Прогноз населения РФ

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики

Тверской филиал

Контрольная работа

по дисциплине «Бизнес-статистика и прогнозирование»

на тему «Прогноз населения РФ»

Выполнила: студентка 2 курса

группы Тв-ЗММ-001

Хитрова Ольга Евгеньевна

Проверил: Крылов Ю.Н.

Тверь, 2012 г.

1. СБОР ДАННЫХ

Рядом динамики (динамическим рядом, временным рядом) называется последовательность значений статистического показателя (признака), упорядоченная в хронологическом порядке, т.е. в порядке возрастания временного параметра. Отдельные наблюдения временного ряда называются уровнями этого ряда.

Каждый ряд динамики содержит два элемента:

* значения времени;

* соответствующие им значения уровней ряда.

В качестве показателя времени в рядах динамики могут указываться либо определенные моменты (даты) времени, либо отдельные периоды (сутки, месяцы, кварталы, полугодия, годы и т.д.).

Построим динамический ряд населения Российской федерации, представленные в табл. 1 [данные с официального сайта федеральной службы государственной статистики: режим доступа http://www.gks.ru/wps/wcm/connect/rosstat/rosstatsite/main/publishing/catalog/statisticCollections/.

Таблица 1 Динамика численности населения РФ за 2002-2011 гг.

Дата	Численность населения, тыс.чел.
на 1.1.2002	145166,7
на 1.1.2003	144963,6
на 1.1.2004	144168,2
на 1.1.2005	143474,2
на 1.1.2006	142753,5
на 1.1.2007	142221,0
на 1.1.2008	142008,8
на 1.1.2009	141904,0
на 1.1.2010	141914,5
на 1.1.2011	142865,4
на 1.1.2012	143056,4

Как видим из таблицы, численность постоянного населения Российской Федерации на 1 января 2012 г. составляла 143,06 млн. человек.

2. ГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРОГНОЗ ПО АБСОЛЮТНОМУ ПРИРОСТУ

Решение любой задачи по анализу и прогнозированию временных рядов начинается с построения графика исследуемого показателя (рис.1).

Рис. 1 Динамика численности населения РФ в 2002-2011гг., в тыс.чел.

Для прогнозирования могут применяться различные математические функции.

Самым простейшим способом прогнозирования является прогноз по среднему абсолютному приросту. Этот прогноз рассчитывается по следующей формуле:

P=P1+Дt,

где P1- это численность населения на 2012 год,

t- порядковый номер года, по которой делается прогноз,

Д- абсолютный среднегодовой прирост.

А Д можно вычислить следующем образом:

Д= (Yn - Yi )/n - 1,

где Yn - численность населения 2011 года,

Yi - численность населения 2002 года,

Д= (143056,4-145166,7) / (11-1) = -211,03 тыс.чел.

Далее сделаем прогноз на 2013 год формуле:

P=P1+Дt

P = 143056,4-211,03= 142845,37 тыс.чел.

Можно сделать вывод, что численность населения РФ снижается в среднем на 211,03 тыс. человек ежегодно, и на начало 2013г. составит 142845,37 тыс.чел.

Определяем тренд, наилучшим образом аппроксимирующий фактические данные. Для этого рекомендуется использовать полиномиальный тренд, что позволяет сократить ошибку прогнозной модели. Графически динамический ряд представлен на диаграмме 2.



Рис. 2 Фактический и выровненный ряд

3. АНАЛИЗ ОШИБОК ПРОГНОЗА, РАСЧЕТ И ГРАФИК РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТЫ ОШИБОК

Рассчитываем ошибки модели как разности между фактическими значениями и значениями модели.

