулировку для "отсутствия последействия" -- основного свойства простейшего потока.

Для простейшего потока с интенсивностью вероятность попадания на элементарный (малый) отрезок времени t хотя бы одного события потока равна

P_t = P(T<t) = 1 e^(-t) t. (1.7)

(Заметим, что эта приближенная формула, получаемая заменой функции e^(-t) лишь двумя первыми членами ее разложения в ряд по степеням t, тем точнее, чем меньше t).

1.4 Уравнения А.Н. Колмогорова. Предельные вероятности состояний

Рассмотрим математическое описание марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем на примере случайного процесса из задачи 1.1, граф которого изображен на рис. 1.1.

Будем полагать, что все переходы системы из состояния S_i в S_j происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями _ij (i, j =0, 1, 2, 3); так, переход системы из состояния S₀ в S₁ будет происходить под воздействием потока отказов первого узла, а обратный переход из состояния S₁ в S₀ -- под воздействием потока "окончаний ремонтов" первого узла и т.п.

Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивностями будем называть размеченным (см. рис. 1.1). Рассматриваемая система S имеет четыре возможных состояния: S₀, S₁ S₂, S₃.

Вероятностью i-го состояния называется вероятность p(t) того, что в момент t система будет находиться в состоянии S_i. Очевидно, что для любого момента t сумма вероятностей всех состояний равна единице:

. (4.8)

Рассмотрим систему в момент t и, задав малый промежуток t, найдем вероятность p₀(t+t) того, что система в момент t+t будет находиться в состоянии S₀. Это достигается разными способами.

1. Система в момент t с вероятностью p₀(t) находилась в состоянии S₀, а за время t не вышла из него.

Вывести систему из этого состояния (см. граф на рис. 1.1) можно суммарным простейшим потоком с интенсивностью (₀₁+₀₂), т.е. в соответствии с (1.7), с вероятностью, приближенно равной (₀₁+₀₂)t. А вероятность того, что система не выйдет из состояния S₀, равна [1(₀₁+₀₂)t]. Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S₀ по первому способу (т.е. того, что находилась в состоянии S₀ и не выйдет из него за время t), равна по теореме умножения вероятностей:

p₀(t)[1(₀₁+₀₂)t].

2. Система в момент t вероятностями p₁(t) (или p₂(t)) находилась в состоянии S₁ или S₂ и за время t перешла в состояние S₀.

Потоком интенсивностью ₀₁ (или ₂₀ см. рис. 1.1) система перейдет в состояние S₀ с вероятностью, приближенно равной ₁₀t (или ₂₀t). Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S₀ по этому способу, равна p₁(t)₁₀t (или p₂(t)₂₀t)

Применяя теорему сложения вероятностей, получим

p₀(t+t) = p₁(t)₁₀t + p₂(t)₂₀t + p₀(t)[1(₀₁+₀₂)t],

откуда

.

Переходя к пределу при t0 (приближенные равенства, связанные с применением формулы (15.7), перейдут в точные), получим в левой части уравнения производную p₀(t) (обозначим ее для простоты p₀)

p₀ = p₁₁₀ + p₂₂₀ + p₀(₀₁+₀₂).

Получили дифференциальное уравнение первого порядка, т.е. уравнение, содержащее как саму неизвестную функцию, так и ее производную первого порядка.

Рассуждая аналогично для других состояний системы S, можно получить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

(1.9)

Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова.

В левой части каждого из них стоит производная вероятности i-го состояния. В правой части -- сумма произведений вероятностей всех состояний (из которых идут стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-го состояния).

В системе (1.9) независимых уравнений на единицу меньше общего числа уравнений.

Поэтому для решения системы необходимо добавить уравнение (1.8).

Особенность решения дифференциальных уравнений вообще состоит в том, что требуется задать так называемые начальные условия, т.е. в данном случае вероятности состояний системы в начальный момент t = 0.

Так, например, систему уравнений (1.9) естественно решать при условии, что в начальный момент оба узла исправны и система находилась в состоянии S₀, т.е. при начальных условиях

p₀(0)=l, p₁(0) = p₂(0) = p₃(0) = 0.

Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени.

Особый интерес представляют вероятности системы p_i(t) в предельном стационарном режиме, т.е. при t?, которые называются предельными (или финальными) вероятностями состояний.

В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.

Предельная вероятность состояния S_i имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии. Например, если предельная вероятность состояния S₀, т.е. p₀=0,5, то это означает, что в среднем половину времени система находится в состоянии S₀.

Так как предельные вероятности постоянны, то, заменяя в уравнениях Колмогорова их производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим.