Таблица 2 Расчёт ошибок

t	Численность населения, у	Модель, у t	у - уt, et		(у - уt)2=et2
1	145166,7	145650,2	-483,5	483,497	233769,35
2	144963,6	144679,0	284,6	284,612	81003,991
3	144168,2	143863,4	304,8	304,827	92919,5
4	143474,2	143203,4	270,8	270,848	73358,639
5	142753,5	142698,9	54,6	54,575	2978,4306
6	142221	142350,1	-129,1	129,092	16664,744
7	142008,8	142156,9	-148,1	148,053	21919,691
8	141904	142119,2	-215,2	215,208	46314,483
9	141914,5	142237,2	-322,7	322,657	104107,54
10	142865,4	142510,7	354,7	354,7	125812,09
11	143056,4	142939,8	116,6	116,563	13586,933
Итого:	1574496,3	1574408,7	-	2684,632	812435,39

Среднее абсолютное отклонение

MAD = =2684,632/11=244,06

Среднеквадратическая ошибка

MSE==2,892/10=73857,8

Величина полученной ошибки позволяет говорить, что построенная модель хорошо аппроксимирует фактические данные, т.е. она вполне отражает демографические тенденции, и является предпосылкой для построения прогнозов высокого качества.

статистический население тренд

4. АНАЛИЗ ТРЕНДА КРИТЕРИЕМ СЕРИЙ

По этому способу каждый конкретный уровень временного ряда считается принадлежащим к одному из двух типов: например, если уровень ряда меньше медианного значения, то считается, что он имеет тип А, в противном случае - тип В. Теперь последовательность уровней выступает как последовательность типов. В образовавшейся последовательности типов определяется число серий (серия - любая последовательность элементов одинакового типа, с обоих сторон граничащая с элементами другого типа).

Проверка гипотезы основывается на том, что при условии случайности ряда (при отсутствии систематической составляющей) протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий - слишком маленьким. Поэтому для того чтобы не была отвергнута гипотеза о случайности исходного ряда (об отсутствии систематической составляющей), должны выполняться следующие неравенства:

где п - длина временного ряда; v(п) - число серий; - число подряд идущих плюсов или минусов в самой длинной серии.

Если хотя бы одно из неравенств нарушается, то гипотеза отвергается с вероятностью ошибки а, заключенной между 0,05 и 0,0975 (следовательно, подтверждается наличие зависящей от времени неслучайной составляющей).

Квадратные скобки в правой части неравенства означают целую часть числа. Целая часть числа А, т.е. [А] - это целое число, ближайшее к А и не превосходящее его.

Рассмотрим теперь применение критерия «восходящих и нисходящих» серий для проверки гипотезы о наличии тренда. Процесс формирования серий показан в табл. 3. Во второй строке этой таблицы в соответствии указан «+», если последующее значение уровня временного ряда больше предыдущего, «-» - если меньше.

Таблица 3 Выявление тренда методом критерий серий

i	Численность населения
на 1.1.2002	145166,7	-
на 1.1.2003	144963,6	-
на 1.1.2004	144168,2	-
на 1.1.2005	143474,2	-
на 1.1.2006	142753,5	-
на 1.1.2007	142221	-
на 1.1.2008	142008,8	-
на 1.1.2009	141904	-
на 1.1.2010	141914,5	+
на 1.1.2011	142865,4	+
на 1.1.2012	143056,4	+

Анализ полученной последовательности знаков позволил установить:

* число серий v(11) = 2

* протяженность самой длинной серии Тmах (10) = 8.

Табличное значение То(10) = 5.

Делаем проверку. Для этого сначала определим значение для правой части первого неравенства:

4,63

Тогда проверка выполнения условий показывает, что оба неравенства выполняются. Следовательно, нулевая гипотеза принимается, поэтому тренд в динамике населения РФ отсутствует с доверительной вероятностью 0,95. Очевидно, что этот же вывод можно было получить, опираясь лишь на второе неравенство, не проводя вычислений.

5. АНАЛИЗ ТРЕНДА МЕТОДОМ ФОСТЕРА-СТЮАРТА

Второй метод проверки наличия тенденции называется методом Фостера-Стюарта, который, помимо определения наличия тенденции, позволяет обнаружить тренд дисперсии уровней ряда динамики, что важно знать при анализе и прогнозировании экономических явлений.

Заполняется таблица 3.

1. mt=1, если настоящее значение больше всех предыдущих;

2. lt=1, если настоящее значение меньше всех предыдущих;

3. dt=mt-lt (при значении t от 2 до n);

4. D=

Таблица 4

Дата	Курс Евро	вспомогательные характеристики
		mt	lt	dt
на 1.1.2002	145166,7
на 1.1.2003	144963,6	0	1	-1
на 1.1.2004	144168,2	0	1	-1
на 1.1.2005	143474,2	0	1	-1
на 1.1.2006	142753,5	0	1	-1
на 1.1.2007	142221	0	1	-1
на 1.1.2008	142008,8	0	1	-1
на 1.1.2009	141904	0	1	-1
на 1.1.2010	141914,5	1	0	1
на 1.1.2011	142865,4	1	0	1
на 1.1.2012	143056,4	1	0	1
D			-4

Вычислим среднюю квадратическую ошибка величины D:

Вычисляется t набл.:

Выберем уровень значимости 0,05, n=11-1=10, tкр =2,2281

Tн<tкр - следовательно есть основания отвергнуть гипотезу об отсутствии тренда. С вероятностью 0,95 тренд не существует во временном ряду.

6. РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ДИНАМИКИ, АБСОЛЮТНЫЙ ПРИРОСТ, ТЕМП РОСТА И ТЕМП ПРИРОСТА ЦЕПНЫЕ И БАЗИСНЫЕ, ИХ ГРАФИКИ

Для изучения динамики социально-экономических явлений в статистике исчисляются особые показатели. К числу показателей динамики относятся:

А) Абсолютный прирост (АП);

Б) Темп роста (ТР);

В) Темп прироста (ТП);

Г) Абсолютное значение одного процента прироста (А).

Расчет показателей динамики представлен в следующей таблице:

Таблица 5 Формулы для расчета показателей динамики

Показатель	Базисный	Цепной
Абсолютный прирост (i баз; i цеп)
Коэффициент роста (Кр)
Темп роста (Тр)
Коэффициент прироста (Кпр)	Кр- 1;	Кр- 1;
Темп прироста (Тпр)	;	;
Абсолютное значение одного процента прироста (А)		;

Система средних показателей динамики включает:

средний уровень ряда;

средний абсолютный прирост;

средний темп роста;

средний темп прироста.

Средний уровень ряда - это показатель, обобщающий итоги развития явления за единичный интервал или момент из имеющейся временной последовательности. Найдем все показатели динамики в табл. 5.

Таблица 6 Расчет показателей динамики

По состоянию на	Численность населения, тыс.чел..	Апр	Т. р.	Т.пр.	Абсолютное значение 1% прироста
		Цеп	Баз	Цеп	Баз	Цеп	Баз
на 1.1.2002	145166,7
на 1.1.2003	144963,6	-203,1	-203,1	0,999	0,999	-0,001	-0,001	1451,667
на 1.1.2004	144168,2	-795,4	-998,5	0,995	0,993	-0,005	-0,007	1449,636
на 1.1.2005	143474,2	-694	-1692,5	0,995	0,988	-0,005	-0,012	1441,682
на 1.1.2006	142753,5	-720,7	-2413,2	0,995	0,983	-0,005	-0,017	1434,742
на 1.1.2007	142221	-532,5	-2945,7	0,996	0,980	-0,004	-0,020	1427,535
на 1.1.2008	142008,8	-212,2	-3157,9	0,999	0,978	-0,001	-0,022	1422,210
на 1.1.2009	141904	-104,8	-3262,7	0,999	0,978	-0,001	-0,022	1420,088
на 1.1.2010	141914,5	10,5	-3252,2	1,000	0,978	0,000	-0,022	1419,040
на 1.1.2011	142865,4	950,9	-2301,3	1,007	0,984	0,007	-0,016	1419,145
на 1.1.2012	143056,4	191	-2110,3	1,001	0,985	0,001	-0,015	1428,654
Итого:	1574496,3	-143056,4	-37,0603	0,000	0,000	-1,000	-1,000	1430,564

Графический анализ по результатам таблицы представлен на рис.