Для системы S (с графом состояний, изображенном на рис. 1.1) такая система уравнений имеет вид:

(1.10)

Систему (1.10) можно составить непосредственно по размеченному графу состояний, если руководствоваться правилом, согласно которому слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния р_i,умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа -- сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i-e состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

Пример 1.2. Найти предельные вероятности для системы S из задачи 15.1, граф состояний которой приведен на рис. 4.1, при ₀₁=1, ₀₂=2, ₁₀=2, ₁₃=2, ₂₀=3, ₂₃=1, ₃₁=3, ₃₂=2.

Решение. Система алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим для данной системы, имеет вид (4.10) или

(1.11)

(Здесь мы вместо одного "лишнего" уравнения системы (1.10) записали нормировочное условие (1.8)).

Решив систему (1.11), получим p₀ =0,4, p₁ = 0,2, p₂ = 0,27, p₃=0,13, т.е. в предельном, стационарном режиме система S в среднем 40% времени будет находиться в состоянии S₀ (оба узла исправны), 20% -- в состоянии S₁ (первый узел ремонтируется, второй работает), 27% -- в состоянии S₂ (второй узел ремонтируется, первый работает) и 13% времени -- в состоянии S₃ (оба узла ремонтируются).

Пример 1.3. Найти средний чистый доход от эксплуатации в стационарном режиме системы S в условиях задач 1.1 и 1.2, если известно, что в единицу времени исправная работа первого и второго узлов приносит доход соответственно в 10 и 6 денежных единиц, а их ремонт требует затрат соответственно в 4 и 2 денежных единиц. Оценить экономическую эффективность имеющейся возможности уменьшения вдвое среднего времени ремонта каждого из двух узлов, если при этом придется вдвое увеличить затраты на ремонт каждого узла (в единицу времени).

Решение. Из задачи 1.2 следует, что в среднем первый узел исправно работает долю времени, равную p₀ + p₂ = 0,40+0,27 = 0,67, a второй узел p₂ + p₃ = 0,40+0,20 = 0,60. В то же время первый узел находится в ремонте в среднем долю времени, равную p₁ + p₃ = =0,20+0,13 = 0,33, а второй узел -- p₂ + p₃ = 0,27+0,13=0,4.

Поэтому средний чистый доход в единицу времени от эксплуатации системы, т.е. разность между доходами и затратами, равен

Д = 0,6710+0,6060,3340,402 = 8,18 денежных ед.

Уменьшение вдвое среднего времени ремонта каждого из узлов в соответствии с (1.6) будет означать увеличение вдвое интенсивностей потока "окончаний ремонтов" каждого узла, т.е. теперь ₁₀=4, ₂₀=6, ₃₁=6, ₃₂=4 и система линейных алгебраических уравнений (1.10), описывающая стационарный режим системы S, вместе с нормировочным условием (1.8) примет вид (при записи системы (1.10) одно "лишнее" уравнение мы исключили):

Решив систему, получим p₀ =0,60, p₁ =0,15, p₂ =0,20, p₃ =0,05.

Учитывая, что p₀ + p₂ = 0,6 + 0,2 = 0,8, p₀ + p₁ = 0,6 + 0,15 = 0,75, p₁ + p₃ = 0,15+0,05=0,20, p₂ + p₃ = 0,20+0,05=0,25, а затраты на ремонт первого и второго узла составляют теперь соответственно 8 и 4 денежных ед., вычислим средний чистый доход в единицу времени:

Д1 = 0,8010+0,756 0,208 0,254 = 9,9 денежных ед.

Так как Д1 больше Д (примерно на 20%), то экономическая целесообразность ускорения ремонтов узлов очевидна.

1.5 Процесс гибели и размножения

В теории массового обслуживания широкое распространение имеет специальный класс случайных процессов -- так называемый процесс гибели и размножения. Название этого процесса связано с рядом биологических задач, где он является математической моделью изменения численности биологических популяций.

Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 1.4.

Рис. 1.4

Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы S₀, S₁, S₂, …, S_k. Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т.е. из состояния S_k возможны переходы только либо в состояние S_k-1 либо в состояние S_k+1 (при анализе численности популяций считают, что состояние S_k соответствует численности популяции, равной k, и переход системы из состояния S_k в состояние S_k+1 происходит при рождении одного члена популяции, а переход в состояние S_k-1 -- при гибели одного члена популяции).

Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа, простейшие с соответствующими интенсивностями _k,k+1 или _k+1,k.

По графу, представленному на рис. 1.4, составим и решим алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний (их существование вытекает из возможности перехода из каждого состояния в каждое другое и конечности числа состояний).