Рис. 3 Абсолютный прирост

Рис. 4 Темпы роста

Средний уровень ряда:

143132,7

В среднем за год население РФ составляло 143132,7 тыс.чел.

Средний абсолютный прирост.

В среднем за год численность населения снижалась на 211,03 тыс.чел.

Темп роста среднегодовой:

=96,4%

Средний темп прироста:

96,4 - 100= 3,6%

В среднем за год численность населения снижалась на 3,6%.

7. ПРОГНОЗ МЕТОДОМ СКОЛЬЗЯЩИХ СРЕДНИХ. АНАЛИЗ ОШИБОК. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ

Одной из задач анализа динамического ряда является определение тенденции его развития. С этой целью применяются метод скользящей средней. Скользящая средняя представляет собой простую среднюю арифметическую, полученную из подвижных сумм путем последовательного сдвига на один период суммируемых значений. Так, при периоде скольжения, равном 3, рассчитываются скользящие средние как:

Каждая средняя относится к центру интервала, и поэтому динамический ряд из скользящих средних будет короче исходного ряда на уровень, т.е. на 2 члена. Если трехчленная скользящая средняя не привела к сглаженному динамическому ряду с четко выраженной тенденцией, то период скольжения увеличивается, т.е. определяются 4- и 5-членные скользящие средние. Расчет скользящих средних представлен в табл. 7.

Таблица 7 Скользящие средние

дата	исходные значения	Скользящая средняя по 2м точкам	Скользящая средняя по 3м точкам	Скользящая средняя по 4м точкам	Скользящая средняя по 5ти точкам
на 1.1.2002	145166,7	145065,150	-	-	-
на 1.1.2003	144963,6	144565,900	144766,167	144443,175	-
на 1.1.2004	144168,2	143821,200	144202,000	143839,875	144105,240
на 1.1.2005	143474,2	143113,850	143465,300	143154,225	143516,100
на 1.1.2006	142753,5	142487,250	142816,233	142614,375	142925,140
на 1.1.2007	142221	142114,900	142327,767	142221,825	142472,300
на 1.1.2008	142008,8	141956,400	142044,600	142012,075	142160,360
на 1.1.2009	141904	141909,250	141942,433	142173,175	142182,740
на 1.1.2010	141914,5	142389,950	142227,967	142435,075	142349,820
на 1.1.2011	142865,4	142960,900	142612,100	-	-
на 1.1.2012	143056,4	-	-	-	-

Рис. 5 Скользящие средние

8. ПРОГНОЗ МЕТОДОМ ВЗВЕШАННЫХ СКОЛЬЗЯЩИХ СРЕДНИХ. АНАЛИЗ ОШИБОК. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ

При построении взвешенной скользящей средней на каждом активном участке значение центрального уровня заменяется на расчетное, определяемое по формуле средней арифметической взвешенной.

Весовые коэффициенты определяются с помощью МНК, причем нет необходимости каждый раз вычислять их заново при уровнях ряда, входящих в активный участок сглаживания, так как они будут одинаковыми для каждого активного участка.

Для интервала сглаживания, равного 5 они будут равны:

Для интервала сглаживания, равного 7они будут равны:

По данным рассчитаем пятимесячную и семимесячную взвешенную скользящую среднюю (табл. 7).

Таблица 7 Взвешенная скользящая средняя

Дата	Исходные значения	Взвешенная скользящая средняя 1 = 5	Взвешенная скользящая средняя 1 = 7
на 1.1.2002	145166,70	-	-
на 1.1.2003	144963,60	-	-
на 1.1.2004	144168,20	144238,640	-
на 1.1.2005	143474,20	143444,800	143478,6857
на 1.1.2006	142753,50	142760,597	142773,4048
на 1.1.2007	142221,00	142250,571	142290,0000
на 1.1.2008	142008,80	141989,874	141911,2571
на 1.1.2009	141904,00	141833,954	141928,9143
на 1.1.2010	141914,50	142130,963	-
на 1.1.2011	142865,40	-	-
на 1.1.2012	143056,40	-	-

Рис. 3 Взвешенная скользящая средняя

Графический анализ показывает, что ряд, сглаженный по семимесячной взвешенной скользящей средней, носит более гладкий характер. Это объясняется тем, что чем больше длина интервала сглаживания, тем более гладкий ряд получается на выходе модели.