В соответствии с правилом составления таких уравнений (см. 1.13) получим: для состояния S₀

p₀₀₁ = p₁₁₀, (1.12)

для состояния S₁ (₁₂ + ₁₀)p1 = ₀₁p₀ + ₂₁p₂, которое с учетом (1.12) приводится к виду

₁₂p₁ = ₂₁p₂, (1.13)

Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других состояний, можно получить следующую систему уравнений:

(1.14)

к которой добавляется нормировочное условие

(1.15)

Решая систему (4.14), (4.15), можно получить

, (1.16)

. (1.17)

Легко заметить, что в формулах (1.17) для р₁, p₂, …, р_n коэффициенты при р₀ есть слагаемые, стоящие после единицы в формуле (1.16). Числители этих коэффициентов представляют произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо до данного состояния S_k (k = 1, 2, ..., n), а знаменатели -- произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево до состояния S_k.

Пример 1.4. Процесс гибели и размножения представлен графом (рис. 1.5). Найти предельные вероятности состояний.

Рис. 1.5

Решение. По формуле (15.16) найдем

,

по (15.17) p₁ = 10,706/4 = 0,176, p₂ =1- 0,176 - 0,706 = 0,118, т.е. в установившемся, стационарном режиме в среднем 70,6% времени система будет находиться в состоянии S₀, 17,6% -- в состоянии S₁ и 11,8% -- в состоянии S₂.

1.6 СМО с отказами

В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать: А абсолютную, пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; Q относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой; Р_отк. вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной; -- среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).

1.7 Одноканальная система с отказами

Рассмотрим задачу.

Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживания имеет интенсивность Здесь и в дальнейшем предполагается, что все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, будут простейшими. К ним относится и поток обслуживании -- поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом. Среднее время обслуживания обратно по величине интенсивности , т.е. ..

Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S (СМО) имеет два состояния: S₀ -- канал свободен, S₁ -- канал занят. Размеченный граф состояний представлен на рис. 1.6.

Рис. 1.6

В предельном, стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид (см. правило составления таких уравнений в п. 1.4).

(1.18)

т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормировочное условие р₀ + p₁ = l, найдем из (1.18) предельные вероятности состояний

, (1.19)

которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии S₀ (когда канал свободен) и S₁ (когда канал занят), т.е. определяют соответственно относительную пропускную способность Q системы и вероятность отказа Р_отказ.

, (1.20)

, (1.21)

Абсолютную пропускную способность найдем, умножив относительную пропускную способность Q на интенсивность потока отказов

, (14.22)

Пример 1.5. Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью , равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону =2 мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.

Решение. Имеем = 90 (1/ч), = 2 мин. Интенсивность потока обслуживаний = 1/ =1/2=0,5 (1/мин)=30 (1/ч). По (15.20) относительная пропускная способность СМО Q =30/(90+30)=0,25, т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит P_отк..= 0,75 (см. (15.21)). Абсолютная пропускная способность СМО по (4.29) A =900,25 = 22,5, т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.

1.8 Многоканальная система с отказами

Рассмотрим классическую задачу Эрланга.

Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью А.. Поток обслуживания имеет интенсивность . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S₀, S₁, S₂, ..., S_k, ... S_n где S_k состояние системы, когда в ней находится k заявок, т.е. занято k каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения и показан на рис. 1.7.

Рис. 1.7

Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью . Интенсивность же потока обслуживании, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния.

Действительно, если СМО находится в состоянии S₂ (два канала заняты), то она может перейти в состояние S₁ (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживании будет 2.

Аналогично суммарный поток обслуживании, переводящий СМО из состояния S₃ (три канала заняты) в S₂, будет иметь интенсивность 3, т.е. может освободиться любой из трех каналов и т.д.

В формуле (1.16) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния

, (1.23)

где члены разложения



будут представлять собой коэффициенты при р₀ в выражениях для предельных вероятностей р₁, p₂, …, p_k, …, p_n. Величина

, (14.24)

называется приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь

, (1.25)

. (1.26)

Формулы (1.25) и (1.26) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга Эрланг А.К. (конец XIX в. -- начало XX в.) -- датский инженер, математик. в честь основателя теории массового обслуживания.

Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все n каналов системы будут заняты, т.е.

. (1.27)

Относительная пропускная способность -- вероятность того, заявка будет обслужена:

. (1.28)

Абсолютная пропускная способность:

. (1.29)

Среднее число занятых каналов k есть математическое ожидание числа занятых каналов:

,

где р_k -- предельные вероятности состояний, определяемых по формулам (1.25), (1.26).

Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы А есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов

, (1.30)

или, учитывая (1.29), (1.24):

. (1.31)

Пример 1.6. В условиях задачи 1.5 определить оптимальное число телефонных номеров в телевизионном ателье, если условием оптимальности считать удовлетворение в среднем из каждых 100 заявок не менее 90 заявок на переговоры.

Решение. Имеем = 90 (1/ч), = 2 мин. Интенсивность потока обслуживаний = 1/ =1/2=0,5 (1/мин)=30 (1/ч). Интенсивность нагрузки канала по формуле (4.24) = 90/30 = 3, т.е. за время среднего (по продолжительности) телефонного разговора = 2 мин. поступает в среднем 3 заявки на переговоры.

Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) n = 2, 3, 4, ... и определим по формулам (4.25), (4.28), (4.29) для получаемой n-канальной СМО характеристики обслуживания. Например, при n = 2 имеем р₀ = (l + 3 + 3²/2!)^-1 = 0,118 0,12;

Q = 1 (3²/2!)0,118 = 0,471; A=900,471 = 42,4 и т.д. Значение характеристик СМО сведем в таблицу 1.1.

Таблица 1.1

Характеристика	Число каналов (телефонных номеров)
обслуживания	1	2	3	4	5	6
Относительная пропускная способность Q	0,25	0,47	0,65	0,79	0,90	0,95
Абсолютная пропускная способность A	22,5	42,4	58,8	71,5	80,1	85,3

По условию оптимальности Q ? 0,9, следовательно, в телевизионном ателье, необходимо установить 5 телефонных номеров (в этом случае Q = 0,90 -- см. табл. 1.1). При этом в час будут обслуживаться в среднем 80 заявок (А = 80,1), а среднее число занятых телефонных номеров (каналов) по формуле (4.30) = 80,1/30 = 2,67.

Пример 1.7. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 часа. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.

Решение. По условию n = 3, =0,25 (1/ч), = 3 (ч). Интенсивность потока обслуживаний = 1/ = 1/3 = 0,33. Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (4.24) = 0,25/0,33 = 0,75. Найдем предельные вероятности состояний:

по формуле (1.25) р₀ = (1+0,75+0,75²/2!+0,75³/3!)^-1 = 0,476;

по формуле (1.26) p₁ = 0,750,476 = 0,357; p₂ = (0,75²/2!)0,476 = =0,134; p₃ = (0,75³/3!)0,476 = 0,033, т.е. в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% -- имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% -- две заявки (две ЭВМ), 3,3% времени -- три заявки (заняты три ЭВМ).

Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом, Р_отк. = p₃ = 0,033.

По формуле (1.28) относительная пропускная способность центра Q = 1 0,033 = 0,967, т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.

По формуле (1.29) абсолютная пропускная способность центра А = 0,250,967 = 0,242, т.е. в один час в среднем обслуживается 0,242 заявки.

По формуле (1.30) среднее число занятых ЭВМ = 0,242/0,33 = 0,725, т.е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на 72,5/3 = 24,2%.

При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной стороны, у нас высокая пропускная способность СМО, а с другой стороны -- значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение.

2. Лабораторная работа "Имитационное моделирование задач массового обслуживания и уравнения А.Н. Колмогорова"

Задание: В трехканальную систему массового обслуживания с отказами поступает пуассоновский поток заявок. Предположим, что время между поступлениями двух последовательных заявок распределено по показательному закону

Здесь l - математическое ожидание времени между поступлениями двух последовательных заявок.

В качестве l возьмите 10N3, где N3 последняя цифра зачетки. Длительность обслуживания каждой заявки равна 0,N2 мин. Здесь N2 -предпоследняя цифра зачетки.

Требуется проверить расчеты А.Н. Колмогорова, приведенные в таблице 1.1. для одного, двух, трех и четырех каналов, т.е. найти методом Монте-Карло (имитационного моделирования) относительную пропускную способность Q.

Для этого требуется найти математическое ожидание a числа обслуженных заявок за единицу времени.

В качестве средства имитационного эксперимента используйте данные следующей таблицы 1.2. Эта таблица, выполненная в MS EXCEL в файле mass_servise3.xls, находится в общей директории PUBLIC.

Таблица 1.2

Расчет среднего числа обслуженных заявок и отказов
№ заявки	сл. число	время м/у заявками	Момент пост. заяв.	момент оконч. обслуж. заявки		заявки	Счетчик обслуж.	счетчик отказов
1	2	3	4	5	6	7	8	9
	ai	ti=1/* ln(ai)	Ti=Ti-1+ti
1			0	0,5	0	0	1	0
2	0,8611	0,099	0,0997	0,5	2,099	0	1	0
3	0,8673	0,094	0,1946	0,5	2,099	2,194	1	0
4	0,3765	0,651	0,8458	2,845	2,099	2,194	1	0
5	0,8719	0,091	0,9372	2,845	2,099	2,194	0	1

Имеются очень важные замечания.