9. ПРОГНОЗ МЕТОДОМ ЭКСПОТЭНЦИАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ

При расчете экспоненциальной средней в момент времени всегда требуется значение экспоненциальной средней в предыдущий момент времени, поэтому на первом шаге должно быть определено некоторое значение So, предшествующее Sx. Вес, приписываемый этому значению, уменьшается по экспоненциальной зависимости по мере удаления от первого уровня. Поэтому для длинных временных рядов влияние неудачного выбора погашается. Однако при малых выборках это может привести к существенным ошибкам, так как, например, при , даже после 20 итераций вес начального значения превышает веса других уровней ряда. Рассчитаем экспоненциальную среднюю для временного ряда курса ЕВРО (табл. 8) . В качестве начального значения экспоненциальной средней возьмем среднее значение из пяти первых уровней ряда. Расчеты проведем для четырех различных значений параметров адаптации.

Таблица 8 Экспоненциальные средние

t	Y	Экспоненциальная средняя w=0,5	Экспоненциальная средняя w=0,33	Экспоненциальная средняя w=0,25	Экспоненциальная средняя w=0,6
1	145166,7	145166,7	145166,7	145166,7	145166,7
2	144963,6	145065,2	145099,7	145115,9	145044,8
3	144168,2	144616,7	144792,3	144879,0	144518,9
4	143474,2	144045,4	144357,3	144527,8	143892,1
5	142753,5	143399,5	143828,1	144084,2	143208,9
6	142221,0	142810,2	143297,7	143618,4	142616,2
7	142008,8	142409,5	142872,4	143216,0	142251,7
8	141904,0	142156,8	142552,8	142888,0	142043,1
9	141914,5	142035,6	142342,2	142644,6	141965,9
10	142865,4	142450,5	142514,8	142699,8	142505,6
11	143056,4	142753,5	142693,6	142789,0	142836,1



Рис. 6 Экспоненциальные средние

На рис. наглядно проявляется влияние значения параметра адаптации а на характер сглаженного ряда. При w=0,25 экспоненциальная средняя носит более гладкий характер, так как в этом случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания временного ряда.

Какую скользящую среднюю использовать зависит от конкретного уровня ряда. Простая скользящая средняя очевидно имеет запаздывание, но Экспоненциальная скользящая средняя может быть склонна к более быстрым прорывам. Некоторые предпочитают использовать Экспоненциальные скользящие средние для более коротких периодов времени для более быстрого отображения изменений. Некоторые предпочитают для долгосрочных периодов Простые скользящие средние, чтобы определять долгосрочные изменения трендов. Вид скользящей средней и период времени будут сильно зависеть от конкретного рыночного инструмента и от того, как она реагировала в прошлом.

10. ВЫБОР КРИВОЙ РОСТА

На практике для описания тенденции развития явления широко используются модели кривых роста, представляющие собой различные функции времени . При таком подходе изменение исследуемого показателя связывают лишь с течением времени; считается, что влияние других факторов несущественно или косвенно сказывается через фактор времени.

Правильно выбранная модель кривой роста должна соответствовать характеру изменения тенденции исследуемого явления. Кривая роста позволяет получить выровненные или теоретические значения

Уровней динамического ряда. Это те уровни, которые наблюдались бы в случае полного совпадения динамики явления с кривой.