Замечание 1. В качестве единицы в числителе (в 3-ом столбце таблицы 4) в формуле

, (2.7)

надо брать единицу времени, т.е. если смена длится 24 часа, то в качестве единицы надо взять 24 часа, если смена длится 8 часов, то в качестве единицы надо взять 8 часов.

Замечание 2. Для вычисления математического ожидания числа обслуженных заявок не забудьте нажать клавишу F9. При каждом нажатии этой клавиши будет происходить одна реализация имитационного эксперимента. При фиксированном количестве каналов сделайте не менее 10 реализаций. В конце вычислите среднюю величину числа обслуженных заявок по количеству реализаций. Сравните полученную величину с данными таблицы 4.1.

Пример выполнения задания: Пусть N3 = 8 заявок в час.

Тогда l = 10N3 = 80. Пусть N2 = 6, т.е. средняя длительность обслуживания каждой заявки (средняя продолжительность разговора) равна = 0,N2 мин = 0,6 мин. Тогда интенсивность обслуживания заявок

= 1/ = 1/0,6 = 5/3 (1/мин) = 100 (1/ч).

По (15.20) относительная пропускная способность СМО

Q = 100/(80+100) = 0,55556,

т.е. в среднем только 55,556% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону.

Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит P_отк..= 0,4444 (см. (15.21)). Абсолютная пропускная способность СМО по (1.29) A = 800,55556 = 44,444, т.е. в среднем за 1 час будут обслужены 44,444 заявки на переговоры. Очень плохо при одном канале.

Интенсивность нагрузки канала по формуле (1.24)

= / =80/100 = 0,8,

т.е. за время среднего (по продолжительности) телефонного разговора = 0,6 мин. поступает в среднем 0,8 заявки на переговоры.

Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) n = 2, 3, 4, ... и определим по формулам (1.25), (1.28), (1.29) для получаемой n-канальной СМО характеристики обслуживания.

Например, при n = 2 имеем р₀ = (l + 0,8 + 0,8²/2!)^-1 = 0,1471698 0,15;

Q = 1 (0,8²/2!)/0,1471698 = 0,9529; A=800,9529 = 76,23245 и т.д. Значение характеристик СМО сведем в таблицу 1.2.

Таблица 1.2

Характеристика обслуживания	Число каналов (телефонных номеров)
	1	2	3	4	5	6
Предельные вероятности состояний P0, когда СМО свободна	0,5556	0,4717	0,453	0,449964	0,449	0,449
Относительная пропускная способность Q	0,5556	0,8497	0,961	0,992320	0,999	0,9998
Абсолютная пропускная способность A	44,444	67,924	76,9	79,38	79,9	79,987

Вам необходимо выбрать приемлемое количество каналов, пользуясь двумя критериями.

1. Первым условием оптимальности считать удовлетворение в среднем из каждых 100 заявок не менее 90 заявок на переговоры.

2. Вторым критерием можно считать

Прибыль = Выручка Затраты.

Введение нового канала потребует денег. Они окупятся позже. Все зависит от наличия необходимой суммы на сегодняшнее число. Для того, чтобы облегчить решение задачи в таблице 1.3. помещены формулы расчета.

Таблица 1.3

Характеристика обслуживания	Число каналов (телефонных номеров)
	n=1	n=2	n=3	n=4	n=5	n=6
Относительная пропускная способность Q	µ/(+µ)	1np0/n!	1np0/n!	1np0/n!	1np0/n!	1np0/n!
Абсолютная пропускная способность A	µ/(+µ)	Q	Q	Q	Q	Q

Литература

1. Исследование операций в экономике Учебное пособие для вузов/ Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1999. - 407 с.

2. Нейлор Т. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем. Пер. с англ. - М.: Мир, 1975 - 502 с.

3. Гельман В.Я. Решение математических задач средствами Excel. Практикум. - Спб.: Питер, 2003. - 240 с.

4. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 192 с.

5. Имитационное моделирование экономических процессов: Учебное пособие / А.А. Емельянов, Е.А. Власова, Р.В. Дума; Под ред. А.А. Емельянова. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 368 с.

6. Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. Классика CS. 3-ое изд. - СПб.: Питер; Киев: Издательская группа BHV. - 2004. - 847 с., ил.

Размещено на Allbest.ru

...