Прогнозирование на основе модели кривой роста базируется на экстраполяции, т.е. на продлении в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. Процедура разработки прогноза с использованием кривых роста включает в себя следующие этапы:

* выбор одной или нескольких кривых, форма которых соответствует характеру изменения временного ряда;

* оценку параметров выбранных кривых;

* проверку адекватности выбранных кривых прогнозируемому процессу, оценку точности моделей и окончательный выбор кривой роста;

* расчет точечного и интервального прогнозов.

Рассчитаем прогнозное значение исходя из предположения, что тенденция ряда может быть описана параболической и линейной моделью. Для нахождения параметров a0, a1, a2 используется метод наименьших квадратов. Расчеты удобно вести, обозначая время t так, чтобы была , т.е. для 7 лет t обозначаем как: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3; для четного же количества уровней ряда, например для 6 лет t обозначается: -5, -3, -1, 1, 3, 5. Тогда упрощаются расчеты.

Таблица 9 Расчет параметров

№	у	t	t2	t4	y*t	y*(t2)
1	145166,7	-5	25	625	-725833,50	3629167,50
2	144963,6	-4	16	256	-579854,40	2319417,60
3	144168,2	-3	9	81	-432504,60	1297513,80
4	143474,2	-2	4	16	-286948,40	573896,80
5	142753,5	-1	1	1	-142753,50	142753,50
6	142221,0	0	0	0	0,00	0,00
7	142008,8	1	1	1	142008,80	142008,80
8	141904,0	2	4	16	283808,00	567616,00
9	141914,5	3	9	81	425743,50	1277230,50
10	142865,4	4	16	256	571461,60	2285846,40
11	143056,4	5	25	625	715282,00	3576410,00
Итого:	1574496,3	0,0	110,0	1958,0	-29590,5	15811860,9

Для линейного тренда примет вид:

а0 = 1574496,3 / 11 =143136,0

а1 = -29590,5/ 110 = -269,0

Следовательно, уравнение линейного тренда имеет вид:

Согласно этой модели оценка среднего уровня ряда при t= 0 равна 143136,0тыс.чел.., а среднегодовая убыль составляет 269тыс.чел.

Для расчета коэффициентов параболического тренда также воспользуемся выражениями, полученными из системы нормальных уравнений после переноса начала координат в середины ряда. Промежуточные вычисления представлены в табл. 9:

а0 = 142356,3

а1 = -269,0

а2 = 77,97

Следовательно, уравнение параболического тренда примет вид:

11. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Исчисление конечных разностей связано с изучением свойств и применений разностей между соседними членами какой-нибудь последовательности или между значениями функции в точках, расположенных с постоянным интервалом в некотором пространстве. Слово «конечные» используется здесь в несколько устаревшем смысле «не бесконечно малые», т.е. не связанные с предельными переходами. Поскольку дифференциальное исчисление занимается изучением пределов разностей, а исчисление конечных разностей - самими разностями, то естественно, что между этими двумя теориями существуют много параллелей. Исчисления конечных разностей используются при интерполяции в математических таблицах, при суммировании числовых рядов, при вычислении интегралов и дифференцировании функций. Разности встречаются также в любой ситуации, когда надо описать поведение объекта, который испытывает воздействие меняющихся условий на определенном расстоянии (во времени и в пространстве).

Под конечной разностью первого порядка функции f (x) принято понимать величину

где d - некоторая постоянная, которую часто, но не всегда, принимают равной 1. Разность второго порядка обозначается D2f и представляет собой разность разностей, т.е.



Расчет конечных разностей представлен в табл. 10.

Таблица 10

	исходные данные	Разности 1	Разности 2	Разности 3	Разности 4
1	145166,70	-	-	-	-
2	144963,60	-203,1	-	-	-
3	144168,20	-795,4	-592,3	-	-
4	143474,20	-694	101,4	693,7	-
5	142753,50	-720,7	-26,7	-128,1	-821,8
6	142221,00	-532,5	188,2	214,9	343
7	142008,80	-212,2	320,3	132,1	-82,8
8	141904,00	-104,8	107,4	-212,9	-345
9	141914,50	10,5	115,3	7,9	220,8
10	142865,40	950,9	940,4	825,1	817,2
11	143056,40	191	-759,9	-1700,3	-2525,4
сигма	-	21826,53	26309,12	54387,79	88234,85
дисперсия	-	250998,88	218799,70	521868,68	1027764,39
Lg (сигма)	-	4,34	4,42	4,74	4,95

Рис. 7 Конечные разности

Наименьшее значение дисперсии у разностей 2-го порядка, значит наиболее целесообразно построение кривой роста 2-го порядка.

12. АНАЛИЗ СЕЗОННОЙ И ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КОМПОНЕТЫ МЕТОДОМ АКФ И ЧАКФ

Во временных рядах экономических процессов могут иметь место более или менее регулярные колебания. Если они строго периодический или близкий к нему характер и завершаются в течении одного года, то их называют сезонными колебаниями. Оценка сезонной компоненты осуществляется двумя способами: с помощью тригонометрических функций и методом сезонных индексов.

В тех случаях, когда период колебаний составляет несколько лет, то говорят, что во временном ряде присутствует циклическая компонента или стационарный случайный процесс. Моделирование ССП осуществляется следующими методами: модель авторегрессии (АР), модель скользящего среднего (СС), модель авторегрессии скользящего среднего (АРСС) и модель авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС).

Проведем расчет случайной компоненты, используя метод скользящего среднего в табл.11.

Таблица 11 Расчет случайной компоненты

Период	исходные данные	Скользящая ср. 3х. ур. (m=3)	Скользящая ср. 2 (m=3)	Случайная составляющая e(i)
1	145166,70	144766,17	144144,49	1022,21
2	144963,60	144202,00	143494,51	1469,09
3	144168,20	143465,30	142869,77	1298,43
4	143474,20	142816,23	142396,20	1078,00
5	142753,50	142327,77	142104,93	648,57
6	142221,00	142044,60	142071,67	149,33
7	142008,80	141942,43	142260,83	-252,03
8	141904,00	142227,97	142420,03	-516,03
9	141914,50	142612,10	-	-
10	142865,40	-	-	-
12	143056,40	-	-	-

Построим интервальный ряд распределения случайной компоненты, табл. 12.

Таблица 12 Ряд распределения случайной компоненты

Распределение	Число групп	Частота
-1500-1000	0	0
-1000…-500	0	0
-500…0	2	0,25
0…500	1	0,125
500….1000	1	0,125
1000…1500	4	0,5
Итого	8	1

По результатам таблицы построим график распределения.

Рис. 8 Ряд распределения случайной компоненты

На графике видно, что распределение отлично от нормального, следовательно существует тренд.

13. ПРОГНОЗ ТОЧЕЧНЫЙ И ИНТЕРВАЛЬНЫЙ. УРОВЕЬ ЗНАЧИМОСТИ

Уравнение линейного тренда имеет вид:

Согласно этой модели оценка среднего уровня ряда при t= 0 равна 407,02 тыс.чел.., а среднемесячный прирост составляет 0,25 тыс.чел.

Для прогнозирования на базе полученной модели на одну точку вперед необходимо в нее подставить соответствующее значение временного параметра, т.е. t= 6.

Определим прогнозное значение:

yt = 143136,0 -269*6= 141522,0 тыс.чел.

Для определения прогнозного значения параболического тренда надо подставить в полученную модель соответствующее значение временного параметра:

=143549,22 тыс.чел.

14. АДАПТИВНЫЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

В настоящее время одним из наиболее перспективных направлений исследования и прогнозирования одномерных временных рядов считаются адаптивные методы.

Термин адаптация происходит от лат. adaptatio - приспособление. В биологии это слово означает совокупность различных особенностей (морфологических, поведенческих и других) биологического вида, обеспечивающих приспособление к определенным условиям существования, к специфическим особенностям внешней среды. Адаптацией также называется и сам процесс выработки приспособлений. Применительно к прогнозированию процесс адаптации состоит в следующем.

При обработке временных рядов, как правило, наиболее ценной бывает информация последнего периода, так как необходимо знать, как будет развиваться тенденция, существующая в данный момент, а не тенденция, сложившаяся в среднем на всем рассматриваемом периоде. Адаптивные методы позволяют учесть различную информационную ценность уровней временного ряда, степень «устаревания» данных.

Прогнозирование методом экстраполяции на основе кривых роста в какой-то мере тоже содержит элемент адаптации, поскольку с получением «свежих» фактических данных параметры кривых пересчитываются заново. Поступление новых данных может привести и к замене выбранной ранее кривой на другую модель. Однако степень адаптации в данном случае весьма незначительна, кроме того, она падает с ростом длины временного ряда, так как при этом уменьшается «весомость» каждой новой точки. В адап- тивных методах различную ценность уровней в зависимости от их «возраста» можно учесть с помощью системы весов, придаваемых этим уровням.

Оценивание коэффициентов адаптивной модели обычно осуществляется на основе рекуррентного метода, который формально отличается от МНК, метода максимального правдоподобия и других методов тем, что не требует повторения всего объема вычислений при появлении новых данных.

Важнейшее достоинство адаптивных методов - построение самокорректирующихся моделей, способных учитывать результат прогноза, сделанного на предыдущем шаге.

Параметры адаптивной модели можно рассчитать по следующим формулам:

Таблица 13 Расчет модели 2-й степени

t	Численность населения г. Тверь	St(1)	St(2)	St(3)	a1(t)	a2(t)	a3(t)	Прогноз на 1 шаг	Разница	квадрат
1	145166,700	72583,350	36291,675	18145,838	127020,863	81656,269	18145,838	226822,969	-81656,27	6,668E+09
2	144963,600	108773,475	72532,575	45339,206	154061,906	58859,728	9047,531	221969,166	-77005,57	5,93E+09
3	144168,200	126470,838	99501,706	72420,456	153327,850	26688,834	-112,119	179904,566	-35736,37	1,277E+09
4	143474,200	134972,519	117237,113	94828,784	148035,003	6053,102	-4672,922	149415,183	-5940,98	35295277
5	142753,500	138863,009	128050,061	111439,423	143878,268	-3681,276	-5797,690	134399,302	8354,20	69792625
6	142221,000	140542,005	134296,033	122867,728	141605,643	-6709,861	-5182,333	129713,449	12507,55	156438831
7	142008,800	141275,402	137785,718	130326,723	140795,777	-6433,591	-3969,310	130392,876	11615,92	134929686
8	141904,000	141589,701	139687,709	135007,216	140713,191	-5044,262	-2778,502	132890,428	9013,57	81244485
9	141914,500	141752,101	140719,905	137863,560	140960,147	-3528,177	-1824,149	135607,822	6306,68	39774189
10	142865,400	142308,750	141514,328	139688,944	142072,212	-1782,980	-1030,961	139258,271	3607,13	13011376
11	143056,400	142682,575	142098,451	140893,698	142646,069	-967,451	-620,630	141057,988	1998,41	3993650

Рис. 9 Прогнозирование по адаптивной модели

СПИСОК ЛИТРАТУРЫ

1. Айвазян С.А. Прикладная статистика и основы эконометрики: учебник для вузов / С.А. Айвазян, С.В. Мхитарян. - М.: Юнити, 1998. - 1022 с.

2. Дж. Бокс, Г. Дженкинс. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. - М.: «Мир», 1974. - Вып. I. - 248 с.

3. Кэндел М. Временные ряды. - М.: Финансы и статистика, 1981. - 199 с.

4. Христиановский В.В. Практикум по прогнозу и риску / В.В. Христиановский, В.П. Щербина, М.И. Медведева и др. - Донецк, 1999. - 288 с.

5. Христиановский В.В. Экономико-математические методы и модели: теория и практика: учебно-методическое пособие / В.В. Христиановский, В.П. Щербина. - Донецк: ДонНУ, 2010. - 336 с.

Размещено на Allbest.ru

...